مجموعة كانتور

في كتابه "الهندسة الكسورية للطبيعة" ، يقدم عالم الرياضيات بينوا ماندلبروت تجربة فكرية طريفة لمساعدة القراء غير المتخصصين في الرياضيات على تخيل بناء${\displaystyle {\mathcal {C}}}$تبدأ روايته بتخيل قضيب، ربما من معدن خفيف، تتخثر مادته تدريجيًا باتجاه أطرافه. ومع تقلص أجزاء القضيب، تصبح كتلًا رقيقة وكثيفة، ثم تصغر وتصبح باهتة جدًا بحيث لا يمكن رؤيتها.

التَخَلُّق: ينتج بناء شريط كانتور عن عملية أسميها التَخَلُّق. تبدأ العملية بشريط دائري، ومن الأفضل تخيله على أنه ذو كثافة منخفضة للغاية. ثم تتَخَلُّق المادة من الثلث الأوسط لهذا الشريط إلى الثلثين الأخيرين، بحيث تبقى مواقع هذين الثلثين ثابتة. بعد ذلك، تتَخَلُّق المادة من الثلث الأوسط لكل ثلث طرفي إلى ثلثيه الأخيرين، وهكذا إلى ما لا نهاية حتى يتبقى عدد لا نهائي من الكتل الرقيقة للغاية ذات الكثافة العالية للغاية. تتوزع هذه الكتل على طول الخط بطريقة محددة للغاية ناتجة عن عملية التوليد. في هذا الرسم التوضيحي، يتوقف التَخَلُّق (الذي يتطلب في النهاية الطرق!) عندما تتوقف كل من آلة الطباعة وعيننا عن المتابعة؛ فالخط الأخير لا يمكن تمييزه عن الخط قبل الأخير: يُرى كل جزء من أجزائه النهائية على شكل كتلة رمادية بدلاً من كتلتين سوداوين متوازيتين. ^{[ 9 ]}

يمكن إثبات أن عدد النقاط المتبقية في هذه العملية يساوي عدد النقاط التي كانت موجودة في البداية، وبالتالي فإن مجموعة كانتور غير قابلة للعد . ولإثبات ذلك، نُبين وجود دالة f من مجموعة كانتور.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$إلى الفترة المغلقة${\displaystyle [0,1]}$هذا شامل (أي أن f تُسقط من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$على${\displaystyle [0,1]}$) بحيث يكون عدد عناصر${\displaystyle {\mathcal {C}}}$لا يقل شأناً عن شأن${\displaystyle [0,1]}$. منذ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle [0,1]}$، كما أن عدد عناصرها ليس أكبر، لذلك يجب أن يكون العددان متساويين في الواقع، وفقًا لنظرية كانتور-بيرنشتاين-شرودر .

لإنشاء هذه الدالة، ضع في اعتبارك النقاط في${\displaystyle [0,1]}$الفترة بدلالة الترميز الثلاثي (أو الأساس 3 ). تذكر أن الكسور الثلاثية الصحيحة، وبشكل أدق: عناصر${\displaystyle {\bigl (}\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\}{\bigr )}\cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}$يمكن تمثيل الأعداد بأكثر من طريقة في هذه الصيغة، فمثلاً ، يمكن كتابة 1/3 على النحو التالي: 0.13 = 0.103 ، وكذلك على النحو _{التالي : 0.0222...3 = 0.023، وكذلك 2/3 على النحو التالي: 0.23 = 0.203، وكذلك على النحو التالي: 0.1222...3} = 0.123. [ 12 _] عند حذف الثلث _الأوسط ، يحتوي هذا الثلث على الأعداد الثلاثية _من الشكل 0.1xxxxx ... ₃ ، حيث يقع ^{xxxxx ... 3} بين _{00000 ...} 3 و ₂₂₂₂₂ ... ₃ . _لذا ، تتكون الأعداد المتبقية بعد الخطوة الأولى من:

• الأعداد التي تأخذ الشكل 0.0xxxxx... ₃ (بما في ذلك 0.022222... ₃ = 1/3)
• الأعداد التي تأخذ الشكل 0.2xxxxx... ₃ (بما في ذلك 0.222222... ₃ = 1)

يمكن تلخيص ذلك بالقول إن الأرقام التي لها تمثيل ثلاثي بحيث لا يكون الرقم الأول بعد الفاصلة العشرية هو 1 هي الأرقام المتبقية بعد الخطوة الأولى.

