مسلمات بيانو

في المنطق الرياضي ، تُعرف مسلمات بيانو ( / p i ˈ ɑː n oʊ / ، ^[1] [peˈaːno] )، والمعروفة أيضًا باسم مسلمات ديديكيند-بيانو أو مسلمات بيانو ، بأنها مسلمات للأعداد الطبيعية قدمها عالم الرياضيات الإيطالي جوزيبي بيانو في القرن التاسع عشر . وقد استُخدمت هذه المسلمات دون تغيير تقريبًا في عدد من التحقيقات الميتارياضية ، بما في ذلك البحث في الأسئلة الأساسية حول ما إذا كانت نظرية الأعداد متسقة وكاملة .

يُطلق على بديهيات الحساب التي توفرها بديهيات بيانو اسم حسابيات بيانو عادةً .

لم يتم تقدير أهمية صياغة الحساب بشكل جيد حتى عمل هيرمان جراسمان ، الذي أظهر في ستينيات القرن التاسع عشر أن العديد من الحقائق في الحساب يمكن اشتقاقها من حقائق أكثر أساسية حول عملية الخلف والاستقراء . ^{[2] [3]} في عام 1881، قدم تشارلز ساندرز بيرس بديهية لحساب الأعداد الطبيعية. ^{[4] [5]} في عام 1888، اقترح ريتشارد ديديكيند بديهية أخرى لحساب الأعداد الطبيعية، وفي عام 1889، نشر بيانو نسخة مبسطة منها كمجموعة من البديهيات في كتابه مبادئ الحساب المقدمة من خلال طريقة جديدة ( باللاتينية : Arithmetices principia, nova methodo exposita ).

تحتوي البديهيات التسع لبيانو على ثلاثة أنواع من العبارات. تؤكد البديهية الأولى وجود عنصر واحد على الأقل من مجموعة الأعداد الطبيعية. والعبارات الأربع التالية عبارة عن عبارات عامة حول المساواة ؛ وفي المعالجات الحديثة لا يتم أخذها غالبًا كجزء من بديهيات بيانو، بل كبديهيات "للمنطق الأساسي". ^[6] والبديهيات الثلاث التالية عبارة عن عبارات من الدرجة الأولى حول الأعداد الطبيعية تعبر عن الخصائص الأساسية لعملية الخلف. والبديهية التاسعة والأخيرة عبارة عن بيان من الدرجة الثانية لمبدأ الاستدلال الرياضي على الأعداد الطبيعية، مما يجعل هذه الصيغة قريبة من الحساب من الدرجة الثانية . يتم الحصول على نظام أضعف من الدرجة الأولى عن طريق إضافة رموز عمليتي الجمع والضرب صراحةً واستبدال بديهية الاستدلال من الدرجة الثانية بمخطط بديهية من الدرجة الأولى . يُستخدم مصطلح حساب بيانو أحيانًا لتسمية هذا النظام المقيد على وجه التحديد.

تحتاج هذه المقالة إلى مصادر إضافية للتحقق . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة عن طريق إضافة مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها. البحث عن المصادر:  "Peano axioms" – الأخبار  · الصحف  · الكتب  · العلماء  · JSTOR ( مايو 2024 ) ( تعرف على كيفية ومتى تزيل هذه الرسالة )

عندما صاغ بيانو مسلماته، كانت لغة المنطق الرياضي في مهدها. لم يثبت نظام التدوين المنطقي الذي ابتكره لتقديم المسلمات شعبيته، على الرغم من أنه كان أصل التدوين الحديث لعضوية المجموعة (∈، والتي تأتي من ε لبيانو). حافظ بيانو على تمييز واضح بين الرموز الرياضية والمنطقية، وهو ما لم يكن شائعًا بعد في الرياضيات؛ تم تقديم مثل هذا الفصل لأول مرة في Begriffsschrift بواسطة Gottlob Frege ، نُشر عام 1879. ^[7] لم يكن بيانو على علم بعمل فريجه وأعاد إنشاء جهازه المنطقي بشكل مستقل بناءً على عمل بول وشرودر . ^[8]

تعرف مسلمات بيانو الخصائص الحسابية للأعداد الطبيعية ، والتي عادة ما يتم تمثيلها كمجموعة N أو تتكون الرموز غير المنطقية للمسلمات من رمز ثابت 0 ورمز دالة أحادية S.${\displaystyle \mathbb {N} .}$

تنص البديهية الأولى على أن الثابت 0 هو عدد طبيعي:

استخدمت صياغة بيانو الأصلية للمسلمات 1 بدلاً من 0 باعتباره "العدد الطبيعي الأول"، ^[9] في حين تتضمن المسلمات في Formulario mathematico الصفر. ^[10]

تصف البديهيات الأربع التالية علاقة المساواة . ونظرًا لأنها صالحة منطقيًا في المنطق من الدرجة الأولى مع المساواة، فإنها لا تعتبر جزءًا من "بديهيات بيانو" في المعالجات الحديثة. ^[8]

تحدد البديهيات المتبقية الخصائص الحسابية للأعداد الطبيعية. يُفترض أن تكون الأعداد الطبيعية مغلقة تحت دالة " خليفة " ذات قيمة واحدة S.

