تأثير ديك

تُظهر الرسوم البيانية هنا تنبؤات تأثير  استخدام مذبذب كوارتز كمعيار تردد للأيونات المحصورة. ^{[ 5 ]} بالإضافة إلى استقرارها الممتاز، تتميز مذبذبات الكوارتز بخصائص ضوضاء محددة بدقة: إذ تُوصف تقلبات ترددها بتردد الوميض على نطاق واسع جدًا من التردد والزمن. ويتوافق ضجيج تردد الوميض مع انحراف ألان ثابت، كما هو موضح لمذبذب الكوارتز في الرسوم البيانية هنا.

يُظهر المنحنى "المتوقع" في الرسم البياني كيف تتحسن استقرارية المذبذب المحلي (LO) بفعل التغذية الراجعة من الذرات. مع زيادة زمن القياس (لمدة أطول من زمن الهجوم )، تزداد الاستقرارية باطراد، مقتربةً من الاستقرارية الذاتية للذرات عند أزمنة تزيد عن 10000 ثانية تقريبًا. أما المنحنى "الفعلي" فيُظهر كيف تتأثر الاستقرارية بهذا التأثير  . فبدلًا من الاقتراب من الاستقرارية الذاتية للذرات، تقترب استقرارية خرج المذبذب المحلي الآن من خط ذي قيمة أعلى بكثير. ميل هذا الخط مطابق لميل الحد الذري (ناقص النصف على الرسم البياني اللوغاريتمي) بقيمة تُقارن بقيمة المذبذب المحلي المقاسة عند زمن الدورة، كما هو موضح بالسهم الأزرق الصغير (المتجه للأسفل). تعتمد القيمة (طول السهم الأزرق) على تفاصيل بروتوكول استجواب الذرات، ويمكن حسابها باستخدام منهجية دالة الحساسية .

يوضح الرسم البياني الثاني هنا كيف تؤثر جوانب الأداء المختلفة للمذبذب المحلي (LO) على الاستقرار الذي يمكن تحقيقه للساعة الذرية. ويُظهر الرسم البياني المسمى "تأثير المذبذب المحلي الذي تم تحليله سابقًا" تحسنًا في الاستقرار مقارنةً بالمذبذب المحلي (LO) بنسبة تقريبية.${\displaystyle 1/\tau }$الاعتماد على فترات زمنية أطول من "زمن الهجوم" لحلقة التغذية الراجعة. مع زيادة قيم زمن القياس${\displaystyle \tau }$، تقترب درجة الاستقرار من الحد الأقصى${\displaystyle 1/{\sqrt {\tau }}}$الاعتماد الناتج عن التباين الإحصائي في أعداد الذرات والفوتونات المتاحة لكل قياس.

من ناحية أخرى، يتسبب هذا التأثير في أن يُظهر استقرار معيار التردد المتاح اعتمادًا غير بديهي على ضوضاء طور المذبذب المحلي عالي التردد. هنا، يتضح أن استقرار المذبذب المحلي في أوقات أقل من زمن الدورة يؤثر على استقرار المعيار الذري على امتداد نطاق تشغيله بالكامل. علاوة على ذلك، فإنه غالبًا ما يمنع الساعة من الاقتراب من الاستقرار المتأصل في النظام الذري.

في غضون سنوات قليلة من نشر ورقتين بحثيتين ^{[ 5 ] و[ 6 ]} تُحللان ظاهرة التداخل في الترددات المحلية، تم التحقق تجريبياً من المنهجية ^{[ 8 ] و[ 9 ]،} واعتمدها مجتمع البحث في مجال الزمن والتردد بشكل عام ، وطُبقت في تصميم العديد من معايير التردد المتقدمة. كما قام ليموند وآخرون (1998) ^{[ 7 ]} بتوضيحها من خلال اشتقاق دالة الحساسية باستخدام منهج ميكانيكي كمي أكثر تقليدية، وعمّمها سانتاريلي وآخرون (1996) ^{[ 9 ]} لتطبيقها على بروتوكولات الاستجواب التي لا تخضع حتى لتناظر زمني.

في حين كانت حدود أداء الساعات الذرية تُحدد سابقًا بالدقة وبمحدودية استقرارها من خلال عدّ الفوتونات أو الذرات،  أصبح تأثير ديك الآن جزءًا ثالثًا من الصورة. وقد بلغت هذه المرحلة المبكرة ذروتها في عام 1998 بنشر أربع أوراق بحثية ^{[ 10 ] [ 8 ] [ 11 ] [ 12 ]} في عدد خاص حول تأثير ديك ^{[ 13 ]} لمجلة IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control .

