تباين ألان

بالنظر إلى سلسلة زمنية${\displaystyle x(t)}$، لأي أعداد حقيقية موجبة${\displaystyle T,\tau }$، تعريف متتالية الأعداد الحقيقية$${\displaystyle {\bar {y}}_{i}={\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\quad i=0,1,2,...}$$ثم${\displaystyle M}$يُعرَّف تباين العينة ^{[ 6 ]} (هنا بصيغة تدوين حديثة) بأنه التباين المصحح وفقًا لـ Bessel للمتتالية${\displaystyle {\bar {y}}_{0},...,{\bar {y}}_{M-1}}$:$${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(M,T,\tau )={\frac {M}{M-1}}\left({\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}^{2}-\left[{\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}\right]^{2}\right),}$$تفسير الرموز هو كما يلي:

• ${\displaystyle t}$هي القراءة على ساعة مرجعية (بوحدات اعتباطية).
• ${\displaystyle x(t)}$هي قراءة الساعة التي نختبرها (بوحدات اعتباطية)، كدالة لقراءة الساعة المرجعية. ويمكن تفسيرها أيضاً على أنها متوسط ​​سلسلة الترددات الكسرية .
• ${\displaystyle {\bar {y}}_{n}}$هو متوسط ​​التردد الجزئي ^رقم n خلال فترة الرصد${\displaystyle \tau }$.
• ${\displaystyle M}$يمثل عدد فترات قراءة الساعة المستخدمة في حساب${\displaystyle M}$تباين العينة،
• ${\displaystyle T}$هو الوقت الفاصل بين كل عينة تردد،
• ${\displaystyle \tau }$يمثل طول الفترة الزمنية لكل تقدير للتردد، أو فترة الملاحظة.

يمكن احتساب وقت التوقف عن طريق ترك الوقت${\displaystyle T}$يختلف عن ذلك الخاص بـ${\displaystyle \tau }$.

يُعرَّف تباين ألان على النحو التالي:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{n+1}-{\bar {y}}_{n}\right)^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2\tau ^{2}}}\left\langle \left(x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n}\right)^{2}\right\rangle }$

أين${\displaystyle x_{n}:=x(n\tau )}$و${\displaystyle \langle \dotsm \rangle }$يشير إلى عامل التوقع.

الحالة${\textstyle T=\tau }$وهذا يعني أنه يتم أخذ العينات دون وجود فترة توقف بينها.

كما هو الحال مع الانحراف المعياري والتباين ، يُعرَّف انحراف ألان بأنه الجذر التربيعي لتباين ألان:

${\displaystyle \sigma _{y}(\tau )={\sqrt {\sigma _{y}^{2}(\tau )}}.}$

يُفترض أن المذبذب الذي يتم تحليله يتبع النموذج الأساسي لـ

${\displaystyle V(t)=V_{0}\sin(\Phi (t)).}$

يُفترض أن يكون للمذبذب تردد اسمي قدره${\displaystyle \nu _{\text{n}}}$، مُقاسة بالدورات في الثانية (وحدة النظام الدولي للوحدات: هرتز ). التردد الزاوي الاسمي${\displaystyle \omega _{\text{n}}}$(بالراديان لكل ثانية) يُعطى بواسطة

${\displaystyle \omega _{\text{n}}=2\pi \nu _{\text{n}}.}$

يمكن فصل المرحلة الكلية إلى مكون دوري تمامًا${\displaystyle \omega _{\text{n}}t}$بالإضافة إلى عنصر متذبذب${\displaystyle \varphi (t)}$:

${\displaystyle \Phi (t)=\omega _{\text{n}}t+\varphi (t)=2\pi \nu _{\text{n}}t+\varphi (t).}$

دالة الخطأ الزمني x ( t ) هي الفرق بين الوقت الاسمي المتوقع والوقت الطبيعي الفعلي:

${\displaystyle x(t)={\frac {\varphi (t)}{2\pi \nu _{\text{n}}}}={\frac {\Phi (t)}{2\pi \nu _{\text{n}}}}-t=T(t)-t.}$

بالنسبة للقيم المقاسة ، تُعرَّف سلسلة خطأ الوقت TE( t ) من دالة الوقت المرجعي T _ref ( t ) على النحو التالي:

