معادلة الانتشار

معادلة الانتشار هي معادلة تفاضلية جزئية مكافئة . في الفيزياء، تصف هذه المعادلة السلوك العياني للعديد من الجسيمات الدقيقة في الحركة البراونية ، والناتجة عن الحركات العشوائية والتصادمات بين الجسيمات (انظر قوانين فيك للانتشار ). في الرياضيات، ترتبط هذه المعادلة بعمليات ماركوف ، مثل المشي العشوائي ، وتُستخدم في العديد من المجالات الأخرى، مثل علم المواد ، ونظرية المعلومات ، والفيزياء الحيوية . تُعد معادلة الانتشار حالة خاصة من معادلة الحمل الحراري والانتشار عندما تكون سرعة التدفق الكلي صفرًا. وهي تُكافئ معادلة الحرارة في بعض الحالات.

عادة ما تُكتب المعادلة على النحو التالي: $${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\big [}D(\phi ,\mathbf {r} )\ \nabla \phi (\mathbf {r} ,t){\big ]},}$$ حيث ϕ ( r , t ) هي كثافة المادة المنتشرة عند الموضع r والزمن t، و D ( ϕ , r ) هو معامل الانتشار الجماعي للكثافة ϕ عند الموضع r ؛ و∇ يمثل المؤثر التفاضلي الشعاعي del . إذا كان معامل الانتشار يعتمد على الكثافة، فإن المعادلة غير خطية، وإلا فهي خطية.

تنطبق المعادلة أعلاه عندما يكون معامل الانتشار متساوي الخواص ؛ في حالة الانتشار غير متساوي الخواص، تكون D مصفوفة متناظرة موجبة محددة ، وتُكتب المعادلة (للانتشار ثلاثي الأبعاد) على النحو التالي: $${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{ij}(\phi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial x_{j}}}\right]}$$ للمعادلة الانتشارية حلول تحليلية عديدة. ^{[ 1 ]}

إذا كان D ثابتًا، فإن المعادلة تختزل إلى معادلة تفاضلية جزئية خطية مكافئة كما يلي :

${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} ,t),}$

وهو ما يطابق معادلة الحرارة .

تم اشتقاق معادلة انتشار الجسيمات في الأصل بواسطة أدولف فيك في عام 1855. ^{[ 2 ]}

يمكن اشتقاق معادلة الانتشار بسهولة من معادلة الاستمرارية ، التي تنص على أن أي تغير في الكثافة في أي جزء من النظام يعود إلى تدفق المادة إلى داخل ذلك الجزء من النظام وخروجها منه. وبالتالي، لا تُستحدث أي مادة ولا تُفنى. $${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$$ حيث يمثل j تدفق المادة المنتشرة. ويمكن الحصول على معادلة الانتشار بسهولة من ذلك عند دمجها مع قانون فيك الأول الظاهري ، الذي ينص على أن تدفق المادة المنتشرة في أي جزء من النظام يتناسب مع تدرج الكثافة المحلي. $${\displaystyle \mathbf {j} =-D(\phi ,\mathbf {r} )\,\nabla \phi (\mathbf {r} ,t).}$$

إذا كان لا بد من أخذ الانجراف في الاعتبار، فإن معادلة فوكر-بلانك توفر تعميمًا مناسبًا.

معادلة الانتشار متصلة في كل من المكان والزمان. يمكن تقسيم المكان، أو الزمان، أو كليهما، حسب التطبيق. تقسيم الزمان وحده يُعادل أخذ شرائح زمنية من النظام المتصل، ولا تظهر أي ظواهر جديدة. عند تقسيم المكان وحده، تصبح دالة غرين دالة غاوسية منفصلة ، ​​بدلاً من دالة غاوسية متصلة . عند تقسيم الزمان والمكان معًا، نحصل على مسار عشوائي .

تُستخدم قاعدة الضرب لإعادة كتابة معادلة انتشار الموتر غير المتناحي، في مخططات التقطيع القياسية، لأن التقطيع المباشر لمعادلة الانتشار باستخدام الفروق المركزية المكانية من الدرجة الأولى فقط يؤدي إلى ظهور تشوهات على شكل رقعة الشطرنج. معادلة الانتشار المعاد كتابتها المستخدمة في ترشيح الصور: $${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D(\phi ,\mathbf {r} )\right]\nabla \phi (\mathbf {r} ,t)+{\rm {tr}}{\Big [}D(\phi ,\mathbf {r} ){\big (}\nabla \nabla ^{\text{T}}\phi (\mathbf {r} ,t){\big )}{\Big ]}}$$ حيث يرمز "tr" إلى أثر الموتر من الرتبة الثانية ، ويرمز الرمز "T" إلى منقوله ، وفي ترشيح الصور، تكون D ( ϕ , r ) مصفوفات متناظرة مُنشأة من المتجهات الذاتية لموترات بنية الصورة . ويمكن تقريب المشتقات المكانية باستخدام فرقين مركزيين محدودين من الرتبة الأولى وفرق مركزي محدود من الرتبة الثانية . ويمكن كتابة خوارزمية الانتشار الناتجة على شكل التفاف صورة بنواة متغيرة (قالب) بحجم 3 × 3 في بعدين و3 × 3 × 3 في ثلاثة أبعاد.

