تمثيل معتدل

في الرياضيات، يُعرف التمثيل المعتدل لمجموعة لي شبه البسيطة الخطية بأنه تمثيل له أساس تقع معاملات مصفوفته في فضاء L ^p

L ^{2+ ε} ( G )

لأي قيمة ε > 0.

هذا الشرط، كما هو مذكور للتو، أضعف قليلاً من شرط أن تكون معاملات المصفوفة قابلة للتكامل التربيعي ، أي أنها تقع في

L ² ( G ),

وهذا ما يُعرف بتمثيل السلسلة المنفصلة . إذا كانت G زمرة لي خطية شبه بسيطة ذات زمرة جزئية مضغوطة قصوى K ، فإن التمثيل المقبول ρ لـ G يكون معتدلاً إذا تحقق الشرط المذكور أعلاه لمعاملات المصفوفة K- المنتهية لـ ρ.

يُستخدم التعريف أعلاه أيضًا لمجموعات أكثر عمومية، مثل مجموعات لي p -adic والامتدادات المركزية المحدودة للمجموعات الجبرية الحقيقية شبه البسيطة. يكون تعريف "التمثيل المعتدل" منطقيًا للمجموعات أحادية المعامل المدمجة محليًا ، لكنه لا يُناسب المجموعات ذات المراكز اللانهائية، مثل الامتدادات المركزية اللانهائية لمجموعات لي شبه البسيطة، وعادةً ما يُستبدل بتعريف مختلف قليلًا. بتعبير أدق، يُسمى التمثيل غير القابل للاختزال معتدلًا إذا كان وحدويًا عند تقييده بالمركز Z ، وكانت القيم المطلقة لمعاملات المصفوفة في L² ^{+ ε} ( G / Z ).

تم تعريف ودراسة التمثيلات المعتدلة على زمر لي شبه البسيطة لأول مرة من قبل هاريش تشاندرا (باستخدام تعريف مختلف ولكنه مكافئ)، حيث أثبت أنها التمثيلات المطلوبة تحديدًا لنظرية بلانشيريل . وقد صنفها كناب وزوكرمان، واستخدمها لانجلاندز في تصنيفه للتمثيلات غير القابلة للاختزال لزمرة لي اختزالية G بدلالة التمثيلات المعتدلة لزمر أصغر.

حدد هاريش تشاندرا، في عمله على التحليل التوافقي على زمرة لي شبه بسيطة، التمثيلات المعتدلة غير القابلة للاختزال بأنها تلك التمثيلات التي تُسهم في مقياس بلانشيريل . ويتمثل التعريف الأصلي للتمثيل المعتدل، والذي يتمتع بمزايا تقنية معينة، في أن خاصية هاريش تشاندرا الخاصة به يجب أن تكون "توزيعًا معتدلًا" (انظر القسم المتعلق بهذا أدناه). ويترتب على نتائج هاريش تشاندرا أن هذا التعريف يُكافئ التعريف الأبسط المذكور أعلاه. ويبدو أن التمثيلات المعتدلة تلعب دورًا أساسيًا في نظرية الأشكال التلقائية . وربما أدرك ساتيك (في سياق حدسية رامانوجان-بيترسون ) وروبرت لانجلاندز هذا الارتباط لأول مرة ، وكان ذلك بمثابة دافع للانجلاندز لتطوير مخطط تصنيفه للتمثيلات المقبولة غير القابلة للاختزال للزمر الجبرية الاختزالية الحقيقية و p -adic بدلالة التمثيلات المعتدلة للزمر الأصغر. تم صياغة التخمينات الدقيقة التي تحدد مكان التمثيلات المعتدلة في الطيف التلقائي لاحقًا بواسطة جيمس آرثر ، وهي تشكل أحد أكثر الأجزاء تطورًا في النظرية الحديثة للأشكال التلقائية.

