النهاية العكسية

نبدأ بتعريف النظام العكسي (أو النظام الإسقاطي) للمجموعات والتشاكلات . ليكن${\displaystyle (I,\leq )}$ليكن I مجموعة مرتبة جزئياً موجهة (لا يشترط جميع المؤلفين أن تكون I موجهة).${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$لنفترض أن لدينا عائلة من الزمر، ولنفترض أن لدينا عائلة من التشاكلات${\displaystyle f_{ij}:A_{j}\to A_{i}}$للجميع${\displaystyle i\leq j}$(لاحظ الترتيب) مع الخصائص التالية:

1. ${\displaystyle f_{ii}}$هوية على${\displaystyle A_{i}}$،
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}}$للجميع${\displaystyle i\leq j\leq k.}$

ثم الزوجان${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$يُطلق عليه اسم نظام عكسي من المجموعات والتشاكلات على${\displaystyle I}$والتشكلات${\displaystyle f_{ij}}$تُسمى هذه العمليات بتشكلات الانتقال للنظام.

النهاية العكسية للنظام العكسي${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$هي المجموعة الفرعية من حاصل الضرب المباشر لـ${\displaystyle A_{i}}$' s تُعرَّف على أنها

${\displaystyle A=\varprojlim _{i\in I}{A_{i}}=\left\{\;\left.{\vec {a}}\in \prod _{i\in I}A_{i}\;\right|\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\text{ لجميع }}i\leq j{\text{ في }}I\;\right\}.}$

يشير التعريف أعلاه للنظام العكسي إلى أن${\displaystyle A}$هي مجموعة مغلقة تحت الضرب النقطي، وبالتالي فهي زمرة، لأن

${\displaystyle f_{ij}(a_{j}\cdot b_{j})=f_{ij}(a_{j})\cdot f_{ij}(b_{j})=a_{i}\cdot b_{i}}$

للجميع​${\displaystyle i<j}$وكل​​${\displaystyle {\vec {a}}،{\vec {b}}\in A}$⁠

النهاية العكسية${\displaystyle A}$يأتي مزودًا بإسقاطات طبيعية π _i : A → A _i والتي تحدد المكون رقم i من حاصل الضرب المباشر لكل${\displaystyle i}$في${\displaystyle I}$. تحقق النهاية العكسية والإسقاطات الطبيعية خاصية عالمية موصوفة في القسم التالي.

يمكن تنفيذ هذا البناء نفسه إذا${\displaystyle A_{i}}$تمثل 's مجموعات ، وشبه مجموعات ، وفضاءات طوبولوجية ، وحلقات ، ووحدات (فوق حلقة ثابتة)، وجبر (فوق حلقة ثابتة)، وما إلى ذلك، والتشاكلات هي تشاكلات في الفئة المقابلة . وينتمي الحد العكسي أيضًا إلى تلك الفئة. ^{[ 1 ]} وبشكل أعم، ينطبق هذا البناء عندما ⁠${\displaystyle A_{i}}$⁠ تنتمي إلى مجموعة متنوعة بمعنى الجبر الشامل ، أي نوع من الهياكل الجبرية، التي تكون بديهياتها غير مشروطة ( الحقول لا تشكل جبرًا، لأن الصفر ليس له معكوس ضربي ).

يمكن تعريف النهاية العكسية بشكل مجرد في أي فئة باستخدام خاصية شاملة . ليكن${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$ليكن نظامًا عكسيًا من الكائنات والتشاكلات في فئة C (نفس التعريف أعلاه). الحد العكسي لهذا النظام هو كائن X في C مع تشاكلات π _i : X → X _i (تسمى الإسقاطات ) التي تحقق π _i =${\displaystyle f_{ij}}$∘ π _j لجميع i ≤ j . يجب أن يكون الزوج ( X , π _i ) شاملاً بمعنى أنه لأي زوج آخر من هذا النوع ( Y , ψ _i ) يوجد تشاكل وحيد u : Y → X بحيث يكون المخطط

تتبادل هذه الدالة لجميع قيم i ≤ j . ويُشار إلى النهاية العكسية غالبًا بـ

${\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}$

مع النظام العكسي${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$والإسقاطات المتعارف عليها${\displaystyle \pi _{i}}$أن يتم فهمك.

في بعض الفئات، لا توجد نهاية عكسية لبعض الأنظمة العكسية. ولكن إذا وُجدت، فهي فريدة بمعنى قوي: فبمعرفة أي نهايتين عكسيتين X و X' لنظام عكسي، يوجد تماثل فريد X ′ → X يتبادل مع خرائط الإسقاط.

