تمثيل السلسلة المنفصلة

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 3 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرَّف تمثيل السلسلة المنفصلة بأنه تمثيل وحدوي غير قابل للاختزال لمجموعة طوبولوجية محلية التراص G ، وهو تمثيل جزئي من التمثيل المنتظم الأيسر لـ G على L²( G ). في مقياس بلانشيريل ، تتمتع هذه التمثيلات بمقياس موجب. ويأتي الاسم من كونها التمثيلات التي تظهر بشكل منفصل في تحليل التمثيل المنتظم.

ملكيات

إذا كانت G أحادية المعامل ، فإن التمثيل الوحدوي غير القابل للاختزال ρ لـ G يكون في سلسلة منفصلة إذا وفقط إذا كان معامل مصفوفة واحد (وبالتالي جميعها)

⟨ρ(ز)⋅v،w⟩{\displaystyle \langle \rho (g)\cdot v,w\rangle \,}

مع v و w متجهات غير صفرية قابلة للتكامل التربيعي على G ، بالنسبة لمقياس هار .

عندما تكون G أحادية المعامل، يكون لتمثيل السلسلة المنفصلة بُعد رسمي d ، مع الخاصية التالية:

د∫⟨ρ(ز)⋅v،w⟩⟨ρ(ز)⋅x،y⟩¯دز=⟨v،x⟩⟨w،y⟩¯{\displaystyle d\int \langle \rho (g)\cdot v,w\rangle {\overline {\langle \rho (g)\cdot x,y\rangle }}dg=\langle v,x\rangle {\overline {\langle w,y\rangle }}}

بالنسبة لـ v و w و x و y في التمثيل. عندما تكون G متراصة، يتطابق هذا مع البعد عندما يتم تطبيع مقياس هار على G بحيث يكون مقياس G هو 1.

المجموعات شبه البسيطة

صنّف هاريش-تشاندرا ( 1965 ، 1966 ) تمثيلات السلاسل المنفصلة للمجموعات شبه البسيطة المتصلة G. وبالتحديد، تمتلك هذه المجموعة تمثيلات سلاسل منفصلة إذا وفقط إذا كان لها نفس رتبة مجموعة جزئية مضغوطة قصوى K. بعبارة أخرى، يجب أن يكون الطارة القصوى T في K مجموعة جزئية كارتان في G. (تتطلب هذه النتيجة أن يكون مركز G محدودًا، مما يستبعد مجموعات مثل الغطاء المتصل ببساطة لـ SL(2, R ) ). وينطبق هذا بشكل خاص على المجموعات الخطية الخاصة ؛ ومن بينها، تمتلك SL(2, R ) فقط سلسلة منفصلة (للاطلاع على ذلك، انظر نظرية تمثيل SL(2, R ) ). 

يُقدّم تصنيف هاريش-تشاندرا لتمثيلات السلاسل المنفصلة لمجموعة لي شبه بسيطة متصلة على النحو التالي: إذا كانت L هي شبكة الأوزان للطور الأقصى T ، وشبكة فرعية منها حيث t هي جبر لي لـ T ، فإنه يوجد تمثيل سلسلة منفصلة لكل متجه v من

L + ρ,

حيث ρ هو متجه فايل للمجموعة G ، وهو غير متعامد مع أي جذر من جذور G. يظهر كل تمثيل متسلسلة منفصل بهذه الطريقة. يتوافق متجهان من هذا النوع v مع نفس تمثيل المتسلسلة المنفصلة إذا وفقط إذا كانا مترافقين تحت زمرة فايل W<sub> K</sub> للمجموعة الجزئية المدمجة القصوى K. إذا حددنا حجرة أساسية لزمرة فايل للمجموعة K ، فإن تمثيلات المتسلسلة المنفصلة تكون متناظرة بنسبة 1:1 مع متجهات L + ρ في حجرة فايل هذه غير المتعامدة مع أي جذر من جذور G. يُعطى الطابع المتناهي الصغر لتمثيل الوزن الأعلى بواسطة v (mod زمرة فايل W<sub> G </sub> للمجموعة G ) وفقًا لتناظر هاريش-تشاندرا الذي يُعرّف الطوابع المتناهية الصغر للمجموعة G بنقاط

t ⊗ C / W G .

