الإجبار (الرياضيات)

في نظرية المجموعات ، يُعدّ الإجبار أسلوبًا لإثبات نتائج الاتساق والاستقلال . وبشكل بديهي، يمكن اعتبار الإجبار أسلوبًا لتوسيع نطاق نظرية المجموعات .${\displaystyle V}$إلى كون أوسع${\displaystyle V[G]}$من خلال تقديم كائن "عام" جديد${\displaystyle G}$.

استُخدمت تقنية الإجبار لأول مرة من قِبل بول كوهين عام ١٩٦٣، لإثبات استقلالية بديهية الاختيار وفرضية الاستمرارية عن نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات . وقد أُعيد صياغتها وتبسيطها بشكل كبير في السنوات اللاحقة، ومنذ ذلك الحين أصبحت تقنية فعّالة، سواء في نظرية المجموعات أو في مجالات المنطق الرياضي مثل نظرية الحوسبة . تستخدم نظرية المجموعات الوصفية مفاهيم الإجبار من كلٍّ من نظرية الحوسبة ونظرية المجموعات. كما استُخدمت تقنية الإجبار في نظرية النماذج ، ولكن من الشائع في نظرية النماذج تعريف العمومية مباشرةً دون الإشارة إلى الإجبار.

تُستخدم عملية الإجبار عادةً لبناء كون موسع يحقق خاصية معينة مرغوبة. على سبيل المثال، قد يحتوي الكون الموسع على العديد من الأعداد الحقيقية الجديدة (على الأقل${\displaystyle \aleph _{2}}$(منها)، والتي تم تحديدها مع مجموعات فرعية من المجموعة${\displaystyle \mathbb {N} }$من الأعداد الطبيعية، التي لم تكن موجودة في الكون القديم، وبالتالي تنتهك فرضية الاستمرارية .

لتبرير هذا التوسع بشكل بديهي، من الأفضل اعتبار "الكون القديم" نموذجًا .${\displaystyle M}$من نظرية المجموعات، التي هي نفسها مجموعة في "الكون الحقيقي".${\displaystyle V}$. بواسطة نظرية Löwenheim-Skolem ،${\displaystyle M}$يمكن اختيار نموذج "بسيط" قابل للعد خارجيًا ، مما يضمن وجود العديد من المجموعات الفرعية (في${\displaystyle V}$) ل${\displaystyle \mathbb {N} }$التي ليست في${\displaystyle M}$. على وجه التحديد، هناك ترتيبي${\displaystyle \aleph _{2}^{M}}$الذي "يلعب دور الكاردينال "${\displaystyle \aleph _{2}}$" في${\displaystyle M}$، لكنها في الواقع قابلة للعد في${\displaystyle V}$العمل في${\displaystyle V}$، ينبغي أن يكون من السهل إيجاد مجموعة فرعية مميزة واحدة من${\displaystyle \mathbb {N} }$لكل عنصر من عناصر${\displaystyle \aleph _{2}^{M}}$(لتبسيط الأمر، يمكن تمييز هذه المجموعة من المجموعات الجزئية بمجموعة جزئية واحدة)${\displaystyle X\subseteq \aleph _{2}^{M}\times \mathbb {N} }$.)

مع ذلك، قد يكون من المستحسن، من بعض النواحي، "بناء النموذج الموسع".${\displaystyle M[X]}$داخل${\displaystyle M}$سيساعد هذا في ضمان أن${\displaystyle M[X]}$"يشبه"${\displaystyle M}$في جوانب معينة، مثل${\displaystyle \aleph _{2}^{M[X]}}$كونه مماثلاً لـ${\displaystyle \aleph _{2}^{M}}$(وبشكل أعم، لا يحدث انهيار أساسي )، ويسمح بالتحكم الدقيق في خصائص${\displaystyle M[X]}$وبشكل أدق، كل عضو من${\displaystyle M[X]}$ينبغي إعطاؤه اسمًا (غير فريد) في${\displaystyle M}$يمكن اعتبار الاسم تعبيراً من حيث${\displaystyle X}$تمامًا كما هو الحال في امتداد حقل بسيط${\displaystyle L=K(\theta )}$كل عنصر من${\displaystyle L}$يمكن التعبير عنها بدلالة${\displaystyle \theta }$يُعد التلاعب بتلك الأسماء أحد المكونات الرئيسية للإجبار.${\displaystyle M}$لذلك قد يكون من المفيد أحيانًا التفكير مباشرة في${\displaystyle M}$باعتباره "الكون"، مع العلم أن نظرية الإجبار تضمن ذلك${\displaystyle M[X]}$سيتوافق مع نموذج فعلي.

تتمثل إحدى النقاط الدقيقة للإجبار في أنه، إذا${\displaystyle X}$يُعتبر مجموعة فرعية "مفقودة" عشوائية من مجموعة ما في${\displaystyle M}$ثم الـ${\displaystyle M[X]}$تم بناؤه "داخل${\displaystyle M}$قد لا يكون نموذجًا حتى. هذا لأن${\displaystyle X}$قد تتضمن معلومات "خاصة" حول${\displaystyle M}$ذلك غير مرئي في الداخل${\displaystyle M}$(مثل قابلية العد لـ${\displaystyle M}$وبالتالي إثبات وجود مجموعات "معقدة للغاية بالنسبة لـ${\displaystyle M}$لوصف. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

يتجنب الإجبار هذه المشاكل من خلال اشتراط المجموعة المُدخلة حديثًا${\displaystyle X}$أن تكون مجموعة عامة بالنسبة إلى${\displaystyle M}$[ ^{1 ]} بعض العبارات "مُجبرة" على أن تكون صحيحة لأي ^عام${\displaystyle X}$على سبيل المثال، عام${\displaystyle X}$يُجبر على أن يكون لانهائيًا. علاوة على ذلك، أي خاصية (قابلة للوصف في${\displaystyle M}$يُجبر عنصر من مجموعة عامة على التحقق في ظل شرط إجباري معين . ويمكن تعريف مفهوم "الإجبار" ضمن${\displaystyle M}$وهو يعطي${\displaystyle M}$قوة استدلالية كافية لإثبات ذلك${\displaystyle M[X]}$إنه بالفعل نموذج يلبي الخصائص المطلوبة.