${\displaystyle TE(t)=T(t)-T_{\text{ref}}(t).}$

دالة التردد${\displaystyle \nu (t)}$هو التردد بمرور الوقت، ويُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle \nu (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\Phi (t)}{dt}}.}$

التردد الكسري y ( t ) هو الفرق المعياري بين التردد${\displaystyle \nu (t)}$والتردد الاسمي${\displaystyle \nu _{\text{n}}}$:

${\displaystyle y(t)={\frac {\nu (t)-\nu _{\text{n}}}{\nu _{\text{n}}}}={\frac {\nu (t)}{\nu _{\text{n}}}}-1.}$

يُعرَّف متوسط ​​التردد الجزئي على النحو التالي:

${\displaystyle {\bar {y}}(t,\tau )={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(t+t_{v})\,dt_{v},}$

حيث يتم حساب المتوسط ​​على مدى وقت الملاحظة τ ، و y ( t ) هو خطأ التردد الجزئي في الوقت t ، و τ هو وقت الملاحظة.

بما أن y ( t ) هي مشتقة x ( t )، فيمكننا دون فقدان للعمومية إعادة كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle {\bar {y}}(t,\tau )={\frac {x(t+\tau )-x(t)}{\tau }}.}$

يتمثل أحد أساليب التقدير البسيطة الأولى في ترجمة التعريف مباشرةً إلى

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau ,M)=\operatorname {AVAR} (\tau ,M)={\frac {1}{2(M-1)}}\sum _{i=0}^{M-2}({\bar {y}}_{i+1}-{\bar {y}}_{i})^{2},}$

أو بالنسبة للسلاسل الزمنية:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau ,N)=\operatorname {AVAR} (\tau ,N)={\frac {1}{2\tau ^{2}(N-2)}}\sum _{i=0}^{N-3}(x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i})^{2}.}$

مع ذلك، لا توفر هذه الصيغ سوى الحساب لحالة τ = τ _0. وللحساب لقيمة مختلفة لـ τ ، يلزم توفير سلسلة زمنية جديدة.

بأخذ السلسلة الزمنية وتجاوز n  −  1 عينة، ستظهر سلسلة زمنية جديدة (أقصر) بفاصل زمني τ ₀ بين العينات المتجاورة، ويمكن حساب تباين ألان لها باستخدام المقدرات البسيطة. يمكن تعديل هذه المقدرات لإدخال المتغير الجديد n بحيث لا يلزم إنشاء سلسلة زمنية جديدة، بل يمكن إعادة استخدام السلسلة الزمنية الأصلية لقيم مختلفة من n . تصبح المقدرات

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},M)={\frac {1}{2{\frac {M-1}{n}}}}\sum _{i=0}^{{\frac {M-1}{n}}-1}\left({\bar {y}}_{ni+n}-{\bar {y}}_{ni}\right)^{2}}$

مع${\displaystyle n\leq {\frac {M-1}{2}}}$،

وبالنسبة للسلاسل الزمنية:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},N)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}\left({\frac {N-1}{n}}-1\right)}}\sum _{i=0}^{{\frac {N-1}{n}}-2}\left(x_{ni+2n}-2x_{ni+n}+x_{ni}\right)^{2}}$

مع${\displaystyle n\leq {\frac {N-1}{2}}}$.

تعاني هذه التقديرات من عيب كبير يتمثل في أنها ستتجاهل كمية كبيرة من بيانات العينة، حيث يتم استخدام 1/ n فقط من العينات المتاحة.

قدمت تقنيةٌ من ابتكار جيه جيه سنايدر ^{[ 10 ]} أداةً محسّنة، حيث تمّ دمج القياسات في n سلسلة متداخلة من السلسلة الأصلية. وقد قدّم هاو وآلان وبارنز ^{[ 11 ]} مُقدِّر تباين ألان المتداخل. ويمكن إثبات أن هذا يُكافئ حساب متوسط ​​عينات الزمن أو التردد المُعَيَّر في مجموعات من n عينة قبل المعالجة. ويصبح المُتنبئ الناتج

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)&=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},M)={\frac {1}{2n^{2}(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left(\sum _{i=j}^{j+n-1}y_{i+n}-y_{i}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{2(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left({\bar {y}}_{j+n}-{\bar {y}}_{j}\right)^{2},\end{aligned}}}$

