سلسلة الطاقة

في ميكانيكا المتصل ، تتضمن سلسلة الطاقة نقل الطاقة من مقاييس الحركة الكبيرة إلى المقاييس الصغيرة (تسمى سلسلة الطاقة المباشرة ) أو نقل الطاقة من المقاييس الصغيرة إلى المقاييس الكبيرة (تسمى سلسلة الطاقة العكسية ). يتطلب نقل الطاقة هذا بين مقاييس مختلفة أن تكون ديناميكيات النظام غير خطية . بالمعنى الدقيق للكلمة، تتطلب السلسلة أن يكون نقل الطاقة محليًا في المقياس (فقط بين التقلبات ذات الحجم المتماثل تقريبًا)، مما يستحضر شلالًا متتاليًا من بركة إلى بركة دون عمليات نقل طويلة المدى عبر نطاق المقياس.

يلعب هذا المفهوم دورًا مهمًا في دراسة الاضطرابات المتطورة جيدًا . وقد تم التعبير عنه بشكل لا يُنسى في هذه القصيدة التي كتبها لويس ف. ريتشاردسون في عشرينيات القرن العشرين. كما تعد شلالات الطاقة مهمة أيضًا لموجات الرياح في نظرية الاضطرابات الموجية .

ولنتأمل على سبيل المثال الاضطرابات التي تولدها تدفقات الهواء حول مبنى شاهق الارتفاع: فالدوامات المحتوية على الطاقة والتي تولدها عملية فصل التدفق لها أحجام تصل إلى عشرات الأمتار. وفي مكان ما في اتجاه مجرى النهر، يحدث التبديد بفعل اللزوجة ، في الأغلب، في دوامات عند مقاييس كولموغوروف المجهرية : في حدود المليمتر في الحالة الحالية. وفي هذه المقاييس المتوسطة، لا يوجد إجبار مباشر للتدفق ولا قدر كبير من التبديد اللزج، ولكن هناك نقل غير خطي صافٍ للطاقة من المقاييس الكبيرة إلى المقاييس الصغيرة.

يُطلق على هذا النطاق المتوسط ​​من المقاييس، إذا كان موجودًا، النطاق الفرعي بالقصور الذاتي . يتم وصف الديناميكيات في هذه المقاييس باستخدام التشابه الذاتي ، أو من خلال الافتراضات - لإغلاق الاضطراب - على الخصائص الإحصائية للتدفق في النطاق الفرعي بالقصور الذاتي. كان أحد الأعمال الرائدة هو استنتاج أندريه كولموغوروف في الأربعينيات من القرن العشرين لطيف الرقم الموجي المتوقع في النطاق الفرعي بالقصور الذاتي للاضطراب.

تحتوي أكبر الحركات أو الدوامات للاضطرابات على معظم الطاقة الحركية ، في حين أن أصغر الدوامات مسؤولة عن التبديد اللزج للطاقة الحركية للاضطرابات. افترض كولموغوروف أنه عندما تكون هذه المقاييس منفصلة جيدًا، فإن النطاق المتوسط ​​لمقاييس الطول سيكون متساوي الخواص إحصائيًا، وأن خصائصه في حالة التوازن تعتمد فقط على المعدل الذي تتبدد به الطاقة الحركية عند المقاييس الصغيرة. التبديد هو التحويل الاحتكاكي للطاقة الميكانيكية إلى طاقة حرارية . يمكن كتابة معدل التبديد، من حيث المعدلات المتقلبة للانفعال في التدفق المضطرب واللزوجة الحركية للسائل، v . لها أبعاد طاقة لكل وحدة كتلة في الثانية. في حالة التوازن، يكون إنتاج الطاقة الحركية للاضطرابات عند المقاييس الكبيرة للحركة مساويًا لتبديد هذه الطاقة عند المقاييس الصغيرة. ${\displaystyle \varepsilon }$

طيف طاقة الاضطراب، E ( k )، مرتبط بمتوسط ​​طاقة الحركة الاضطرابية لكل وحدة كتلة كما هو موضح في ^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\overline {u_{i}u_{i}}}\right)=\int _{0}^{\infty }E(k)\;dk,}$

حيث u _i هي مكونات السرعة المتقلبة، ويشير الخط العلوي إلى متوسط ​​المجموعة، ويُستدل على الجمع على i ، و k هو الرقم الموجي . وبالتالي، يمثل طيف الطاقة، E ( k )، المساهمة في طاقة الحركة المضطربة من خلال الأرقام الموجية من k إلى k  + d k . أكبر الدوامات لها رقم موجي منخفض، والدوامات الصغيرة لها أرقام موجية عالية.

