قياس هار

في التحليل الرياضي ، يخصص مقياس هار "حجمًا ثابتًا" لمجموعات فرعية من المجموعات الطوبولوجية المدمجة محليًا ، وبالتالي يحدد تكاملًا للدوال على تلك المجموعات.

قدّم ألفريد هار هذا المقياس عام 1933، على الرغم من أن حالته الخاصة بمجموعات لي قد قدّمها أدولف هورويتز عام 1897 تحت اسم "التكامل الثابت". ^{[ 1 ] [ 2 ]} تُستخدم مقاييس هار في العديد من فروع التحليل ، ونظرية الأعداد ، ونظرية المجموعات ، ونظرية التمثيل ، والإحصاء ، ونظرية الاحتمالات ، والنظرية الإرجودية .

يترك${\displaystyle (G,\cdot )}$ليكن زمرة هاوسدورف طوبولوجية متراصة محلياً . ${\displaystyle \sigma }$الجبر - الذي تولده جميع المجموعات الفرعية المفتوحة من${\displaystyle G}$يُطلق عليه اسم جبر بوريل . ويُطلق على عنصر من عناصر جبر بوريل اسم مجموعة بوريل .${\displaystyle g}$هو عنصر من${\displaystyle G}$و${\displaystyle S}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle G}$ثم نحدد الإزاحات اليسرى واليمنى لـ${\displaystyle S}$بواسطة${\displaystyle g}$على النحو التالي:

• ترجمة اليسار:$${\displaystyle gS=\{g\cdot s\,:\,s\in S\}.}$$
• الترجمة الصحيحة:$${\displaystyle Sg=\{s\cdot g\,:\,s\in S\}.}$$

يقوم اليسار واليمين بتحويل مجموعات بوريل إلى مجموعات بوريل أخرى.

مقياس${\displaystyle \mu }$على مجموعات بوريل الفرعية من${\displaystyle G}$يُطلق عليها اسم ثابتة الإزاحة اليسرى إذا كان لكل مجموعات بوريل الجزئية${\displaystyle S\subseteq G}$وكل شيء${\displaystyle g\in G}$يمتلك المرء

${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S).}$

مقياس${\displaystyle \mu }$على مجموعات بوريل الفرعية من${\displaystyle G}$يُطلق عليها اسم ثابتة تحت الإزاحة اليمنى إذا كان لكل مجموعات بوريل الجزئية${\displaystyle S\subseteq G}$وكل شيء${\displaystyle g\in G}$يمتلك المرء

${\displaystyle \mu (Sg)=\mu (S).}$

يوجد، حتى ثابت ضربي موجب، مقياس فريد قابل للعد والجمع وغير تافه${\displaystyle \mu }$على مجموعات بوريل الفرعية من${\displaystyle G}$تحقيق الخصائص التالية:

• الإجراء${\displaystyle \mu }$ثابت بالنسبة للترجمة من اليسار:${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S)}$لكل${\displaystyle g\in G}$وجميع مجموعات بوريل${\displaystyle S\subseteq G}$.
• الإجراء${\displaystyle \mu }$تكون محدودة على كل مجموعة مضغوطة:${\displaystyle \mu (K)<\infty }$لجميع الأحجام المدمجة${\displaystyle K\subseteq G}$.
• الإجراء${\displaystyle \mu }$يكون الجزء الخارجي منتظمًا في مجموعات بوريل${\displaystyle S\subseteq G}$:$${\displaystyle \mu (S)=\inf\{\mu (U):S\subseteq U,U{\text{ open}}\}.}$$
• الإجراء${\displaystyle \mu }$منتظم داخليًا على المجموعات المفتوحة${\displaystyle U\subseteq G}$:$${\displaystyle \mu (U)=\sup\{\mu (K):K\subseteq U,K{\text{ compact}}\}.}$$

مثل هذا الإجراء بشأن${\displaystyle G}$يُطلق عليه مقياس هار الأيسر. ويمكن إثبات ذلك كنتيجة للخصائص المذكورة أعلاه.${\displaystyle \mu }$يكون غير تافه إذا وفقط إذا${\displaystyle \mu (U)>0}$لكل مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة${\displaystyle U\subseteq G}$وخاصة إذا${\displaystyle G}$مضغوطة إذن${\displaystyle \mu (G)}$هي محدودة وموجبة، لذلك يمكننا تحديد مقياس هار الأيسر بشكل فريد على${\displaystyle G}$بإضافة شرط التطبيع${\displaystyle \mu (G)=1}$.

