دالة قابلة للتكامل التربيعي

قد يكون القسم الرئيسي من هذه المقالة طويلًا جدًا . يُرجى قراءة إرشادات الطول والمساعدة في نقل التفاصيل إلى نص المقالة. ( يناير 2024 )

في الرياضيات ، الدالة القابلة للتكامل التربيعي ، والتي تسمى أيضًا دالة قابلة للتكامل التربيعي أو دالة أو دالة قابلة للجمع التربيعي ، ^[1] هي دالة قابلة للقياس ذات قيمة حقيقية أو مركبة يكون تكامل مربع القيمة المطلقة لها منتهيًا. وبالتالي، يتم تعريف قابلية التكامل التربيعي على خط الأعداد الحقيقية على النحو التالي. ${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

يمكننا أيضًا التحدث عن التكامل التربيعي على فترات محدودة مثل . [ ^2]${\displaystyle [أ،ب]}$${\displaystyle a\leq b}$

التعريف المكافئ هو القول بأن مربع الدالة نفسها (بدلاً من قيمتها المطلقة) قابل للتكامل وفقًا لطريقة ليبيج . ولكي يكون هذا صحيحًا، يجب أن تكون تكاملات الأجزاء الموجبة والسالبة من الجزء الحقيقي محدودة، وكذلك تكاملات الجزء التخيلي.

تشكل مساحة متجه (فئات التكافؤ) للدوال المربعة القابلة للتكامل (بالنسبة لمقياس ليبيج ) المساحة مع من بين المساحات، تتميز فئة الدوال المربعة القابلة للتكامل بأنها فريدة من نوعها في توافقها مع حاصل ضرب داخلي ، مما يسمح بتعريف مفاهيم مثل الزاوية والتقويم. جنبًا إلى جنب مع هذا الحاصل الداخلي، تشكل الدوال المربعة القابلة للتكامل مساحة هيلبرت ، حيث أن جميع المساحات مكتملة بموجب معاييرها الخاصة . ${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p=2.}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$

في كثير من الأحيان يتم استخدام المصطلح ليس للإشارة إلى دالة محددة، ولكن للإشارة إلى فئات التكافؤ من الوظائف المتساوية في كل مكان تقريبًا .

تشكل الدوال المتكاملة المربعة (بالمعنى المذكور حيث تعني "الدالة" في الواقع فئة تكافؤ من الدوال المتساوية في كل مكان تقريبًا) فضاء حاصل ضرب داخلي مع حاصل ضرب داخلي معطى بواسطة حيث $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x,}$$

• ${\displaystyle f}$وهي دوال مربعة قابلة للتكامل،${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle {\overline {f(x)}}}$هو المركب المركب لـ${\displaystyle f(x),}$
• ${\displaystyle A}$هي المجموعة التي يتم التكامل عليها - في التعريف الأول (الموضح في المقدمة أعلاه)، هي ، وفي التعريف الثاني، هي .${\displaystyle A}$${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle [a,b]}$

نظرًا لأن التكامل التربيعي هو نفس القول ${\displaystyle |a|^{2}=a\cdot {\overline {a}}}$$${\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty .\,}$$

يمكن إظهار أن الدوال المربعة القابلة للتكامل تشكل فضاء متري كامل تحت المقياس المحفز بواسطة الحاصل الداخلي المحدد أعلاه. يُطلق على الفضاء المتري الكامل أيضًا فضاء كوشي ، لأن المتتاليات في مثل هذه الفضاءات المترية تتقارب إذا وفقط إذا كانت كوشي . الفضاء المكتمل تحت المقياس المحفز بواسطة معيار هو فضاء باناخ . لذلك، فإن فضاء الدوال المربعة القابلة للتكامل هي فضاء باناخ، تحت المقياس المحفز بواسطة المعيار، والذي بدوره يحفز بواسطة الحاصل الداخلي. ونظرًا لأن لدينا الخاصية الإضافية للحاصل الداخلي، فهذه على وجه التحديد فضاء هيلبرت ، لأن الفضاء مكتمل تحت المقياس المحفز بواسطة الحاصل الداخلي.

يُشار إلى مساحة الضرب الداخلية هذه تقليديًا بـ ويُختصر في كثير من الأحيان بـ لاحظ أن هذا يشير إلى مجموعة الدوال المتكاملة المربعة، ولكن لا يتم تحديد أي اختيار من المقياس أو القاعدة أو الضرب الداخلي بواسطة هذا الترميز. تحدد المجموعة، جنبًا إلى جنب مع الضرب الداخلي المحدد، مساحة الضرب الداخلية. ${\displaystyle \left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)}$${\displaystyle L_{2}.}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}}$

مساحة الدوال المتكاملة المربعة هي المساحة التي${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p=2.}$

الدالة المعرفة في موجودة في ولكن ليست في ^[1] الدالة المعرفة في قابلة للتكامل التربيعي. ^[3]${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{n}}},}$${\displaystyle (0,1),}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle n<{\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}.}$${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$${\displaystyle [1,\infty ),}$

الدوال المحدودة، المحددة على أنها قابلة للتكامل التربيعي. هذه الدوال قابلة للتكامل التربيعي أيضًا لأي قيمة ^[3]${\displaystyle [0,1],}$${\displaystyle L^{p},}$${\displaystyle p.}$

الوظيفة المحددة حيث تكون القيمة عند تعسفية. علاوة على ذلك، هذه الوظيفة ليست في أي قيمة في ^[3]${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$${\displaystyle [0,1],}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle [1,\infty ).}$

• مساحة المنتج الداخلية
• ${\displaystyle L^{p}}$الفضاء  – فضاءات دالة تعمم فضاءات معيارية ذات أبعاد محدودة