أو بالنسبة للسلاسل الزمنية:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},N)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}(N-2n)}}\sum _{i=0}^{N-2n-1}(x_{i+2n}-2x_{i+n}+x_{i})^{2}.}$

تتفوق المقدرات المتداخلة بشكل ملحوظ على المقدرات غير المتداخلة، خاصةً مع ازدياد قيمة n وطول السلسلة الزمنية المتوسط. وقد اعتُمدت المقدرات المتداخلة كمقدرات تباين ألان المفضلة في معايير IEEE ^{[ 7 ]} و ITU-T ^{[ 12 ]} وETSI ^{[ 13 ]} للقياسات المتشابهة، كما هو مطلوب لتأهيل الاتصالات.

للتغلب على صعوبة فصل تعديل الطور الأبيض عن تعديل طور الوميض باستخدام مُقدِّرات تباين ألان التقليدية، تُقلِّل عملية ترشيح خوارزمية عرض النطاق الترددي بمقدار n . يُجري هذا الترشيح تعديلًا على التعريف والمُقدِّرات، ويُعرِّف الآن تباينًا مُستقلًا يُسمى تباين ألان المُعدَّل . يُعدّ مقياس تباين ألان المُعدَّل مقياسًا لاستقرار التردد، تمامًا كما هو الحال مع تباين ألان.

يمكن حساب مقياس إحصائي لثبات الزمن (σ _x )، والذي يُطلق عليه غالبًا الانحراف الزمني (TDEV)، من انحراف ألان المُعدَّل (MDEV). يعتمد TDEV على MDEV بدلًا من انحراف ألان الأصلي، لأن MDEV قادر على التمييز بين تعديل طور الضوء الأبيض وتعديل طور الوميض (PM). فيما يلي تقدير التباين الزمني بناءً على تباين ألان المُعدَّل:

${\displaystyle \sigma _{x}^{2}(\tau )={\frac {\tau ^{2}}{3}}{\bmod {\sigma }}_{y}^{2}(\tau ),}$

وبالمثل بالنسبة لانحراف ألان المعدل إلى الانحراف الزمني :

${\displaystyle \sigma _{x}(\tau )={\frac {\tau }{\sqrt {3}}}{\bmod {\sigma }}_{y}(\tau ).}$

يتم تطبيع TDEV بحيث يساوي الانحراف الكلاسيكي للجسيمات البيضاء الدقيقة عند ثابت زمني τ = τ₀ _. لفهم عامل مقياس التطبيع بين المقاييس الإحصائية، إليك القاعدة الإحصائية ذات الصلة: بالنسبة للمتغيرين العشوائيين المستقلين X و Y ، ^فإن تباين ( _σz² ) مجموع أو فرق ( z = x - y ⁾ هو مجموع مربعات تبايناتهما (σz² ₌ σx² ₊ σy² ₎ . تباين مجموع أو فرق ( y = x²τ - ^xτ ) عينتين مستقلتين من متغير عشوائي يساوي ضعف تباين المتغير العشوائي (σy² ⁼ _2σx² ) _. MDEV ^هو الفرق الثاني بين قياسات الطور المستقلة ( ^x ₎ التي لها تباين ₍ ^σx² _{) .} بما أن الحساب هو الفرق المزدوج، والذي يتطلب ثلاث قياسات طور مستقلة ( x _{2 τ} − 2 x _τ + x )، فإن تباين ألان المعدل (MVAR) هو ثلاثة أضعاف تباينات قياسات الطور. 

أدت التطورات اللاحقة إلى ظهور أساليب تقدير محسّنة لنفس مقياس الاستقرار، وهو تباين/انحراف التردد، ولكنها تُعرف بأسماء منفصلة مثل تباين هادامارد ، وتباين هادامارد المعدّل ، والتباين الكلي ، والتباين الكلي المعدّل ، والتباين النظري . ^{[ 14 ]} وتتميز هذه الأساليب باستخدامها الأمثل للإحصاءات لتحسين حدود الثقة أو قدرتها على التعامل مع الانحراف الخطي للتردد.

