جذري لمثال

في نظرية الحلقات ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، الجذر المثالي${\displaystyle I}$يُعدّ العنصر في الحلقة التبديلية مثالًا آخر يُعرَّف بالخاصية التي يكون فيها العنصر${\displaystyle x}$يكون في الجذر إذا وفقط إذا كانت هناك قوة ما من${\displaystyle x}$هو في${\displaystyle I}$يُطلق على عملية أخذ جذر المُثُل اسم التجذير . المُثُل الجذري (أو المُثُل شبه الأولي أو المُثُل المُختزل ) هو مُثُل يُساوي جذره. جذر المُثُل الأولي هو مُثُل أولي .

يتم تعميم هذا المفهوم على الحلقات غير التبادلية في مقالة الحلقة شبه الأولية .

الجذر ( يُسمى أحيانًا أيضًا الجذر الصفري ^{[ 1 ]} ) للمثالي${\displaystyle I}$في حلقة تبديلية${\displaystyle R}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {rad} (I)}$أو${\displaystyle {\sqrt {I}}}$، ويُعرَّف على أنه

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\left\{r\in R\mid r^{n}\in I\ {\hbox{for some}}\ n\in \mathbb {Z} ^{+}\!\right\},}$

(لاحظ أن${\displaystyle I\subseteq {\sqrt {I}}}$). بشكل بديهي،${\displaystyle {\sqrt {I}}}$يتم الحصول عليها بأخذ جميع جذور عناصر${\displaystyle I}$داخل الحلقة${\displaystyle R}$أو بعبارة أخرى،${\displaystyle {\sqrt {I}}}$هي الصورة العكسية لمثال العناصر العديمة القوة ( الجذر العديمي للحلقة) لحلقة القسمة${\displaystyle R/I}$(عبر الخريطة الطبيعية)${\displaystyle \pi \colon R\to R/I}$وهذا الأخير يثبت أن${\displaystyle {\sqrt {I}}}$هو مثال مثالي. ^{[ ملاحظة 1 ]}

إذا كان الجذر${\displaystyle I}$إذا كان مولدًا بشكل نهائي ، فإن قوة ما من${\displaystyle {\sqrt {I}}}$يحتوي على${\displaystyle I}$^{[ 2 ]} على وجه الخصوص ، إذا${\displaystyle I}$و${\displaystyle J}$هي مُثُل حلقة نوثرية ، إذن${\displaystyle I}$و${\displaystyle J}$يكون لها نفس الجذر إذا وفقط إذا${\displaystyle I}$يحتوي على بعض قوة${\displaystyle J}$و${\displaystyle J}$يحتوي على بعض قوة${\displaystyle I}$.

إذا كان مثاليا${\displaystyle I}$يتطابق مع جذره الخاص، إذن${\displaystyle I}$يُطلق عليه اسم المثالي الجذري أو المثالي شبه الأولي .

• تأمل في الخاتم${\displaystyle \mathbb {Z} }$من الأعداد الصحيحة .
  1. جذري المثل الأعلى${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$مضاعفات صحيحة لـ${\displaystyle 4}$يكون${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$( الأعداد الزوجية ).
  2. الراديكالي${\displaystyle 5\mathbb {Z} }$يكون${\displaystyle 5\mathbb {Z} }$.
  3. الراديكالي${\displaystyle 12\mathbb {Z} }$يكون${\displaystyle 6\mathbb {Z} }$.
  4. بشكل عام، جذر${\displaystyle m\mathbb {Z} }$يكون${\displaystyle r\mathbb {Z} }$، أين${\displaystyle r}$هو ناتج جميع العوامل الأولية المختلفة لـ${\displaystyle m}$، أكبر عامل خالٍ من المربعات لـ${\displaystyle m}$(انظر جذر عدد صحيح ). في الواقع، يمكن تعميم هذا على أي مثالي (انظر قسم الخصائص ).
• ضع في اعتبارك الوضع المثالي${\displaystyle I=\left(y^{4}\right)\subseteq \mathbb {C} [x,y]}$من السهل إثبات ذلك${\displaystyle {\sqrt {I}}=(y)}$(باستخدام الخاصية الأساسية)${\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}$)، لكننا نقدم بعض الطرق البديلة: الجذر${\displaystyle {\sqrt {I}}}$يتوافق مع الجذر الصفري${\displaystyle {\sqrt {0}}}$من حلقة القسمة${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y]/\!\left(y^{4}\right)}$، وهو تقاطع جميع المُثُل الأولية في حلقة القسمة. هذا مُضمن في جذر جاكوبسون ، وهو تقاطع جميع المُثُل القصوى ، وهي نوى التشاكلات إلى الحقول . أي تشاكل حلقي${\displaystyle R\to \mathbb {C} }$لا غنى عنه${\displaystyle y}$في النواة من أجل الحصول على تشاكل محدد جيدًا (إذا قلنا، على سبيل المثال، أن النواة يجب أن تكون${\displaystyle (x,y-1)}$تكوين${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to R\to \mathbb {C} }$سيكون${\displaystyle \left(x,y^{4},y-1\right)}$وهذا يشبه محاولة الإجبار${\displaystyle 1=0}$). منذ${\displaystyle \mathbb {C} }$مغلق جبريًا ، كل تشاكل${\displaystyle R\to \mathbb {F} }$يجب أخذ ذلك في الاعتبار${\displaystyle \mathbb {C} }$لذلك علينا فقط حساب تقاطع${\displaystyle \{\ker(\Phi ):\Phi \in \operatorname {Hom} (R,\mathbb {C} )\}}$لحساب الجذر${\displaystyle (0).}$ثم نجد أن${\displaystyle {\sqrt {0}}=(y)\subseteq R.}$