لذا، لكل تمثيل لسلسلة منفصلة، ​​يوجد بالضبط

| W G |/| W K |

تمثيلات متسلسلة منفصلة بنفس الطابع المتناهي الصغر.

ثمّ أثبت هاريش-تشاندرا نظيراً لهذه التمثيلات لصيغة فايل الخاصة بالخاصية . في حالة كون G غير متراصة، تكون التمثيلات ذات بُعد لانهائي، وبالتالي يصبح تعريف مفهوم الخاصية أكثر تعقيداً لأنه توزيع شوارتز (مُمثَّل بدالة قابلة للتكامل محلياً )، مع وجود نقاط شاذة.

تُعطى الخاصية على الطارة القصوى T بواسطة

(-1)خافت⁡(جي)-خافت⁡(ك)2∑w∈دبليوكالمحقق(w)هـw(v)∏(v،α)>0(هـα2-هـ-α2){\displaystyle (-1)^{\frac {\dim(G)-\dim(K)}{2}}{\sum _{w\in W_{K}}\det(w)e^{w(v)} \over \prod _{(v,\alpha )>0}\left(e^{\frac {\alpha }{2}}-e^{-{\frac {\alpha }{2}}}\right)}}

عندما تكون G مضغوطة، فإن هذا يختزل إلى صيغة Weyl character، مع v  = λ + ρ لـ λ أعلى وزن للتمثيل غير القابل للاختزال (حيث يكون الناتج على الجذور α التي لها ناتج داخلي موجب مع المتجه v ).   

تنص نظرية الانتظام لهاريش تشاندرا على أن خاصية تمثيل السلسلة المنفصلة هي دالة قابلة للتكامل محليًا على المجموعة.

حدود تمثيلات السلاسل المنفصلة

لا تُقابل النقاط v في المجموعة المشاركة L + ρ المتعامدة مع جذور G تمثيلات متسلسلة منفصلة، ​​لكن تلك غير المتعامدة مع جذور K ترتبط بتمثيلات غير قابلة للاختزال تُسمى حدود تمثيلات المتسلسلات المنفصلة . يوجد مثل هذا التمثيل لكل زوج ( v , C ) حيث v متجه من L + ρ متعامد مع أحد جذور G ولكنه غير متعامد مع أي جذر من جذور K يُقابل جدارًا من C ، و C حجرة فايل من G تحتوي على v . (في حالة تمثيلات المتسلسلات المنفصلة، ​​توجد حجرة فايل واحدة فقط تحتوي على v، لذا ليس من الضروري تضمينها صراحةً). يُعطي زوجان ( v , C ) نفس حد تمثيل المتسلسلات المنفصلة إذا وفقط إذا كانا مترافقين تحت زمرة فايل لـ K. وكما هو الحال في تمثيلات المتسلسلات المنفصلة، ​​تُعطي v الخاصية المتناهية الصغر. يوجد على الأكثر | WG |/| WK | حدًا لتمثيلات المتسلسلات المنفصلة مع أي خاصية متناهية الصغر مُعطاة.

حدود تمثيلات السلاسل المنفصلة هي تمثيلات معتدلة ، مما يعني تقريبًا أنها تفشل في أن تكون تمثيلات سلاسل منفصلة.

إنشاءات المتسلسلات المنفصلة

لم يكن بناء هاريش-تشاندرا الأصلي للمتسلسلة المنفصلة واضحاً تماماً. وقد توصل العديد من المؤلفين لاحقاً إلى تطبيقات أكثر وضوحاً لهذه المتسلسلة.

انظر أيضاً

مراجع