يمكن تحديد فترة الثقة باستخدام توزيع مربع كاي مع درجات حرية df باستخدام توزيع تباين العينة : ^{[ 7 ] [ 11 ]}

${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\sigma ^{2}}},}$

حيث s² هو تباين العينة لتقديرنا، ^و σ² هي قيمة التباين الحقيقي، و ^df هي درجات حرية المُقدِّر، ^{ويتم حساب} χ² بناءً على التوزيع التراكمي العكسي لـ χ² بدرجات حرية df. لاحتمالية 90%، والتي تغطي النطاق من 5% إلى 95% على منحنى الاحتمالية، يمكن إيجاد الحدين الأعلى والأدنى باستخدام المتباينة ^.

${\displaystyle \chi ^{2}(0.05)\leq {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq \chi ^{2}(0.95),}$

والتي تصبح بعد إعادة ترتيبها للتباين الحقيقي

${\displaystyle {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.95)}}\leq \sigma ^{2}\leq {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.05)}}.}$

تمثل درجات الحرية عدد المتغيرات الحرة القادرة على المساهمة في التقدير. وتختلف درجات الحرية الفعالة باختلاف المُقدِّر ونوع الضوضاء. وقد تم التوصل تجريبياً إلى صيغ المُقدِّر التي تعتمد على N (عدد نقاط العينة الكلية) و n (مضاعف صحيح لـ _τ₀ ) : ^{[ 11 ]}

درجات حرية تباين ألان

نوع الضوضاء	درجات الحرية
تعديل الطور الأبيض (WPM)	${\displaystyle {\text{df}}\cong {\frac {(N+1)(N-2n)}{2(N-n)}}}$
تعديل طور الوميض (FPM)	${\displaystyle {\text{df}}\cong \exp \left[\left(\ln {\frac {N-1}{2n}}\ln {\frac {(2n+1)(N-1)}{4}}\right)^{-1/2}\right]}$
تعديل التردد الأبيض (WFM)	${\displaystyle {\text{df}}\cong \left[{\frac {3(N-1)}{2n}}-{\frac {2(N-2)}{N}}\right]{\frac {4n^{2}}{4n^{2}+5}}}$
تعديل تردد الوميض (FFM)	${\displaystyle {\text{df}}\cong {\begin{cases}{\frac {2(N-2)}{2.3N-4.9}}&n=1\\{\frac {5N^{2}}{4n(N+3n)}}&n\geq 2\end{cases}}}$
تعديل التردد العشوائي (RWFM)	${\displaystyle {\text{df}}\cong {\frac {N-2}{n}}{\frac {(N-1)^{2}-3n(N-1)+4n^{2}}{(N-3)^{2}}}}$

رسم خرائط تفصيلية لتعديل الطور من الشكل

${\displaystyle S_{x}(f)={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alpha }f^{\alpha -2}={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alpha }f^{\beta },}$

أين

${\displaystyle \beta \equiv \alpha -2,}$

أو تعديل التردد بالشكل

${\displaystyle S_{y}(f)=h_{\alpha }f^{\alpha }}$

إلى تباين ألان من الشكل

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=K_{\alpha }h_{\alpha }\tau ^{\mu }}$

يمكن تبسيطها بشكل كبير من خلال توفير علاقة بين α و μ . كما يتم تقديم علاقة بين α و K _α للتسهيل: ^{[ 7 ]}

ألان التباين α – μ رسم الخرائط

α	β	μ	K α
-2	-4	1	${\displaystyle {\frac {2\pi ^{2}}{3}}}$
-1	-3	0	${\displaystyle 2\ln 2}$
0	-2	-1	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
1	-1	-2	${\displaystyle {\frac {3[\gamma +\ln(2\pi f_{H}\tau )]-\ln 2}{4\pi ^{2}}}}$
2	0	-2	${\displaystyle {\frac {3f_{H}}{4\pi ^{2}}}}$

إشارة ذات ضوضاء طور طيفية${\displaystyle S_{\varphi }}$يمكن تحويل الوحدات rad ^{2 /Hz إلى تباين ألان بواسطة [ 18 ]}

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {2}{\nu _{0}^{2}}}\int _{0}^{f_{b}}S_{\varphi }(f){\frac {\sin ^{4}(\pi \tau f)}{(\pi \tau )^{2}}}\,df.}$