المسلمات 1، 6، 7، 8 تحدد تمثيلًا أحاديًا للمفهوم البديهي للأعداد الطبيعية: يمكن تعريف الرقم 1 على أنه S (0)، و2 على أنه S ( S (0))، وهكذا. ومع ذلك، بالنظر إلى مفهوم الأعداد الطبيعية كما يتم تعريفه من خلال هذه المسلمات، فإن المسلمات 1، 6، 7، 8 لا تعني أن الدالة اللاحقة تولد جميع الأعداد الطبيعية المختلفة عن 0.

إن المفهوم البديهي القائل بأنه يمكن الحصول على كل عدد طبيعي عن طريق تطبيق الخلف عددًا كافيًا من المرات على الصفر يتطلب بديهية إضافية، والتي تسمى أحيانًا بديهية الاستدلال .

يتم أحيانًا ذكر مبدأ الاستقراء بالشكل التالي:

في صياغة بيانو الأصلية، فإن بديهية الاستقراء هي بديهية من الدرجة الثانية . ومن الشائع الآن استبدال مبدأ الدرجة الثانية هذا بمخطط استقراء من الدرجة الأولى أضعف . وهناك اختلافات مهمة بين صيغ الدرجة الثانية والدرجة الأولى، كما هو موضح في القسم § حساب بيانو كنظرية من الدرجة الأولى أدناه.

إذا استخدمنا بديهية الاستقراء من الدرجة الثانية، فمن الممكن تعريف الجمع والضرب والترتيب الكلي (الخطي) على N مباشرةً باستخدام البديهيات. ومع ذلك، مع الاستقراء من الدرجة الأولى، هذا غير ممكن ^{[ بحاجة لمصدر ]} وغالبًا ما يتم إضافة الجمع والضرب كبديهيات. يتم إنشاء الوظائف والعلاقات ذات الصلة في نظرية المجموعات أو المنطق من الدرجة الثانية ، ويمكن إثبات أنها فريدة باستخدام بديهيات بيانو.

الجمع هو دالة تربط عددين طبيعيين (عنصرين من N ) بعدد آخر. يتم تعريفه بشكل متكرر على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}a+0&=a,&{\textrm {(1)}}\\a+S(b)&=S(a+b).&{\textrm {(2)}}\end{aligned}}}$

على سبيل المثال:

${\displaystyle {\begin{aligned}a+1&=a+S(0)&{\mbox{حسب التعريف}}\\&=S(a+0)&{\mbox{باستخدام (2)}}\\&=S(a)،&{\mbox{باستخدام (1)}}\\\\a+2&=a+S(1)&{\mbox{حسب التعريف}}\\&=S(a+1)&{\mbox{باستخدام (2)}}\\&=S(S(a))&{\mbox{باستخدام}}a+1=S(a)\\\\a+3&=a+S(2)&{\mbox{حسب التعريف}}\\&=S(a+2)&{\mbox{باستخدام (2)}}\\&=S(S(S(a)))&{\mbox{باستخدام }}a+2=S(S(a))\\{\text{إلخ.}}&\\\end{محاذاة}}}$

لإثبات قابلية الجمع للتبديل، أثبت أولاً و ، كل منهما بالاستقراء على . باستخدام كلتا النتيجتين، أثبت بعد ذلك بالاستقراء على . البنية ( N ، +) هي أحادية تبادلية ذات عنصر متطابق 0. ( N ، +) هي أيضًا صهارة إلغاءية ، وبالتالي يمكن تضمينها في مجموعة . أصغر مجموعة تضمين N هي الأعداد الصحيحة . ^{[ بحاجة لمصدر ]}${\displaystyle 0+b=b}$${\displaystyle S(a)+b=S(a+b)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a+b=b+a}$${\displaystyle b}$

على نحو مماثل، الضرب هو دالة تربط بين عددين طبيعيين وعدد آخر. وفي حالة الجمع، يتم تعريفه بشكل متكرر على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot 0&=0,\\a\cdot S(b)&=a+(a\cdot b).\end{aligned}}}$