تختلف تقنية كوهين الأصلية، والتي تُسمى الآن بالفرض المتفرع ، اختلافًا طفيفًا عن الفرض غير المتفرع الموضح هنا. كما أن الفرض يُعادل طريقة النماذج ذات القيم المنطقية ، والتي يرى البعض أنها أكثر طبيعية وبديهية من الناحية المفاهيمية، ولكنها عادةً ما تكون أصعب بكثير في التطبيق. ^{[ 3 ]}

يمكن اعتبار كل شرط من شروط الإجبار بمثابة معلومة محدودة تتعلق بالشيء${\displaystyle X}$مُلحقة بالنموذج. توجد طرق عديدة لتقديم معلومات حول كائن ما، مما يُؤدي إلى ظهور مفاهيم إجبارية مختلفة . يتمثل أحد الأساليب العامة لصياغة المفاهيم الإجبارية في اعتبار الشروط الإجبارية كائنات مجردة ذات بنية مجموعة جزئية مرتبة .

المجموعة المرتبة القسرية هي ثلاثية مرتبة،${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leq ,\mathbf {1} )}$، أين${\displaystyle \leq }$الطلب المسبق متاح على${\displaystyle \mathbb {P} }$، و${\displaystyle \mathbf {1} }$هو العنصر الأكبر. أعضاء${\displaystyle \mathbb {P} }$هي الشروط القسرية (أو ببساطة الشروط ). علاقة الترتيب${\displaystyle p\leq q}$وسائل "${\displaystyle p}$أقوى من​${\displaystyle q}$(بشكل بديهي، يوفر الشرط "الأصغر" معلومات "أكثر"، تمامًا كما تفعل الفترة الأصغر)${\displaystyle [3.1415926,3.1415927]}$يوفر معلومات أكثر عن العدد π من الفترة${\displaystyle [3.1,3.2]}$(يفعل ذلك.) علاوة على ذلك، الطلب المسبق${\displaystyle \leq }$ يجب أن يستوفي شرط التقسيم :

• لكل${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$، هناك${\displaystyle q,r\in \mathbb {P} }$بحيث${\displaystyle q,r\leq p}$بدون${\displaystyle s\in \mathbb {P} }$بحيث${\displaystyle s\leq q,r}$.

بمعنى آخر، يجب أن يكون من الممكن تعزيز أي شرط قسري${\displaystyle p}$في اتجاهين غير متوافقين على الأقل. وبشكل بديهي، يعود ذلك إلى${\displaystyle p}$إنها مجرد معلومة محدودة، بينما يلزم معلومة غير محدودة لتحديد${\displaystyle X}$.

توجد اصطلاحات مختلفة مستخدمة. بعض المؤلفين يشترطون${\displaystyle \leq }$أن تكون العلاقة متناظرة عكسيًا أيضًا، بحيث تكون ترتيبًا جزئيًا . يستخدم البعض مصطلح " الترتيب الجزئي" على أي حال، وهو ما يتعارض مع المصطلحات القياسية، بينما يستخدم آخرون مصطلح " الترتيب المسبق" . يمكن الاستغناء عن العنصر الأكبر. كما يُستخدم الترتيب العكسي، لا سيما من قِبل ساهارون شيلاه وزملاؤه.

على الرغم من أن كل حالة إجبار فردية${\displaystyle p}$لا يمكن تحديد الكائن العام بشكل كامل${\displaystyle X}$المجموعة${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} }$تحدد جميع ظروف الإجبار الحقيقية${\displaystyle X}$في الواقع، ودون الإخلال بعمومية الموضوع،${\displaystyle G}$يُعتبر عادةً الكائن العام الملحق بـ${\displaystyle M}$لذلك يُطلق على النموذج الموسع اسم${\displaystyle M[G]}$عادةً ما يكون من السهل بما يكفي إثبات أن الشيء المطلوب أصلاً${\displaystyle X}$موجود بالفعل في النموذج${\displaystyle M[G]}$.

بموجب هذا الاتفاق، يمكن وصف مفهوم "الكائن العام" بطريقة عامة. على وجه التحديد، المجموعة${\displaystyle G}$ينبغي أن يكون هناك مرشح عام على${\displaystyle \mathbb {P} }$بالنسبة إلى${\displaystyle M}$يعني شرط " التصفية " أنه من المنطقي أن${\displaystyle G}$هي مجموعة من جميع شروط الإجبار الحقيقية:

• ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P}$ ;}
• ${\displaystyle \mathbf {1} \in G;}$
• لو${\displaystyle p\geq q\in G}$، ثم${\displaystyle p\in G;}$
• لو${\displaystyle p,q\in G}$إذن يوجد${\displaystyle r\in G}$بحيث${\displaystyle r\leq p,q.}$

ل${\displaystyle G}$أن يكون "عامًا نسبيًا لـ"${\displaystyle M}$" وسائل:

• لو${\displaystyle D\in M}$هي مجموعة فرعية "كثيفة" من${\displaystyle \mathbb {P} }$(أي لكل${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$يوجد${\displaystyle q\in D}$بحيث${\displaystyle q\leq p}$)، ثم${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$.