تقبل الأنظمة العكسية والنهايات العكسية في فئة C وصفًا بديلًا باستخدام الدوال . يمكن اعتبار أي مجموعة مرتبة جزئيًا I فئة صغيرة حيث تتكون التشكلات من أسهم i → j إذا وفقط إذا كان i ≤ j . النظام العكسي هو ببساطة دالة متغايرة I → C. ليكن${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}}$لتكن C فئة هذه الدوال (مع التحويلات الطبيعية كتشاكلات). يمكن اعتبار الكائن X من C نظامًا عكسيًا تافهًا، حيث تكون جميع الكائنات مساوية لـ X وجميع الأسهم هي عناصر محايدة لـ X. هذا يُعرّف "دالة تافهة" من C إلى${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}.}$يتم تعريف النهاية العكسية، إن وجدت، على أنها المرافق الأيمن لهذا المؤثر التافه.

إذا كانت نطاقات التشكلات لنظام عكسي من المجموعات الأبيلية ( A _i , f _ij ) ثابتة ، أي أنه لكل k يوجد j ≥ k بحيث يكون لكل i ≥ j  :${\displaystyle f_{kj}(A_{j})=f_{ki}(A_{i})}$يقول أحدهم أن النظام يفي بشرط ميتاج-ليفلر .

أطلق بورباكي اسم "ميتاج-ليفلر" على هذا الشرط في فصله عن البنى المنتظمة، وذلك لنتيجة مماثلة تتعلق بالنهايات العكسية للفضاءات المنتظمة الكاملة لهاوسدورف. وقد استخدم ميتاج-ليفلر حجة مماثلة في برهان نظرية ميتاج-ليفلر .

فيما يلي أمثلة على الحالات التي يتحقق فيها شرط ميتاج-ليفلر:

• نظام تكون فيه التشكلات f _ij شاملة.
• نظام من الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة أو المجموعات الأبيلية المحدودة أو الوحدات ذات الطول المحدود أو الوحدات الأرتينية .

مثال حيث${\displaystyle \varprojlim {}^{1}}$يتم الحصول على قيمة غير صفرية بأخذ I كأعداد صحيحة غير سالبة ، وتعيين A _i = p ⁱ Z ، و B _i = Z ، و C _i = B _i / A _i = Z / p ⁱ Z. ثم

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}A_{i}=\mathbf {Z} _{p}/\mathbf {Z} }$

حيث يرمز Z _p إلى الأعداد الصحيحة p-adic .

بشكلٍ أعم، إذا كانت C فئة تبديلية اختيارية تحتوي على عدد كافٍ من الدوال الحقنية ، فإن C ^I تحتوي أيضًا على عدد كافٍ من الدوال الحقنية، وبالتالي يمكن تعريف الدوال المشتقة اليمنى لدالة النهاية العكسية. يُرمز للدالة المشتقة اليمنى رقم n بالرمز التالي:

${\displaystyle R^{n}\varprojlim :C^{I}\rightarrow C.}$

في حالة كون C يحقق بديهية غروتينديك ( AB4*) ، قام يان-إريك روس بتعميم الدالة lim ¹ على Ab ^I إلى سلسلة من الدوال lim ⁿ بحيث

${\displaystyle \varprojlim {}^{n}\cong R^{n}\varprojlim .}$

It was thought for almost 40 years that Roos had proved (in Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications.) that lim¹A_i = 0 for (A_i, f_ij) an inverse system with surjective transition morphisms and I the set of non-negative integers (such inverse systems are often called "Mittag-Leffler sequences"). However, in 2002, Amnon Neeman and Pierre Deligne constructed an example of such a system in a category satisfying (AB4) (in addition to (AB4*)) with lim¹A_i ≠ 0. Roos has since shown (in "Derived functors of inverse limits revisited") that his result is correct if C has a set of generators (in addition to satisfying (AB3) and (AB4*)).

Barry Mitchell has shown (in "The cohomological dimension of a directed set") that if I has cardinality${\displaystyle \aleph _{d}}$ (the dth infinite cardinal), then Rⁿlim is zero for all n ≥ d + 2. This applies to the I-indexed diagrams in the category of R-modules, with R a commutative ring; it is not necessarily true in an arbitrary abelian category (see Roos' "Derived functors of inverse limits revisited" for examples of abelian categories in which limⁿ, on diagrams indexed by a countable set, is nonzero for n > 1).