ومن السهل أن نرى أن هذه هي هوية اليمين المضاعفة : ${\displaystyle S(0)}$

${\displaystyle a\cdot S(0)=a+(a\cdot 0)=a+0=a}$

لإظهار أن هذه هي أيضًا الهوية اليسرى الضربية يتطلب بديهية الاستدلال بسبب الطريقة التي يتم بها تعريف الضرب: ${\displaystyle S(0)}$

• ${\displaystyle S(0)}$هي الهوية اليسرى لـ 0: .${\displaystyle S(0)\cdot 0=0}$
• إذا كانت هي المتطابقة اليسرى لـ (أي )، فإنها تكون أيضًا المتطابقة اليسرى لـ : ، باستخدام خاصية التبديل في الجمع.${\displaystyle S(0)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle S(0)\cdot a=a}$${\displaystyle S(0)}$${\displaystyle S(a)}$${\displaystyle S(0)\cdot S(a)=S(0)+S(0)\cdot a=S(0)+a=a+S(0)=S(a+0)=S(a)}$

لذلك، وفقًا لمبدأ الاستقراء، فإن المتطابقة اليسرى الضربية لجميع الأعداد الطبيعية هي المتطابقة اليسرى الضربية. وعلاوة على ذلك، يمكن إثبات ^[14] أن الضرب تبادلي ويوزع على الجمع: ${\displaystyle S(0)}$

${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$.

وبالتالي، يكون عبارة عن شبه حلقة تبديلية . ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0,\cdot ,S(0))}$

يمكن تعريف علاقة الترتيب الإجمالي المعتادة ≤ على الأعداد الطبيعية على النحو التالي، بافتراض أن 0 هو عدد طبيعي:

لجميع a ، b ∈ N ، a ≤ b إذا وفقط إذا كان هناك بعض c ∈ N بحيث a + c = b .

هذه العلاقة مستقرة تحت الجمع والضرب: بالنسبة لـ ، إذا كان a ≤ b ، فإن: ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {N} }$

• أ + ج ≤ ب + ج ، و
• أ · ج ≤ ب · ج .

وبالتالي، فإن البنية ( N ، +، ·، 1، 0، ≤) هي شبه حلقة مرتبة ؛ لأنه لا يوجد عدد طبيعي بين 0 و1، فهي شبه حلقة مرتبة منفصلة.

يتم أحيانًا صياغة بديهية الاستقراء بالشكل التالي الذي يستخدم فرضية أقوى، باستخدام علاقة الترتيب "≤":

بالنسبة لأي مسند φ ، إذا

• φ (0) صحيح، و
• لكل n ∈ N ، إذا كانت φ ( k ) صحيحة لكل k ∈ N بحيث k ≤ n ، فإن φ ( S ( n )) صحيحة،
• ثم لكل n ∈ N ، φ ( n ) صحيح.

هذا الشكل من بديهية الاستقراء، والذي يسمى الاستقراء القوي ، هو نتيجة للصيغة القياسية، ولكنه غالبًا ما يكون أكثر ملاءمة للتفكير في الترتيب ≤. على سبيل المثال، لإظهار أن الأعداد الطبيعية منظمة جيدًا - كل مجموعة فرعية غير فارغة من N لها عنصر أصغر - يمكن للمرء أن يفكر على النحو التالي. دع X ⊆ N غير فارغة معطى وافترض أن X ليس لها عنصر أصغر.

• لأن 0 هو أصغر عنصر في N ، فيجب أن يكون 0 ∉ X.
• بالنسبة لأي n ∈ N ، افترض أن لكل k ≤ n ، k ∉ X. عندئذٍ S ( n ) ∉ X ، وإلا فإنها ستكون أصغر عنصر في X.

وبالتالي، وفقًا لمبدأ الاستقراء القوي، لكل n ∈ N ، فإن n ∉ X. وبالتالي، فإن X ∩ N = ∅ ، وهو ما يتناقض مع كون X مجموعة فرعية غير فارغة من N. وبالتالي فإن X لها عنصر أصغر.