بشرط${\displaystyle M}$هو نموذج قابل للعد، ووجود مرشح عام${\displaystyle G}$ويترتب على ذلك مبرهنة راسيوا-سيكورسكي . في الواقع، هناك ما هو أكثر من ذلك بقليل: بالنظر إلى شرط ما${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$يمكن للمرء أن يجد مرشحًا عامًا${\displaystyle G}$بحيث${\displaystyle p\in G}$بسبب حالة الانقسام في${\displaystyle \mathbb {P} }$، لو${\displaystyle G}$إذا كان مرشحًا، فإذن${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G}$كثيف. إذا${\displaystyle G\in M}$، ثم${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G\in M}$لأن${\displaystyle M}$هو نموذج لـ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ولهذا السبب، لا يوجد مرشح عام أبدًا${\displaystyle M}$.

مرتبط بوضعية إجبارية${\displaystyle \mathbb {P} }$هو الفصل${\displaystyle V^{(\mathbb {P} )}}$ل${\displaystyle \mathbb {P} }$- أسماء . أ${\displaystyle \mathbb {P} }$-name عبارة عن مجموعة${\displaystyle A}$من الشكل

${\displaystyle A\subseteq \{(u,p)\mid u~{\text{is a}}~\mathbb {P} {\text{-name and}}~p\in \mathbb {P} \}.}$

بغض النظر عن أي مرشح${\displaystyle G}$على${\displaystyle \mathbb {P} }$، خريطة التفسير أو التقييم من${\displaystyle \mathbb {P} }$يتم تحديد الأسماء بواسطة

${\displaystyle \operatorname {val} (u,G)=\{\operatorname {val} (v,G)\mid \exists p\in G:~(v,p)\in u\}.}$

ال${\displaystyle \mathbb {P} }$في الواقع، تُعدّ الأسماء التي تنتهي بـ "-" امتدادًا للكون .${\displaystyle x\in V}$، أحد التعريف${\displaystyle {\check {x}}}$أن يكون${\displaystyle \mathbb {P} }$-اسم

${\displaystyle {\check {x}}=\{({\check {y}},\mathbf {1} )\mid y\in x\}.}$

منذ${\displaystyle \mathbf {1} \in G}$وبناءً على ذلك${\displaystyle \operatorname {val} ({\check {x}},G)=x}$بمعنى ما،${\displaystyle {\check {x}}}$هو "اسم لـ${\displaystyle x}$"هذا لا يعتمد على الاختيار المحدد لـ${\displaystyle G}$.

وهذا يسمح أيضاً بتحديد "اسم لـ${\displaystyle G}$"دون الإشارة صراحة إلى${\displaystyle G}$:

${\displaystyle {\underline {G}}=\{({\check {p}},p)\mid p\in \mathbb {P} \}}$

لهذا السبب.${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {G}},G)=\{\operatorname {val} ({\check {p}},G)\mid p\in G\}=G}$.

بالنظر إلى مرشح عام${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} }$، يتم ذلك على النحو التالي. الفئة الفرعية من${\displaystyle \mathbb {P} }$-الأسماء في${\displaystyle M}$يُشار إليه بـ${\displaystyle M^{(\mathbb {P} )}}$. يترك

${\displaystyle M[G]=\left\{\operatorname {val} (u,G)~{\Big |}~u\in M^{(\mathbb {P} )}\right\}.}$

لتقليل دراسة نظرية المجموعات${\displaystyle M[G]}$إلى ذلك من${\displaystyle M}$يعمل المرء مع "لغة الإجبار"، التي تُبنى مثل منطق الرتبة الأولى العادي ، حيث تكون العضوية هي العلاقة الثنائية وكل ما يتعلق بها.${\displaystyle \mathbb {P} }$-الأسماء كثوابت.

يُعرِّف${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$(يقرأ على النحو التالي "${\displaystyle p}$القوات${\displaystyle \varphi }$في النموذج${\displaystyle M}$مع مقعد${\displaystyle \mathbb {P} }$")، أين${\displaystyle p}$هو شرط،${\displaystyle \varphi }$هي صيغة في لغة الإجبار، و${\displaystyle u_{i}}$'s are${\displaystyle \mathbb {P} }$-names، بمعنى أنه إذا${\displaystyle G}$هو مرشح عام يحتوي على${\displaystyle p}$، ثم${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$الحالة الخاصة${\displaystyle \mathbf {1} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$غالباً ما تُكتب على النحو التالي: "${\displaystyle \mathbb {P} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$أو ببساطة${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$"هذه التصريحات صحيحة في${\displaystyle M[G]}$بغض النظر عن${\displaystyle G}$يكون.

المهم هو أن هذا التعريف الخارجي لعلاقة الإجبار${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$وهو ما يعادل تعريفًا داخليًا ضمن${\displaystyle M}$، مُعرَّفة بالاستقراء المتسامي (على وجه التحديد${\displaystyle \in }$الاستقراء ) على${\displaystyle \mathbb {P} }$-الأسماء في حالات${\displaystyle u\in v}$و${\displaystyle u=v}$ثم بالاستقراء العادي على تعقيد الصيغ. وهذا يؤدي إلى أن جميع خصائص${\displaystyle M[G]}$هي في الواقع خصائص لـ${\displaystyle M}$والتحقق من${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$في${\displaystyle M[G]}$يصبح الأمر واضحاً. وعادةً ما يُلخص ذلك في الخصائص الرئيسية الثلاث التالية:

• حقيقة :${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$إذا وفقط إذا كان ذلك مفروضًا من قبل${\displaystyle G}$أي، لشرط ما${\displaystyle p\in G}$لدينا${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$.
• قابلية التعريف : العبارة "${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$"يمكن تعريفها في${\displaystyle M}$.
• التماسك :${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})\land q\leq p\implies q\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$.