سيواصل هذا القسم اتباع الاتفاقية التي${\displaystyle I}$هو مثالي في حلقة تبديلية${\displaystyle R}$:

• صحيح دائماً أن${\textstyle {\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}}$أي أن التطرف عملية لا تتغير . علاوة على ذلك،${\displaystyle {\sqrt {I}}}$هو أصغر مثال جذري يحتوي على${\displaystyle I}$.
• ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$هو نقطة التقاء جميع المُثُل الأساسية لـ${\displaystyle R}$التي تحتوي${\displaystyle I}$$${\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{\stackrel {{\mathfrak {p}}{\text{ prime}}}{R\supsetneq {\mathfrak {p}}\supseteq I}}{\mathfrak {p}},}$$وبالتالي فإن جذر المثالي الأولي يساوي نفسه. ^{[ ملاحظة 2 ] [ ملاحظة 3 ]}
• وبالتفصيل في النقطة الأخيرة، فإن الجذر الصفري (مجموعة جميع العناصر الصفرية القوة) يساوي تقاطع جميع المُثُل الأولية لـ${\displaystyle R}$^{[ ملاحظة 4 ]}$${\displaystyle {\sqrt {0}}={\mathfrak {N}}_{R}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\subsetneq R{\text{ prime}}}{\mathfrak {p}}.}$$يُلاحظ أن هذه الخاصية تعادل الخاصية السابقة من خلال الخريطة الطبيعية${\displaystyle \pi \colon R\to R/I}$، مما ينتج عنه تقابل${\displaystyle u}$:$${\displaystyle \left\lbrace {\text{ideals }}J\mid R\supseteq J\supseteq I\right\rbrace \quad {\overset {u}{\rightleftarrows }}\quad \left\lbrace {\text{ideals }}J\mid J\subseteq R/I\right\rbrace ,}$$محدد بواسطة${\displaystyle u\colon J\mapsto J/I=\lbrace r+I\mid r\in J\rbrace .}$^{[ 3 ] [ ملاحظة 5 ]}
• مثالي${\displaystyle I}$في حلقة${\displaystyle R}$تكون جذرية إذا وفقط إذا كانت حلقة القسمة${\displaystyle R/I}$يتم تقليله .
• جذر المثالي المتجانس يكون متجانساً.
• جذر تقاطع المُثُل يساوي تقاطع جذورها:${\displaystyle {\sqrt {I\cap J}}={\sqrt {I}}\cap {\sqrt {J}}}$.
• جذر مثالي أولي هو جذر أولي. إذا كان جذر مثالي${\displaystyle I}$إذا كانت القيمة القصوى، فإن${\displaystyle I}$هو أساسي. ^{[ 4 ]}
• لو${\displaystyle I}$إنه مثالي،${\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}$بما أن المُثُل الأولية هي مُثُل جذرية،${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {p}}}={\mathfrak {p}}}$لأي مثال أولي${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.
• يترك${\displaystyle I,J}$كن مُثُل الخاتم${\displaystyle R}$. لو${\displaystyle {\sqrt {I}},{\sqrt {J}}}$إذا كانت متماثلة في الحد الأقصى ،${\displaystyle I,J}$هي متطابقة في الحد الأقصى. ^{[ ملاحظة 6 ]}
• يترك${\displaystyle M}$ليكن وحدة مولدة نهائياً على حلقة نوثرية${\displaystyle R}$ثم ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {ann} _{R}(M)}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {supp} M}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {ass} M}{\mathfrak {p}}}$$أين${\displaystyle \operatorname {supp} M}$هو دعم​${\displaystyle M}$و${\displaystyle \operatorname {ass} M}$هي مجموعة الأعداد الأولية المرتبطة بـ${\displaystyle M}$.

أحد الدوافع الرئيسية لدراسة جذور المُثُل هو فهم المجموعات الجبرية والتنوعات في الهندسة الجبرية.

بالنسبة لمجموعة فرعية من كثيرات الحدود${\displaystyle S\subset \mathbb {k} [x_{1},\dots ,x_{n}]}$ومجموعة فرعية من النقاط${\displaystyle X\subset \mathbb {k} ^{n},}$أين${\displaystyle \mathbb {k} }$حقل مغلق جبريًا ، ليكن

${\displaystyle \operatorname {V} (S):=\left\{x\in \mathbb {k} ^{n}\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}f\in S\right\}}$

و

${\displaystyle \operatorname {I} (X):=\{f\in \mathbb {k} [x_{1},\dots ,x_{n}]\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}x\in X\}}$

ليكن الموضع الصفري (أو 'متنوع') من S والمثالية المتلاشية (أو ' المثالية') من X ، على التوالي.