نموذج مسلمات بينو هو ثلاثية ( N ، 0، S ) ، حيث N هي مجموعة (لا نهائية بالضرورة)، 0 ∈ N و S : N → N تلبي المسلمات أعلاه. أثبت ديديكيند في كتابه عام 1888، طبيعة ومعنى الأرقام ( بالألمانية : Was sind und was sollen die Zahlen؟ ، أي "ما هي الأرقام وما فائدتها؟") أن أي نموذجين لمسلمات بينو (بما في ذلك مسلمة الاستقراء من الدرجة الثانية) متماثلان . على وجه الخصوص، بالنظر إلى نموذجين ( N _A ، 0 _A ، S _A ) و ( N _B ، 0 _B ، S _B ) لمسلمات بينو، يوجد تماثل فريد f  : N _A → N _B يلبي

${\displaystyle {\begin{aligned}f(0_{A})&=0_{B}\\f(S_{A}(n))&=S_{B}(f(n))\end{aligned}}}$

وهذا تطابق . وهذا يعني أن بديهيات بينو من الدرجة الثانية هي بديهيات تصنيفية . (وهذه ليست الحال مع أي إعادة صياغة من الدرجة الأولى لبديهيات بينو، أدناه.)

يمكن اشتقاق مسلمات بيانو من الإنشاءات النظرية للمجموعات للأعداد الطبيعية ومسلمات نظرية المجموعات مثل ZF . ^[15] يبدأ البناء القياسي للأعداد الطبيعية، بسبب جون فون نيومان ، من تعريف 0 كمجموعة فارغة، ∅، ومشغل s على المجموعات المحددة على النحو التالي:

${\displaystyle s(a)=a\cup \{a\}}$

تُعرَّف مجموعة الأعداد الطبيعية N بأنها تقاطع جميع المجموعات المغلقة تحت s والتي تحتوي على المجموعة الفارغة. كل عدد طبيعي يساوي (كمجموعة) مجموعة الأعداد الطبيعية الأقل منه:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\emptyset \\1&=s(0)=s(\emptyset )=\emptyset \cup \{\emptyset \}=\{\emptyset \}=\{0\}\\2&=s(1)=s(\{0\})=\{0\}\cup \{\{0\}\}=\{0,\{0\}\}=\{0,1\}\\3&=s(2)=s(\{0,1\})=\{0,1\}\cup \{\{0,1\}\}=\{0,1,\{0,1\}\}=\{0,1,2\}\end{aligned}}}$

وهكذا. المجموعة N مع 0 والدالة اللاحقة s  : N → N تلبي بديهيات Peano.

إن حسابيات بيانو متسقة بشكل متساوٍ مع العديد من الأنظمة الضعيفة لنظرية المجموعات. ^[16] أحد هذه الأنظمة هو ZFC مع استبدال بديهية اللانهاية بنفيها. يتكون نظام آخر من هذا القبيل من نظرية المجموعات العامة ( الامتدادية ، ووجود المجموعة الفارغة ، وبديهية الإضافة )، معززة بمخطط بديهي ينص على أن الخاصية التي تنطبق على المجموعة الفارغة وتنطبق على الإضافة كلما كانت تنطبق على الإضافة يجب أن تنطبق على جميع المجموعات.

يمكن فهم بديهيات بيانو أيضًا باستخدام نظرية الفئات . لنفترض أن C هي فئة ذات جسم نهائي 1 _C ، ونعرف فئة الأنظمة الأحادية المدببة ، US ₁ ( C ) على النحو التالي:

• الأشياء في US ₁ ( C ) عبارة عن ثلاثيات ( X ، 0 _X ، S _X ) حيث X هو أحد أشياء C ، و 0 _X  : 1 _C → X و S _X  : X → X عبارة عن أشكال C.
• التشكل φ  : ₍ X , _0X , SX ₎ → ( Y , _0Y , SY ) هو تشكل C φ  : X → _Y مع φ 0X = _0Y و φSX ₌ SY φ .​_​

ثم يقال إن C تلبي بديهيات ديدكيند-بيانو إذا كان لدى US ₁ ( C ) كائن أولي؛ يُعرف هذا الكائن الأولي باسم كائن عدد طبيعي في C. إذا كان ( N ، 0، S ) هو هذا الكائن الأولي، و ( X ، 0 _X ، S _X ) هو أي كائن آخر، فإن الخريطة الفريدة u  : ( N ، 0، S ) → ( X ، 0 _X ، S _X ) تكون بحيث

${\displaystyle {\begin{aligned}u(0)&=0_{X},\\u(Sx)&=S_{X}(ux).\end{aligned}}}$

هذا هو بالضبط التعريف المتكرر لـ 0 _X و S _X.