الخطوة الثانية تزيل الأرقام من الشكل 0.01xxxx... ₃ و 0.21xxxx... ₃ ، (مع مراعاة نقاط النهاية بشكل مناسب) يمكن استنتاج أن الأرقام المتبقية هي تلك التي تحتوي على رقم ثلاثي حيث لا يكون أي من الرقمين الأولين 1 .

بالاستمرار على هذا النحو، لكي لا يتم استبعاد رقم ما في الخطوة n ، يجب أن يكون له تمثيل ثلاثي لا يكون رقمه n هو 1. ولكي يكون رقم ما في مجموعة كانتور، يجب ألا يتم استبعاده في أي خطوة، ويجب أن يقبل تمثيلاً عددياً يتكون بالكامل من 0 و2.

من الجدير بالذكر أن أعدادًا مثل 1، و1/3 = 0.13، و7/9 = 0.213 تنتمي إلى مجموعة كانتور _، لأنها تتكون من أعداد ثلاثية تتألف _{بالكامل} من 0 و2: 1 = 0.222... 3 = 0.23، و ₁ / 3 = _0.0222 ... 3 = 0.023 ، _و 7 / 9 = _0.20222 ... 3 = 0.2023 . _جميع هذه الأعداد الأخيرة هي "نقاط نهاية" ، وهذه الأمثلة هي نقاط النهاية اليمنى _لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$وينطبق الأمر نفسه على نقاط الحد الأيسر لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$على سبيل _المثال ، 2/3 = 0.1222 ... ₃ = 0.123 = 0.203 _و 8/9 = 0.21222 ... ₃ = 0.2123 = 0.2203 . جميع _هذه النقاط الطرفية هي كسور ثلاثية حقيقية ( _عناصر من${\displaystyle \mathbb {Z} \cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}$) من الشكل p / q ، حيث يكون المقام q قوة للعدد 3 عندما يكون الكسر في صورته غير القابلة للاختزال . ^{[ 11 ] التمثيل الثلاثي لهذه الكسور} إما ينتهي (أي يكون محدودًا) أو - تذكر مما سبق أن لكل كسر ثلاثي تمثيلين - يكون غير محدود وينتهي إما بعدد لا نهائي من الأصفار المتكررة أو بعدد لا نهائي من الاثنينات المتكررة. هذا الكسر هو نقطة نهاية يسارية لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$إذا كان تمثيلها الثلاثي لا يحتوي على أي 1 وينتهي بعدد لا نهائي من الأصفار المتكررة. وبالمثل، فإن الكسر الثلاثي الصحيح هو نقطة نهاية يمنى لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$إذا كان الأمر كذلك مرة أخرى، فإن توسيعه الثلاثي لا يحتوي على الرقم 1 وينتهي بعدد لا نهائي من الرقم 2 المتكرر.

تتميز هذه المجموعة من نقاط النهاية بكثافتها العالية .${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(ولكن ليس كثيفًا في${\displaystyle [0,1]}$) وتشكل مجموعة لا نهائية قابلة للعد . الأرقام في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$والتي ليست نقاط نهاية تحتوي أيضًا على 0 و2 فقط في تمثيلها الثلاثي، ولكن لا يمكن أن تنتهي بتكرار لا نهائي للرقم 0، ولا للرقم 2، لأنه عندئذٍ ستكون نقطة نهاية.