تلعب التمثيلات المعتدلة دورًا هامًا في التحليل التوافقي على زمر لي شبه البسيطة . يكون التمثيل الوحدوي غير القابل للاختزال لزمرة لي شبه بسيطة G معتدلًا إذا وفقط إذا كان ضمن نطاق قياس بلانشيريل لـ G. بعبارة أخرى، تُمثل التمثيلات المعتدلة تحديدًا فئة تمثيلات G التي تظهر في التحليل الطيفي لدوال L² ^على الزمرة (بينما تتمتع تمثيلات المتسلسلات المنفصلة بخاصية أقوى، وهي أن لكل تمثيل منها قياسًا طيفيًا موجبًا). يتناقض هذا مع الوضع بالنسبة لزمر لي الأبيلية وزمر لي القابلة للحل الأكثر عمومية، حيث يلزم وجود فئة مختلفة من التمثيلات لتفسير التحليل الطيفي بشكل كامل. يمكن ملاحظة ذلك حتى في أبسط مثال، وهو الزمرة الجمعية R للأعداد الحقيقية، حيث لا تتلاشى عناصر مصفوفة التمثيلات غير القابلة للاختزال إلى الصفر عند اللانهاية.

في برنامج لانجلاندز ، فإن التمثيلات المعتدلة لمجموعات لي الحقيقية هي تلك التي تأتي من خصائص موحدة للحلقات بواسطة دالة لانجلاندز.

• تتضمن نظرية بلانشيريل لمجموعة لي شبه البسيطة تمثيلات ليست متسلسلات منفصلة . ويتضح هذا جليًا في حالة المجموعة SL₂ ( R ) . تُعدّ تمثيلات المتسلسلات الرئيسية لـ SL₂ ₍ R ) معتدلة، وتُفسّر التحلل الطيفي للدوال المدعومة على العناصر الزائدية للمجموعة. مع ذلك، لا تظهر هذه التمثيلات بشكل منفصل في التمثيل المنتظم لـ _{SL₂ (} R ) .
• الحدين لتمثيلات السلسلة المنفصلة لـ SL ₂ ( R ) هما سلسلتان معتدلتان ولكنهما ليستا سلسلتين منفصلتين (على الرغم من ظهورهما "بشكل منفصل" في قائمة التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال).
• بالنسبة لمجموعات لي غير شبه البسيطة ، فإن التمثيلات ذات معاملات المصفوفة في L ^2+ε لا تكفي دائمًا لنظرية بلانشيريل ، كما يتضح من مثال المجموعة الجمعية R للأعداد الحقيقية وتكامل فورييه ؛ في الواقع، تساهم جميع التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال لـ R في مقياس بلانشيريل، ولكن لا يوجد أي منها بمعاملات مصفوفة في L ^2+ε .
• إن تمثيلات السلسلة التكميلية لـ SL ₂ ( R ) هي تمثيلات وحدوية غير قابلة للاختزال وغير معتدلة.
• التمثيل التافه لمجموعة G هو تمثيل وحدوي غير قابل للاختزال وغير معتدل إلا إذا كانت G مضغوطة .

صنّف كناب وزوكرمان ( 1976 ، 1982 ) التمثيلات المعتدلة غير القابلة للاختزال لزمرة لي شبه بسيطة. في الواقع ، صنّفا فئة أعمّ من التمثيلات تُسمى التمثيلات الأساسية . إذا كان P=MAN هو تحليل لانجلاندز لزمرة جزئية مكافئة ذات قمة، فإن التمثيل الأساسي يُعرَّف بأنه التمثيل المستحث مكافئًا المرتبط بنهاية تمثيل متسلسلة منفصلة لـ M وتمثيل وحدوي للزمرة الأبيلية A. إذا كانت نهاية تمثيل المتسلسلة المنفصلة هي في الواقع تمثيل متسلسلة منفصلة، ​​فإن التمثيل الأساسي يُسمى تمثيل متسلسلة منفصلة مستحث . أي تمثيل معتدل غير قابل للاختزال هو تمثيل أساسي، والعكس صحيح، أي تمثيل أساسي هو مجموع عدد محدود من التمثيلات المعتدلة غير القابلة للاختزال. بتعبير أدق، هو مجموع مباشر لـ 2r ^تمثيل معتدل غير قابل للاختزال مُفهرس بخصائص زمرة أبيلية أولية R من الرتبة 2r ⁽ تُسمى زمرة R ). أي تمثيل أساسي، وبالتالي أي تمثيل معتدل غير قابل للاختزال، هو حد من حدود تمثيل متسلسلة منفصلة مستحثة. مع ذلك، ليس من الممكن دائمًا تمثيل تمثيل معتدل غير قابل للاختزال كتمثيل متسلسلة منفصلة مستحثة، ولهذا السبب يُنظر في الفئة الأكثر عمومية من التمثيلات الأساسية. 