تتألف معايير أو ساعات التردد الذري الحديثة عادةً من مذبذب محلي (LO)، ونظام ذري يُستجوب دوريًا بواسطة المذبذب المحلي، وحلقة تغذية راجعة لتصحيح أخطاء التردد في المذبذب المحلي بناءً على نتائج هذا الاستجواب؛ وبالتالي تثبيت تردد المذبذب المحلي على تردد النظام الذري. ^{[ 3 ] [ 4 ]} يصف هذا التأثير عملية تؤدي إلى تثبيت غير كامل، يعتمد على تفاصيل بروتوكول الاستجواب الذري. ^{[ 5 ]} يتطلب حساب هذا التأثير المُكتشف حديثًا لضوضاء المذبذب المحلي على استقرار تردد المذبذب المحلي المُثبَّت (LLO) الذي يوفر مخرجات مفيدة لمعيار التردد، خطوتين. وهما:

• حساب الحساسية الآنية لتقلبات طور LO للنظام الذري خلال فترة الاستجواب. ويتم التعبير عن ذلك كدالة حساسية.${\displaystyle g(t)}$، والتي يتم تقييمها على مدار وقت الدورة، والتي تكون قيمتها صفرًا خلال أجزاء من الدورة حيث تكون مهام الصيانة جارية، و (على سبيل المثال) قيمة الوحدة بين نبضات الاستجواب المرتبطة باستجواب رامزي .

على عكس الأمثلة الأخرى للإثارة الضوئية للذرات أو الأيونات، تُعدّ عملية الإثارة هذه بطيئة للغاية، إذ تستغرق أجزاءً من الثانية أو حتى ثوانٍ لإتمامها نظرًا لعوامل الجودة العالية جدًا. فبدلًا من اصطدام فوتون بمادة صلبة وقذفه إلكترونًا، تحدث هنا عملية يقوم فيها مجال كهرومغناطيسي متماسك، يتألف من العديد من الفوتونات، بدفع كل ذرة أو أيون في سحابة من حالته الأرضية إلى حالة مختلطة، عادةً ما تكون ذات سعات متساوية في الحالتين الأرضية والمثارة.

الأشكال الوظيفية لـ${\displaystyle g(t)}$يمكن حساب حساسية الذرات خلال فترة تعرضها لمجالات الميكروويف أو المجالات الضوئية باستخدام نموذج دوران افتراضي لعملية انتقال الحالة الكمومية ^{[ 5 ] [ 6 ]} أو باستخدام منهج جبري ^{[ 7 ]} . تسمح هذه الصيغ، بالإضافة إلى القيم الثابتة (عادةً صفر أو واحد) خلال فترات عدم وجود إشارة، بتحديد دالة الحساسية بدقة على مدار دورة الاستجواب بأكملها. وقد حُسبت سابقًا القدرة التمييزية لكل من استجواب رامزي واستجواب رابي للأنظمة الذرية، استنادًا إلى الاستجابة الكمومية للذرة أو الأيون لإشارة تحفيزية منحرفة قليلاً. ويُلاحظ الآن أن هذه القيم المحسوبة سابقًا تُطابق المتوسط ​​الزمني لدالة الحساسية.${\displaystyle {\overline {g(t)}}}$، التي تم الاستيلاء عليها خلال دورة الاستجواب.

• حساب الاستقرار الحدي للساعة الذرية نتيجة لهذا التأثير. بمعلومية دالة الحساسية${\displaystyle g(t)}$وطيف ضوضاء التردد${\displaystyle S_{y}^{LO}(f)}$بالنسبة للمذبذب المحلي، يمكن الآن حساب استقرار الساعة المحدود. يُظهر تحليل نموذج التغذية الراجعة المكافئ ^{[ 11 ]} أن التغيرات في كسب الحلقة ، بسبب التغير الزمني لـ${\displaystyle g(t)}$تؤدي هذه التغيرات إلى تقلبات بطيئة غير مصححة في المذبذب المحلي، حتى مع وجود تغذية راجعة مثالية (خالية من الضوضاء) من الذرات. ونظرًا لكونها دورية، فإن طيف التردد لـ${\displaystyle g(t)}$منفصلة، ​​مع توافقيات عند ترددات هي مضاعفات صحيحة.${\displaystyle n}$مقلوب زمن الدورة، كما${\displaystyle f_{n}=n/{t_{c}}}$كل من هذه التوافقيات تُشوه ضوضاء المذبذب المحلي (LO) القريبة من تردد الصفر، مما يزيد من ضوضاء التردد الأبيض .${\displaystyle S_{y}^{LLO}(0)}$من المذبذب المحلي المقفل الذي يوفر إشارة الخرج للساعة. هذا التشويش الإضافي من نفس النوع الناتج عن عد الفوتونات - أو الذرات - في الساعة الذرية، وبالتالي يُضعف أدائها.

