فضاء باير (نظرية المجموعات)

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 41 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية المجموعات ، يُعرف فضاء باير بأنه مجموعة جميع المتتاليات اللانهائية من الأعداد الطبيعية ذات طوبولوجيا معينة تُسمى طوبولوجيا الضرب . يُستخدم هذا الفضاء بكثرة في نظرية المجموعات الوصفية ، لدرجة أن عناصره تُسمى غالبًا "الأعداد الحقيقية". ويُرمز له بـشمالشمال{\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}أو ω ω، أو بالرمزشمال{\displaystyle {\mathcal {N}}}أو أحيانًا بواسطة ω ω (لا ينبغي الخلط بينها وبين العدد الترتيبي القابل للعد الذي يتم الحصول عليه عن طريق الأس الترتيبي ).

يُعرَّف فضاء باير بأنه حاصل الضرب الديكارتي لعدد لا نهائي قابل للعد من نسخ مجموعة الأعداد الطبيعية، ويُعطى طوبولوجيا الضرب (حيث تُعطى كل نسخة من مجموعة الأعداد الطبيعية طوبولوجيا منفصلة ). غالبًا ما يُمثَّل فضاء باير باستخدام شجرة المتتاليات المنتهية من الأعداد الطبيعية.

(يجب أيضًا عدم الخلط بين هذا الفضاء ومفهوم فضاء باير ، وهو نوع معين من الفضاء الطوبولوجي.)

يمكن مقارنة فضاء باير بفضاء كانتور ، وهو مجموعة من التسلسلات اللانهائية للأرقام الثنائية .

الطوبولوجيا والأشجار

يمكن وصف طوبولوجيا المنتج المستخدمة لتحديد فضاء باير بإحدى الطريقتين المتكافئتين: من حيث أساس يتكون من مجموعات أسطوانية، أو أساس من الأشجار.

أساس مجموعة الأسطوانات

المجموعات المفتوحة الأساسية في طوبولوجيا المنتج هي مجموعات أسطوانية . ويمكن وصفها على النحو التالي:

إذا تم اختيار أي مجموعة منتهية I من إحداثيات الأعداد الطبيعية، ولكل i في I تم اختيار قيمة عدد طبيعي معينة vᵢ ، فإن مجموعة جميع المتتاليات اللانهائية من الأعداد الطبيعية التي لها القيمة vᵢ في الموضع i تُسمى مجموعة مفتوحة أساسية. كل مجموعة مفتوحة هي اتحاد مجموعة قابلة للعد من هذه المجموعات المفتوحة الأساسية.

باستخدام تدوين أكثر رسمية، يمكن تعريف الأسطوانات الفردية على النحو التالي:

جن[v]={(أ1،أ2،⋯)∈ωω:أن=v}{\displaystyle C_{n}[v]=\{(a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }:a_{n}=v\}}

بالنسبة لموقع عدد صحيح ثابت n وقيمة عدد صحيح v ، فإن الأسطوانات هي مولدات لمجموعات الأسطوانات: تتكون مجموعات الأسطوانات من جميع تقاطعات عدد محدود من الأسطوانات. أي، بالنظر إلى أي مجموعة محدودة من إحداثيات الأعداد الطبيعيةأنا⊆ω{\displaystyle I\subseteq \omega }وقيم الأعداد الطبيعية المقابلةvأنا{\displaystyle v_{i}}لكلأنا∈أنا{\displaystyle i\in I}، ينظر المرء إلى التقاطع

⋂أنا∈أناجأنا[vأنا].{\displaystyle \bigcap _{i\in I}C_{i}[v_{i}].}

يُطلق على هذا التقاطع اسم مجموعة أسطوانية ، وتُشكّل مجموعة جميع هذه المجموعات الأسطوانية أساسًا لطوبولوجيا الضرب . كل مجموعة مفتوحة هي اتحاد (مجموعة قابلة للعد من) هذه المجموعات الأسطوانية.

أساس الشجرة

يمكن تقديم أساس بديل لطوبولوجيا المنتج بدلالة الأشجار. ويمكن وصف المجموعات المفتوحة الأساسية كما يلي:

إذا تم اختيار متتالية منتهية من الأعداد الطبيعية { wᵢ : i < n } ، فإن مجموعة جميع المتتاليات غير المنتهية من الأعداد الطبيعية التي لها القيمة wᵢ في الموضع i لكل i < n تُسمى مجموعة مفتوحة أساسية. كل مجموعة مفتوحة هي اتحاد قابل للعد لمجموعة من هذه المتتاليات. 