وبالمثل تمامًا، يمكن أيضًا إثبات وجود وتفرد مقياس هار الأيمن على${\displaystyle G}$لا يشترط أن يتطابق الإجراءان.

يُعرّف بعض المؤلفين مقياس هار على مجموعات باير بدلاً من مجموعات بوريل. وهذا يجعل شروط الانتظام غير ضرورية لأن مقاييس باير منتظمة تلقائيًا. يستخدم هالموس ^{[ 3 ]} مصطلح "مجموعة بوريل" غير القياسي لعناصر المجموعة.${\displaystyle \sigma }$الحلقة المتولدة بواسطة المجموعات المدمجة، وتعرف مقاييس هار على هذه المجموعات.

يحقق مقياس هار الأيسر شرط الانتظام الداخلي لجميع${\displaystyle \sigma }$مجموعات بوريل منتهية ، ولكنها قد لا تكون منتظمة داخليًا لجميع مجموعات بوريل. على سبيل المثال، حاصل ضرب دائرة الوحدة (مع طوبولوجيتها المعتادة) وخط الأعداد الحقيقية مع طوبولوجيتها المنفصلة هو زمرة متراصة محليًا مع طوبولوجيا الضرب ، ومقياس هار على هذه الزمرة ليس منتظمًا داخليًا للمجموعة الفرعية المغلقة.${\displaystyle \{1\}\times [0,1]}$(المجموعات الجزئية المدمجة من هذا الجزء الرأسي هي مجموعات منتهية، والنقاط لها قياس${\displaystyle 0}$إذن، فإن قياس أي مجموعة جزئية مضغوطة من هذه القطعة الرأسية هو${\displaystyle 0}$لكن، باستخدام الانتظام الخارجي، يمكن للمرء أن يثبت أن القطعة لها قياس لانهائي.

أثبت أندريه ويل لأول مرة وجود وتفرد مقياس هار الأيسر (حتى التوسيع) بشكل عام تمامًا . ^{[ 4 ]} استخدم برهان ويل بديهية الاختيار ، بينما قدم هنري كارتان برهانًا تجنب استخدامه. ^{[ 5 ]} كما يثبت برهان كارتان الوجود والتفرد في آن واحد. وقدّم ألفسن في عام 1963 شرحًا مبسطًا وكاملًا لحجة كارتان. ^{[ 6 ]} وكان هار قد بيّن الحالة الخاصة للمقياس الثابت للمجموعات المدمجة محليًا القابلة للعد من الدرجة الثانية في عام 1933. ^{[ 1 ]}

