أقصى طارة

في النظرية الرياضية لمجموعات لي المدمجة، تلعب المجموعات الفرعية الحلقية دورًا خاصًا، ولا سيما المجموعات الفرعية الحلقية القصوى .

الطارة في زمرة لي متراصة G هي زمرة لي متراصة ، متصلة ، تبديلية من G (وبالتالي متماثلة مع الطارة القياسية Tⁿ ^{[ 1 ]} ). الطارة القصوى هي الطارة القصوى بين هذه الزمر الجزئية. أي أن T طارة قصوى إذا كان لأي طارة T ′ تحتوي على T، يكون T = T ′ . كل طارة محتواة في طارة قصوى، وذلك ببساطة من خلال ^{اعتبارات} الأبعاد . لا يشترط أن تحتوي زمرة لي غير متراصة على أي طارات غير تافهة (مثل Rⁿ ⁾ .

يُطلق على بُعد الطارة القصوى في G اسم رتبة G. الرتبة مُعرَّفة جيدًا لأن جميع الطارات القصوى تكون مترافقة . بالنسبة للمجموعات شبه البسيطة، تساوي الرتبة عدد العقد في مخطط دينكين المرتبط بها .

تحتوي المجموعة الوحدوية U( n ) على مجموعة جزئية من جميع المصفوفات القطرية كحلقة قصوى . أي،

${\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right):\forall j,\theta _{j}\in \mathbb {R} \right\}.}$

من الواضح أن T متماثلة مع حاصل ضرب n دائرة، لذا فإن المجموعة الوحدوية U( n ) لها رتبة n . والطور الأعظمي في المجموعة الوحدوية الخاصة SU( n ) ⊂ U( n ) هو ببساطة تقاطع T و SU( n ) وهو طور ذو بُعد n − 1.   

يُعطى الطارة القصوى في المجموعة المتعامدة الخاصة SO(2 n ) بمجموعة جميع الدورانات المتزامنة في أي اختيار ثابت لـ n من المستويات المتعامدة مثنى مثنى (أي فضاءات متجهة ثنائية الأبعاد). وبشكل أكثر تحديدًا، تتكون الطارة القصوى من جميع المصفوفات القطرية الكتلية ذات${\displaystyle 2\times 2}$الكتل القطرية، حيث تمثل كل كتلة قطرية مصفوفة دوران. وهذا أيضًا شكل حلقي أقصى في المجموعة SO(2n + 1) حيث يحدد الفعل الاتجاه المتبقي. وبالتالي، فإن رتبة كل من SO(2n) وSO(2n+1) هي n . على سبيل المثال، في مجموعة الدوران SO(3)، تُعطى الأشكال الحلقية القصوى بدوران حول محور ثابت.

المجموعة التبسيطية Sp( n ) لها رتبة n . ويُعطى الطارة القصوى بمجموعة جميع المصفوفات القطرية التي تقع جميع عناصرها في جبر فرعي عقدي ثابت من H.

ليكن G زمرة لي متراصة ومتصلة، وليكن${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ليكن جبر لي لـ G. النتيجة الرئيسية الأولى هي نظرية الطارة، والتي يمكن صياغتها على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

نظرية الطارة : إذا كانت T طارة قصوى ثابتة واحدة في G ، فإن كل عنصر من G يكون مترافقًا مع عنصر من T.

تترتب على هذه النظرية النتائج التالية:

• جميع الحلقات القصوى في G مترافقة. ^{[ 3 ]}
• جميع الحلقات القصوى لها نفس البعد، والمعروف باسم رتبة G.
• الطارة القصوى في G هي زمرة فرعية أبيلية قصوى، ولكن العكس ليس بالضرورة صحيحًا. ^{[ 4 ]}
• إنّ الطورات القصوى في G هي بالضبط زمر لي الجزئية المقابلة للجبر الجزئي الأبلي الأقصى لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$^{[ 5 ]} (راجعجبر كارتان الفرعي)
• يقع كل عنصر من عناصر G في بعض الطارة القصوى؛ وبالتالي، فإن الخريطة الأسية لـ G شاملة.
• إذا كان لـ G بُعد n ورتبة r فإن n − r يكون زوجيًا.

إذا كان T عبارة عن طارة عظمى في زمرة لي متراصة G ، فيمكن تعريف نظام الجذور كما يلي. تمثل الجذور أوزان الفعل المرافق لـ T على جبر لي المعقد لـ G. ولتوضيح ذلك، ليكن${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$لنرمز إلى جبر لي لـ T ، ولندع${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يرمز إلى جبر لي لـ${\displaystyle G}$ودع${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }:={\mathfrak {g}}\oplus i{\mathfrak {g}}}$يشير إلى تعقيد${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ثم نقول إن العنصر${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {t}}}$يكون جذرًا للدالة G بالنسبة إلى T إذا${\displaystyle \alpha \neq 0}$ويوجد عدد غير صفري${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$بحيث

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{e^{H}}(X)=e^{i\langle \alpha ,H\rangle }X}$

للجميع${\displaystyle H\in {\mathfrak {t}}}$. هنا${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$هو منتج داخلي ثابت على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$أي أنه ثابت تحت تأثير التأثير المرافق لمجموعات لي المدمجة المتصلة.

نظام الجذور، كمجموعة فرعية من جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$تتمتع شجرة T بجميع الخصائص المعتادة لنظام الجذور، باستثناء أن الجذور قد لا تمتد${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$[ ^{6 ]} نظام الجذر هو أداة رئيسية في فهم ^نظرية التصنيف والتمثيل لـ G.

