شاهد التشابك

في نظرية المعلومات الكمومية ، يُعدّ دليل التشابك دالة تميز حالة تشابك محددة عن الحالات القابلة للفصل. يمكن أن تكون أدلة التشابك دوالًا خطية أو غير خطية لمصفوفة الكثافة . إذا كانت خطية، فيمكن اعتبارها أيضًا كميات قابلة للرصد يكون فيها التوقع للحالة المتشابكة خارج نطاق التوقع الممكن لأي حالة قابلة للفصل .

لنفترض أن نظامًا كميًا مركبًا له فضاء حالة${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}$الحالة المختلطة ρ هي مؤثر موجب من فئة الأثر على فضاء الحالة، وله أثر يساوي 1. يمكننا اعتبار عائلة الحالات مجموعة جزئية من فضاء باناخ الحقيقي المُوَلَّد بواسطة مؤثرات هيرميتية من فئة الأثر، بمعيار الأثر. تكون الحالة المختلطة ρ قابلة للفصل إذا أمكن تقريبها، بمعيار الأثر، بحالات من الشكل التالي:

${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{k}p_{i}\,\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B},}$

أين${\displaystyle \rho _{i}^{A}}$و${\displaystyle \rho _{i}^{B}}$تمثل هذه الحالات حالات نقية على النظامين الفرعيين A و B على التوالي. لذا، فإن عائلة الحالات القابلة للفصل هي الغلاف المحدب المغلق لحالات الضرب النقية. سنستخدم الصيغة التالية من نظرية هان-باناخ :

نظرية: ليكن${\displaystyle S_{1}}$و${\displaystyle S_{2}}$إذا كانت مجموعتان محدبتان مغلقتان منفصلتان في فضاء باناخ حقيقي، وكانت إحداهما مضغوطة ، فإنه يوجد دالة محدودة f تفصل بين المجموعتين.

هذا تعميم لحقيقة أنه في الفضاء الإقليدي الحقيقي، إذا أُعطيت مجموعة محدبة ونقطة خارجها، يوجد دائمًا فضاء جزئي أفيني يفصل بينهما. يتجلى الفضاء الجزئي الأفيني في الدالة f . في هذا السياق، تُمثل عائلة الحالات القابلة للفصل مجموعة محدبة في فضاء مؤثرات فئة الأثر. إذا كانت ρ حالة متشابكة (وبالتالي تقع خارج المجموعة المحدبة)، فبحسب النظرية السابقة، توجد دالة f تفصل ρ عن الحالات القابلة للفصل. هذه الدالة f ، أو تعريفها كمؤثر، هي ما نسميه شاهد التشابك . يوجد أكثر من مستوى فائق يفصل مجموعة محدبة مغلقة عن نقطة تقع خارجها، لذا بالنسبة لحالة متشابكة، يوجد أكثر من شاهد تشابك. تذكر أن الفضاء الثنائي لفضاء باناخ لمؤثرات فئة الأثر متماثل مع مجموعة المؤثرات المحدودة . لذلك، يمكننا تعريف f بمؤثر هيرميتي A. وبالتالي، مع مراعاة بعض التفاصيل، فقد أثبتنا وجود دليل على التشابك في حالة متشابكة:

نظرية: لكل حالة متشابكة ρ ، يوجد مؤثر هيرميتي A بحيث ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A\,\rho )<0}$، و${\displaystyle \operatorname {Tr} (A\,\sigma )\geq 0}$لجميع الحالات القابلة للفصل σ .

عندما يكون كلاهما${\displaystyle H_{A}}$و${\displaystyle H_{B}}$بما أن لها بُعدًا محدودًا، فلا فرق بين مؤثرات فئة الأثر ومؤثرات هيلبرت-شميدت . لذا في هذه الحالة، يمكن تحديد A باستخدام نظرية تمثيل ريز . وكنتيجة مباشرة لذلك، لدينا:

نظرية: تكون الحالة المختلطة σ قابلة للفصل إذا وفقط إذا

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A\,\sigma )\geq 0}$

لأي مؤثر محدود A يحقق${\displaystyle \operatorname {Tr} (A\cdot P\otimes Q)\geq 0}$، لجميع المنتجات في حالتها النقية${\displaystyle P\otimes Q}$.

إذا كانت الحالة قابلة للفصل، فمن الواضح أن النتيجة المطلوبة من النظرية يجب أن تتحقق. من ناحية أخرى، إذا كانت الحالة متشابكة، فإن أحد شهود تشابكها سيخالف الشرط المحدد.

وبالتالي، إذا كانت الدالة f محدودة في فضاء باناخ ذي فئة الأثر، وكانت f موجبة على حالات الضرب النقية، فإن f ، أو تعريفها كمؤثر هيرميتي، تُعدّ دليلاً على التشابك. تشير هذه الدالة f إلى تشابك حالة ما.

باستخدام التماثل بين شهود التشابك والخرائط غير الموجبة تمامًا، تم إثبات (بواسطة هوروديكيس) أن

نظرية: افترض أن${\displaystyle H_{A},H_{B}}$ذات أبعاد محدودة. حالة مختلطة${\displaystyle \sigma \in L(H_{A})\otimes L(H_{B})}$تكون قابلة للفصل إذا كان لكل تطبيق موجب Λ من المؤثرات المحدودة على${\displaystyle H_{B}}$إلى المؤثرات المحدودة على${\displaystyle H_{A}}$، المشغل${\displaystyle (I_{A}\otimes \Lambda )(\sigma )}$موجب، حيث${\displaystyle I_{A}}$خريطة الهوية على${\displaystyle \;L(H_{A})}$، المؤثرات المحدودة على${\displaystyle H_{A}}$.

• تيرهال، باربرا م. (2000). "متباينات بيل ومعيار الفصل". رسائل الفيزياء أ . 271 ( 5-6 ): 319-326 . arXiv : quant-ph/9911057 . Bibcode : 2000PhLA..271..319T . doi : 10.1016/S0375-9601(00)00401-1 . ISSN 0375-9601 .  متوفر أيضاً على الرابط quant-ph/9911057
• آر بي هولمز. التحليل الوظيفي الهندسي وتطبيقاته ، سبرينغر-فيرلاغ، 1975.
• م. هوروديكي، ب. هوروديكي، ر. هوروديكي، قابلية فصل الحالات المختلطة: الشروط الضرورية والكافية ، رسائل الفيزياء أ 223، 1 (1996) و arXiv:quant-ph/9605038
• Z. Ficek, "معالجة التشابك الكمي باستخدام الذرات"، الرياضيات التطبيقية وعلوم المعلومات 3، 375-393 (2009).
• باري سي. ساندرز وجيونغ سان كيم، "الزواج الأحادي والتعددي للتشابك في الأنظمة الكمومية متعددة الأجزاء"، الرياضيات التطبيقية وعلوم المعلومات 4، 281-288 (2010).
• غوهن، أ.؛ توث، ج. (2009). "الكشف عن التشابك". تقارير الفيزياء 474 ( 1-6 ): 1-75 . arXiv : 0811.2803 . Bibcode : 2009PhR...474....1G . doi : 10.1016/j.physrep.2009.02.004 .