• لو${\displaystyle G}$إذا كانت زمرة منفصلة ، ​​فإن المجموعات الجزئية المدمجة تتطابق مع المجموعات الجزئية المنتهية، ويكون مقياس هار (ثابت من اليسار واليمين) على${\displaystyle G}$هو مقياس العد .
• مقياس هار على المجموعة الطوبولوجية${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$يأخذ ذلك القيمة${\displaystyle 1}$في الفترة${\displaystyle [0,1]}$يساوي تقييد مقياس ليبيغ على المجموعات الفرعية لبوريل من${\displaystyle \mathbb {R} }$ويمكن تعميم ذلك على${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+).}$
• من أجل تعريف مقياس هار${\displaystyle \mu }$في المجموعة الدائرية${\displaystyle \mathbb {T} }$، ضع في اعتبارك الدالة${\displaystyle f}$من${\displaystyle [0,2\pi ]}$على${\displaystyle \mathbb {T} }$محدد بواسطة${\displaystyle f(t)=(\cos(t),\sin(t))}$. ثم${\displaystyle \mu }$يمكن تعريفها بواسطة $${\displaystyle \mu (S)={\frac {1}{2\pi }}m(f^{-1}(S)),}$$ أين${\displaystyle m}$مقياس ليبيغ على${\displaystyle [0,2\pi ]}$العامل${\displaystyle (2\pi )^{-1}}$يتم اختيارها بحيث${\displaystyle \mu (\mathbb {T} )=1}$.
• لو${\displaystyle G}$إذا كانت مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة تحت عملية الضرب هي مقياس هار${\displaystyle \mu }$يُعطى بواسطة $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{t}}\,dt}$$ لأي مجموعة فرعية من بوريل${\displaystyle S}$من الأعداد الحقيقية الموجبة. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle S}$يُعتبر فاصلاً زمنياً${\displaystyle [a,b]}$ثم نجد${\displaystyle \mu (S)=\log(b/a)}$الآن، نجعل المجموعة الضربية تؤثر على هذه الفترة بضرب جميع عناصرها في عدد ما.${\displaystyle g}$، مما أدى إلى${\displaystyle gS}$وهي الفترة الزمنية${\displaystyle [g\cdot a,g\cdot b].}$بقياس هذه الفترة الجديدة، نجد${\displaystyle \mu (gS)=\log((g\cdot b)/(g\cdot a))=\log(b/a)=\mu (S).}$
• لو${\displaystyle G}$إذا كانت مجموعة الأعداد الحقيقية غير الصفرية التي يكون الضرب هو العملية فيها، فإنها تكون مقياس هار${\displaystyle \mu }$يُعطى بواسطة $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{|t|}}\,dt}$$ لأي مجموعة فرعية من بوريل${\displaystyle S}$من الأعداد الحقيقية غير الصفرية.
• بالنسبة للمجموعة الخطية العامة${\displaystyle G=GL(n,\mathbb {R} )}$أي مقياس هار يساري هو مقياس هار يميني، وأحد هذه المقاييس${\displaystyle \mu }$يُعطى بواسطة $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{1 \over |\det(X)|^{n}}\,dX}$$ أين${\displaystyle dX}$يشير إلى مقياس ليبيغ على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$تم تحديدها مع مجموعة الكل${\displaystyle n\times n}$المصفوفات. هذا يتبع من صيغة تغيير المتغيرات .
• بتعميم الأمثلة الثلاثة السابقة، إذا كانت المجموعة${\displaystyle G}$يتم تمثيلها على أنها فضاء فرعي مفتوح من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مع عمليات المجموعة السلسة ، ثم مقياس هار الأيسر على${\displaystyle G}$يُعطى بواسطة${\displaystyle {\frac {1}{|J_{(x\cdot )}(e_{1})|}}d^{n}x}$، أين${\displaystyle e_{1}}$هو عنصر هوية المجموعة${\displaystyle G}$،${\displaystyle J_{(x\cdot )}(e_{1})}$هو المحدد اليعقوبي لعملية الضرب من اليسار بواسطة${\displaystyle x}$في${\displaystyle e_{1}}$، و${\displaystyle d^{n}x}$مقياس ليبيغ على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$وينتج هذا عن صيغة تغيير المتغيرات . ويُعطى مقياس هار الأيمن بنفس الطريقة، باستثناء...${\displaystyle J_{(\cdot x)}(e_{1})}$كونها جاكوبيان الضرب من اليمين بواسطة${\displaystyle x}$.