وبالتالي، فإن المجموعة المفتوحة الأساسية في فضاء باير هي مجموعة جميع المتتاليات اللانهائية من الأعداد الطبيعية التي تمتد عبر قطعة ابتدائية منتهية مشتركة σ . ويؤدي هذا إلى تمثيل فضاء باير كمجموعة جميع المسارات اللانهائية التي تمر عبر الشجرة الكاملة ω < ω للمتتاليات المنتهية من الأعداد الطبيعية المرتبة حسب الامتداد . كل قطعة ابتدائية منتهية σ هي عقدة في شجرة المتتاليات المنتهية. تُحدد كل مجموعة مفتوحة باتحاد قابل للعد S لعقد تلك الشجرة. تقع نقطة في فضاء باير ضمن مجموعة مفتوحة إذا وفقط إذا كان مسارها يمر عبر إحدى العقد في اتحادها المحدد. وعلى العكس، تُقابل كل مجموعة مفتوحة شجرة فرعية S من الشجرة الكاملة ω < ω ، تتكون من عدد قابل للعد على الأكثر من العقد.

يُتيح تمثيل فضاء باير كمسارات عبر شجرة توصيفًا للمجموعات المغلقة باعتبارها مُكمِّلات للأشجار الفرعية التي تُعرِّف المجموعات المفتوحة. يمر كل عنصر في فضاء باير عبر سلسلة من عُقد ω < ω . المجموعات المغلقة هي مُكمِّلات للمجموعات المفتوحة. يُعرِّف هذا شجرة فرعية T من الشجرة الكاملة ω < ω ، حيث تكون عُقد S التي تُعرِّف المجموعة المفتوحة مفقودة. تتكون الشجرة الفرعية T من جميع العُقد في ω < ω التي لا تنتمي إلى S. تُعرِّف هذه الشجرة الفرعية T مجموعة فرعية مغلقة C من فضاء باير بحيث يكون أي عنصر x ينتمي إلى C إذا وفقط إذا كان x مسارًا عبر T. على العكس من ذلك، لأي مجموعة فرعية مغلقة C من فضاء باير، توجد شجرة فرعية T تتكون من جميع ω < ω مع إزالة عدد قابل للعد على الأكثر من العُقد.

بما أن الشجرة الكاملة ω < ω قابلة للعد، فإن هذا يعني أن المجموعات المغلقة تُقابل أي شجرة فرعية من الشجرة الكاملة، بما في ذلك الأشجار الفرعية المنتهية. وبالتالي، تتكون الطوبولوجيا من مجموعات مفتوحة ومغلقة . وهذا يعني أن فضاء باير ذو بُعد صفري بالنسبة للبعد الاستقرائي الصغير (كما هو الحال في جميع الفضاءات التي تتكون قاعدتها من مجموعات مفتوحة ومغلقة).

تُقدّم التعريفات المذكورة أعلاه للمجموعات المفتوحة والمغلقة أول مجموعتينΣ10{\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}}وΠ10{\displaystyle \mathbf {\Pi } _{1}^{0}}من التسلسل الهرمي لبوريل المكتوب بخط غامق .

طوبولوجيا الصندوق

تتمتع عمليات الضرب الديكارتية أيضًا ببنية بديلة، وهي بنية الصندوق . هذه البنية أدق بكثير من بنية الضرب لأنها لا تحد من مجموعة المؤشرات.أنا={أنا∈ω}{\displaystyle I=\{i\in \omega \}}أن تكون محدودة. اصطلاحاً، لا يشير فضاء باير إلى هذه الطوبولوجيا؛ بل يشير فقط إلى طوبولوجيا المنتج.

وزن

يمكن تعميم التعريف المذكور أعلاه لفضاء باير إلى تعريف تكون فيه العناصرxأنا{\displaystyle x_{i}}من المتتالية اللانهائية القابلة للعد(x1،x2،⋯){\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}يتم اختيارها من مجموعةد(κ){\displaystyle D(\kappa )}من حيث العدديةκ{\displaystyle \kappa }يُطلق على هذا الفضاء اسم فضاء باير للوزنκ{\displaystyle \kappa }ويمكن الإشارة إليه على النحو التالي:ب(κ){\displaystyle B(\kappa )}[ 1 ] وفقًا لهذا التعريف، فإن فضاءات باير ذات الوزن المحدود تُقابل فضاء كانتور . وبالتالي ، فإن أول فضاء باير ذي الوزن اللانهائي هوب(ℵ0){\displaystyle B(\aleph _{0})}وهو متماثل الشكل معωω{\displaystyle \omega ^{\omega }}كما هو موضح أعلاه.