• معادلة الاستمرارية
• معادلة الحرارة
• حلول ذاتية التشابه
• معادلة التفاعل والانتشار
• معادلة فوكر-بلانك
• قوانين فيك للانتشار
• معادلة ماكسويل-ستيفان
• معادلة انتقال الإشعاع ونظرية الانتشار لنقل الفوتون في الأنسجة البيولوجية
• انتشار مبسط
• الحل العددي لمعادلة الحمل الحراري والانتشار

• ميهرر، هـ؛ ستولويك، أ (2009). "أبطال وأحداث بارزة في تاريخ الانتشار" . أساسيات الانتشار . 11 : 1-32 . doi : 10.62721/diffusion-fundamentals.11.453 .
• كارزلو، إتش إس وجايجر، جيه سي (1959). توصيل الحرارة في المواد الصلبة. أكسفورد: مطبعة كلارندون.
• جاكوبس، إم إتش (1935). عمليات الانتشار. برلين/هايدلبرغ: سبرينغر
• كرانك، ج. (1956). رياضيات الانتشار. أكسفورد: مطبعة كلارندون.
• ماثيوز، جون؛ ووكر، روبرت ل. (1970). الأساليب الرياضية في الفيزياء (الطبعة الثانية)، نيويورك: دبليو إيه بنجامين، ISBN 0-8053-7002-1
• ثامبيناياغام، آر كيه إم (2011). دليل الانتشار: حلول تطبيقية للمهندسين . ماكجرو هيل
• جيز، ر. (1988). مدخل إلى مسائل الانتشار، وايلي
• جيز، ر. (2001). ظواهر الانتشار . لونغ آيلاند، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: دار نشر دوفر.
• بيكالسكي، أ. (1994). عمليات الانتشار: التجربة، النظرية، المحاكاة، سبرينغر
• بينيت، تي دي (2013). النقل عن طريق الحمل والانتشار. جون وايلي وأولاده
• فوغل، ج. (2019). نشرة المغامرة سبرينغر
• جيليسبي، دي تي؛ سيتاريدو، إي (2013). الانتشار البراوني البسيط، مطبعة جامعة أكسفورد
• ناكيسينوفيتش، ن.؛ غريبلر، أ.: (1991). انتشار التقنيات والسلوك الاجتماعي ؛ سبرينغر
• ميشو، ج.؛ أليسيان، ج.؛ ريشر، ج.: (2013). الانتشار الذري في النجوم ، سبرينغر
• ستروك، د. و.، وفارادان، س. ر. س. (2006). عمليات الانتشار متعددة الأبعاد، سبرينغر
• Zhuoqun، W.، Yin J.، Li H.، Zhao J.، Jingxue Y.، and Huilai L. (2001). معادلات الانتشار اللاخطية، العلمية العالمية
• شيومون، ب. (1989). الانتشار في المواد الصلبة ، وايلي
• بانكس، آر بي (2010). ظواهر النمو والانتشار، سبرينغر
• روكي-مالهيرب، آر إم إيه (2007). الامتزاز والانتشار في المواد النانوية المسامية، مطبعة سي آر سي
• كونينغهام، ر. (1980). الانتشار في الغازات والوسط المسامي، بلينوم
• باسكويل، ف.، سميث، ف.ب. (1983). الانتشار الجوي، هوروود
• إيكيدا، ن.، واتانابي، س. (1981). المعادلات التفاضلية العشوائية وعمليات الانتشار، إلسيفير، أكاديميك برس
• فيليبرت، جيه، لاسكار، آل، بوكيه، جي إل، بريبيك، جي، مونتي، سي. (1990). الانتشار في المواد، سبرينغر هولندا
• فريدمان، د.، (1983). الحركة البراونية والانتشار ، سبرينغر-فيرلاغ نيويورك
• ناغاساوا، م.، (1993). معادلات شرودنغر ونظرية الانتشار، بيركهاوزر
• بورغرز، ج. م. ، (1974). معادلة الانتشار غير الخطية: الحلول التقاربية والمسائل الإحصائية، سبرينغر هولندا
• إيتو، س.، (1992). معادلات الانتشار ، الجمعية الرياضية الأمريكية
• كريلوف، ن. ف. (1994). مقدمة في نظرية عمليات الانتشار، الجمعية الرياضية الأمريكية
• نايت، إف بي، (1981). أساسيات الحركة البراونية والانتشار، الجمعية الرياضية الأمريكية
• إيبي، أو سي، (2013 ). عناصر المشي العشوائي وعمليات الانتشار، وايلي
• داتاغوبتا، س. (2013). الانتشار: الشكلية والتطبيقات ، مطبعة سي آر سي

• حاسبة انتشار الشوائب والمواد المضافة في السيليكون (مؤرشفة بتاريخ 2 مايو 2009 على موقع Wayback Machine)
• شرح نظري لحل معادلة الانتشار.
• الانتشار الكلاسيكي والانتشار على المستوى النانوي (مع الرسوم التوضيحية والرسوم المتحركة)