يمكن تلخيص المناقشة أعلاه من خلال نتيجة الاتساق الأساسية التي تنص على أنه، بالنظر إلى مجموعة جزئية مفروضة قسرية${\displaystyle \mathbb {P} }$، يمكننا أن نفترض وجود مرشح عام${\displaystyle G}$، لا ينتمي إلى الكون${\displaystyle V}$بحيث${\displaystyle V[G]}$وهو مرة أخرى كون قائم على نظرية المجموعات يقوم بنمذجة${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$علاوة على ذلك، فإن جميع الحقائق في${\displaystyle V[G]}$قد تُختزل إلى حقائق في${\displaystyle V}$يتضمن ذلك علاقة الإجبار.

كلا النمطين، متجاورين${\displaystyle G}$إما إلى نموذج متعدي قابل للعد${\displaystyle M}$أو الكون بأكمله${\displaystyle V}$تُستخدم هذه الأساليب بشكل شائع. أما الأسلوب الأقل شيوعًا فهو الذي يستخدم التعريف "الداخلي" للإجبار، والذي لا يُذكر فيه أي شيء عن نماذج المجموعات أو الفئات. كانت هذه هي طريقة كوهين الأصلية، وفي أحد تطويراتها، أصبحت طريقة التحليل المنطقي.

أبسط مجموعة جزئية إجبارية غير تافهة هي${\displaystyle (\operatorname {Fin} (\omega ,2),\supseteq ,\emptyset )}$، الدوال الجزئية المحدودة من${\displaystyle \omega }$ل${\displaystyle 2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}}$تحت التضمين العكسي . أي، شرط${\displaystyle p}$هي في الأساس مجموعتان جزئيتان منتهيتان منفصلتان${\displaystyle {p^{-1}}[1]}$و${\displaystyle {p^{-1}}[0]}$ل${\displaystyle \omega }$، ليتم اعتبارها أجزاء "نعم" و "لا" من${\displaystyle p}$، دون تقديم أي معلومات عن القيم خارج نطاق${\displaystyle p}$"${\displaystyle q}$أقوى من${\displaystyle p}$"يعني ذلك"${\displaystyle q\supseteq p}$بمعنى آخر، أجزاء "نعم" و"لا" من${\displaystyle q}$هي مجموعات شاملة لأجزاء "نعم" و "لا" من${\displaystyle p}$وبهذا المعنى، تقديم المزيد من المعلومات.

يترك${\displaystyle G}$كن مرشحًا عامًا لهذه المجموعة المرتبة جزئيًا. إذا${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$كلاهما في${\displaystyle G}$، ثم${\displaystyle p\cup q}$هو شرط لأن${\displaystyle G}$هو مرشح. هذا يعني أن${\displaystyle g=\bigcup G}$هي دالة جزئية محددة جيدًا من${\displaystyle \omega }$ل${\displaystyle 2}$لأن أي شرطين في${\displaystyle G}$يتفقون على مجالهم المشترك.

في الحقيقة،${\displaystyle g}$هي دالة كلية. معطى${\displaystyle n\in \omega }$، يترك${\displaystyle D_{n}=\{p\mid p(n)~{\text{is defined}}\}}$. ثم${\displaystyle D_{n}}$كثيف. (مع الأخذ في الاعتبار أي${\displaystyle p}$، لو${\displaystyle n}$ليس في${\displaystyle p}$في نطاق ، أضف قيمة لـ${\displaystyle n}$والنتيجة هي في${\displaystyle D_{n}}$.) حالة${\displaystyle p\in G\cap D_{n}}$لديه${\displaystyle n}$في نطاقها، ومنذ ذلك الحين${\displaystyle p\subseteq g}$، نجد أن${\displaystyle g(n)}$تم تعريفها.

يترك${\displaystyle X={g^{-1}}[1]}$، وهي مجموعة جميع العناصر "نعم" للشروط العامة. من الممكن تسمية${\displaystyle X}$مباشرة. دع

${\displaystyle {\underline {X}}=\left\{\left({\check {n}},p\right)\mid p(n)=1\right\}.}$

ثم${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {X}},G)=X.}$لنفترض الآن أن${\displaystyle A\subseteq \omega }$في${\displaystyle V}$نزعم أن${\displaystyle X\neq A}$. يترك

${\displaystyle D_{A}=\{p\mid \exists n(n\in \operatorname {Dom} (p)\land (p(n)=1\iff n\notin A))\}.}$

ثم${\displaystyle D_{A}}$كثيف. (مع الأخذ في الاعتبار أي${\displaystyle p}$، يجد${\displaystyle n}$التي ليست ضمن نطاقها، وأضف قيمة لـ${\displaystyle n}$خلافًا لوضع "${\displaystyle n\in A}$ثم أي${\displaystyle p\in G\cap D_{A}}$شهود${\displaystyle X\neq A}$باختصار،${\displaystyle X}$هي مجموعة فرعية "جديدة" من${\displaystyle \omega }$، لا نهائي بالضرورة.