يمكن الاطلاع على المفاهيم ونتائج الحسابات المعروضة أدناه في الأوراق البحثية الأولى التي تصف هذا التأثير . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

تبدأ كل دورة استجواب في الساعة الذرية عادةً بتحضير الذرات أو الأيونات في حالتها الأرضية. لنفترض أن P هي احتمالية وجود أي منها في حالتها المثارة بعد الاستجواب. يتم عادةً ضبط سعة إشارة الاستجواب وزمنها بحيث يؤدي ضبط المذبذب المحلي (LO) بدقة على التردد الذري إلى الحصول على${\displaystyle P=1}$أي أن جميع الذرات أو الأيونات تكون في حالتها المثارة. يتم تحديد قيمة P لكل قياس عن طريق تعريض النظام لإشارة مختلفة تولد تألقًا فلوريًا فقط للذرات أو الأيونات في الحالة المثارة (على سبيل المثال).

للحصول على تغذية راجعة فعالة باستخدام القياسات الدورية لـ P، يجب ترتيب البروتوكول بحيث يكون لـ P حساسية لتغيرات التردد.${\displaystyle g}$ويمكن تعريفها على النحو التالي: ${\displaystyle {{dP} \over {d\nu }}=\pi \,g\,t_{i}}$ أين${\displaystyle t_{i}}$هو وقت الاستجواب، بحيث تكون قيمة${\displaystyle g}$تُحدد حساسية قياس P لتغير تردد المذبذب المحلي. بما أن P تصل إلى أقصى قيمة لها (عند${\displaystyle P=1}$عندما يتم ضبط المذبذب المحلي بدقة على تردد الانتقال الذري، فإن قيمة${\displaystyle g}$ستكون القيمة صفرًا في تلك الحالة. وبالتالي، على سبيل المثال، في معيار التردد الذي يستخدم استجواب رابي ، يتم ضبط تردد المذبذب المحلي مبدئيًا بحيث${\displaystyle P=0.5}$وعندما يتسبب عدم استقرار تردد المذبذب المحلي في أن يؤدي قياس لاحق لـ P إلى إرجاع قيمة مختلفة عن هذه القيمة، تقوم حلقة التغذية الراجعة بضبط تردد المذبذب المحلي لإعادته.

يستخدم الباحثون التجريبيون بروتوكولات مختلفة للتخفيف من التغيرات الزمنية في العدد الذري ، وشدة الضوء، وما إلى ذلك، وبالتالي السماح بتحديد P بدقة، ولكن لن يتم مناقشة هذه البروتوكولات هنا.

تم حساب حساسية P لتغير تردد LO في استجواب رابي سابقًا، ^{[ 45 ]} ووجد أن قيمتها هي${\displaystyle g_{Rabi}\approx 0.60386}$عندما يتم إزاحة تردد المذبذب المحلي بتردد${\displaystyle \delta \nu }$لإعطاء${\displaystyle P=0.5}$ويتحقق ذلك عندما${\displaystyle \Delta \equiv 2\,\delta \nu \,t_{i}}$يتم ضبطه على تردد منخفض بحيث${\displaystyle \Delta =\Delta _{half}\approx 0.798685}$.

يمكن الآن تقديم صيغة تعتمد على الزمن لحساسية P لتغير التردد، مما يحدد${\displaystyle g(t)}$مثل:

${\displaystyle g(t)=2\lim _{\delta \phi \to 0}{\delta P(\delta \phi ,t) \over \delta \phi }}$، أين${\displaystyle \delta P(\delta \phi ,t)}$هو التغير في احتمالية الإثارة عند حدوث خطوة طورية${\displaystyle \delta \phi }$يتم إدخالها في إشارة الاستجواب في وقت${\displaystyle t}$يُظهر تكامل طرفي المعادلة أن تأثير التردد المتغير أثناء عملية الإثارة على الاحتمالية P،${\displaystyle \delta \omega (t)}$يمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle \Delta P={1 \over {2t_{c}}}\int _{0}^{t_{c}}{g(t)\delta \omega (t)dt}}$وهذا يدل على${\displaystyle g(t)}$أن تكون دالة حساسية ؛ تمثل الاعتماد الزمني لتأثير تغيرات التردد على احتمالية الإثارة النهائية.