عندما تم اقتراح مسلمات بيانو لأول مرة، اتفق برتراند راسل وآخرون على أن هذه المسلمات تحدد ضمناً ما نعنيه بـ "عدد طبيعي". ^{[17] كان} هنري بوانكاريه أكثر حذراً، قائلاً إنها لا تحدد الأعداد الطبيعية إلا إذا كانت متسقة ؛ إذا كان هناك دليل يبدأ من هذه المسلمات فقط ويستنتج تناقضًا مثل 0 = 1، فإن المسلمات غير متسقة ولا تحدد أي شيء. ^[18] في عام 1900، طرح ديفيد هيلبرت مشكلة إثبات اتساقها باستخدام الأساليب المحدودة فقط باعتبارها الثانية من مشكلاته الثلاث والعشرين . ^[19] في عام 1931، أثبت كورت جودل مبرهنة عدم الاكتمال الثانية ، والتي تُظهر أنه لا يمكن صياغة مثل هذا الدليل على الاتساق رسميًا داخل حساب بيانو نفسه، إذا كان حساب بيانو متسقًا. ^[20]

على الرغم من الادعاء على نطاق واسع بأن نظرية جودل تستبعد إمكانية وجود دليل اتساق محدود لحسابات بيانو، إلا أن هذا يعتمد على ما يعنيه المرء بالضبط بالدليل المحدود. أشار جودل نفسه إلى إمكانية إعطاء دليل اتساق محدود لحسابات بيانو أو أنظمة أقوى باستخدام طرق محدودة لا يمكن صياغتها رسميًا في حسابيات بيانو، وفي عام 1958، نشر جودل طريقة لإثبات اتساق الحساب باستخدام نظرية النوع . ^[21] في عام 1936، قدم جيرهارد جينتزن دليلاً على اتساق بديهيات بيانو، باستخدام الاستقراء فوق المحدود حتى ترتيب يسمى ε _0. ^[22] أوضح جينتزن: "الهدف من هذه الورقة هو إثبات اتساق نظرية الأعداد الأولية أو بالأحرى تقليص مسألة الاتساق إلى مبادئ أساسية معينة" . يمكن القول إن إثبات جينتزن نهائي، حيث يمكن ترميز الترتيب فوق النهائي ε ₀ من حيث الأشياء المحدودة (على سبيل المثال، كآلة تورينج تصف ترتيبًا مناسبًا للأعداد الصحيحة، أو بشكل أكثر تجريدًا كمؤلفة من الأشجار المحدودة ، مرتبة خطيًا بشكل مناسب). ما إذا كان إثبات جينتزن يفي بالمتطلبات التي تصورها هيلبرت أم لا غير واضح: لا يوجد تعريف مقبول بشكل عام لما يُقصد به بالضبط الإثبات النهائي، ولم يقدم هيلبرت نفسه تعريفًا دقيقًا أبدًا.

يعتقد الغالبية العظمى من علماء الرياضيات المعاصرين أن بديهيات بيانو متسقة، وذلك بالاعتماد إما على الحدس أو قبول دليل الاتساق مثل دليل جينتزن . يرفض عدد قليل من الفلاسفة وعلماء الرياضيات، والذين يؤيد بعضهم أيضًا مبدأ اللانهائية ، بديهيات بيانو لأن قبول البديهيات يعادل قبول المجموعة اللانهائية من الأعداد الطبيعية. على وجه الخصوص، يُفترض أن الجمع (بما في ذلك الدالة اللاحقة) والضرب إجمالي . ومن الغريب أن هناك نظريات ذاتية التحقق تشبه PA ولكنها تحتوي على الطرح والقسمة بدلاً من الجمع والضرب، والتي يتم تحديدها بديهيًا بطريقة تتجنب إثبات الجمل التي تتوافق مع مجموع الجمع والضرب، ولكنها لا تزال قادرة على إثبات جميع النظريات الصحيحة لـ PA، ومع ذلك يمكن توسيعها إلى نظرية متسقة تثبت اتساقها الخاص (كما هو موضح على أنه عدم وجود دليل على غرار هيلبرت لـ "0 = 1"). ^[23]${\displaystyle \Pi _{1}}$

جميع بديهيات بيانو باستثناء البديهية التاسعة (بديهية الاستقراء) هي عبارات في منطق الدرجة الأولى . ^[24] يمكن أيضًا تعريف العمليات الحسابية للجمع والضرب وعلاقة الترتيب باستخدام بديهيات الدرجة الأولى. بديهية الاستقراء أعلاه هي من الدرجة الثانية ، لأنها تقيس المسندات (على نحو مكافئ، مجموعات الأعداد الطبيعية بدلاً من الأعداد الطبيعية). كبديل يمكن للمرء أن يفكر في مخطط بديهية من الدرجة الأولى للاستقراء. يتضمن مثل هذا المخطط بديهية واحدة لكل مسند يمكن تعريفه في لغة حسابية من الدرجة الأولى لبيانو، مما يجعله أضعف من بديهية الدرجة الثانية. ^[25] والسبب في كونها أضعف هو أن عدد المسندات في لغة الدرجة الأولى قابل للعد، في حين أن عدد مجموعات الأعداد الطبيعية غير قابل للعد. وبالتالي، توجد مجموعات لا يمكن وصفها في لغة الدرجة الأولى (في الواقع، تتمتع معظم المجموعات بهذه الخاصية).

