نظرية إيواساوا

في نظرية الأعداد ، تُعنى نظرية إيواساوا بدراسة الكائنات ذات الأهمية الحسابية على سلاسل لا نهائية من حقول الأعداد . بدأت هذه النظرية كنظرية وحدات غالوا لمجموعات الفئات المثالية ، والتي وضعها كينكيتشي إيواساوا ( 1959 ) كجزء من نظرية الحقول الدائرية . في أوائل سبعينيات القرن العشرين، درس باري مازور تعميمات نظرية إيواساوا لتشمل الأصناف الأبيلية . وفي الآونة الأخيرة (أوائل تسعينيات القرن العشرين)، اقترح رالف غرينبيرغ نظرية إيواساوا للدوافع . 

عمل إيواساوا مع ما يسمى${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-الامتدادات: امتدادات لا نهائية لحقل عددي${\displaystyle F}$مع مجموعة غالوا${\displaystyle \Gamma }$متماثلة مع المجموعة الجمعية للأعداد الصحيحة p-adic لبعض الأعداد الأولية p . (كانت تسمى هذه${\displaystyle \Gamma }$- امتدادات في الأوراق المبكرة. ^{[ 1 ]} ) كل مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle \Gamma }$وهو على شكل${\displaystyle \Gamma ^{p^{n}},}$وبناءً على نظرية غالوا، فإن${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-امتداد${\displaystyle F_{\infty }/F}$هو نفس الشيء مثل برج الحقول

${\displaystyle F=F_{0}\subset F_{1}\subset F_{2}\subset \cdots \subset F_{\infty }}$

بحيث${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{n}/F)\cong \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$درس إيواساوا وحدات غالوا الكلاسيكية على مدى${\displaystyle F_{n}}$من خلال طرح أسئلة حول بنية الوحدات النمطية على${\displaystyle F_{\infty }.}$

وبشكل أكثر عمومية، تطرح نظرية إيواساوا أسئلة حول بنية وحدات غالوا على الامتدادات مع مجموعة غالوا كمجموعة لي p-adic .

يترك${\displaystyle p}$ليكن عددًا أوليًا ولتكن${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\mu _{p})}$يكون الحقل الناتج على${\displaystyle \mathbb {Q} }$بواسطة${\displaystyle p}$الجذور العشرية للوحدة. درس إيواساوا سلسلة حقول الأعداد التالية:

${\displaystyle K=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{\infty },}$

أين${\displaystyle K_{n}}$الحقل الناتج عن التداخل مع${\displaystyle K}$الجذور p ^{n +1} للوحدة و

${\displaystyle K_{\infty }=\bigcup K_{n}.}$

حقيقة أن${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{n}/K)\simeq \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ويترتب على ذلك، بحسب نظرية غالوا اللانهائية، أن${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{\infty }/K)\simeq \varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{p}.}$للحصول على وحدة غالوا مثيرة للاهتمام، اختار إيواساوا المجموعة الدراسية المثالية من${\displaystyle K_{n}}$ودع${\displaystyle I_{n}}$ليكن جزء الالتواء من النوع p . توجد خرائط معيارية${\displaystyle I_{m}\to I_{n}}$حينما${\displaystyle m>n}$وهذا يعطينا بيانات النظام العكسي . إذا وضعنا

${\displaystyle I=\varprojlim I_{n},}$

ومن ثم، ليس من الصعب أن نرى من خلال بناء النهاية العكسية أن${\displaystyle I}$هو وحدة نمطية فوق${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$في الحقيقة،${\displaystyle I}$هو وحدة نمطية فوق جبر إيواساوا${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} _{p}[[\Gamma ]]}$هذه حلقة محلية منتظمة ثنائية الأبعاد ، وهذا ما يجعل من الممكن وصف الوحدات النمطية عليها. ومن هذا الوصف، يمكن استخلاص معلومات حول الجزء p من زمرة الفئات لـ${\displaystyle K.}$

الدافع هنا هو أن الالتواء من النوع p في مجموعة الفئات المثالية لـ${\displaystyle K}$وقد حددها كومر بالفعل باعتبارها العائق الرئيسي أمام البرهان المباشر لنظرية فيرما الأخيرة .