• بالنسبة للمجموعة المتعامدة${\displaystyle G=O(n)}$ويمكن بناء مقياس هار الخاص به على النحو التالي (كتوزيع لمتغير عشوائي). العينة الأولى${\displaystyle A\sim N(0,1)^{n\times n}}$أي، مصفوفة جميع عناصرها عينات مستقلة ومتطابقة التوزيع من التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​صفر وتباين واحد. بعد ذلك، استخدم عملية غرام-شميدت على المصفوفة؛ يأخذ المتغير العشوائي الناتج قيمًا في${\displaystyle O(n)}$ويتم توزيعها وفقًا لمقياس هار الاحتمالي على تلك المجموعة. ^{[ 7 ]} نظرًا لأن المجموعة المتعامدة الخاصة${\displaystyle SO(n)}$هي مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle O(n)}$تقييد مقياس هار لـ${\displaystyle O(n)}$ل${\displaystyle SO(n)}$يعطي مقياس هار على${\displaystyle SO(n)}$(من حيث المتغيرات العشوائية، هذا يعني جعل المحدد يساوي 1، وهو حدث احتماله 1/2).
• نفس الطريقة المستخدمة في${\displaystyle O(n)}$يمكن استخدامها لإنشاء مقياس هار على المجموعة الوحدوية${\displaystyle U(n)}$. للمجموعة الوحدوية الخاصة${\displaystyle G=SU(n)}$(الذي يبلغ قياسه 0 في${\displaystyle U(n)}$ويمكن إنشاء مقياس هار الخاص به على النحو التالي. العينة الأولى${\displaystyle A}$من مقياس هار (المُعَيَّر إلى واحد، بحيث يكون توزيعًا احتماليًا) على${\displaystyle U(n)}$ودع ${\displaystyle e^{i\theta }=\det A}$، أين${\displaystyle \theta }$قد تكون أي زاوية من الزوايا، ثم يتم أخذ عينة مستقلة${\displaystyle k}$من التوزيع المنتظم على${\displaystyle \{1,...,n\}}$. ثم${\displaystyle e^{-i{\frac {\theta +2\pi k}{n}}}A}$يتم توزيعها كمقياس هار على${\displaystyle SU(n)}$.
• يترك${\displaystyle G}$لتكن مجموعة جميع التحويلات الخطية الأفينية${\displaystyle A:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$من الشكل${\displaystyle r\mapsto xr+y}$لبعض الثوابت${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$مع${\displaystyle x>0.}$انضم إلى${\displaystyle G}$عملية تركيب الدوال${\displaystyle \circ }$، الأمر الذي يتحول${\displaystyle G}$إلى مجموعة غير أبيلية.${\displaystyle G}$يمكن تحديدها بالنصف الأيمن من المستوى${\displaystyle (0,\infty )\times \mathbb {R} =\left\{(x,y)~:~x,y\in \mathbb {R} ,x>0\right\}}$والتي بموجبها تصبح عملية المجموعة${\displaystyle (s,t)\circ (u,v)=(su,sv+t).}$مقياس هار ثابت من اليسار${\displaystyle \mu _{L}}$(على التوالي، مقياس هار ثابت من اليمين)${\displaystyle \mu _{R}}$) على${\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} }$يُعطى بواسطة $${\displaystyle \mu _{L}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy}$$    و    $${\displaystyle \mu _{R}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy}$$ لأي مجموعة فرعية من بوريل${\displaystyle S}$ل${\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} .}$وذلك لأنه إذا${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )\times \mathbb {R} }$إذا كانت مجموعة جزئية مفتوحة، فـ${\displaystyle (s,t)\in G}$بعد تثبيت القيمة، يعطي التكامل بالتعويض$${\displaystyle \mu _{L}((s,t)\circ S)=\int _{(s,t)\circ S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{(su)^{2}}}|(s)(s)-(0)(0)|\,du\,dv=\mu _{L}(S)}$$ بينما لـ${\displaystyle (u,v)\in G}$مُثَبَّت، $${\displaystyle \mu _{R}(S\circ (u,v))=\int _{S\circ (u,v)}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{su}}|(u)(1)-(v)(0)|\,ds\,dt=\mu _{R}(S).}$$
• في أي مجموعة لي ذات بُعد${\displaystyle d}$يمكن ربط مقياس هار الأيسر بأي قيمة غير صفرية ثابتة من اليسار${\displaystyle d}$-استمارة${\displaystyle \omega }$، كمقياس ليبيغ${\displaystyle |\omega |}$وبالمثل بالنسبة لمقاييس هار اليمنى. وهذا يعني أيضاً أنه يمكن حساب الدالة النمطية، باعتبارها القيمة المطلقة لمحدد التمثيل المرافق .