لذا فإن التمثيلات المعتدلة غير القابلة للاختزال هي مجرد التمثيلات الأساسية غير القابلة للاختزال، ويمكن تصنيفها عن طريق سرد جميع التمثيلات الأساسية واختيار تلك غير القابلة للاختزال، بمعنى آخر تلك التي لها مجموعة R تافهة.

لنفترض زمرة لي شبه بسيطة G ذات زمرة جزئية مدمجة قصوى K. عرّف هاريش-شاندرا (1966 ، القسم 9) التوزيع على G بأنه توزيع معتدل إذا كان مُعرّفًا على فضاء شوارتز لـ G. يُعرّف فضاء شوارتز بدوره بأنه فضاء الدوال الملساء f على G بحيث أنه لأي عدد حقيقي r وأي دالة g مُستنتجة من f عن طريق التأثير من اليسار أو اليمين بعناصر من الجبر الشامل المُغلِّف لجبر لي لـ G ، فإن الدالة

${\displaystyle (1+\sigma )^{r}g/\Xi }$

محدودة. هنا Ξ هي دالة كروية معينة على G ، ثابتة تحت الضرب من اليسار واليمين بواسطة K ، و σ هي معيار لوغاريتم p ، حيث يُكتب عنصر g من G على النحو التالي  : g = kp لـ k في K و p في P.

• كاولينغ، م.، هاجيروب، يو.، هاو، ر. معاملات المصفوفة شبه L2 ^. مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقية 387 (1988)، 97-110
• هاريش-تشاندرا (1966)، "متسلسلات منفصلة لزمر لي شبه البسيطة. الجزء الثاني: التحديد الصريح للخصائص" ، مجلة أكتا ماتيماتيكا ، 116 (1): 1-111 ، doi : 10.1007/BF02392813 ، ISSN 0001-5962 ، MR 0219666 ، S2CID 125806386   
• كناب، أنتوني دبليو؛ زوكرمان، جريج (1976)، "تصنيف التمثيلات المعتدلة غير القابلة للاختزال لمجموعات لي شبه البسيطة"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية ، 73 (7): 2178-2180 ، Bibcode : 1976PNAS...73.2178K ، doi : 10.1073/pnas.73.7.2178 ، ISSN 0027-8424 ، JSTOR 65732 ، MR 0460545 ، PMC 430485 ، PMID 16592331     
• كناب، أنتوني دبليو؛ زوكرمان، جريج جيه ​​(1982)، "تصنيف التمثيلات المعتدلة غير القابلة للاختزال للمجموعات شبه البسيطة. الجزء الأول"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 116 (2): 389-455 ، doi : 10.2307/2007066 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 2007066 ، MR 0672840   كناب، أنتوني دبليو؛ زوكرمان، جريج جيه ​​(1982)، "تصنيف التمثيلات المعتدلة غير القابلة للاختزال للمجموعات شبه البسيطة. الجزء الثاني"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 116 (3): 457-501 ، doi : 10.2307/2007019 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 2007019 ، MR 0672840   كناب، أنتوني دبليو؛ زوكرمان، جريج جيه ​​(1984)، "التصحيح"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 119 (3): 639، doi : 10.2307/2007089 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 2007089 ، MR 0744867   
• كناب، أنتوني دبليو. نظرية تمثيل المجموعات شبه البسيطة: نظرة عامة قائمة على الأمثلة. ISBN 0-691-09089-0
• والاش، نولان . الزمر الاختزالية الحقيقية. الجزء الأول . الرياضيات البحتة والتطبيقية، 132. دار النشر الأكاديمية، بوسطن، ماساتشوستس، 1988. 412 صفحة + xx صفحة تمهيدية. ISBN  0-12-732960-9