الوظيفة من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ل${\displaystyle [0,1]}$يُعرَّف هذا النظام بأخذ الأعداد الثلاثية التي تتكون بالكامل من أصفار واثنينات، واستبدال جميع الاثنينات بالواحدات، وتفسير التسلسل كتمثيل ثنائي لعدد حقيقي. في الصيغة،

${\displaystyle f{\bigg (}\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{k}3^{-k}{\bigg )}=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {a_{k}}{2}}2^{-k}}$ أين ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} :a_{k}\in \{0,2\}.}$

لأي عدد y في${\displaystyle [0,1]}$، ويمكن ترجمة تمثيله الثنائي إلى تمثيل ثلاثي للعدد x في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$باستبدال جميع الآحاد بالآحاد. وبذلك، تصبح f(x) = y، أي أن y تقع ضمن مدى f . على سبيل المثال ، إذا كانت y = 3/5 = 0.100110011001 ... 2 = 0.1001 ، فإننا نكتب x = 0.2002 = _{0.200220022002} ... 3 = 7/10 . بالتالي ، فإن f _دالة شاملة . مع ذلك ، فإن f ليست دالة أحادية - فالقيم التي تتطابق عندها f ( x ) هي تلك الموجودة عند طرفي أحد الثلثين الأوسطين . على سبيل المثال، خذ

١/٣ = ٠ ٫ ٠٢٣ ( وهي نقطة نهاية يمنى _لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ونقطة حد يسارية للثلث الأوسط [ ⁠ 1 / 3 ⁠ , ⁠ 2 / 3 ⁠ ]) و

2 / 3 = 0.203 (وهي نقطة نهاية يسارية _لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ونقطة حدية يمنى للثلث الأوسط [ ⁠ 1 / 3 ⁠ , ⁠ 2 / 3 ⁠ ])

لذا

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}f{\bigl (}{}^{1}\!\!/\!_{3}{\bigr )}=f(0.0{\overline {2}}_{3})=0.0{\overline {1}}_{2}=\!\!&\!\!0.1_{2}\!\!&\!\!=0.1{\overline {0}}_{2}=f(0.2{\overline {0}}_{3})=f{\bigl (}{}^{2}\!\!/\!_{3}{\bigr )}.\\&\parallel \\&{}^{1}\!\!/\!_{2}\end{array}}}$

وبالتالي، يوجد في مجموعة كانتور عدد من النقاط يساوي عدد النقاط في الفترة.${\displaystyle [0,1]}$(الذي له عدد لا يُحصى من العناصر)${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}$ومع ذلك ، فإن مجموعة نقاط نهاية الفترات المحذوفة قابلة للعد، لذا يجب أن يكون هناك عدد لا يُحصى من الأعداد في مجموعة كانتور التي لا تُمثل نقاط نهاية فترات. وكما ذُكر أعلاه، فإن أحد الأمثلة على هذا العدد هو 1/4 ، والذي يمكن كتابته على الصورة 0.020202... ₃ = 0.02 في الترميز الثلاثي. في الواقع، بالنظر إلى أي${\displaystyle a\in [-1,1]}$، هناك${\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}}$بحيث${\displaystyle a=y-x}$وقد أثبت شتاينهاوس ذلك لأول مرة في عام 1917، حيث برهن ، من خلال حجة هندسية، على الادعاء المكافئ بأن${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x+a\}\;\cap \;({\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}})\neq \emptyset }$لكل${\displaystyle a\in [-1,1]}$[ ^{13 ] بما أن} هذا التركيب يوفر حقنًا من${\displaystyle [-1,1]}$ل${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$لدينا${\displaystyle |{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}|\geq |[-1,1]|={\mathfrak {c}}}$كنتيجة مباشرة لذلك. بافتراض أن${\displaystyle |A\times A|=|A|}$لأي مجموعة غير منتهية${\displaystyle A}$(وهو بيان أثبت تارسكي أنه مكافئ لمسلمة الاختيار )، وهذا يوفر دليلاً آخر على أن${\displaystyle |{\mathcal {C}}|={\mathfrak {c}}}$.

تحتوي مجموعة كانتور على عدد من النقاط يساوي عدد الفترات التي أُخذت منها، ومع ذلك فهي لا تحتوي على أي فترة ذات طول غير صفري. تتمتع الأعداد غير النسبية بالخاصية نفسها، لكن مجموعة كانتور تتميز بخاصية إضافية وهي كونها مغلقة ، لذا فهي ليست كثيفة في أي فترة، على عكس الأعداد غير النسبية التي تكون كثيفة في كل فترة.