منذ تلك البداية في خمسينيات القرن العشرين، بُنيت نظريةٌ راسخة. لُوحظ وجود صلة جوهرية بين نظرية الوحدات النمطية ودوال L-العددية p-adic التي عرّفها كوبوتا وليوبولد في ستينيات القرن العشرين. ينطلق الأخيران من أعداد برنولي ، ويستخدمان الاستيفاء لتعريف نظائر p-adic لدوال L-العددية ديريشليه . بات من الواضح أن النظرية تحمل في طياتها إمكانية التطور النهائي انطلاقًا من نتائج كومر التي تعود إلى قرنٍ مضى حول الأعداد الأولية المنتظمة .

صاغ إيواساوا الفرضية الرئيسية لنظرية إيواساوا على أنها تأكيد على أن طريقتين لتعريف دوال L-العددية p (عن طريق نظرية الوحدات، وعن طريق الاستيفاء) يجب أن تتطابقا، طالما كانت هذه الطريقة محددة جيدًا. وقد أثبت مازور وويلز (1984) ذلك.${\displaystyle \mathbb {Q} }$وبالنسبة لجميع حقول الأعداد الحقيقية تمامًا بواسطة وايلز (1990) . وقد تم تصميم هذه البراهين على غرار برهان كين ريبت لعكس نظرية هيربراند (ما يسمى بنظرية هيربراند-ريبيت ).

وجد كارل روبين برهانًا أكثر بساطة لنظرية مازور-ويلز باستخدام أنظمة أويلر لكوليفاجين ، الموصوفة في لانغ (1990) وواشنطن (1997) ، وأثبت لاحقًا تعميمات أخرى للتخمين الرئيسي للحقول التربيعية التخيلية.

يمكن تغيير زمرة غالوا للبرج اللانهائي، والحقل الابتدائي، ونوع الوحدة الحسابية المدروسة. وفي كل حالة، توجد فرضية رئيسية تربط البرج بدالة L من النوع p -adic.

في عام 2002، ادعى كريستوفر سكينر وإريك أوربان تقديم برهان على فرضية رئيسية لنظرية GL (2). وفي عام 2010، نشرا نسخة أولية من بحثهما ( سكينر وأوربان 2010 ) .