تربط دالة الانحياز B1 تباين العينة M بتباين العينة 2، مع الحفاظ على ثبات الفترة الزمنية بين القياسات T والزمن اللازم لكل قياس τ . وقد عُرّفت ^{[ 19 ]} على النحو التالي _:

${\displaystyle B_{1}(N,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }},}$

أين

${\displaystyle r={\frac {T}{\tau }}.}$

تصبح دالة الانحياز بعد التحليل

${\displaystyle B_{1}(N,r,\mu )={\frac {1+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {N-n}{N(N-1)}}\left[2(rn)^{\mu +2}-(rn+1)^{\mu +2}-|rn-1|^{\mu +2}\right]}{1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}}.}$

تربط دالة الانحياز B2 تباين العينتين عند زمن أخذ العينات T بتباين العينتين (تباين ألان)، مع الحفاظ على عدد العينات N = 2 وزمن الملاحظة τ ثابتًا. وقد عُرّفت ^{[ 19 ]} على النحو التالي _:

${\displaystyle B_{2}(r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle }},}$

أين

${\displaystyle r={\frac {T}{\tau }}.}$

تصبح دالة الانحياز بعد التحليل

${\displaystyle B_{2}(r,\mu )={\frac {1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}{2\left(1-2^{\mu }\right)}}.}$

تربط دالة الانحياز B3 تباين العينتين لوقت أخذ العينة MT ₀ ووقت الملاحظة Mτ _{0 بتباين العينتين (تباين ألان) ،} وتُعرَّف ^{[ 20 ]} على النحو التالي:

${\displaystyle B_{3}(N,M,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,M,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }},}$

أين

${\displaystyle T=MT_{0},}$

${\displaystyle \tau =M\tau _{0}.}$

تُعد دالة الانحياز B 3 مفيدة لضبط قيم تقدير المتغير τ غير المتداخلة والمتداخلة بناءً _على قياسات وقت التوقف لوقت الملاحظة τ ₀ والوقت بين الملاحظات T ₀ إلى تقديرات وقت التوقف العادية.

تصبح دالة الانحياز بعد التحليل (في حالة N  =  2)

${\displaystyle B_{3}(2,M,r,\mu )={\frac {2M+MF(Mr)-\sum _{n=1}^{M-1}(M-n)\left[2F(nr)-F{\big (}(M+n)r{\big )}+F{\big (}(M-n)r{\big )}\right]}{M^{\mu +2}[F(r)+2]}},}$

أين

${\displaystyle F(A)=2A^{\mu +2}-(A+1)^{\mu +2}-|A-1|^{\mu +2}.}$

على الرغم من عدم صياغتها رسميًا، فقد تم استنتاجها بشكل غير مباشر كنتيجة لربط α – μ . عند مقارنة مقياسين لتباين ألان لقيم τ مختلفة ، بافتراض وجود نفس الضوضاء السائدة في شكل نفس معامل μ، يمكن تعريف الانحياز على النحو التالي:

${\displaystyle B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{2},\tau _{2})\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{1},\tau _{1})\right\rangle }}.}$

تصبح دالة الانحياز بعد التحليل

${\displaystyle B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )=\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }.}$

لتحويل مجموعة من القياسات إلى أخرى، _يمكن تجميع دوال الانحياز B1 وB2 وτ. أولًا، تحوّل _الدالة B1 _القيمة ( N1 , T1 , τ1 ) إلى (2, _T1 , _τ1 ) _{، ومنها} تحوّل الدالة B2 القيمة (2, τ1 , _τ1 ) ، وبالتالي تباين ألان عند _{τ1 . يمكن تحويل مقياس تباين ألان} باستخدام دالة الانحياز τ من τ1 إلى τ2 ، _ومنها يتم تحويل (2, T2 _{, τ2} ) باستخدام B2 ، وأخيرًا _{باستخدام} B1 إلى _تباين ( N2 , T2 _{, τ2} ) _. يصبح التحويل الكامل _{كما يلي} :

${\displaystyle \left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{2},T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu )}{B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle ,}$

أين

${\displaystyle r_{1}={\frac {T_{1}}{r_{1}}},}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {T_{2}}{r_{2}}}.}$

وبالمثل، بالنسبة للقياسات المتسلسلة باستخدام M مقطعًا، يصبح الامتداد المنطقي

${\displaystyle \left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{2},M_{2},T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{3}(N_{2},M_{2},r_{2},\mu )B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu )}{B_{3}(N_{1},M_{1},r_{1},\mu )B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},M_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle .}$