استبدال${\displaystyle \omega }$مع${\displaystyle \omega \times \omega _{2}}$أي، بالنظر بدلاً من ذلك إلى الدوال الجزئية المحدودة التي تكون مدخلاتها على الشكل${\displaystyle (n,\alpha )}$، مع${\displaystyle n<\omega }$و${\displaystyle \alpha <\omega _{2}}$، والتي تكون مخرجاتها${\displaystyle 0}$أو${\displaystyle 1}$، يحصل المرء${\displaystyle \omega _{2}}$مجموعات فرعية جديدة من${\displaystyle \omega }$جميعها متميزة، بحسب حجة الكثافة: بالنظر إلى${\displaystyle \alpha <\beta <\omega _{2}}$، يترك

${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }=\{p\mid \exists n(p(n,\alpha )\neq p(n,\beta ))\},}$

ثم كل${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }}$كثيفة، وشرط عام فيها يثبت أن المجموعة الجديدة رقم α تختلف في مكان ما مع${\displaystyle \beta }$المجموعة الجديدة.

هذا لا يُعدّ بعدُ دحضًا لفرضية الاستمرارية. يجب إثبات عدم وجود خرائط جديدة تم إدخالها على تلك الخريطة.${\displaystyle \omega }$على${\displaystyle \omega _{1}}$، أو${\displaystyle \omega _{1}}$على${\displaystyle \omega _{2}}$على سبيل المثال، إذا نظرنا بدلاً من ذلك${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega ,\omega _{1})}$الدوال الجزئية المحدودة من${\displaystyle \omega }$ل${\displaystyle \omega _{1}}$، أول عدد ترتيبي غير معدود ، يدخل${\displaystyle V[G]}$تقابل من​${\displaystyle \omega }$ل${\displaystyle \omega _{1}}$. بعبارة أخرى،${\displaystyle \omega _{1}}$انهارت ، وفي الامتداد القسري، هي عدد ترتيبي قابل للعد .

تتمثل الخطوة الأخيرة في إثبات استقلالية فرضية الاستمرارية في إظهار أن فرض كوهين لا يؤدي إلى اختزال الأعداد الأصلية. ولتحقيق ذلك، فإن إحدى الخصائص التوافقية الكافية هي أن جميع السلاسل المضادة لمجموعة الترتيب الجزئي المجبر قابلة للعد.

مضاد سلسلة ( قوي)${\displaystyle A}$ل${\displaystyle \mathbb {P} }$هي مجموعة جزئية بحيث إذا${\displaystyle p,q\in A}$و${\displaystyle p\neq q}$، ثم${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$غير متوافقين (مكتوب)${\displaystyle p\perp q}$مما يعني أنه لا يوجد${\displaystyle r}$في${\displaystyle \mathbb {P} }$بحيث${\displaystyle r\leq p}$و${\displaystyle r\leq q}$في المثال المتعلق بمجموعات بوريل، تعني عدم التوافق ما يلي:${\displaystyle p\cap q}$لها قياس صفري. في المثال المتعلق بالدوال الجزئية المنتهية، يعني عدم التوافق أن${\displaystyle p\cup q}$بمعنى آخر، هي ليست دالة.${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$قم بتعيين قيم مختلفة لبعض مدخلات المجال.

${\displaystyle \mathbb {P} }$يُقال إنها تحقق شرط السلسلة القابلة للعد (ccc) إذا كانت كل سلسلة مضادة في${\displaystyle \mathbb {P} }$قابل للعد. (الاسم، وهو اسم غير مناسب بشكل واضح، هو موروث من المصطلحات القديمة. يكتب بعض علماء الرياضيات "cac" اختصارًا لـ "شرط السلسلة المضادة القابل للعد").

من السهل أن نرى ذلك${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$يفي بمعايير CCC لأن مجموع التدابير يصل إلى الحد الأقصى${\displaystyle 1}$. أيضًا،${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$يفي بشرط ccc، لكن البرهان أكثر صعوبة.

بافتراض وجود عائلة فرعية غير قابلة للعد${\displaystyle W\subseteq \operatorname {Fin} (E,2)}$، تقلص${\displaystyle W}$إلى عائلة فرعية لا تُحصى${\displaystyle W_{0}}$من مجموعات بحجم محدد على الأكثر${\displaystyle n}$بالنسبة للبعض${\displaystyle n<\omega }$(لبعضهم)${\displaystyle n}$هذا غير قابل للعد، لأنه بخلاف ذلك${\displaystyle W=\bigcup _{n<\omega }\{w\in W:|w|<n\}}$سيكون اتحادًا قابلًا للعد لمجموعات قابلة للعد، وبالتالي قابلًا للعد). إذا${\displaystyle p(e_{1})=b_{1}}$لعدد لا يحصى${\displaystyle p\in W_{0}}$، قم بتقليص هذا إلى عائلة فرعية غير قابلة للعد${\displaystyle W_{1}}$وكرر ذلك للحصول على مجموعة محدودة${\displaystyle \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}\in W_{0}}$وعائلة لا تُحصى${\displaystyle W_{k}}$من ظروف غير متوافقة من حيث الحجم${\displaystyle n-k}$بحيث يكون كل${\displaystyle e}$هو في${\displaystyle \operatorname {Dom} (p)}$لعدد لا يتجاوز العدد المعدود${\displaystyle p\in W_{k}}$والآن، اختر عشوائياً${\displaystyle p\in W_{k}}$واختر من${\displaystyle W_{k}}$أي${\displaystyle q}$هذا ليس واحداً من الأعضاء العديدة التي تشترك في عضو نطاق مع${\displaystyle p}$. ثم${\displaystyle p\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$و${\displaystyle q\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$متوافقان، لذلك${\displaystyle W}$ليست سلسلة مضادة. بعبارة أخرى،${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$السلاسل المضادة قابلة للعد. ^{[ 6 ]}

