ديل

دل ، أو نابلا ، هو مؤثر يُستخدم في الرياضيات (وخاصةً في حساب المتجهات ) كمؤثر تفاضلي متجهي ، ويُرمز له عادةً بالرمز ∇ ( رمز نابلا ). عند تطبيقه على دالة مُعرَّفة على مجال أحادي البُعد ، فإنه يُشير إلى المشتقة القياسية للدالة كما هو مُعرَّف في حساب التفاضل والتكامل . عند تطبيقه على حقل (دالة مُعرَّفة على مجال متعدد الأبعاد)، فإنه قد يُشير إلى أيٍّ من ثلاث عمليات حسب طريقة تطبيقه: التدرج أو (محليًا) أقصى ميل لحقل قياسي (أو أحيانًا لحقل متجه ، كما في معادلات نافيير-ستوكس )؛ تباعد حقل متجه؛ أو دوران حقل متجه.

يُعدّ رمز دل (del) تدوينًا رياضيًا ملائمًا للغاية للعمليات الثلاث (التدرج، والتباعد، والالتفاف)، مما يُسهّل كتابة العديد من المعادلات وحفظها. يُمكن تعريف رمز دل (أو نابلا) رسميًا كمؤثر متجهي، مُركّباته هي مؤثرات التفاضل الجزئي المُناظرة . وبصفته مؤثرًا متجهيًا، يُمكنه التأثير على الحقول العددية والمتجهة بثلاث طرق مختلفة، مُنتجًا ثلاث عمليات تفاضلية مختلفة: أولًا، يُمكنه التأثير على الحقول العددية من خلال الضرب القياسي الرسمي - لإنتاج حقل متجهي يُسمى التدرج؛ ثانيًا، يُمكنه التأثير على الحقول المتجهة من خلال الضرب القياسي الرسمي - لإنتاج حقل عددي يُسمى التباعد؛ وأخيرًا، يُمكنه التأثير على الحقول المتجهة من خلال الضرب الاتجاهي الرسمي - لإنتاج حقل متجهي يُسمى الالتفاف. لا تتبادل هذه الضربات القياسية بالضرورة مع المؤثرات أو الضربات الأخرى. يُمكن تلخيص هذه الاستخدامات الثلاثة كما يلي:

• التدرج اللوني:${\displaystyle \operatorname {grad} f=\nabla f}$
• التباعد:${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {v} =\nabla \cdot \mathbf {v} }$
• حليقة:${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {v} }$

في نظام الإحداثيات الديكارتية${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مع الإحداثيات${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$والأساس القياسي${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$دل هو عامل متجهي${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$المكونات هي عوامل التفاضل الجزئي${\displaystyle {\partial \over \partial x_{1}},\dots ,{\partial \over \partial x_{n}}}$؛ إنه،

${\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}=\left({\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}\right)}$

حيث يمثل التعبير بين قوسين متجه صف. في نظام الإحداثيات الديكارتية ثلاثي الأبعاد${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$مع الإحداثيات${\displaystyle (x,y,z)}$والمتجهات الأساسية أو متجهات الوحدة للمحاور${\displaystyle \{\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}\}}$، تُكتب كلمة del على النحو التالي:

${\displaystyle \nabla =\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)}$

باعتباره عاملًا متجهيًا، يعمل عامل del بشكل طبيعي على الحقول العددية من خلال الضرب القياسي ، ويعمل بشكل طبيعي على الحقول المتجهة من خلال الضرب النقطي والضرب الاتجاهي.

