نظرية ايستون

في نظرية المجموعات ، تعتبر نظرية إيستون نتيجة للأعداد الأساسية الممكنة لمجموعات القوى . أظهر إيستون (1970) (تمديد نتيجة روبرت م. سولوفاي ) عن طريق القوة أن القيود الوحيدة على القيم المسموح بها لـ 2 ^κ عندما يكون κ عددًا أساسيًا منتظمًا هي

${\displaystyle \kappa <\operatorname {cf} (2^{\kappa })}$

(حيث cf( α ) هي النهاية المشتركة لـ  α ) و

${\displaystyle {\text{إذا}}\kappa <\lambda {\text{ثم}}2^{\kappa }\leq 2^{\lambda }.}$

إذا كانت G دالة فئة يتكون مجالها من ترتيبات ويتكون نطاقها من ترتيبات بحيث

1. G غير متناقصة،
2. تكون النهاية المشتركة لـ أكبر من لكل α في مجال G ، و${\displaystyle \aleph _{G(\alpha )}}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$
3. ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$يكون منتظمًا لكل α في مجال G ،

ثم هناك نموذج ZFC مثل

${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{G(\alpha )}}$

لكل واحد في مجال G . ${\displaystyle \alpha }$

يستخدم إثبات نظرية إيستون القوة مع فئة مناسبة من شروط القوة على نموذج يلبي فرضية المتصل المعمم.

الشرطان الأولان في النظرية ضروريان. الشرط الأول هو خاصية معروفة للعدد الأساسي، بينما الشرط الثاني يتبع نظرية كونيغ .

في نموذج إيستون، تمتلك مجموعات القوى للأعداد الأساسية المفردة أصغر عدد أساسي ممكن متوافق مع الشروط التي يكون فيها 2 ^κ له نهائية مشتركة أكبر من κ ويكون دالة غير متناقصة لـ κ.

أثبت سيلفر (1975) أن العدد الأساسي المفرد ذو التكافؤ غير القابل للعد لا يمكن أن يكون أصغر عدد أساسي تفشل فيه فرضية المتصل المعمم . يوضح هذا أن نظرية إيستون لا يمكن توسيعها لتشمل فئة جميع الأعداد الأساسية. يعطي برنامج نظرية PCF نتائج حول القيم المحتملة لـ للأعداد الأساسية المفردة . تُظهر نظرية PCF أن قيم دالة المتصل على الأعداد الأساسية المفردة تتأثر بشدة بالقيم على الأعداد الأساسية الأصغر، بينما تُظهر نظرية إيستون أن قيم دالة المتصل على الأعداد الأساسية المنتظمة تتأثر بشكل ضعيف فقط بالقيم على الأعداد الأساسية الأصغر. ${\displaystyle 2^{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$

• فرضية العدد الأساسي المفرد
• رقم الالف
• رقم بيث

• Easton, W. (1970)، "قوى الأعداد الأساسية المنتظمة"، Ann. Math. Logic ، 1 (2): 139–178، doi :10.1016/0003-4843(70)90012-4
• سيلفر، جاك (1975)، "حول مشكلة الأعداد الأساسية المفردة"، وقائع المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات (فانكوفر، كولومبيا البريطانية، 1974) ، المجلد 1، مونتريال، كيبيك: مؤتمر الرياضيات الكندي، ص 265-268، MR  0429564