لقد طُرحت فرضية مفادها أن جميع الأعداد الجبرية غير النسبية هي أعداد طبيعية . وبما أن عناصر مجموعة كانتور ليست أعدادًا طبيعية في النظام العددي ذي الأساس 3، فإن هذا يعني أن جميع عناصر مجموعة كانتور إما أعداد نسبية أو أعداد متسامية .

مجموعة كانتور هي النموذج الأولي للكسور الهندسية . وهي متشابهة ذاتيًا ، لأنها تساوي نسختين من نفسها، إذا تم تصغير كل نسخة بمعامل 3 وإزاحتها. بتعبير أدق، مجموعة كانتور تساوي اتحاد دالتين، وهما تحويلات التشابه الذاتي اليسرى واليمنى لنفسها.${\displaystyle T_{L}(x)=x/3}$و${\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}$، مما يجعل مجموعة كانتور ثابتة حتى التشاكل الموضعي :${\displaystyle T_{L}({\mathcal {C}})\cong T_{R}({\mathcal {C}})\cong {\mathcal {C}}=T_{L}({\mathcal {C}})\cup T_{R}({\mathcal {C}}).}$

التكرار المتكرر لـ${\displaystyle T_{L}}$و${\displaystyle T_{R}}$يمكن تصورها كشجرة ثنائية لا نهائية . أي أنه عند كل عقدة من الشجرة، يمكن النظر في الشجرة الفرعية إلى اليسار أو إلى اليمين. بأخذ المجموعة${\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}}$يشكل تركيب الدوال معاً مجموعة أحادية ، وهي المجموعة الأحادية الثنائية .

يمكن ربط عناصر مجموعة كانتور بالأعداد الصحيحة الثنائية ، لذا، كما هو الحال مع الأعداد الصحيحة العادية، فإن زمرة التشاكل الذاتي هي الزمرة النمطية . وبالتالي، فإن التشاكلات الذاتية لمجموعة كانتور هي حركات زائدية ، وهي تماثلات خاصة للمستوى الزائدي . ومن ثم، فإن مجموعة كانتور هي فضاء متجانس بمعنى أنه لأي نقطتين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في مجموعة كانتور${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يوجد تماثل شكلي${\displaystyle h:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$مع${\displaystyle h(x)=y}$بناء صريح لـ${\displaystyle h}$يمكن وصفها بسهولة أكبر إذا نظرنا إلى مجموعة كانتور على أنها فضاء ناتج عن عدد لا نهائي من نسخ الفضاء المنفصل${\displaystyle \{0,1\}}$ثم الخريطة${\displaystyle h:\{0,1\}^{\mathbb {N} }\to \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$محدد بواسطة${\displaystyle h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}\mod 2}$هو تماثل متماثل متبادل ${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$.

على الرغم من أن مجموعة كانتور "the" تشير عادةً إلى مجموعة كانتور الأصلية المكونة من الثلث الأوسط والموصوفة أعلاه، إلا أن علماء الطوبولوجيا غالبًا ما يتحدثون عن مجموعة كانتور "a"، والتي تعني أي فضاء طوبولوجي متماثل (مكافئ طوبولوجيًا ) لها.

كما يُبين برهان الجمع أعلاه، فإن مجموعة كانتور غير قابلة للعد، لكن قياسها وفقًا لمقياس ليبيغ يساوي صفرًا. ولأن مجموعة كانتور هي متممة اتحاد مجموعات مفتوحة ، فهي نفسها مجموعة جزئية مغلقة من الأعداد الحقيقية، وبالتالي فهي فضاء متري كامل . ولأنها محدودة كليًا أيضًا ، تنص نظرية هاين-بوريل على أنها يجب أن تكون متراصة .