تكمن أهمية السلاسل المضادة في فرض القواعد في أن المجموعات الكثيفة والسلاسل المضادة القصوى متكافئة في معظم الأغراض. السلسلة المضادة القصوى${\displaystyle A}$هو عنصر لا يمكن تمديده إلى سلسلة مضادة أكبر. وهذا يعني أن كل عنصر${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$متوافق مع بعض أعضاء${\displaystyle A}$إن وجود سلسلة مضادة قصوى يتبع من مبرهنة زورن . بفرض وجود سلسلة مضادة قصوى${\displaystyle A}$، يترك

${\displaystyle D=\left\{p\in \mathbb {P} \mid (\exists q\in A)(p\leq q)\right\}.}$

ثم${\displaystyle D}$كثيف، و${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$إذا وفقط إذا${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$. على العكس من ذلك، بالنظر إلى مجموعة كثيفة${\displaystyle D}$تُظهر مبرهنة زورن أنه يوجد سلسلة مضادة قصوى.${\displaystyle A\subseteq D}$، وثم${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$إذا وفقط إذا${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$.

افترض أن${\displaystyle \mathbb {P} }$يفي بالمتطلبات المحددة${\displaystyle x,y\in V}$، مع${\displaystyle f:x\to y}$دالة في${\displaystyle V[G]}$يمكن للمرء أن يقرّب${\displaystyle f}$داخل${\displaystyle V}$كما يلي.${\displaystyle u}$كن اسمًا لـ${\displaystyle f}$(بحسب تعريف${\displaystyle V[G]}$) ودع${\displaystyle p}$أن يكون شرطًا يجبر${\displaystyle u}$أن تكون دالة من${\displaystyle x}$ل${\displaystyle y}$عرّف دالة${\displaystyle F:x\to {\mathcal {P}}(y)}$، بواسطة

${\displaystyle F(a){\stackrel {\text{df}}{=}}\left\{b\left|(\exists q\in \mathbb {P} )\left[(q\leq p)\land \left(q\Vdash ~u\left({\check {a}}\right)={\check {b}}\right)\right]\right\}.\right.}$

بحسب إمكانية تعريف الإجبار، فإن هذا التعريف منطقي في${\displaystyle V}$من خلال تماسك القوى المؤثرة، يختلف الأمر.${\displaystyle b}$يجب أن يأتي من مصدر غير متوافق${\displaystyle p}$بواسطة ccc،${\displaystyle F(a)}$هو قابل للعد.

في ملخص،${\displaystyle f}$غير معروف في${\displaystyle V}$لأنه يعتمد على${\displaystyle G}$لكن هذا ليس مجهولاً تماماً بالنسبة لفرضية ccc. يمكن تحديد مجموعة قابلة للعد من التخمينات لقيمة${\displaystyle f}$يكون ذلك عند أي مدخل، بغض النظر عن${\displaystyle G}$.

وهذا له النتيجة المهمة التالية. إذا كان في${\displaystyle V[G]}$،${\displaystyle f:\alpha \to \beta }$إذا كان دالةً شاملةً من عدد ترتيبي لانهائي إلى آخر، فإن هناك دالةً شاملةً.${\displaystyle g:\omega \times \alpha \to \beta }$في${\displaystyle V}$وبالتالي، فإنّ التطبيق الشامل${\displaystyle h:\alpha \to \beta }$في${\displaystyle V}$وعلى وجه الخصوص، لا يمكن أن تنهار الأعداد الأساسية. والخلاصة هي أن${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{2}}$في${\displaystyle V[G]}$.

القيمة الدقيقة للمتصل في نموذج كوهين المذكور أعلاه، ومتغيرات مثل${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega \times \kappa ,2)}$للكرادلة${\displaystyle \kappa }$بشكل عام، تم التوصل إلى ذلك بواسطة روبرت م. سولوفاي ، الذي توصل أيضًا إلى كيفية انتهاك${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$( فرضية الاستمرارية المعممة )، للأعداد الأصلية المنتظمة فقط، لعدد محدود من المرات. على سبيل المثال، في نموذج كوهين المذكور أعلاه، إذا${\displaystyle {\mathsf {CH}}}$يصمد${\displaystyle V}$، ثم${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$يصمد${\displaystyle V[G]}$.

وضع ويليام ب. إيستون الصيغة المناسبة لانتهاك الفئة${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$بالنسبة للأعداد الكاردينالية العادية، مما يدل أساسًا على أن القيود المعروفة (الرتابة، ونظرية كانتور ، ونظرية كونيغ ) كانت الوحيدة${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$القيود القابلة للإثبات (انظر نظرية إيستون ).

كان عمل إيستون جديرًا بالملاحظة لأنه تضمن فرض شروط معينة. وبشكل عام، فإن طريقة فرض شروط معينة لا تقدم نموذجًا لـ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$على سبيل المثال، الإجبار مع${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega \times \mathbf {On} ,2)}$، أين${\displaystyle \mathbf {On} }$إن كون المجموعة الترتيبية فئةً مناسبةً لجميع الأعداد الترتيبية، يجعل المتصل فئةً مناسبةً. من ناحية أخرى، فإن فرض مع${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega ,\mathbf {On} )}$يُقدّم تعدادًا قابلًا للعد للأعداد الترتيبية. في كلتا الحالتين، تكون النتيجة${\displaystyle V[G]}$من الواضح أنه ليس نموذجاً لـ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$.