تتضمن البديهيات من الدرجة الأولى في حسابيات بيانو قيدًا فنيًا آخر. في المنطق من الدرجة الثانية، من الممكن تعريف عمليات الجمع والضرب من العملية اللاحقة ، ولكن لا يمكن القيام بذلك في الإطار الأكثر تقييدًا للمنطق من الدرجة الأولى. لذلك، يتم تضمين عمليات الجمع والضرب مباشرة في توقيع حسابيات بيانو، ويتم تضمين البديهيات التي تربط العمليات الثلاث ببعضها البعض.

القائمة التالية من البديهيات (جنبًا إلى جنب مع البديهيات المعتادة للمساواة)، والتي تحتوي على ستة من البديهيات السبع لحساب روبنسون ، كافية لهذا الغرض: ^[26]

• ${\displaystyle \forall x\ (0\neq S(x))}$
• ${\displaystyle \forall x,y\ (S(x)=S(y)\Rightarrow x=y)}$
• ${\displaystyle \forall x\ (x+0=x)}$
• ${\displaystyle \forall x,y\ (x+S(y)=S(x+y))}$
• ${\displaystyle \forall x\ (x\cdot 0=0)}$
• ${\displaystyle \forall x,y\ (x\cdot S(y)=x\cdot y+x)}$

بالإضافة إلى هذه القائمة من البديهيات العددية، تحتوي حسابيات بيانو على مخطط الاستدلال، والذي يتكون من مجموعة من البديهيات التي يمكن عدها بشكل متكرر وحتى يمكن تحديدها . لكل صيغة φ ( x ، y ₁ ، ...، y _k ) في لغة حسابيات بيانو، فإن بديهية الاستدلال من الدرجة الأولى لـ φ هي الجملة

${\displaystyle \forall {\bar {y}}{\Bigg (}{\bigg (}\varphi (0,{\bar {y}})\land \forall x{\Big (}\varphi (x,{\bar {y}})\Rightarrow \varphi (S(x),{\bar {y}}){\Big )}{\bigg )}\Rightarrow \forall x\varphi (x,{\bar {y}}){\Bigg )}}$

حيث هو اختصار لـ y ₁ ,..., y _k . يتضمن مخطط الاستدلال من الدرجة الأولى كل حالة من بديهية الاستدلال من الدرجة الأولى؛ أي أنه يتضمن بديهية الاستدلال لكل صيغة φ . ${\displaystyle {\bar {y}}}$

تستخدم البديهية المذكورة أعلاه لحسابات بيانو توقيعًا يحتوي فقط على رموز للصفر بالإضافة إلى عمليات الخلف والجمع والضرب. هناك العديد من البديهيات الأخرى المختلفة، ولكن المكافئة. يستخدم أحد هذه البديهيات ^[27] رمز علاقة الترتيب بدلاً من عملية الخلف ولغة شبه الحلقات المرتبة بشكل منفصل (البديهيات 1-7 لشبه الحلقات، و8-10 للترتيب، و11-13 فيما يتعلق بالتوافق، و14-15 للتمييز):

1. ${\displaystyle \forall x,y,z\ ((x+y)+z=x+(y+z))}$أي أن الجمع ارتباطي .
2. ${\displaystyle \forall x,y\ (x+y=y+x)}$أي أن الجمع عملية تبديلية .
3. ${\displaystyle \forall x,y,z\ ((x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z))}$أي أن الضرب ارتباطي.
4. ${\displaystyle \forall x,y\ (x\cdot y=y\cdot x)}$أي أن الضرب عملية تبديلية.
5. ${\displaystyle \forall x,y,z\ (x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z))}$أي أن الضرب يوزع على الجمع.
6. ${\displaystyle \forall x\ (x+0=x\land x\cdot 0=0)}$أي أن الصفر هو متطابق للجمع، وعنصر امتصاصي للضرب (غير ضروري في الواقع ^{[ملاحظة 3]} ).
7. ${\displaystyle \forall x\ (x\cdot 1=x)}$أي أن واحد هو هوية للضرب.
8. ${\displaystyle \forall x,y,z\ (x<y\land y<z\Rightarrow x<z)}$أي أن عامل '<' متعدٍ .
9. ${\displaystyle \forall x\ (\neg (x<x))}$أي أن عامل '<' غير انعكاسي .
10. ${\displaystyle \forall x,y\ (x<y\lor x=y\lor y<x)}$، أي أن الترتيب يلبي التقسيم الثلاثي .
11. ${\displaystyle \forall x,y,z\ (x<y\Rightarrow x+z<y+z)}$، أي أن الترتيب يتم الحفاظ عليه عند إضافة نفس العنصر.
12. ${\displaystyle \forall x,y,z\ (0<z\land x<y\Rightarrow x\cdot z<y\cdot z)}$، أي أن الترتيب يتم الحفاظ عليه عند الضرب بنفس العنصر الموجب.
13. ${\displaystyle \forall x,y\ (x<y\Rightarrow \exists z\ (x+z=y))}$، أي إذا أعطينا عنصرين متميزين، فإن الأكبر هو الأصغر بالإضافة إلى عنصر آخر.
14. ${\displaystyle 0<1\land \forall x\ (x>0\Rightarrow x\geq 1)}$أي أن الصفر والواحد متمايزان ولا يوجد عنصر بينهما. بعبارة أخرى، 0 مغطى بالواحد، مما يشير إلى أن هذه الأرقام منفصلة.
15. ${\displaystyle \forall x\ (x\geq 0)}$أي أن الصفر هو العنصر الأدنى.