من المتوقع أن يكون لنظام القياس نطاق ترددي يساوي أو يقل عن معدل نايكويست ، كما هو موضح في نظرية شانون-هارتلي . وكما هو واضح في معادلات ضوضاء قانون القوة، فإن تعديلات الضوضاء البيضاء وضوضاء الوميض تعتمد على تردد الزاوية العلوي.${\displaystyle f_{H}}$(يُفترض أن هذه الأنظمة مُرشَّحة بترددات منخفضة فقط). بالنظر إلى خصائص مُرشِّح التردد، يتضح جليًا أن الضوضاء منخفضة التردد لها تأثير أكبر على النتيجة. بالنسبة لأنواع ضوضاء تعديل الطور المسطحة نسبيًا (مثل WPM وFPM)، يكون للترشيح أهمية، بينما بالنسبة لأنواع الضوضاء ذات الميل الأكبر، يصبح الحد الأعلى للتردد أقل أهمية، بافتراض أن عرض نطاق نظام القياس واسع نسبيًا.${\displaystyle \tau }$كما ورد في

${\displaystyle \tau \gg {\frac {1}{2\pi f_{H}}}.}$

عندما لا يتحقق هذا الافتراض، فإن عرض النطاق الترددي الفعال${\displaystyle f_{H}}$يجب تدوين ذلك بجانب القياس. ينبغي على المهتمين الرجوع إلى NBS TN394. ^{[ 15 ]}

لكن إذا تم تعديل عرض نطاق المُقدِّر باستخدام مضاعفات صحيحة لوقت أخذ العينات${\displaystyle n\tau _{0}}$عندئذٍ، يمكن تقليل تأثير عرض نطاق النظام إلى مستويات ضئيلة. ولتلبية احتياجات الاتصالات، كانت هذه الأساليب ضرورية لضمان قابلية مقارنة القياسات وإتاحة بعض الحرية للموردين لتنفيذ تطبيقات مختلفة. توصية الاتحاد الدولي للاتصالات G.813 ^{[ 21 ]} لقياس TDEV.

يمكن التوصية بأن يكون الأول${\displaystyle \tau _{0}}$يتم تجاهل الإشارات المتعددة، بحيث تكون غالبية الضوضاء المكتشفة ضمن نطاق تمرير عرض نطاق أنظمة القياس.

أُجريت تطويرات إضافية على تباين ألان لتقليل عرض النطاق الترددي للأجهزة باستخدام البرمجيات. وقد سمح هذا التطوير بمعالجة التشويش المتبقي، ويُشار إلى هذه الطريقة الآن باسم تباين ألان المُعدَّل . يجب عدم الخلط بين تقنية تقليل عرض النطاق الترددي هذه والنسخة المُحسَّنة من تباين ألان المُعدَّل ، والتي تُغيِّر أيضًا عرض نطاق مرشح التنعيم.

تتضمن العديد من أجهزة قياس الزمن والتردد مراحل التجهيز، ووقت قاعدة الوقت، ووقت المعالجة، وقد تعيد تشغيل التجهيز. يبدأ وقت التجهيز من لحظة تشغيله حتى وقوع حدث البدء على قناة البدء. تضمن قاعدة الوقت مرور أقل وقت ممكن قبل قبول حدث على قناة الإيقاف كحدث إيقاف. يتم تسجيل عدد الأحداث والوقت المنقضي بين حدث البدء وحدث الإيقاف وعرضهما خلال وقت المعالجة. عند حدوث المعالجة (المعروفة أيضًا بوقت التوقف )، لا يستطيع الجهاز عادةً إجراء قياس آخر. بعد اكتمال المعالجة، يقوم الجهاز في الوضع المستمر بتشغيل دائرة التجهيز مرة أخرى. يصبح الوقت بين حدث الإيقاف وحدث البدء التالي وقتًا ميتًا ، لا تتم خلاله مراقبة الإشارة. يُدخل هذا الوقت الميت انحيازات قياس منهجية، والتي يجب تعويضها للحصول على نتائج دقيقة. بالنسبة لأنظمة القياس هذه، يُشير الوقت T إلى الوقت بين أحداث البدء المتجاورة (وبالتالي القياسات)، بينما${\displaystyle \tau }$يشير إلى طول القاعدة الزمنية، أي الطول الاسمي بين حدثي البداية والنهاية لأي قياس.