لو${\displaystyle S\subset \mathbb {k} [x_{1},\dots ,x_{n}]}$هي أي مجموعة جزئية من كثيرات الحدود،${\displaystyle (S)}$هو المثال الذي تولده عناصر S ، و${\displaystyle {\sqrt {(S)}}}$إذا كان الجذر هو جذر ذلك المثال، فإن مجموعات كثيرات الحدود هذه لها نفس مواضع الأصفار:

${\displaystyle \operatorname {V} (S)=\operatorname {V} ((S))=\operatorname {V} ({\sqrt {(S)}}).}$

علاوة على ذلك، فإن المثل الأعلى المتلاشي لأي${\displaystyle X\subset \mathbb {k} ^{n}}$هو دائماً مثال جذري:

${\displaystyle \operatorname {I} (X)={\sqrt {\operatorname {I} (X)}}.}$

إن العمليتين V و I، بمعنى أكثر دقة سيتم توضيحه أدناه، هما معكوسان لبعضهما البعض:

لأي مجموعة فرعية من النقاط${\displaystyle X\subset \mathbb {k} ^{n}}$،

${\displaystyle \operatorname {V} (\operatorname {I} (X))={\overline {X}},}$

أين${\displaystyle {\overline {X}}}$هو إغلاق X في طوبولوجيا زاريسكي . على وجه الخصوص،${\displaystyle \operatorname {V} (\operatorname {I} (X))=X}$إذا كانت X مجموعة جبرية، لأن المجموعات الجبرية مغلقة في طوبولوجيا زاريسكي.

نظرية هيلبرت الصفرية هي نتيجة أساسية في الجبر التبادلي والهندسة الجبرية ، وتتناول تركيب V و I بترتيب عكسي. تنص إحدى صيغ هذه النظرية الشهيرة على أنه لأي مجموعة جزئية من كثيرات الحدود${\displaystyle S\subset \mathbb {k} [x_{1},\dots ,x_{n}],}$لدينا

${\displaystyle \operatorname {I} (\operatorname {V} (S))={\sqrt {(S)}}.}$

هندسيًا، هذا يعني أنه إذا تم قطع مجموعة جبرية أفينية W بواسطة المعادلات متعددة الحدود${\displaystyle f_{1}(x)=0,\dots ,f_{m}(x)=0,}$إذن، فإن كثيرات الحدود f التي تتلاشى على W هي تحديدًا تلك التي تقع إحدى قوى f فيها في المثالي المتولد بواسطة كثيرات الحدود.${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m};}$أي،${\displaystyle f^{r}\in (f_{1},\ldots ,f_{m})}$لعدد طبيعي ما r . وكنتيجة لذلك،${\displaystyle \operatorname {I} (\operatorname {V} (J))=J}$إذا كان J مثالاً جذرياً.

من الواضح أن كلاً من V و I يعكسان اتجاه الشوائب:${\displaystyle S_{1}\subset S_{2}\implies \operatorname {V} (S_{1})\supset \operatorname {V} (S_{2})}$و${\displaystyle X_{1}\subset X_{2}\implies \operatorname {I} (X_{1})\supset \operatorname {I} (X_{2}).}$ بالتالي،${\displaystyle X\subset \operatorname {V} (S)\iff S\subset \operatorname {I} (X),}$وبالتالي، يشكل كل من V و I علاقة غالوا متقابلة بين مجموعات جزئية من كثيرات الحدود في${\displaystyle \mathbb {k} [x_{1},\dots ,x_{n}]}$ومجموعات فرعية من النقاط في${\displaystyle \mathbb {k} ^{n}}$وهذا يؤدي إلى تطابق تقابلي عند حصره في المُثُل الجذرية والمجموعات الجبرية:

${\displaystyle \{\mathrm {radical\ ideals} \subset \mathbb {k} [x_{1},\dots ,x_{n}]\}\ {\underset {\operatorname {I} }{\stackrel {\operatorname {V} }{\rightleftarrows }}}\ \{\mathrm {algebraic\ sets} \subset \mathbb {k} ^{n}\}.}$

• جاكوبسون الراديكالي
• جذر الحلقة
• راديكالي حقيقي

• أتيياه، مايكل فرانسيس ؛ ماكدونالد، إيان جي. (1994). مقدمة في الجبر التبادلي . ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي . ISBN 0-201-40751-5.
• أيزنبد، ديفيد (1995). الجبر التبادلي مع نظرة نحو الهندسة الجبرية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  150. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-94268-8MR 1322960 .​ 
• لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  211 (الطبعة الثالثة المنقحة  )، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-95385-4، MR 1878556 ، Zbl 0984.00001