في وقت من الأوقات، كان يُعتقد أن فرض قيود أكثر تعقيدًا سيسمح أيضًا بتغير عشوائي في قوى الأعداد الأصلية المفردة . ومع ذلك، فقد تبين أن هذه مشكلة صعبة ودقيقة، بل ومفاجئة، مع وجود العديد من القيود الأخرى التي يمكن إثباتها في${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$وتعتمد نماذج الإجبار على اتساق خصائص الأعداد الكبيرة المختلفة . ولا تزال هناك العديد من المشكلات المفتوحة.

يمكن تعريف الإجبار العشوائي بأنه إجبار على المجموعة${\displaystyle P}$من جميع المجموعات الفرعية المدمجة من${\displaystyle [0,1]}$من القياس الإيجابي، مرتبة حسب العلاقة${\displaystyle \subseteq }$(المجموعة الأصغر في سياق الاحتواء هي مجموعة أصغر في الترتيب، وتمثل شرطًا يحتوي على معلومات أكثر). هناك نوعان من المجموعات الكثيفة المهمة:

1. لأي عدد صحيح موجب${\displaystyle n}$المجموعة$${\displaystyle D_{n}=\left\{p\in P:\operatorname {diam} (p)<{\frac {1}{n}}\right\}}$$كثيف، حيث${\displaystyle \operatorname {diam} (p)}$قطر المجموعة​${\displaystyle p}$.
2. لأي مجموعة فرعية من بوريل${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$من المقياس 1، المجموعة$${\displaystyle D_{B}=\{p\in P:p\subseteq B\}}$$كثيف.

لأي فلتر${\displaystyle G}$وأي زوج من العناصر${\displaystyle p_{1},p_{2}\in G}$هنالك${\displaystyle q\in G}$بحيث${\displaystyle q\leq p_{1},p_{2}}$بهذا الترتيب، يعني هذا أن أي مرشح مغلق تحت التقاطع المحدود. لذلك، وفقًا لنظرية كانتور للتقاطع ، فإن تقاطع جميع العناصر في أي مرشح غير فارغ.${\displaystyle G}$هو مرشح يتقاطع مع المجموعة الكثيفة${\displaystyle D_{n}}$لأي عدد صحيح موجب${\displaystyle n}$ثم المرشح${\displaystyle G}$يحتوي على شروط ذات قطر موجب صغير بشكل تعسفي. لذلك، فإن تقاطع جميع الشروط من${\displaystyle G}$قطرها صفر. لكن المجموعات غير الفارغة الوحيدة ذات القطر صفر هي مجموعات أحادية. لذا يوجد عدد حقيقي واحد فقط.${\displaystyle r_{G}}$بحيث${\displaystyle r_{G}\in \bigcap G}$.

يترك${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$أي مجموعة بوريل ذات قياس 1. إذا${\displaystyle G}$يتقاطع${\displaystyle D_{B}}$، ثم${\displaystyle r_{G}\in B}$.

ومع ذلك، فإن المرشح العام على نموذج متعدي قابل للعد${\displaystyle M}$ليس في${\displaystyle M}$الحقيقي${\displaystyle r_{G}}$محدد بواسطة${\displaystyle G}$من المؤكد أنه ليس عنصرًا من${\displaystyle M}$إحدى المشكلات المتعلقة بهذا البناء هي أنه إذا${\displaystyle p\in P}$، ثم${\displaystyle M\models }$"${\displaystyle p}$"مضغوطة"، ولكن من وجهة نظر كون أكبر${\displaystyle V\supseteq M}$،${\displaystyle p}$يمكن أن تكون غير مضغوطة، وتقاطع جميع الشروط من المرشح العام${\displaystyle G}$ويمكن أن تكون فارغة. ولحل هذه المشكلة، نعتبر المجموعة${\displaystyle C=\{{\bar {p}}:p\in G\}}$من الإغلاقات الطوبولوجية للشروط من${\displaystyle G}$. لأن${\displaystyle {\bar {p}}\supseteq p}$ولأن${\displaystyle G}$إذا كانت المجموعة مغلقة تحت التقاطع المحدود، فإن نظرية كانتور للتقاطع تنطبق، ويكون تقاطع المجموعة${\displaystyle C}$غير فارغة. بما أن${\displaystyle \operatorname {diam} ({\bar {p}})=\operatorname {diam} (p)}$والنموذج الأرضي${\displaystyle M}$يرث مقياسًا من الكون${\displaystyle V}$المجموعة${\displaystyle C}$تحتوي على عناصر ذات قطر صغير بشكل تعسفي. وأخيرًا، يوجد عدد حقيقي واحد فقط ينتمي إلى جميع عناصر المجموعة.${\displaystyle C}$المرشح العام${\displaystyle G}$يمكن إعادة بنائها من${\displaystyle r_{G}}$مثل${\displaystyle G=\{p\in P:r_{G}\in {\bar {p}}\}}$.

لو${\displaystyle a\in M^{(\mathbb {P} )}}$هو اسم لـ${\displaystyle r_{G}}$(أي،${\displaystyle M[G]\models val(a,G)=r_{G}}$), ولـ${\displaystyle B\in M}$البشر${\displaystyle M\models }$"${\displaystyle B}$إذا كانت مجموعة بوريل ذات قياس 1، فبحسب خاصية الصدق للإجبار

${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }a\in {\check {B}}}$

بالنسبة للبعض${\displaystyle p\in G}$هناك اسم${\displaystyle a}$ذلك يرضي

${\displaystyle \operatorname {val} (a,G)\in \bigcup _{p\in G}{\bar {p}}}$

لأي مرشح عام${\displaystyle G}$لذلك${\displaystyle a}$،

${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }a\in {\check {B}}}$

ينطبق على أي شرط${\displaystyle p}$.