تؤثر فترات التوقف على القياسات بشكل كبير على النتائج، ما دفع العديد من الدراسات إلى تحديد خصائصها بدقة. وقد أدى ظهور عدادات زمن التوقف الصفري إلى الاستغناء عن هذا التحليل. يتميز هذا النوع من العدادات بأن حدث التوقف في إحدى القياسات يُستخدم أيضًا كحدث بدء للحدث التالي. تُنشئ هذه العدادات سلسلة من أزواج الأحداث والطوابع الزمنية، زوج لكل قناة، يفصل بينها قاعدة زمنية. وقد أثبتت هذه القياسات فائدتها في تحليل السلاسل الزمنية.

_{يمكن تصحيح القياسات التي تُجرى مع وجود} فترة توقف باستخدام دالة الانحياز B1 و B2 و B3 . وبالتالي، _{فإن فترة التوقف بحد ذاتها} لا تمنع الوصول إلى تباين ألان، ولكنها تجعل الأمر أكثر تعقيدًا. يجب معرفة فترة التوقف، بحيث يمكن تحديد الفترة الزمنية بين العينات T.

عند دراسة تأثير طول N لسلسلة العينة وتأثير المعلمة المتغيرة τ n على فترات الثقة ، قد تصبح فترات الثقة كبيرة جدًا نظرًا لأن درجة الحرية الفعالة قد تصبح صغيرة لبعض تركيبات N و n لشكل الضوضاء السائد (لـ τ هذا ).

قد يكون التأثير هو أن القيمة المقدرة قد تكون أصغر بكثير أو أكبر بكثير من القيمة الحقيقية، مما قد يؤدي إلى استنتاجات خاطئة للنتيجة.

يوصى بما يلي:

• يتم رسم فترة الثقة جنبًا إلى جنب مع البيانات، بحيث يعرف قارئ الرسم البياني عدم اليقين الإحصائي للقيم.
• يجب الحفاظ على طول تسلسل العينة (أي عدد العينات N ) بأكبر قدر ممكن لضمان أن تكون فترة الثقة صغيرة على مدى نطاق τ ذي الأهمية.
• يمكن استخدام مُقدِّرات توفر قيمًا أفضل لدرجات الحرية كبديل لمُقدِّرات تباين ألان، أو كمُكمِّلة لها عندما تتفوق عليها. ومن بين هذه المُقدِّرات، ينبغي النظر في مُقدِّرات التباين الكلي ومُقدِّرات تباين ثيو .
• إن نطاق τ الذي يتم مسحه بواسطة مضاعف τ ₀ n محدود في الطرف العلوي بالنسبة إلى N ، بحيث لا يختلط الأمر على قارئ الرسم البياني بسبب قيم المقدر غير المستقرة للغاية.

يعتمد عدد كبير من ثوابت التحويل وتصحيحات الانحياز وفترات الثقة على نوع الضوضاء السائد. وللحصول على تفسير صحيح، يجب تحديد نوع الضوضاء السائد لقيمة τ المحددة محل الاهتمام من خلال تحليل الضوضاء. سيؤدي عدم تحديد نوع الضوضاء السائد إلى قيم منحازة. قد تصل بعض هذه الانحيازات إلى عدة مراتب ، مما قد يكون ذا أهمية بالغة.

لا يتم إلغاء التأثيرات المنهجية على الإشارة إلا جزئيًا. يتم إلغاء انحراف الطور والتردد، ولكن لا يتم إلغاء الانحراف الخطي أو الأشكال الأخرى ذات الدرجة العالية لمنحنيات الطور متعددة الحدود، مما يشكل قيدًا على القياس. يمكن استخدام مطابقة المنحنى وإزالة الانحراف المنهجي. غالبًا ما تكون إزالة الانحراف الخطي كافية. يمكن أيضًا استخدام مقدرات الانحراف الخطي مثل تباين هادامارد . يمكن استخدام مقدر قائم على العزوم لإزالة الانحراف الخطي.