متري

بفرض وجود متتابعتينx=(x1،x2،⋯){\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots )}وy=(y1،y2،⋯){\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\cdots )}، مقياسρ(x،y){\displaystyle \rho (x,y)}يمكن تعريفها على النحو التالي:ρ(x،y)=1/ك{\displaystyle \rho (x,y)=1/k}أينك{\displaystyle k}هو أصغر عدد صحيح بحيثxك≠yك.{\displaystyle x_{k}\neq y_{k}.}باستخدام هذا المقياس، فإن المجموعات المفتوحة الأساسية لقاعدة الشجرة هي كرات نصف قطرها1/ك{\displaystyle 1/k}.

فضاء متريX{\displaystyle X}يندمج في مساحة بايرب(κ){\displaystyle B(\kappa )}إذا وفقط إذاX{\displaystyle X}يشكل قاعدةب{\displaystyle {\mathcal {B}}}من المجموعات المفتوحة والمغلقة، حيث عدد عناصرهاب{\displaystyle {\mathcal {B}}}أقل من أو يساويκ{\displaystyle \kappa }[ 2 ] [ 3 ]​

ملكيات

يتميز مكان باير بالخصائص التالية:

  1. هو فضاء بولندي مثالي ، أي أنه فضاء قابل للقياس تمامًا وقابل للعد من الدرجة الثانية ، ولا يحتوي على أي نقاط معزولة . ولذلك، فهو يمتلك نفس عدد عناصر الخط الحقيقي، وهو فضاء باير بالمعنى الطوبولوجي للمصطلح.
  2. إنه ذو أبعاد صفرية ومنفصل تمامًا .
  3. إنها ليست مضغوطة محلياً .
  4. تُعدّ هذه الخاصية عامة بالنسبة للفضاءات البولندية، بمعنى أنه يمكن تطبيقها بشكل متصل على أي فضاء بولندي غير فارغ. علاوة على ذلك، يمتلك أي فضاء بولندي فضاءً جزئياً كثيفاً من نوع Gδ متماثلاً شكلياً مع فضاء جزئي من نوع Gδ في فضاء باير.
  5. فضاء باير متماثل الشكل مع حاصل ضرب أي عدد محدود أو قابل للعد من النسخ من نفسه.
  6. إنها مجموعة التشاكل الذاتي لنموذج مشبع لانهائي قابل للعدم{\displaystyle M}نظرية كاملةتي{\displaystyle T}.

العلاقة بالخط الحقيقي

يكون فضاء باير متماثلًا طوبولوجيًا مع مجموعة الأعداد غير النسبية عندما تُعطى طوبولوجيا الفضاء الجزئي الموروثة من خط الأعداد الحقيقية. ويمكن إنشاء تماثل طوبولوجي بين فضاء باير والأعداد غير النسبية باستخدام الكسور المستمرة . أي، بالنظر إلى متتالية من الأعداد الطبيعية(أ0،أ1،أ2،⋯)∈ωω{\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }}، يمكننا تعيين عدد غير نسبي مقابل أكبر من 1

x=[1+أ0؛1+أ1،1+أ2،⋯]=1+أ0+11+أ1+11+أ2+⋯{\displaystyle x=[1+a_{0};1+a_{1},1+a_{2},\cdots ]=1+a_{0}+{\frac {1}{1+a_{1}+{\frac {1}{1+a_{2}+\cdots }}}}}

استخدامx↦1x{\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}نحصل على تماثل تماثلي آخر من ωω{\displaystyle \omega ^{\omega }}إلى الأعداد غير النسبية في الفترة المفتوحة للوحدة(0،1){\displaystyle (0,1)}ويمكننا فعل الشيء نفسه بالنسبة للأعداد غير النسبية السالبة. نلاحظ أن الأعداد غير النسبية هي المجموع الطوبولوجي لأربعة فضاءات متماثلة مع فضاء باير، وبالتالي فهي متماثلة أيضاً مع فضاء باير.