لكل نقطة في مجموعة كانتور، ولكل جوار صغير لها، يوجد عدد آخر يتكون تمثيله الثلاثي من صفرين واثنين فقط، بالإضافة إلى أعداد أخرى تحتوي تمثيلاتها الثلاثية على واحد. لذا، فإن كل نقطة في مجموعة كانتور هي نقطة تراكم (تُسمى أيضًا نقطة عنقود أو نقطة حدية) في مجموعة كانتور، ولكن لا توجد أي نقطة داخلية . تُسمى المجموعة المغلقة التي تكون كل نقطة فيها نقطة تراكم مجموعة كاملة في علم الطوبولوجيا ، بينما المجموعة الجزئية المغلقة من الفترة التي لا تحتوي على نقاط داخلية ليست كثيفة في أي مكان في تلك الفترة.

كل نقطة من مجموعة كانتور هي أيضاً نقطة تراكم لمكمل مجموعة كانتور.

لأي نقطتين في مجموعة كانتور، يوجد رقم ثلاثي يختلفان عنده - إحداهما قيمتها 0 والأخرى 2. بتقسيم مجموعة كانتور إلى "نصفين" بناءً على قيمة هذا الرقم، نحصل على تقسيم لمجموعة كانتور إلى مجموعتين مغلقتين تفصلان النقطتين الأصليتين. في الطوبولوجيا النسبية لمجموعة كانتور، تُفصل النقطتان بمجموعة مفتوحة مغلقة . بالتالي، فإن مجموعة كانتور منفصلة تمامًا . وباعتبارها فضاء هاوسدورف مضغوطًا ومنفصلًا تمامًا ، تُعد مجموعة كانتور مثالًا على فضاء ستون .

باعتبارها فضاءً طوبولوجيًا، فإن مجموعة كانتور متماثلة بشكل طبيعي مع حاصل ضرب عدد لا نهائي من نسخ الفضاء${\displaystyle \{0,1\}}$حيث تحمل كل نسخة الطوبولوجيا المنفصلة . هذا هو فضاء جميع المتتاليات المكونة من رقمين.

${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }=\{(x_{n})\mid x_{n}\in \{0,1\}{\text{ for }}n\in \mathbb {N} \},}$

والتي يمكن تعريفها أيضًا بمجموعة الأعداد الصحيحة ثنائية العدد . أساس المجموعات المفتوحة في طوبولوجيا الضرب هو مجموعات الأسطوانات ؛ ويحول التشاكل الموضعي هذه المجموعات إلى طوبولوجيا الفضاء الجزئي التي ترثها مجموعة كانتور من الطوبولوجيا الطبيعية على خط الأعداد الحقيقية . هذا التوصيف لفضاء كانتور كحاصل ضرب فضاءات متراصة يقدم برهانًا ثانيًا على أن فضاء كانتور متراص، وذلك عبر نظرية تيكونوف .

انطلاقاً من التوصيف أعلاه، فإن مجموعة كانتور متماثلة مع الأعداد الصحيحة p -adic ، وإذا تمت إزالة نقطة واحدة منها، فإنها متماثلة مع الأعداد p -adic .

مجموعة كانتور هي مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية، التي تُشكّل فضاءً متريًا بالنسبة لمقياس المسافة العادي ؛ لذا فإن مجموعة كانتور نفسها هي فضاء متري، باستخدام نفس المقياس. بدلاً من ذلك، يمكن استخدام المقياس p -adic على${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$: بالنظر إلى متتابعتين${\displaystyle (x_{n}),(y_{n})\in 2^{\mathbb {N} }}$، والمسافة بينهما هي${\displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}}$، أين${\displaystyle k}$هو أصغر دليل بحيث${\displaystyle x_{k}\neq y_{k}}$إذا لم يكن هناك مثل هذا الفهرس، فإن المتتاليتين متطابقتان، وتُعرّف إحداهما المسافة بأنها صفر. يُنتج هذان المقياسان نفس البنية الطوبولوجية على مجموعة كانتور.

لقد رأينا سابقًا أن مجموعة كانتور هي فضاء متري متراص مثالي منفصل تمامًا . في الواقع، هي، بمعنى ما، الفضاء المتري الوحيد من نوعه: فكل فضاء متري متراص مثالي منفصل تمامًا وغير فارغ متماثل مع مجموعة كانتور. انظر فضاء كانتور لمزيد من المعلومات حول الفضاءات المتماثلة مع مجموعة كانتور.