بفرض وجود طارة T (ليست بالضرورة قصوى)، يمكن تعريف زمرة ويل لـ G بالنسبة إلى T على أنها معيار T بتردد مركزية T. أي،

${\displaystyle W(T,G):=N_{G}(T)/C_{G}(T).}$

ثبّت توروسًا أقصى${\displaystyle T=T_{0}}$في G؛ ثم تسمى مجموعة Weyl المقابلة مجموعة Weyl لـ G (تعتمد حتى التشاكل على اختيار T ).

أول نتيجتين رئيسيتين حول مجموعة ويل هما كما يلي.

• إن مركز T في G يساوي T ، لذا فإن مجموعة Weyl تساوي N ( T )/ T . ^{[ 7 ]}
• تتولد زمرة ويل من خلال الانعكاسات حول جذور جبر لي المرتبط بها. ^{[ 8 ]} وبالتالي، فإن زمرة ويل لـ T متماثلة مع زمرة ويل لنظام جذور جبر لي لـ G.

نسرد الآن بعض نتائج هذه النتائج الرئيسية.

• يكون عنصران في T مترافقين إذا وفقط إذا كانا مترافقين مع عنصر من W. أي أن كل فئة ترافق في G تتقاطع مع T في مدار فايل واحد فقط . ^{[ 9 ]} في الواقع، فضاء فئات الترافق في G متماثل مع فضاء المدارات T / W .
• تعمل مجموعة ويل عن طريق التشاكلات الذاتية ( الخارجية ) على T (وجبر لي الخاص بها).
• إن عنصر الوحدة للمُعَيِّر لـ T يساوي أيضًا T. وبالتالي فإن مجموعة ويل تساوي مجموعة المكونات لـ N ( T ).
• مجموعة ويل منتهية.

تُحدد نظرية تمثيل G بشكل أساسي بواسطة T و W.

على سبيل المثال، لننظر في الحالة${\displaystyle G=SU(n)}$مع${\displaystyle T}$كونها المجموعة الفرعية القطرية من${\displaystyle G}$. ثم${\displaystyle x\in G}$ينتمي إلى${\displaystyle N(T)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x}$يرسم كل عنصر من عناصر الأساس القياسي${\displaystyle e_{i}}$إلى مضاعفات عنصر أساسي قياسي آخر${\displaystyle e_{j}}$أي، إذا وفقط إذا${\displaystyle x}$يقوم بتبديل عناصر الأساس القياسي، حتى الضرب ببعض الثوابت. في هذه الحالة، تكون مجموعة ويل هي مجموعة التبديل على${\displaystyle n}$عناصر.

لنفترض أن f دالة متصلة على G. عندئذٍ يمكن حساب التكامل على G للدالة f بالنسبة لمقياس هار المعياري dg على النحو التالي:

${\displaystyle \displaystyle {\int _{G}f(g)\,dg=|W|^{-1}\int _{T}|\Delta (t)|^{2}\int _{G/T}f\left(yty^{-1}\right)\,d[y]\,dt,}}$

أين${\displaystyle d[y]}$هو مقياس الحجم المعياري على مشعب القسمة${\displaystyle G/T}$و${\displaystyle dt}$هي مقياس هار المعياري على T. ^{[ 10 ]} هنا ، تُعطى Δ بواسطة صيغة مقام ويل و${\displaystyle |W|}$هي رتبة زمرة فايل. وتظهر حالة خاصة مهمة لهذه النتيجة عندما تكون f دالة فئة ، أي دالة ثابتة تحت الاقتران. في هذه الحالة، لدينا

${\displaystyle \displaystyle {\int _{G}f(g)\,dg=|W|^{-1}\int _{T}f(t)|\Delta (t)|^{2}\,dt.}}$

لنأخذ الحالة كمثال${\displaystyle G=SU(2)}$، مع${\displaystyle T}$باعتبارها المجموعة الفرعية القطرية. عندئذٍ تأخذ صيغة ويل التكاملية لدوال الفئة الشكل الصريح التالي: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \displaystyle {\int _{SU(2)}f(g)\,dg={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }f\left(\mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)\right)\,4\,\mathrm {sin} ^{2}(\theta )\,{\frac {d\theta }{2\pi }}.}}$

هنا${\displaystyle |W|=2}$، مقياس هار المعياري على${\displaystyle T}$يكون${\displaystyle {\frac {d\theta }{2\pi }}}$، و${\displaystyle \mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)}$يرمز إلى المصفوفة القطرية ذات العناصر القطرية${\displaystyle e^{i\theta }}$و${\displaystyle e^{-i\theta }}$.

• الطارة الجبرية
• مجموعة مضغوطة
• مجموعة كارتان الفرعية
• الجبر الفرعي لكارتان
• جبر تورال لي
• تحلل بروهات
• صيغة شخصية ويل
• نظرية تمثيل زمرة لي المتصلة والمتراصة

• آدامز، جيه إف (1969)، محاضرات حول مجموعات لي ، مطبعة جامعة شيكاغو، رقم ISBN 0226005305
• بورباكي، ن. (1982)، Groupes et Algèbres de Lie (الفصل 9) ، Éléments de Mathématique، ماسون، ISBN 354034392X
• ديودونيه، ج. (1977)، زمر لي المدمجة وزمر لي شبه البسيطة، الفصل الحادي والعشرون ، رسالة في التحليل، المجلد  5، دار النشر الأكاديمية، ISBN 012215505X
• دوسترمات، JJ؛ Kolk، A. (2000)، مجموعات الكذب ، Universitext، Springer، ISBN 3540152938
• هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  222 (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، ISBN 978-3319134666
• هيلجاسون، سيجوردور (1978)، الهندسة التفاضلية، زمر لي، والفضاءات المتناظرة ، دار النشر الأكاديمية، رقم ISBN 0821828487
• هوتشيلد، ج. (1965)، بنية زمر لي ، هولدن-داي