نظرًا لأن الانتشار يسير وفقًا لمقياس لابلاس للسرعة، فمن الممكن كتابة معدل التبديد من حيث طيف الطاقة على النحو التالي:

${\displaystyle \varepsilon =2\nu \int _{0}^{\infty }k^{2}E(k)\;dk,}$

مع اللزوجة الحركية للسائل ν. ومن هذه المعادلة، يمكن ملاحظة مرة أخرى أن التبديد يرتبط بشكل أساسي بأرقام موجية عالية (دوامات صغيرة) على الرغم من أن الطاقة الحركية ترتبط بشكل أساسي بأرقام موجية أقل (دوامات كبيرة).

إن انتقال الطاقة من الأعداد الموجية المنخفضة إلى الأعداد الموجية العالية هو ما يسمى بشلال الطاقة. ويؤدي هذا الانتقال إلى نقل طاقة الحركة المضطربة من المقاييس الكبيرة إلى المقاييس الصغيرة، حيث يبددها الاحتكاك اللزج. وفي النطاق المتوسط ​​من المقاييس، أو ما يسمى بالنطاق الفرعي بالقصور الذاتي، تؤدي فرضيات كولموغوروف إلى الشكل العالمي التالي لطيف الطاقة:

${\displaystyle E(k)=C\varepsilon ^{2/3}k^{-5/3}.}$

تدعم مجموعة واسعة من الأدلة التجريبية هذه النتيجة، على مدى مجموعة واسعة من الظروف. تجريبياً، تم ملاحظة القيمة C = 1.5 . ^[2]

تم ذكر النتيجة لأول مرة بشكل مستقل بواسطة ألكسندر أوبوخوف في عام 1941. ^[3] نتيجة أوبوخوف تعادل تحويل فورييه لنتيجة كولموغوروف عام 1941 ^[4] لدالة البنية المضطربة. ^[5]${\displaystyle E(k)\sim k^{-5/3}}$

يمكن وصف تقلبات الضغط في التدفق المضطرب بنفس الطريقة. يمكن تمثيل تقلبات الضغط في التدفق المضطرب باستخدام طيف الضغط، π ( k ):

${\displaystyle {\overline {p^{2}}}=\int _{0}^{\infty }\pi (k)\;dk.}$

في حالة الاضطراب بدون تدرج متوسط ​​للسرعة (الاضطراب المتساوي الخواص)، يتم إعطاء الطيف في النطاق الفرعي بالقصور الذاتي بواسطة

${\displaystyle \pi(k)=\alpha \rho ^{2}\varepsilon ^{4/3}k^{-7/3},}$

حيث ρ هي كثافة السائل، و α = 1.32 C ² = 2.97. ^[6] يخلق تدرج سرعة التدفق المتوسط ​​( تدفق القص ) مساهمة إضافية مضافة إلى طيف الضغط الفرعي بالقصور الذاتي والذي يتغير بمقدار k ^−11/3 ؛ لكن سلوك k ^−7/3 هو السائد عند الأعداد الموجية الأعلى. ^[7]

يمكن أن تؤدي تقلبات الضغط أسفل السطح الحر للسائل إلى حدوث إزاحات متقلبة لسطح السائل، والتي يتم تعديلها عند أطوال موجية صغيرة بواسطة التوتر السطحي. يمكن أيضًا وصف تفاعل السطح الحر والاضطراب هذا بطيف رقم الموجة . إذا كانت δ هي الإزاحة اللحظية للسطح من موضعه المتوسط، فيمكن تمثيل الإزاحة التربيعية المتوسطة بطيف الإزاحة G ( k ) على النحو التالي:

${\displaystyle {\overline {\delta ^{2}}}=\int _{0}^{\infty }G(k)\;dk.}$

يمكن دمج شكل ثلاثي الأبعاد لطيف الضغط مع معادلة يونج لابلاس لإظهار أن: ^[8]

${\displaystyle G(k)\propto k^{-19/3}.}$

تم الحصول على الملاحظة التجريبية لقانون k ^−19/3 من خلال القياسات البصرية لسطح النفاثات السائلة الحرة المضطربة. ^[8]

• كورين، أيه جيه (1994)، الدوامة والاضطراب ، العلوم الرياضية التطبيقية، المجلد 103، سبرينغر، رقم ISBN 978-0-387-94197-4
• فالكوفيتش، ج.؛ سرينيفاسان، كيه آر (2006)، "دروس من الاضطرابات الهيدروديناميكية"، فيزياء اليوم ، 59 (4): 43-49، رمز Bibcode :2006PhT....59d..43F، doi :10.1063/1.2207037
• فريش، يو. (1995)، الاضطرابات: إرث أن. كولموغوروف ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-45713-2
• نيويل، إيه سي ؛ رومبف، بي. (2011)، "اضطراب الموجة"، المراجعة السنوية لميكانيكا الموائع ، 43 (1): 59-78، رمز Bibcode :2011AnRFM..43...59N، doi :10.1146/annurev-fluid-122109-160807
• ريتشاردسون، إل إف (1922)، التنبؤ بالطقس من خلال عملية عددية ، مطبعة جامعة كامبريدج، OCLC  3494280

• G. Falkovich (المحرر). "التتابع والتوسع". Scholarpedia .