يمكن بناء كل مجموعة بوريل (بطريقة غير فريدة)، بدءًا من فترات ذات نهايات نسبية وتطبيق عمليتي المتمم والاتحاد القابل للعد، عددًا قابلًا للعد من المرات. يُطلق على سجل هذا البناء اسم رمز بوريل . بالنظر إلى مجموعة بوريل${\displaystyle B}$في${\displaystyle V}$يستعيد المرء رمز بوريل، ثم يطبق نفس تسلسل البناء في${\displaystyle M[G]}$الحصول على مجموعة بوريل${\displaystyle B^{*}}$يمكن إثبات أنه يمكن الحصول على نفس المجموعة بغض النظر عن الرمز المختار لـ${\displaystyle B}$وأن الخصائص الأساسية محفوظة. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle B\subseteq C}$، ثم${\displaystyle B^{*}\subseteq C^{*}}$. لو${\displaystyle B}$إذا كان قياسه صفرًا، فإن${\displaystyle B^{*}}$قياسها صفر. هذا التعيين${\displaystyle B\mapsto B^{*}}$هو حقني.

لأي مجموعة${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$بحيث${\displaystyle B\in M}$و${\displaystyle M\models }$"${\displaystyle B}$مجموعة بوريل بقياس 1 بوصة${\displaystyle r_{G}\in B^{*}}$.

هذا يعني أن${\displaystyle r_{G}}$هي "سلسلة عشوائية لا نهائية من الأصفار والآحاد" من وجهة نظر${\displaystyle M}$وهذا يعني أنه يستوفي جميع الاختبارات الإحصائية من النموذج الأساسي${\displaystyle M}$.

وبناءً على ذلك${\displaystyle r_{G}}$، عدد حقيقي عشوائي، يمكن للمرء أن يثبت ذلك

${\displaystyle G=\left\{B~({\text{in }}M)\mid r\in B^{*}~({\text{in }}M[G])\right\}.}$

بسبب هذا التعريف المتبادل بين${\displaystyle r}$و${\displaystyle G}$يكتب المرء عموماً${\displaystyle M[r]}$ل${\displaystyle M[G]}$.

تفسير مختلف للأعداد الحقيقية في${\displaystyle M[G]}$تم توفيرها بواسطة دانا سكوت . الأعداد النسبية في${\displaystyle M[G]}$لها أسماء تتوافق مع عدد لا نهائي من القيم النسبية المتميزة المخصصة لسلسلة مضادة قصوى من مجموعات بوريل - بعبارة أخرى، دالة معينة ذات قيمة نسبية على${\displaystyle I=[0,1]}$الأعداد الحقيقية في${\displaystyle M[G]}$ثم تتوافق مع قطوع ديديكيند لهذه الدوال، أي الدوال القابلة للقياس .

ربما يكون من الأوضح شرح هذه الطريقة باستخدام نماذج القيم المنطقية. في هذه النماذج، تُسند قيمة منطقية لكل عبارة من جبر منطقي كامل غير ذري ، بدلاً من مجرد قيمة صحيحة/خاطئة. ثم يُختار مرشح فائق من هذا الجبر المنطقي، يُسند بدوره قيمتي صحيح/خاطئ لعبارات نظريتنا. الفكرة الأساسية هي أن النظرية الناتجة تتضمن نموذجًا يحتوي على هذا المرشح الفائق، والذي يمكن فهمه كنموذج جديد مُشتق من النموذج القديم بإضافة هذا المرشح الفائق. باختيار نموذج قيم منطقية بطريقة مناسبة، نحصل على نموذج يتمتع بالخاصية المطلوبة. في هذا النموذج، ستكون العبارات التي يجب أن تكون صحيحة (أي "مُجبرة" على أن تكون صحيحة) صحيحة، بمعنى ما (نظرًا لامتلاكه خاصية الامتداد/الحد الأدنى).

في عملية الإجبار، نسعى عادةً إلى إثبات أن جملة ما متسقة مع${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$(أو اختيارياً، بعض الامتدادات لـ)${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$إحدى طرق تفسير الحجة هي افتراض أن${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$متسق، ثم أثبت ذلك.${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$كما أن الجمع بين هذا الكلام والجملة الجديدة متسق أيضاً.

كل "شرط" هو معلومة محدودة - الفكرة هي أن المعلومات المحدودة فقط هي ذات صلة بالاتساق، لأنه، وفقًا لنظرية التراص ، تكون النظرية قابلة للتحقيق إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة جزئية محدودة من بديهياتها قابلة للتحقيق. عندئذٍ يمكننا اختيار مجموعة غير محدودة من الشروط المتسقة لتوسيع نموذجنا. لذلك، بافتراض اتساق${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$، نثبت اتساق${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$تم توسيعها بواسطة هذه المجموعة اللانهائية.

بحسب نظرية عدم الاكتمال الثانية لغودل ، لا يمكن إثبات اتساق أي نظرية شكلية قوية بما فيه الكفاية، مثل${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$باستخدام بديهيات النظرية نفسها فقط، ما لم تكن النظرية غير متسقة. وبالتالي، لا يحاول علماء الرياضيات إثبات اتساق النظرية.${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$باستخدام بديهيات${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$أو لإثبات ذلك${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$وهو متسق مع أي فرضية${\displaystyle H}$باستخدام فقط${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$ولهذا السبب، فإن الهدف من برهان الاتساق هو إثبات اتساق${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$بالنسبة إلى اتساق${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$تُعرف هذه المشكلات بمشكلات الاتساق النسبي ، والتي يثبت أحدها