كانت الأجهزة التقليدية تقتصر على قياس الأحداث المفردة أو أزواج الأحداث. وقد أتاح إدخال الأداة الإحصائية المحسّنة للقياسات المتداخلة، التي طورها جيه جيه سنايدر ^{[ 10 ]} ، دقةً محسّنةً بشكل كبير في قراءات التردد، مما أدى إلى اختلال التوازن التقليدي بين الأرقام وقاعدة الزمن. ورغم فائدة هذه الأساليب للغرض المقصود منها، فإن استخدام هذه القياسات المُنعّمة لحسابات تباين ألان قد يُعطي انطباعًا خاطئًا بدقة عالية ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]} ، ولكن مع زيادة قيمة τ، يتلاشى هذا التأثير تدريجيًا، وتظهر قيم متحيزة في منطقة τ المنخفضة من القياس. هذا التحيز يُعطي قيمًا أقل مما ينبغي، لذا فهو تحيز مفرط في التفاؤل (بافتراض أن القيم المنخفضة هي المرغوبة)، مما يُقلل من جدوى القياس بدلًا من تحسينه. ويمكن عادةً تعطيل هذه الخوارزميات الذكية أو تجاوزها باستخدام وضع الطابع الزمني، وهو الوضع المُفضّل إن كان متاحًا.

تُعتبر جميع قياسات تباين ألان بمثابة مقارنة بين ساعتين مختلفتين. لنفترض وجود ساعة مرجعية وجهاز قيد الاختبار ، وكلاهما بتردد اسمي مشترك يبلغ 10 ميجاهرتز. يُستخدم عداد فترات زمنية لقياس الفترة الزمنية بين الحافة الصاعدة للساعة المرجعية (القناة A) والحافة الصاعدة للجهاز قيد الاختبار . 

لضمان قياسات متباعدة بانتظام، يُقسّم تردد الساعة المرجعية لتحديد معدل القياس، مما يُفعّل عداد الفترات الزمنية (مدخل ARM). يمكن أن يكون هذا المعدل 1  هرتز (باستخدام خرج 1 نبضة في الثانية من الساعة المرجعية)، ولكن يمكن استخدام معدلات أخرى مثل 10  هرتز و100  هرتز. وتُحدد سرعة إنجاز عداد الفترات الزمنية للقياس، وإخراج النتيجة، والاستعداد للنبضة التالية، تردد التشغيل.

ثم يصبح استخدام الحاسوب مفيداً لتسجيل سلسلة الفروق الزمنية التي يتم رصدها.

تتطلب السلاسل الزمنية المسجلة معالجة لاحقة لفك التفاف الطور، بحيث يتم توفير خطأ طور مستمر. عند الضرورة، يجب أيضًا تصحيح أخطاء التسجيل والقياس. ينبغي إجراء تقدير الانحراف وإزالته، مع ضرورة تحديد آلية الانحراف وفهمها للمصادر. قد تكون قيود الانحراف في القياسات شديدة، لذا من الضروري ترك المذبذبات تستقر لفترة كافية من خلال تشغيلها.

يمكن بعد ذلك حساب تباين ألان باستخدام المُقدِّرات المُعطاة، ولأغراض عملية، يُفضَّل استخدام مُقدِّر التداخل نظرًا لاستخدامه المُتفوق للبيانات مقارنةً بمُقدِّر عدم التداخل. كما يُمكن استخدام مُقدِّرات أخرى، مثل مُقدِّرات التباين الكلي أو مُقدِّرات ثيو، إذا طُبِّقت تصحيحات الانحياز بحيث تُوفِّر نتائج مُتوافقة مع تباين ألان.

لتكوين المخططات الكلاسيكية، يتم رسم انحراف ألان (الجذر التربيعي لتباين ألان) بتنسيق لوغاريتمي مقابل فترة الملاحظة τ . 

عادةً ما يكون عداد الفترات الزمنية عدادًا جاهزًا متوفرًا تجاريًا. تشمل العوامل المحددة دقة القياس الفردي، وتذبذب الإشارة، وسرعة القياسات، واستقرار ساعة المرجع. يمكن إجراء جمع البيانات ومعالجتها باستخدام برامج تجارية أو برامج متاحة للعموم. توجد حلول متطورة للغاية توفر القياس والحساب في جهاز واحد.