من منظور نظرية المجموعات الوصفية ، تُعدّ فضاءات باير أكثر مرونة من خط الأعداد الحقيقية للأسباب التالية: بما أن خط الأعداد الحقيقية متصل مساريًا، فإن كل صورة متصلة له متصلة مساريًا أيضًا. في المقابل، كل فضاء بولندي هو الصورة المتصلة لفضاء باير. هذا الاختلاف يجعل استخدام خط الأعداد الحقيقية "غير سلس نوعًا ما"، على الرغم من تركيز نظرية المجموعات الوصفية على مجموعات الأعداد الحقيقية. بدلًا من ذلك، غالبًا ما يكون من الممكن إثبات نتائج تتعلق بأي فضاء بولندي من خلال إظهار أن هذه الخصائص تنطبق على فضاء باير وأنها محفوظة بواسطة الدوال المتصلة . [ 4 ]

يُعدّ الفضاء ω ذا أهمية مستقلة، وإن كانت ثانوية، في التحليل الحقيقي ، حيث يُعتبر فضاءً منتظماً . مع ذلك، تختلف البنى المنتظمة للفضاءين ω و Ir ( الأعداد غير النسبية): فالفضاء ω كامل في مقياسه المعتاد، بينما Ir ليس كذلك (على الرغم من أن هذين الفضاءين متماثلان طوبولوجياً).

عامل المناوبة

يصبح عامل الإزاحة في فضاء باير، عند تعيينه على الفترة [0,1] من الأعداد الحقيقية ، عامل غاوس-كوزمين-ويرسينغح(x)=1/x-⌊1/x⌋{\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor }أي، بالنظر إلى متتالية(أ1،أ2،⋯){\displaystyle (a_{1},a_{2},\cdots )}، يعود عامل الإزاحة Tتي(أ1،أ2،⋯)=(أ2،⋯){\displaystyle T(a_{1},a_{2},\cdots )=(a_{2},\cdots )}وبالمثل، بالنظر إلى الكسر المستمرx=[أ1،أ2،⋯]{\displaystyle x=[a_{1},a_{2},\cdots ]}، تُعيد خريطة غاوسح(x)=[أ2،⋯]{\displaystyle h(x)=[a_{2},\cdots ]}المؤثر المقابل للدوال من فضاء باير إلى المستوى المركب هو مؤثر غاوس-كوزمين-ويرسينغ ؛ وهو مؤثر نقل لخريطة غاوس. [ 5 ] أي أننا نعتبر الخرائطωω→ج{\displaystyle \omega ^{\omega }\to \mathbb {C} }من فضاء باير إلى المستوى المركبج{\displaystyle \mathbb {C} }ترث هذه المساحة من الدوال طوبولوجيا من طوبولوجيا الضرب على فضاء باير؛ على سبيل المثال، يمكن اعتبار الدوال ذات التقارب المنتظم . وتكون دالة الإزاحة، التي تعمل على هذه المساحة من الدوال، هي مؤثر GKW.

يُعطى مقياس هار لمؤثر الإزاحة، أي الدالة الثابتة تحت الإزاحات، بواسطة مقياس مينكوفسكي(...)′{\displaystyle (...)'}أي أن المرء يمتلك ذلك(تيهـ)′=هـ′{\displaystyle (TE)'=E'}، حيث T هو الإزاحة [ 6 ] و E أي مجموعة فرعية قابلة للقياس من ω ω .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ أرخانجيلسكي، AV ؛ بونترياجين، ل.س. (1990). الطوبولوجيا العامة . المجلد.  I. برلين، DE: Springer-Verlag. رقم ISBN 3-540-18178-4.انظر الفصل الأول.
  2. ↑ ر. إنجلكينج (1977). الطوبولوجيا العامة . دار النشر العلمية البولندية، وارسو.
  3. ↑ ألكساندروف، ب.س. (1977). مقدمة في نظرية المجموعات والطوبولوجيا العامة . موسكو: ناوكا.
  4. ↑ مارتن، دونالد أ. (1977). "نظرية المجموعات الوصفية: المجموعات الإسقاطية". دليل المنطق الرياضي . دراسات في المنطق وأسس الرياضيات. المجلد 90. نورث هولاند، أمستردام. الصفحات 783-815 . ISBN   0-7204-2285-X. MR 3727424 . انظر على وجه الخصوص الصفحات 785-786
  5. ^ ليناس فيبستاس، “ عامل غاوس-كوزمين-ويرسينج ” (2004)
  6. ↑ ليناس فيبستاس، " حول مقياس مينكوفسكي "، (2008) arXiv:0810.1265