كارل فرديناند ديجين

كان كارل فرديناند ديجين (1 نوفمبر 1766 - 8 أبريل 1825) عالم رياضيات دنماركي . كانت أهم مساهماته في نظرية الأعداد ، وقد نصح عالم الرياضيات النرويجي الشاب الطموح نيلز هنريك آبل بشكل حاسم. حصل ديجين على قدر كبير من الفضل في إدخال الرياضيات الأكثر حداثة وتقدمًا في النظام المدرسي الدنماركي النرويجي .

ولد في براونشفايغ في ألمانيا ، لكن العائلة انتقلت إلى كوبنهاجن عام 1771 عندما حصل والده يوهان فيليب ديجين على منصب في الأوركسترا الملكية الدنماركية . كان راتبه كموسيقي منخفضًا، لكن ابنه كارل فرديناند حصل على زمالة حتى يتمكن من الذهاب إلى المدرسة في هلسنجور . تخرج من هناك عام 1783 واستمر في جامعة كوبنهاجن . بدلاً من اتباع المسار الطبيعي للدراسات، اتبع ديجين الشاب اهتماماته الخاصة وقرأ اللغات الكلاسيكية والفلسفة والعلوم الطبيعية وخاصة الرياضيات . ^[1] عندما أعلنت الجامعة في عام 1792 لأول مرة عن مسابقة مقال جائزة في العديد من المجالات المختلفة بجائزة 40 ريكسدالر في كل منها ، فاز ديجين بالجائزة في كل من اللاهوت والرياضيات. كان يجيد اللاتينية واليونانية والعبرية ، وكان على دراية جيدة باللغات الرومانسية والجرمانية ويمكنه قراءة الروسية والبولندية . في هذه الفترة كان مدرسًا للرياضيات للأمير الشاب الذي أصبح فيما بعد الملك كريستيان الثامن ملك الدنمارك . في عام 1798، حصل ديجين على درجة الدكتوراه في الفلسفة بناءً على أطروحة حول فلسفة كانط ^[2] وانتُخب لعضوية الأكاديمية الملكية الدنماركية للعلوم والآداب في عام 1800. ^[1]

في عام 1802 حصل ديجين على أول منصب أكاديمي له كمدرس رئيسي في الرياضيات والفيزياء في مدرسة كاتدرائية أودنسه . وبعد بضع سنوات هناك تم تعيينه رئيسًا للمدرسة المقابلة في فيبورغ . وظل هناك حتى عام 1814 عندما أصبح أستاذًا في الرياضيات في جامعة كوبنهاجن. وعلى الرغم من أن محاضراته لم تكن منظمة بشكل جيد، إلا أنه كان محبوبًا من قبل طلابه وكان يغرس في الدورات رياضيات جديدة وأكثر حداثة. وفي الوقت نفسه، واصل أبحاثه الخاصة ونشر النتائج في العديد من الاتجاهات المختلفة. كل هذا جعله أكثر علماء الرياضيات احترامًا في الدول الاسكندنافية في ذلك الوقت. ^[2]

عندما زار نيلز هنريك آبل ديجين في كوبنهاجن كطالب، وصفه بأنه لطيف للغاية، ولكنه غريب بعض الشيء، ولديه مكتبة خاصة كبيرة. ^[2] بقي ديجين هناك حتى وفاته في عام 1825. ولهذا السبب لم يعش ليرى الشهرة العظيمة التي اكتسبها آبل الشاب بعد فترة وجيزة من اكتشافه للوظائف الإهليلجية التي شجعها ديجين. دُفن في Assistens Kirkegård في Nørrebro في كوبنهاجن.

عمل ديجين في العديد من فروع الرياضيات الحديثة آنذاك. وكانت معظم مساهماته تتعلق بمشكلات في نظرية الأعداد ، لكنه كتب أيضًا أوراقًا بحثية عن الهندسة والميكانيكا . ^[1 ]

في عام 1817، طبع ديجين عمله الكبير حول الحلول الأساسية ( x ، y ) لمعادلة بيل x ² – ny ² = 1 حيث n عدد صحيح موجب. كان أويلر قد أظهر في وقت سابق أنه يمكن حساب هذه الحلول بشكل منهجي باستخدام الكسور المستمرة . استخدم ديجين هذه الطريقة وقدم حلولاً صحيحة لجميع n < 1000. ^[3] كما أعطت نفس الحسابات نتائج منطقية تقريبية ولكنها دقيقة للغاية للجذر التربيعي لـ n . بالإضافة إلى ذلك، وجد أيضًا حلولاً للمعادلة المرافقة مع −1 على الجانب الأيمن لقيم n عندما كانت موجودة. أصبحت جداول النتائج العددية هذه في السنوات التالية مرجعًا قياسيًا لمعادلة بيل. ^[4]

في حين يمكن اعتبار عمله على معادلة بيل استمرارًا للمساهمات السابقة التي قدمها أويلر ولاغرانج وليجندر لهذه المشكلة، فإن اكتشاف ديجين لمتطابقة المربعات الثمانية كان أهم اكتشافاته وأصيلها. ومن المرجح أن يكون ذلك نتيجة لمحاولاته لتعميم معادلة بيل .

