المثالي التفاضلي

في نظرية الأشكال التفاضلية ، يكون المثالي التفاضلي I مثاليًا جبريًا في حلقة الأشكال التفاضلية الملساء على مشعب أملس ، بعبارة أخرى مثالي متدرج بمعنى نظرية الحلقة ، وهو مغلق أيضًا تحت التفاضل الخارجي d ، مما يعني أنه لأي شكل α في I ، فإن المشتق الخارجي d α موجود أيضًا في I.

في نظرية الجبر التفاضلي ، يكون المثالي التفاضلي I في الحلقة التفاضلية R مثاليًا يتم تعيينه إلى نفسه بواسطة كل مؤثر تفاضلي.

يتكون نظام التفاضل الخارجي من مشعب أملس${\displaystyle M}$ومثال تفاضلي

${\displaystyle I\subset \Omega ^{*}(M)}$.

مشعب متكامل لنظام تفاضلي خارجي${\displaystyle (M,I)}$يتكون من متعدد فرعي${\displaystyle N\subset M}$امتلاك الخاصية التي تؤدي إلى التراجع إلى${\displaystyle N}$من جميع الأشكال التفاضلية الواردة في${\displaystyle I}$يختفي بنفس الطريقة.

يمكن التعبير عن أي نظام معادلات تفاضلية جزئية كنظام تفاضلي خارجي مع شرط الاستقلال. لنفترض أن لدينا نظام معادلات تفاضلية جزئية من الرتبة k للخرائط${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$، مقدمة من

${\displaystyle F^{r}\left(x,u,{\frac {\partial ^{|I|}u}{\partial x^{I}}}\right)=0,\quad 1\leq |I|\leq k}$.

الرسم البياني لـ${\displaystyle k}$-طائرة${\displaystyle (u^{a},p_{i}^{a},\dots ,p_{I}^{a})=(u^{a}(x),{\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{i}}},\dots ,{\frac {\partial ^{|I|}u}{\partial x^{I}}})_{1\leq |I|\leq k}}$أي حل لنظام المعادلات التفاضلية الجزئية هذا هو فضاء فرعي${\displaystyle N}$من حيز النفاثات ، وهو مشعب متكامل لنظام التلامس${\displaystyle du^{a}-p_{i}^{a}dx^{i},\dots ,dp_{I}^{a}-p_{Ij}^{p}dx^{j}{}_{1\leq |I|\leq k-1}}$على${\displaystyle k}$حزمة -jet.

تتيح هذه الفكرة تحليل خصائص المعادلات التفاضلية الجزئية باستخدام أساليب الهندسة التفاضلية. على سبيل المثال، يمكننا تطبيق نظرية كارتان-كاهلر على نظام من المعادلات التفاضلية الجزئية بكتابة النظام التفاضلي الخارجي المرتبط به. كما يمكننا في كثير من الأحيان تطبيق طريقة كارتان للتكافؤ على الأنظمة التفاضلية الخارجية لدراسة تناظراتها وثوابتها الناتجة عن التشاكل التفاضلي.

مثالي تفاضلي${\displaystyle I\,}$يكون مثالياً إذا كان يتمتع بالخاصية التي إذا كان يحتوي على عنصر${\displaystyle a\in I}$ثم يحتوي على أي عنصر${\displaystyle b\in I}$بحيث${\displaystyle b^{n}=a}$بالنسبة للبعض${\displaystyle n>0\,}$بمعنى آخر، فإن المُثُل التفاضلية الكاملة هي مُثُل تفاضلية جذرية .

• روبرت براينت ، وفيليب غريفيث ، ولوكاس هسو، نحو هندسة المعادلات التفاضلية (ملف DVI)، في الهندسة، والطوبولوجيا، والفيزياء، وقائع المؤتمر، سلسلة محاضرات في الهندسة والطوبولوجيا، تحرير س. ت. ياو ، المجلد الرابع (1995)، الصفحات  1-76، دار النشر الدولية، كامبريدج، ماساتشوستس
• روبرت براينت ، شينج شين تشيرن ، روبرت جاردنر ، فيليب غريفيث ، هيوبرت جولدشميت، الأنظمة التفاضلية الخارجية ، سبرينغر-فيرلاغ، هايدلبرغ، 1991.
• توماس أ. آيفي، جيه إم لاندسبيرغ، كارتان للمبتدئين . الهندسة التفاضلية عبر الأطر المتحركة والأنظمة التفاضلية الخارجية. الطبعة الثانية. دراسات عليا في الرياضيات، 175. الجمعية الرياضية الأمريكية، بروفيدنس، رود آيلاند، 2016.
• إتش دبليو راودنبوش الابن، "نظرية المثاليات والمعادلات التفاضلية الجبرية"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، المجلد 36، العدد 2 (أبريل 1934)، الصفحات  361-368. رابط ثابت:دوى : 10.1090/S0002-9947-1934-1501748-1
• جي إف ريت ، الجبر التفاضلي ، دوفر، نيويورك، 1950.