• 

  يُستخدم تمثيل مقياس هار للأعداد الحقيقية الموجبة بدلالة المساحة تحت الفرع الموجب للقطع الزائد القياسي xy = 1 باستخدام مجموعات بوريل المولدة من الفترات [ a, b ]، حيث b > a > 0. على سبيل المثال، a = 1 و b = عدد أويلر e ينتج عنه مساحة تساوي log(e/1) = 1. بالتالي، لأي عدد حقيقي موجب c، فإن المساحة على الفترة [ ca, cb ] تساوي log( b / a )، لذا فإن المساحة ثابتة عند الضرب بأعداد حقيقية موجبة. لاحظ أن المساحة تقترب من اللانهاية عندما يقترب a من الصفر وعندما يصبح b كبيرًا. استخدام مقياس هار هذا لتعريف دالة لوغاريتمية يثبت a عند 1 ويعتبر المساحة على فترة في [b, 1]، حيث 0 < b < 1، مساحة سالبة . بهذه الطريقة، يمكن أن يأخذ اللوغاريتم أي قيمة حقيقية على الرغم من أن المقياس دائمًا موجب أو صفر.

• لو${\displaystyle G}$إذا كانت مجموعة الأعداد الرباعية غير الصفرية ،${\displaystyle G}$يمكن اعتبارها مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$مقياس هار${\displaystyle \mu }$يُعطى بواسطة $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})^{2}}}\,dx\,dy\,dz\,dw}$$ أين${\displaystyle dx\wedge dy\wedge dz\wedge dw}$يشير إلى مقياس ليبيغ في${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$و${\displaystyle S}$هي مجموعة فرعية من بوريل${\displaystyle G}$.
• لو${\displaystyle G}$هي المجموعة المضافة لـ${\displaystyle p}$الأعداد الأدية الأولية${\displaystyle p}$ثم يُعطى مقياس هار عن طريق وضع${\displaystyle a+p^{n}O}$قياس${\displaystyle p^{-n}}$، أين${\displaystyle O}$هو خاتم${\displaystyle p}$الأعداد الصحيحة -adic.

ويمكن أيضاً إثبات وجود مقياس بوريل فريد (حتى الضرب بثابت موجب) ثابت تحت الإزاحة اليمنى${\displaystyle \nu }$مع استيفاء شروط الانتظام المذكورة أعلاه وكونها منتهية على المجموعات المدمجة، ولكن ليس بالضرورة أن تتطابق مع المقياس الثابت تحت الإزاحة اليسرى${\displaystyle \mu }$تكون مقاييس هار اليسرى واليمنى متطابقة فقط بالنسبة لما يسمى بالمجموعات أحادية المعامل (انظر أدناه). ومع ذلك، من السهل جدًا إيجاد علاقة بينهما.${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \nu }$. 𝜇 في الواقع، بالنسبة لمجموعة بوريل${\displaystyle S}$لنرمز بـ${\displaystyle S^{-1}}$مجموعة معكوسات عناصر${\displaystyle S}$إذا عرّفنا

${\displaystyle \mu _{-1}(S)=\mu (S^{-1})\quad }$

ثم${\displaystyle \mu _{-1}}$هو مقياس هار يميني. لإثبات الثبات اليميني، نطبق التعريف التالي:

${\displaystyle \mu _{-1}(Sg)=\mu ((Sg)^{-1})=\mu (g^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\mu _{-1}(S).\quad }$

ولأن المقياس الصحيح فريد من نوعه، فإنه يترتب على ذلك أن${\displaystyle \mu _{-1}}$هو مضاعف لـ${\displaystyle \nu }$وهكذا

${\displaystyle \mu (S^{-1})=k\nu (S)\,}$

لجميع مجموعات بوريل${\displaystyle S}$، أين${\displaystyle k}$هو ثابت موجب ما.

