نظرية المجموعات الوصفية الفعالة

الفضاء البولندي الفعال هو فضاء متري كامل قابل للفصل وله تمثيل حسابي . تُدرس هذه الفضاءات في كل من نظرية المجموعات الوصفية الفعالة والتحليل البنائي . على وجه الخصوص، تُعد الأمثلة القياسية للفضاءات البولندية، مثل خط الأعداد الحقيقية ومجموعة كانتور وفضاء باير، فضاءات بولندية فعالة.

يُصنّف التسلسل الهرمي الحسابي، أو تسلسل كلين - موستوفسكي ، مجموعات معينة بناءً على مدى تعقيد الصيغ التي تُعرّفها. وتُسمى أي مجموعة تخضع لهذا التصنيف "حسابية".

بصورة أكثر رسمية، يُخصص التسلسل الهرمي الحسابي تصنيفات للصيغ بلغة الحساب من الدرجة الأولى . ويُرمز لهذه التصنيفات بـ${\displaystyle \Sigma _{n}^{0}}$و${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$بالنسبة للأعداد الطبيعية n (بما في ذلك 0). الأحرف اليونانية هنا هي رموز فاتحة ، مما يشير إلى أن الصيغ لا تحتوي على معلمات محددة.

إذا كانت الصيغة${\displaystyle \phi }$وهو مكافئ منطقياً لصيغة تحتوي فقط على مُكمِّمات محدودة .${\displaystyle \phi }$يتم تخصيص التصنيفات${\displaystyle \Sigma _{0}^{0}}$و${\displaystyle \Pi _{0}^{0}}$.

التصنيفات${\displaystyle \Sigma _{n}^{0}}$و${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$يتم تعريفها استقرائياً لكل عدد طبيعي n باستخدام القواعد التالية:

• لو${\displaystyle \phi }$وهو مكافئ منطقياً لصيغة من الشكل التالي${\displaystyle \exists n_{1}\exists n_{2}\cdots \exists n_{k}\psi }$، أين${\displaystyle \psi }$يكون${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$، ثم${\displaystyle \phi }$يتم تخصيص التصنيف${\displaystyle \Sigma _{n+1}^{0}}$.
• لو${\displaystyle \phi }$وهو مكافئ منطقياً لصيغة من الشكل التالي${\displaystyle \forall n_{1}\forall n_{2}\cdots \forall n_{k}\psi }$، أين${\displaystyle \psi }$يكون${\displaystyle \Sigma _{n}^{0}}$، ثم${\displaystyle \phi }$يتم تخصيص التصنيف${\displaystyle \Pi _{n+1}^{0}}$.