• نظرية فيريرو-واشنطن
• وحدة تيت لحقل رقمي

مصادر

• كوتس، ج .؛ سوجاثا، ر. (2006)، الحقول الدائرية وقيم زيتا ، سلسلة دراسات سبرينغر في الرياضيات، سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-33068-4Zbl 1100.11002​ 
• غرينبيرغ، رالف (2001)، "نظرية إيواساوا - الماضي والحاضر" ، في مياكي، كاتسويا (محرر)، نظرية حقل الأصناف - الذكرى المئوية لها وآفاقها (طوكيو، 1998) ، دراسات متقدمة في الرياضيات البحتة، المجلد  30، طوكيو: الجمعية الرياضية اليابانية، الصفحات 335-385 ، ISBN  978-4-931469-11-2، MR 1846466 ، Zbl 0998.11054  
• إيواساوا ، كينكيشي (1959)، “على امتدادات Γ لحقول الأعداد الجبرية”، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 65 (4): 183–226 ، دوى : 10.1090 / S0002-9904-1959-10317-7 ، ISSN 0002-9904 ، MR 0124316 , زبل 0089.02402   
• كاتو ، كازويا (2007)، “نظرية إيواساوا والتعميمات” (PDF) ، في سانز سولي، مارتا ؛ سوريا، خافيير؛ فارونا، خوان لويس؛ وآخرون  . (محرران)، المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات. المجلد. أنا , المجلد.  1 يورو. الرياضيات. سوك.، زيورخ، الصفحات من 335 إلى 357، دوى : 10.4171/022-1/14 ، ISBN  978-3-03719-022-7، MR 2334196 ، مؤرشف من الأصل (PDF) بتاريخ 22-09-2017 ، تم استرجاعه بتاريخ 08-05-2011 
• لانغ، سيرج (1990)، الحقول الدائرية 1 و2 ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  121، مع ملحق بقلم كارل روبين (الطبعة الثانية المجمعة  )، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-96671-7، Zbl 0704.11038 
• مازور، باري ؛ وايلز، أندرو (1984)، "حقول الفئات للامتدادات الأبيلية لـ Q "، Inventiones Mathematicae ، 76 (2): 179-330 ، Bibcode : 1984InMat..76..179M ، doi : 10.1007/BF01388599 ، ISSN 0020-9910 ، MR 0742853 ، S2CID 122576427 ، Zbl 0545.12005    
• الأماكن القريبة : شميدت، الكسندر. وينجبيرج ، كاي (2008)، علم التجانس لحقول الأرقام ، Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften، المجلد.  323 (  الطبعة الثانية)، برلين: Springer-Verlag ، دوى : 10.1007 / 978-3-540-37889-1 ، ISBN 978-3-540-37888-4، MR 2392026 ، Zbl 1136.11001  
• روبن ، كارل (1991)، “التخمينات الرئيسية” لنظرية إيواساوا للحقول التربيعية الوهمية، اختراعات الرياضيات ، 103 (1): 25–68 ، بيب كود : 1991InMat.103...25R ، دوى : 10.1007 / BF01239508 ، ISSN 0020-9910 , S2CID 120179735 , زبل 0737.11030   
• سكينر، كريس؛ أوربان، إريك (2010)، التخمينات الرئيسية لإيواساوا لـ GL ₂ (ملف PDF) ، ص  219
• واشنطن، لورانس سي. (1997)، مقدمة في الحقول الدائرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  83 (الطبعة الثانية  )، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-94762-4
• وايلز، أندرو (1990)، "تخمين إيواساوا للحقول الحقيقية تمامًا"، حوليات الرياضيات ، 131 (3): 493-540 ، doi : 10.2307/1971468 ، JSTOR 1971468 ، Zbl 0719.11071 .  

الاقتباسات

• دي شاليت، إيهود (1987)، نظرية إيواساوا للمنحنيات الإهليلجية مع الضرب المركب. دوال L p -adic ، وجهات نظر في الرياضيات، المجلد 3، بوسطن وغيرها: أكاديميك برس، ISBN  978-0-12-210255-4، Zbl 0674.12004 
• ماساتو كوريهارا، كينيتشي باناي، تاداشي أوتشياي، تاكيشي تسوجي (محررون): تطوير نظرية إيواساوا: الذكرى المئوية لميلاد ك. إيواساوا ، الرياضيات في اليابان، (دراسات متقدمة في الرياضيات البحتة، V.86)، ISBN 978-4-86497092-1 (2020).
• تاداشي أوشياي: نظرية إيواساوا ومنظورها، المجلد 1 ، الجمعية الأمريكية للرياضيات، (الدراسات والبحوث الرياضية المجلد 272)، ISBN 978-1-4704-5672-6 (2023).
• تاداشي أوشياي: نظرية إيواساوا ومنظورها، المجلد 2 ، الجمعية الأمريكية للرياضيات، (الدراسات والبحوث الرياضية المجلد 280)، ISBN 978-1-4704-5673-3 (2024).
• تاداشي أوشياي: نظرية إيواساوا ومنظورها، المجلد 3 ، الجمعية الأمريكية للرياضيات، (الدراسات والبحوث الرياضية المجلد 291)، ISBN 978-1-4704-7732-5 (2025).

• "نظرية إيواساوا" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]