تُعتبر مجموعة كانتور أحيانًا "شاملة" في فئة الفضاءات المترية المتراصة ، لأن أي فضاء متري متراص هو صورة متصلة لمجموعة كانتور؛ إلا أن هذا البناء ليس فريدًا، وبالتالي فإن مجموعة كانتور ليست شاملة بالمعنى الدقيق للفئات . للخاصية "الشاملة" تطبيقات مهمة في التحليل الوظيفي ، حيث تُعرف أحيانًا باسم نظرية التمثيل للفضاءات المترية المتراصة . ^{[ 14 ]}

لأي عدد صحيح q ≥ 2، تكون طوبولوجيا المجموعة G = Z _q ^ω (المجموع المباشر القابل للعد) منفصلة. على الرغم من أن المجموعة الثنائية لبونترياغين Γ هي أيضًا Z _q ^ω ، فإن طوبولوجيا Γ متراصة. يمكن ملاحظة أن Γ منفصلة تمامًا ومثالية - وبالتالي فهي متماثلة شكليًا مع مجموعة كانتور. من الأسهل كتابة التماثل الشكلي صراحةً في حالة q = 2. (انظر رودين 1962، ص 40).

يمكن اعتبار مجموعة كانتور مجموعة متراصة من المتتاليات الثنائية، ولذلك فهي مزودة بمقياس هار طبيعي . عند تطبيعها بحيث يكون مقياس المجموعة 1، فإنها تُشكل نموذجًا لمتتالية لانهائية من رميات العملة. علاوة على ذلك، يمكن إثبات أن مقياس ليبيغ المعتاد على الفترة هو صورة لمقياس هار على مجموعة كانتور، بينما يُعد الحقن الطبيعي في المجموعة الثلاثية مثالًا نموذجيًا لمقياس شاذ . كما يمكن إثبات أن مقياس هار هو صورة لأي احتمال ، مما يجعل مجموعة كانتور فضاء احتماليًا شاملًا من بعض النواحي.

في نظرية قياس لوبيغ ، تُعد مجموعة كانتور مثالًا على مجموعة غير قابلة للعد ولها قياس صفري. ^{[ 15 ]} في المقابل، تمتلك المجموعة قياس هاوسدورف يساوي${\displaystyle 1}$في بُعدها من${\displaystyle \log _{3}(2)}$[ ^{16 ]​}

إذا عرّفنا عدد كانتور كعضو في مجموعة كانتور، فإن ^{[ 17 ]}

1. كل عدد حقيقي في${\displaystyle [0,2]}$هو مجموع عددين من أعداد كانتور.
2. يوجد بين أي رقمين من أرقام كانتور رقم ليس من أرقام كانتور.

مجموعة كانتور هي مجموعة ضئيلة (أو مجموعة من الفئة الأولى) كمجموعة جزئية من${\displaystyle [0,1]}$(مع أنها ليست مجموعة فرعية من نفسها، لأنها فضاء باير ). وهكذا، تُظهر مجموعة كانتور أن مفاهيم "الحجم" من حيث العددية والقياس وفئة باير لا تتطابق بالضرورة. مثل المجموعة${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$مجموعة كانتور${\displaystyle {\mathcal {C}}}$هي "صغيرة" بمعنى أنها مجموعة فارغة (مجموعة قياسها صفر) وهي مجموعة جزئية ضئيلة من${\displaystyle [0,1]}$ومع ذلك، على عكس${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$، وهو عدد قابل للعد وله عدد "صغير"،${\displaystyle \aleph _{0}}$، عدد${\displaystyle {\mathcal {C}}}$هو نفسه مثل ذلك الخاص بـ${\displaystyle [0,1]}$، سلسلة متصلة${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$وهي "كبيرة" بمعنى العدد. في الواقع، من الممكن أيضًا إنشاء مجموعة فرعية من${\displaystyle [0,1]}$وهي مجموعة ضئيلة ولكنها ذات قياس موجب، ومجموعة جزئية غير ضئيلة ولكنها ذات قياس صفري: ^{[ 18 ]} بأخذ الاتحاد القابل للعد لمجموعات كانتور "السمينة".${\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}$قياس${\displaystyle \lambda =(n-1)/n}$(انظر مجموعة سميث-فولتيرا-كانتور أدناه للاطلاع على طريقة البناء)، نحصل على مجموعة${\textstyle {\mathcal {A}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}$والتي لها قيمة موجبة (تساوي 1) ولكنها ضئيلة في الفترة [0،1]، لأن كل${\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}$ليست كثيفة في أي مكان. ثم ضع في اعتبارك المجموعة${\textstyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=[0,1]\smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}$. منذ${\displaystyle {\mathcal {A}}\cup {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=[0,1]}$،${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }}$لا يمكن أن يكون ضئيلاً، ولكن بما أن${\displaystyle \mu ({\mathcal {A}})=1}$،${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }}$يجب أن يكون قياسه صفراً.