تم إثبات أن دالة الحساسية لحالة استجواب رابي معطاة بواسطة: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle g(t)={{\Delta } \over {{(1+\Delta ^{2})}^{3/2}}}\left[\sin(\Omega _{1}(t))\left(1-\cos(\Omega _{2}(t)\right)+\sin(\Omega _{2}(t))\left(1-\cos(\Omega _{1}(t)\right)\right]}$ أين${\displaystyle \Omega _{1}(t)=\Omega \cdot \left({{t} \over {t_{i}}}\right)}$، ${\displaystyle \Omega _{2}(t)=\Omega \cdot \left(1-\left({t \over {t_{i}}}\right)\right)}$، ${\displaystyle \Omega =\Omega (\Delta )=\pi {\sqrt {1+{\Delta }^{2}}}}$وحيث ​${\displaystyle \Delta \equiv 2\,\delta \nu \,t_{i}}$يتم ضبط التردد إلى نصف سعة الإشارة${\displaystyle \Delta =\Delta _{half}\approx 0.798685}$.

بأخذ المتوسط ​​الزمني لهذا الشكل الوظيفي لـ${\displaystyle g(t)}$، يعطي ${\displaystyle {1 \over t_{i}}{\int _{0}^{t_{i}}g(t)\,dt}\approx 0.60386}$تمامًا كما سبق ذكره لـ${\displaystyle g_{Rabi}}$هذا يُظهر${\displaystyle g(t)}$ليكون تعميمًا مناسبًا للحساسية المستخدمة سابقًا${\displaystyle g}$.

صيغ دالة الحساسية في حالة استجواب رامزي مع${\displaystyle \pi /2}$إن خطوة الطور بين نبضتين استجواب (بدلاً من إزاحة التردد) أبسط إلى حد ما، ويتم إعطاؤها بواسطة: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle g(t)={\begin{cases}\sin \left(\pi {{t} \over {2\,t_{p}}}\right)&&&(0&<&t&<&t_{p})\\1&&&(t_{p}&<&t&<&t_{i}-t_{p})\\\sin \left(\pi {{t_{i}-t} \over {2\,t_{p}}}\right)&&&(t_{i}-t_{p}&<&t&<&t_{i})\\0&&&(t_{i}&<&t&<&t_{c})\\\end{cases}}}$ أين${\displaystyle t_{p}}$هو زمن النبض،${\displaystyle t_{i}}$هو وقت الاستجواب و${\displaystyle t_{c}}$هو زمن الدورة.