تُعرف النظرية التي تحددها هذه المسلمات باسم PA ⁻ . وهي أيضًا غير مكتملة وأحد خصائصها المهمة هي أن أي بنية تلبي هذه النظرية لها جزء أولي (مرتب بواسطة ) متماثل مع . تسمى العناصر في هذا الجزء عناصر قياسية ، بينما تسمى العناصر الأخرى عناصر غير قياسية .${\displaystyle M}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

أخيرًا، يتم الحصول على PA الحسابي لبيانو عن طريق إضافة مخطط الاستدلال من الدرجة الأولى.

وفقًا لنظريات عدم الاكتمال لغودل ، فإن نظرية PA (إذا كانت متسقة) غير مكتملة. وبالتالي، توجد جمل من المنطق من الدرجة الأولى (FOL) صحيحة في النموذج القياسي لـ PA ولكنها ليست نتيجة لفرضية FOL. ينشأ عدم الاكتمال الأساسي بالفعل في النظريات ذات البديهيات الأضعف، مثل حساب روبنسون .

ترتبط ارتباطًا وثيقًا بنتيجة عدم الاكتمال المذكورة أعلاه (عبر نظرية اكتمال جودل لـ FOL) ويترتب على ذلك أنه لا توجد خوارزمية لتحديد ما إذا كانت جملة FOL معينة هي نتيجة لتوضيح بديهي من الدرجة الأولى لحسابات بيانو أم لا. وبالتالي، فإن PA هي مثال على نظرية غير قابلة للحسم . تنشأ عدم القدرة على الحسم بالفعل للجمل الوجودية لـ PA ، بسبب الإجابة السلبية لمشكلة هيلبرت العاشرة ، والتي يشير إثباتها إلى أن جميع المجموعات القابلة للعد الحسابي هي مجموعات ديوفانتية ، وبالتالي يمكن تعريفها بواسطة صيغ كمية وجودية (مع متغيرات حرة) لـ PA . تكون صيغ PA ذات رتبة كمية أعلى (تناوبات كمية أكثر) من الصيغ الوجودية أكثر تعبيرًا، وتحدد مجموعات في المستويات الأعلى من التسلسل الهرمي الحسابي .

على الرغم من أن الأعداد الطبيعية المعتادة تلبي بديهيات PA، إلا أن هناك نماذج أخرى أيضًا (تسمى " النماذج غير القياسية ")؛ تشير نظرية الاكتناز إلى أنه لا يمكن استبعاد وجود عناصر غير قياسية في المنطق من الدرجة الأولى. ^{[28] تُظهر} نظرية لوينهايم-سكوليم الصاعدة وجود نماذج غير قياسية لـ PA لجميع الكاردينالات اللانهائية. هذه ليست الحال بالنسبة لبديهيات Peano الأصلية (من الدرجة الثانية)، والتي لها نموذج واحد فقط، حتى التماثل. ^[29] يوضح هذا إحدى الطرق التي يكون بها نظام PA من الدرجة الأولى أضعف من بديهيات Peano من الدرجة الثانية.