بدلاً من إزالة الثلث الأوسط من كل قطعة بشكل متكرر كما في مجموعة كانتور، يمكننا أيضاً إزالة أي نسبة مئوية ثابتة أخرى (بخلاف 0% و100%) من المنتصف. في حالة إزالة 8/10 من منتصف الفترة ، نحصل على حالة سهلة للغاية - تتكون المجموعة من جميع الأعداد في [0،1] التي يمكن كتابتها كعدد عشري يتكون بالكامل من 0 و9. إذا تمت إزالة نسبة مئوية ثابتة في كل مرحلة، فإن المجموعة النهائية ستكون ذات قياس صفري، لأن طول الباقي يساوي صفرًا.${\displaystyle (1-f)^{n}\to 0}$مثل${\displaystyle n\to \infty }$لأي${\displaystyle f}$بحيث${\displaystyle 0<f\leq 1}$.

من ناحية أخرى، يمكن توليد "مجموعات كانتور السمينة" ذات القياس الموجب عن طريق إزالة أجزاء أصغر من منتصف القطعة في كل تكرار. وبالتالي، يمكن إنشاء مجموعات متماثلة مع مجموعة كانتور ذات قياس ليبيغ موجب مع كونها غير كثيفة في أي مكان. إذا كانت لدينا فترة طولها${\displaystyle r^{n}}$(${\displaystyle r\leq 1/3}$إذا تم حذف ) من منتصف كل جزء في التكرار رقم n ، فإن الطول الإجمالي الذي تم حذفه هو${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n-1}r^{n}=r/(1-2r)}$وستكون للمجموعة الحدية مقياس ليبيغ من${\displaystyle \lambda =(1-3r)/(1-2r)}$وبالتالي، بمعنى ما، فإن مجموعة كانتور المكونة من الثلث الأوسط هي حالة حدية مع${\displaystyle r=1/3}$. لو${\displaystyle 0<r<1/3}$ثم سيكون للباقي مقياس إيجابي مع${\displaystyle 0<\lambda <1}$القضية${\displaystyle r=1/4}$تُعرف باسم مجموعة سميث-فولتيرا-كانتور ، والتي لها مقياس ليبيغ يبلغ${\displaystyle 1/2}$.

غبار كانتور هو نسخة متعددة الأبعاد من مجموعة كانتور. يمكن تكوينه بأخذ حاصل ضرب ديكارتي محدود لمجموعة كانتور مع نفسها، مما يجعله فضاء كانتور . ومثل مجموعة كانتور، فإن غبار كانتور له قياس صفري . ^{[ 20 ]}

يُعدّ سجادة سيربينسكي نظيراً ثنائي الأبعاد لمجموعة كانتور ، حيث تُقسّم المربعات إلى تسعة مربعات أصغر، ثم يُزال المربع الأوسط. بعد ذلك، تُقسّم المربعات المتبقية بدورها إلى تسعة مربعات أصغر، ويُزال المربع الأوسط، وهكذا إلى ما لا نهاية. ^{[ 21 ]} ومن النظائر ثلاثية الأبعاد لهذه السجادة إسفنجة مينجر .