يمكن تقسيم آلية عمل الساعة الذرية النبضية إلى عناصر وظيفية كما هو موضح في المخطط الكتلي هنا (للحصول على تحليل كامل، انظر غرينهال ^{[ 11 ]} ). هنا، يُمثَّل المذبذب المحلي (LO) بكتلة خاصة به، بينما يُمثَّل النظام الذري المُستَجوب بالكتل الأربع الأخرى. ويتم التحكم في اعتماد عملية الاستجواب الذري على الزمن بواسطة المُعدِّل ، حيث يتم فيه حساب خطأ التردد المتغير مع الزمن.${\displaystyle \delta \nu (t)}$يتم ضربها بمعامل كسب يعتمد على الزمن${\displaystyle g(t)}$كما تم حسابه في القسم السابق. إشارة الإدخال إلى المُكامل تتناسب طرديًا مع خطأ التردد${\displaystyle \delta \nu }$وهذا يسمح له بتصحيح أخطاء التردد البطيئة والانحراف في المذبذب المحلي. لفهم آلية العمل في المخطط الكتلي، انظر إلى القيم.${\displaystyle \delta \nu (t)}$و${\displaystyle g(t)}$تتكون من متوسط ​​قيمها بالإضافة إلى الانحرافات عن المتوسط. قيمة${\displaystyle {\overline {\delta \nu (t)}}\cdot {\overline {g(t)}}}$(مع حساب المتوسطات على مدار دورة واحدة،${\displaystyle t_{c}}$يؤدي ذلك إلى تشغيل التغذية الراجعة بشكل صحيح، مما يؤدي إلى تثبيت تردد المذبذب المحلي على تردد المُمَيِّز.${\displaystyle \nu _{0}}$بالإضافة إلى ذلك، مكونات التردد العالي لـ${\displaystyle (\delta \nu (t)-{\overline {\delta \nu (t)}})\cdot {\overline {g(t)}}}$يتم تنعيمها عن طريق التكامل وأخذ العينات، مما يؤدي إلى حد الاستقرار قصير المدى المعروف بالفعل. ^{[ 4 ]} ومع ذلك، فإن المصطلح${\displaystyle (\delta \nu (t)-{\overline {\delta \nu (t)}})\cdot (g(t)-{\overline {g(t)}})}$بينما يُولّد هذا التأثير ضوضاءً إضافية عالية التردد، فإنه يُؤدي أيضًا إلى تغيرات منخفضة التردد للغاية . هذا هو تأثير التداخل الذي يتسبب في تصحيح الحلقة للمذبذب المحلي بشكل غير صحيح، مما ينتج عنه تغيرات إضافية منخفضة التردد في خرج معيار التردد. باتباع منهجية (ديك، 1987) ^{[ 5 ]} و(سانتاريلي وآخرون، 1996) ^{[ 9 ]} ، فإن مكونات فورييه لدالة الحساسية هي: ${\displaystyle g_{n,cos}=\int _{0}^{t_{c}}{g(t)\cos \left({{2\pi nt} \over {t_{c}}}\right)dt}}$، ${\displaystyle g_{n,sin}=\int _{0}^{t_{c}}{g(t)\sin \left({{2\pi nt} \over {t_{c}}}\right)dt}}$، ${\displaystyle g_{n}={\sqrt {g_{n,cos}^{2}+g_{n,sin}^{2}}}}$، و${\displaystyle g_{0}=\int _{0}^{t_{c}}{g(t)dt}}$، أين${\displaystyle t_{c}}$هو زمن الدورة. يوفر المذبذب المحلي المقفل إشارة خرج مفيدة من أي معيار تردد سلبي (غير ليزري). حد أدنى لضوضاء التردد الأبيض الخاصة به${\displaystyle S_{y}^{LLO}(0)}$ثم يتبين أن ذلك يعتمد على ضوضاء التردد للمذبذب المحلي عند جميع الترددات.${\displaystyle \left({S_{y}^{LO}(f)}\right)}$بقيمة معطاة بواسطة ${\displaystyle S_{y}^{LLO}(0)={2 \over {g_{0}^{2}}}\cdot {\sum _{n=1}^{\infty }{g_{n}^{2}\,S_{y}^{LO}\left({n \over t_{c}}\right)}}}$، أين${\displaystyle t_{c}}$يمثل زمن الدورة (الزمن بين القياسات المتتالية للنظام الذري). يُعطى تباين ألان لمذبذب ذي ضوضاء تردد أبيض ^{[ 46 ] بالعلاقة التالية:}${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )={S_{y}(0) \over {2\tau }}}$وبالتالي، فإن حد الاستقرار الناتج عن هذا  التأثير يُعطى بواسطة ${\displaystyle \sigma _{y,Dick}^{2}(\tau )={1 \over {\tau g_{0}^{2}}}\cdot {\sum _{n=1}^{\infty }{g_{n}^{2}\,S_{y}^{LO}\left({n \over t_{c}}\right)}}}$ بالنسبة لاستجواب رامزي بنبضات استجواب قصيرة جدًا، يصبح هذا ${\displaystyle \sigma _{y,Dick}^{2}(\tau )={1 \over {\tau }}{t_{c}^{2} \over t_{i}^{2}}\cdot {\sum _{n=1}^{\infty }{{\sin ^{2}(\pi n\,t_{i}/t_{c}) \over {\pi ^{2}}n^{2}}\,S_{y}^{LO}\left({n \over t_{c}}\right)}}}$، أين${\displaystyle t_{i}}$يمثل زمن الاستجواب. في حالة مذبذب محلي مع ضوضاء تردد الوميض ^{[ 46 ]} حيث${\displaystyle \sigma _{y}^{LO}(\tau )}$مستقل عن${\displaystyle \tau }$وحيث عامل الرسوم${\displaystyle d=t_{i}/t_{c}}$له قيم نموذجية${\displaystyle 0.4<d<0.7}$، ويمكن تقريب انحراف ألان على النحو التالي ^{[ 8 ]}${\displaystyle \sigma _{y,Dick}(\tau )\approx {\sigma _{y}^{LO} \over {\sqrt {2\ln(2)}}}\cdot \left|{sin(\pi d) \over {\pi d}}\right|\cdot {\sqrt {t_{c} \over {\tau }}}}$.