وبشكل أكثر تحديدًا، في ثلاثة أبعاد، لأي حقل قياسي${\displaystyle f}$وأي حقل متجهي${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})}$، إذا عرّف المرء

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)f:={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}f)={\partial f \over \partial x_{i}}\mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)\cdot \mathbf {F}$ :={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {F} )={\partial F_{i} \over \partial x_{i}}}

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)\times \mathbf {F}$ :={\partial \over \partial x}(\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})}

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)\times \mathbf {F}$ :={\partial \over \partial y}(\mathbf {e} _{y}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})}

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)\times \mathbf {F}$ :={\partial \over \partial z}(\mathbf {e} _{z}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0),}

ثم باستخدام التعريف أعلاه لـ${\displaystyle \nabla }$يمكن للمرء أن يكتب

${\displaystyle \nabla f=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)f+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)f+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)f={\partial f \over \partial x}\mathbf {e} _{x}+{\partial f \over \partial y}\mathbf {e} _{y}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {e} _{z}}$

و

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\cdot \mathbf {F} \right)={\partial F_{x} \over \partial x}+{\partial F_{y} \over \partial y}+{\partial F_{z} \over \partial z}}$

و

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\times \mathbf {F} \right)\\&={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})+{\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})+{\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0)\\&=\left({\text{ }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\text{ }}{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\text{ }}{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$

مثال:

${\displaystyle f(x,y,z)=x+y+z}$

${\displaystyle \nabla f=\mathbf {e} _{x}{\partial f \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial f \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial f \over \partial z}=\left(1,1,1\right)}$

يمكن أيضًا التعبير عن دل في أنظمة إحداثيات أخرى، انظر على سبيل المثال دل في الإحداثيات الأسطوانية والكروية .

يُستخدم اختصار Del لتبسيط العديد من التعبيرات الرياضية الطويلة. ويُستخدم بشكل شائع لتبسيط تعبيرات التدرج ، والتباعد ، والالتفاف ، والمشتقة الاتجاهية ، ومؤثر لابلاس .

لحساب المتجهات :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (fg)&=f\nabla g+g\nabla f\\\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} \\\nabla \cdot (f\mathbf {v} )&=f(\nabla \cdot \mathbf {v} )+\mathbf {v} \cdot (\nabla f)\\\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {v} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )-\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (f\mathbf {v} )&=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} \end{aligned}}}$

لحساب المصفوفات (الذي${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }$يمكن كتابتها${\displaystyle \mathbf {u} ^{\text{T}}\mathbf {v} }$):

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \nabla \right)^{\text{T}}\mathbf {u} &=\nabla ^{\text{T}}\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\mathbf {u} \right)-\left(\nabla ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)\mathbf {u} \end{aligned}}}$

ثمة علاقة أخرى جديرة بالاهتمام (انظر على سبيل المثال معادلات أويلر ) وهي التالية، حيث${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$هو موتر الضرب الخارجي :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} +(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} \end{aligned}}}$

عند تطبيق عملية الحذف (del) على كمية قياسية أو متجهة، تُرجع إما كمية قياسية أو متجهة. ونظرًا لتنوع الضرب الاتجاهي (قياسي، قياسي، متقاطع)، فإن تطبيقًا واحدًا للحذف يُنتج ثلاث مشتقات رئيسية: التدرج (الضرب القياسي)، والتباعد (الضرب القياسي)، والالتفاف (الضرب المتقاطع). بتطبيق هذه الأنواع الثلاثة من المشتقات على بعضها البعض، نحصل على خمس مشتقات ثانية محتملة، لحقل قياسي f أو حقل متجه v ؛ وباستخدام لابلاس القياسي ولابلاس المتجه، نحصل على مشتقتين إضافيتين.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f\\\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)\\\operatorname {grad} (\operatorname {div} \mathbf {v} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\operatorname {curl} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \times (\nabla \times \mathbf {v} )\\\Delta f&=\nabla ^{2}f\\\Delta \mathbf {v} &=\nabla ^{2}\mathbf {v} \end{aligned}}}$

تكتسب هذه الأمور أهمية خاصة لأنها ليست دائمًا فريدة أو مستقلة عن بعضها البعض. طالما أن الوظائف تعمل بشكل جيد (${\displaystyle C^{\infty }}$في معظم الحالات)، يكون اثنان منهما دائمًا صفرًا:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)=0\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0\end{aligned}}}$

اثنان منهم متساويان دائماً:

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f}$

ترتبط المشتقات المتجهة الثلاثة المتبقية بالمعادلة التالية:

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {v} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\nabla ^{2}\mathbf {v} }$

ويمكن التعبير عن إحداها باستخدام حاصل الضرب الموتري، إذا كانت الدوال حسنة السلوك:

${\displaystyle \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )=\nabla \cdot (\mathbf {v} \otimes \nabla )}$

تعتمد معظم خصائص المتجهات المذكورة أعلاه (باستثناء تلك التي تعتمد صراحةً على خصائص التفاضل لـ del - على سبيل المثال، قاعدة الضرب) على إعادة ترتيب الرموز فقط، ويجب أن تتحقق بالضرورة إذا تم استبدال رمز del بأي متجه آخر. وهذا جزء من الفائدة المرجوة من تمثيل هذا المؤثر كمتجه.

على الرغم من أنه يمكن في كثير من الأحيان استبدال del بمتجه والحصول على هوية متجهة، مما يجعل تلك الهويات سهلة التذكر، إلا أن العكس ليس موثوقًا به بالضرورة، لأن del لا يتبادل بشكل عام.

مثال مضاد يوضح الاختلاف (${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} }$) وعامل الحمل (${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \nabla }$) ليست تبادلية:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )f&\equiv (\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )f\\(\nabla \cdot \mathbf {v} )f&=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f\\(\mathbf {v} \cdot \nabla )f&=\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}\\\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {v} )f&\neq (\mathbf {v} \cdot \nabla )f\\\end{aligned}}}$

مثال مضاد يعتمد على الخصائص التفاضلية لـ del:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla x)\times (\nabla y)&=\left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial x}{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial x}{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial x}{\partial z}}\right)\times \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial y}{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial y}{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\\&=(\mathbf {e} _{x}\cdot 1+\mathbf {e} _{y}\cdot 0+\mathbf {e} _{z}\cdot 0)\times (\mathbf {e} _{x}\cdot 0+\mathbf {e} _{y}\cdot 1+\mathbf {e} _{z}\cdot 0)\\&=\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {e} _{y}\\&=\mathbf {e} _{z}\\(\mathbf {u} x)\times (\mathbf {u} y)&=xy(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )\\&=xy\mathbf {0} \\&=\mathbf {0} \end{aligned}}}$

يكمن جوهر هذه الفروقات في أن دل ليس مجرد متجه؛ بل هو مؤثر متجهي . فبينما المتجه هو كائن له مقدار واتجاه، فإن دل ليس له مقدار ولا اتجاه إلا عند تطبيقه على دالة.

ولهذا السبب، يجب اشتقاق المتطابقات التي تتضمن del بعناية، باستخدام كل من متطابقات المتجهات ومتطابقات التفاضل مثل قاعدة الضرب.

• Del في الإحداثيات الأسطوانية والكروية
• مُشغِّل ديراك
• معادلات ماكسويل
• رمز نابلا
• معادلات نافيير-ستوكس
• رموز التفاضل
• مشغل قبلة
• جدول الرموز الرياضية
• متطابقات حساب المتجهات

• ويلارد جيبس ​​وإدوين بيدويل ويلسون (1901) تحليل المتجهات ، مطبعة جامعة ييل ، 1960: منشورات دوفر .
• شاي، إتش إم (1997). التباعد، والتدرج، والالتفاف، وكل ما يتعلق بذلك: نص غير رسمي في حساب المتجهات . نيويورك: نورتون. ISBN 0-393-96997-5.
• ميلر، جيف. "أقدم استخدامات رموز حساب التفاضل والتكامل" .
• أرنولد نوماير (26 يناير 1998). كليف مولر (محرر). "تاريخ نابلا" . ملخص NA، المجلد 98، العدد 03. netlib.org.

• تاي، تشين-تو (1994). دراسة استقصائية حول الاستخدام غير الصحيح لـ ∇ في تحليل المتجهات (تقرير). مختبر الإشعاع، جامعة ميشيغان. hdl : 2027.42/7869 .