إذا كانت المجموعة المدمجة محليًا${\displaystyle G}$يؤثر بشكل متعدٍ على فضاء متجانس${\displaystyle G/H}$يمكن للمرء أن يتساءل عما إذا كان لهذا الفضاء مقياس ثابت، أو بشكل أعم مقياس شبه ثابت يتمتع بالخاصية التالية:${\displaystyle \mu (gS)=\chi (g)\mu (S)}$بالنسبة لبعض الشخصيات${\displaystyle \chi }$ل${\displaystyle G}$الشرط الضروري والكافي لوجود مثل هذا الإجراء هو أن يكون التقييد${\displaystyle \chi |_{H}}$يساوي${\displaystyle \Delta |_{H}/\delta }$، أين${\displaystyle \Delta }$و${\displaystyle \delta }$هي الوظائف المعيارية لـ${\displaystyle G}$و${\displaystyle H}$على التوالي. ^{[ 8 ]} وعلى وجه الخصوص، مقياس ثابت على${\displaystyle G/H}$توجد الدالة المعيارية إذا وفقط إذا${\displaystyle \Delta }$ل${\displaystyle G}$يقتصر على${\displaystyle H}$هي الوظيفة المعيارية${\displaystyle \delta }$ل${\displaystyle H}$.

باستخدام النظرية العامة لتكامل لوبيغ ، يمكن تعريف تكامل لجميع الدوال القابلة للقياس وفقًا لبوريل.${\displaystyle f}$على${\displaystyle G}$يُطلق على هذا التكامل اسم تكامل هار ويُرمز إليه بالرمز التالي:

${\displaystyle \int f(x)\,d\mu (x)}$

أين${\displaystyle \mu }$هو مقياس هار.

إحدى خصائص مقياس هار الأيسر${\displaystyle \mu }$هل هذا يعني السماح؟${\displaystyle s}$أن يكون عنصراً من${\displaystyle G}$، ما يلي صحيح:

${\displaystyle \int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x)}$

لأي دالة قابلة للتكامل من نوع هار${\displaystyle f}$على${\displaystyle G}$وهذا ينطبق فوراً على وظائف المؤشر :

${\displaystyle \int {\mathit {1}}_{A}(tg)\,d\mu =\int {\mathit {1}}_{t^{-1}A}(g)\,d\mu =\mu (t^{-1}A)=\mu (A)=\int {\mathit {1}}_{A}(g)\,d\mu ,}$

وهو في الأساس تعريف الثبات من اليسار.

في نفس العدد من مجلة حوليات الرياضيات ومباشرة بعد ورقة هار، تم استخدام نظرية هار لحل مشكلة هيلبرت الخامسة المقيدة بالمجموعات المدمجة بواسطة جون فون نيومان . ^{[ 9 ]}

إلا إذا${\displaystyle G}$إذا كانت مجموعة منفصلة، ​​فمن المستحيل تعريف مقياس منتظم قابل للعد وثابت من اليسار على جميع المجموعات الجزئية من${\displaystyle G}$، بافتراض بديهية الاختيار ، وفقًا لنظرية المجموعات غير القابلة للقياس .

في عام 1936، أثبت أندريه ويل عكسًا (من نوع ما) لنظرية هار، من خلال إظهار أنه إذا كان للمجموعة مقياس ثابت من اليسار مع خاصية فصل معينة ، ^{[ 3 ]} فإنه يمكن تعريف طوبولوجيا على المجموعة، ويكون إكمال المجموعة مضغوطًا محليًا ويكون المقياس المعطى هو نفسه بشكل أساسي مقياس هار على هذا الإكمال.

• المقياس الثابت
• ازدواجية بونترياجين
• نظرية تمثيل ريز-ماركوف-كاكتاني

• وجود وتفرد تكامل هار على مجموعة طوبولوجية متراصة محليًا - بقلم جيرت ك. بيدرسن
• حول وجود وتفرد المقاييس الثابتة على الزمر المدمجة محليًا - بقلم سيمون روبنشتاين-سالزيدو