عند تفسيره كدليل ضمن نظرية مجموعة من الدرجة الأولى ، مثل ZFC ، يُظهر دليل ديدكيند التصنيفي لـ PA أن كل نموذج من نماذج نظرية المجموعة لديه نموذج فريد من بديهيات بيانو، حتى التماثل، والذي يدمج كجزء أولي لجميع نماذج PA الأخرى الموجودة ضمن نموذج نظرية المجموعة هذا. في النموذج القياسي لنظرية المجموعة، يكون أصغر نموذج لـ PA هو النموذج القياسي لـ PA؛ ومع ذلك، في نموذج غير قياسي لنظرية المجموعة، قد يكون نموذجًا غير قياسي لـ PA. لا يمكن تجنب هذا الموقف بأي صياغة رسمية من الدرجة الأولى لنظرية المجموعة.

من الطبيعي أن نتساءل عما إذا كان من الممكن إنشاء نموذج غير قياسي قابل للعد بشكل صريح. والإجابة هي نعم حيث قدم سكوليم في عام 1933 إنشاءً صريحًا لمثل هذا النموذج غير القياسي . من ناحية أخرى، تُظهر نظرية تينينباوم ، التي تم إثباتها في عام 1959، أنه لا يوجد نموذج غير قياسي قابل للعد لـ PA حيث تكون عملية الجمع أو الضرب قابلة للحساب . ^{[30] تُظهر هذه النتيجة أنه من الصعب أن نكون صريحين تمامًا في وصف عمليات الجمع والضرب لنموذج غير قياسي قابل للعد لـ PA. لا يوجد سوى} نوع ترتيب واحد ممكن لنموذج غير قياسي قابل للعد. إذا كان ω هو نوع الترتيب للأعداد الطبيعية، وζ هو نوع الترتيب للأعداد الصحيحة، و η هو نوع الترتيب للأعداد النسبية، فإن نوع الترتيب لأي نموذج غير قياسي قابل للعد لـ PA هو ω + ζ · η ، والذي يمكن تصوره كنسخة من الأعداد الطبيعية يتبعها ترتيب خطي كثيف لنسخ الأعداد الصحيحة.

القطع في النموذج غير القياسي M هو مجموعة فرعية غير فارغة C من M بحيث تكون C مغلقة لأسفل ( x < y و y ∈ C ⇒ x ∈ C ) وتكون C مغلقة تحت الخلف. القطع المناسب هو قطع يكون مجموعة فرعية مناسبة من M. يحتوي كل نموذج غير قياسي على العديد من القطع المناسبة، بما في ذلك القطع الذي يتوافق مع الأعداد الطبيعية القياسية. ومع ذلك، فإن مخطط الاستقراء في حسابيات بيانو يمنع أي قطع مناسب من أن يكون قابلاً للتعريف. إن مبرهنة الفائض، التي أثبتها لأول مرة أبراهام روبنسون، تصف هذه الحقيقة رسميًا.

• أساسيات الرياضيات
• نظرية فريجه
• نظرية جودشتاين
• المنطق الجديد
• نموذج غير قياسي للحساب
• نظرية باريس-هارينجتون
• حساب بريسبرجر
• سكوليم الحسابي
• حساب روبنسون
• الحساب من الدرجة الثانية
• نظرية الأعداد الطباعية

• Buss, Samuel R. (1998). "الفصل الثاني: نظرية الإثبات من الدرجة الأولى في الحساب". في Buss, Samuel R. (المحرر). Handbook of Proof Theory . نيويورك: Elsevier Science. ISBN 978-0-444-89840-1.

• مندلسون، إليوت (يونيو 2015) [ديسمبر 1979]. مقدمة في المنطق الرياضي (الرياضيات المنفصلة وتطبيقاتها) (الطبعة السادسة). تشابمان وهول/سي آر سي. رقم ISBN 978-1-4822-3772-6.

• سموليان، رايموند م. (ديسمبر 2013). كتاب الألغاز الجودلية: الألغاز والمفارقات والبراهين. منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-49705-1.

• تاكيوتي، جايسي (2013). نظرية الإثبات (الطبعة الثانية). مينيولا، نيويورك. رقم ISBN 978-0-486-49073-1.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

• مورزي، ماورو. "هنري بوانكاريه". موسوعة الإنترنت للفلسفة .يتضمن مناقشة لنقد بوانكاريه لمبادئ بيانو.
• بودنيكس، كارليس (2015-01-25). "3. الحساب من الدرجة الأولى". ما هي الرياضيات: نظرية جودل وما حولها. ص 93-121.
• "بديهيات بيانو"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك دبليو. "بديهيات بيانو". MathWorld .
• بوريس، ستانلي ن. (2001). "ما هي الأرقام، وما معناها؟: ديديكيند".تعليق على عمل ديديكيند.

تتضمن هذه المقالة مواد من PA على PlanetMath ، والتي تخضع لرخصة المشاع الإبداعي المنسوبة/المرخصة بالمثل .