هوية المربعين

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}}$

كانت معروفة منذ زمن ديوفانتوس . في نهاية القرن السابع عشر، أوضحت لماذا معيار حاصل ضرب عددين مركبين يساوي حاصل ضرب معاييرهما . في نفس الوقت تقريبًا، أظهر أويلر أن هناك أيضًا هوية مربعة رباعية مماثلة . لاحقًا اتضح أنها مرتبطة بمعيار الرباعيات الذي اكتشفه ويليام روان هاملتون . في عام 1818، قدم ديجين إلى أكاديمية العلوم في سانت بطرسبرغ حيث عمل أويلر، هويته المربعة الثمانية بنفس بنية الهويتين السابقتين تمامًا. ^[5] في العام التالي، انتُخب "عضوًا مراسلًا" في نفس المجتمع الأكاديمي.

نُشرت أعماله حول متطابقة المربعات الثمانية لأول مرة في عام 1822. ^{[6] وبعد ما يقرب من ثلاثين عامًا، أعاد} جون ت. جريفز وآرثر كايلي اكتشاف متطابقته باعتبارها خاضعة لقاعدة المتطابقات الثمانية . كانت هذه امتدادًا لرباعيات هاملتون. في عام 1898، أثبت أدولف هورويتز أن مثل هذه المتطابقات التي تتضمن 2 ^k مربع لا يمكن أن توجد إلا لـ k = 0 و1 و2 و3 .

في عام 1821 كان نيلز هنريك آبل طالبًا موهوبًا للغاية في سنته الأخيرة في مدرسة الكاتدرائية في أوسلو . كان مقتنعًا بأنه وجد طريقة لحل المعادلة الخماسية . لم يتمكن أي من معلميه أو أساتذته في جامعة أوسلو من العثور على أي خطأ في عمله. أوصى أستاذ علم الفلك كريستوفر هانستين آنذاك بنشر الورقة من قبل أكاديمية العلوم في كوبنهاجن. وبالتالي جاءت في أيدي ديجين لتقييمها. ^[2] لم يتمكن مرة أخرى من تحديد أي أخطاء، لكنه طلب تجربة هذه الطريقة الجديدة أولاً على مثال عملي. في رسالة إلى هانستين اقترح المعادلة x ⁵ − 2 x ⁴ + 3 x ² − 4 x + 5 = 0. أنهى الرسالة بالرغبة في

... إن الوقت والجهد الذي يبذله السيد آبل في نظري في هذا الموضوع العقيم لابد وأن يُستثمر في مشكلة من شأن تطورها أن يخلف أعظم العواقب على التحليل الرياضي وتطبيقاته في التحقيقات العملية. وأنا أشير هنا إلى المتعاليات الإهليلجية. إن المحقق الجاد الذي يتمتع بالمؤهلات المناسبة لإجراء مثل هذا النوع من البحوث لن يقتصر بأي حال من الأحوال على الخصائص الغريبة والجميلة العديدة لهذه الوظائف الرائعة، بل قد يكتشف مضيق ماجلان الذي يؤدي إلى مساحات شاسعة من محيط تحليلي شاسع.

سرعان ما تبين أن هذه النصيحة كانت نبوية للغاية. وسرعان ما اكتشف آبل نفسه خطأً في تحقيقاته حول المعادلة الخماسية، لكنه استمر في العمل على وجود الحلول. وبعد عامين، تمكن من إثبات أن هذه المعادلة لا تحتوي عمومًا على حلول جبرية .

من المرجح أن يكون توصية ديجين بالتركيز بدلاً من ذلك على التكامل الإهليلجي قد تركت بعض الانطباعات على الطالب الشاب. في صيف عام 1823، كان آبل في زيارة قصيرة إلى كوبنهاجن حيث التقى ديجين. في رسالة إلى صديقه ومعلمه السابق بيرنت مايكل هولمبو في أوسلو، كتب أنه أنشأ دوال إهليلجية عن طريق عكس التكاملات المقابلة . في العام التالي، في رسالة إلى ديجين، تمكن من الإبلاغ عن أن هذه الدوال الجديدة لها فترتان . ^[7] على الرغم من أن هذا الاكتشاف يمثل بداية فرع جديد ومهم للغاية من الرياضيات الحديثة، إلا أن آبل انتظر مع نشر نتائجه. حدث ذلك أولاً في عام 1827. توفي ديجين في غضون ذلك ولم يكن على علم بالاكتشافات الجميلة التي توصل إليها آبل والتي تنبأ بها.