وظيفي (رياضيات)

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 34 صور
الموسوعة الحرة

تُعرَّف دالة طول القوس بأنها فضاء المتجهات للمنحنيات القابلة للتقويم – وهو فضاء جزئي منج([0،1]،R3){\displaystyle C([0,1],\mathbb {R} ^{3})}– ويُخرج قيمة عددية حقيقية. هذا مثال على دالة غير خطية.
التكامل الريماني هو دالة خطية على الفضاء المتجهي للدوال المعرفة على [ a , b ] والتي تكون قابلة للتكامل الريماني من a إلى b .

في الرياضيات ، الدالة هي نوع معين من الدوال . ويختلف التعريف الدقيق لهذا المصطلح باختلاف المجال الفرعي (وأحيانًا حتى باختلاف المؤلف).

تتناول هذه المقالة بشكل أساسي المفهوم الثاني، الذي ظهر في أوائل القرن الثامن عشر كجزء من حساب التفاضل والتكامل . أما المفهوم الأول، وهو أكثر حداثة وتجريدًا، فقد نوقش بالتفصيل في مقالة منفصلة تحت مسمى الصيغة الخطية . وتم تفصيل المفهوم الثالث في مقالة علوم الحاسوب حول الدوال ذات الرتبة العليا .

في حالة وجود مساحةX{\displaystyle X}إذا كان فضاءً للدوال، فإن الدالة الوظيفية هي "دالة لدالة"، [ 6 ] بل إن بعض المؤلفين القدامى يُعرّفون مصطلح "وظيفي" بأنه "دالة لدالة". ومع ذلك، فإن حقيقة أنX{\displaystyle X}إن مفهوم فضاء الدوال ليس ضرورياً من الناحية الرياضية، لذا فإن هذا التعريف القديم لم يعد سائداً.

يُشتق المصطلح من حساب التفاضل والتكامل التغيري ، حيث يتم البحث عن دالة تُقلل (أو تُعظم) قيمة دالة معينة. ومن أهم تطبيقاته في الفيزياء البحث عن حالة نظام تُقلل (أو تُعظم) الفعل ، أو بعبارة أخرى، التكامل الزمني لدالة لاغرانج .

تفاصيل

الازدواجية

رسم الخرائط x0↦و(x0){\displaystyle x_{0}\mapsto f(x_{0})} هي دالة، حيثx0{\displaystyle x_{0}}هو وسيط دالةو.{\displaystyle f.} في الوقت نفسه، يتم ربط دالة ما بقيمة تلك الدالة عند نقطة معينة. و↦و(x0){\displaystyle f\mapsto f(x_{0})} هو دالة وظيفية ؛ هنا،x0{\displaystyle x_{0}}هو مُعامل .

بشرط أنو{\displaystyle f}هي دالة خطية من فضاء متجهي إلى الحقل القياسي الأساسي، والخرائط الخطية المذكورة أعلاه مزدوجة لبعضها البعض، وفي التحليل الوظيفي يُطلق على كليهما اسم الدوال الخطية .

التكامل المحدد

التكاملات مثل و↦أنا[و]=∫Ωح(و(x)،و′(x)،...)μ(دx){\displaystyle f\mapsto I[f]=\int _{\Omega }H(f(x),f'(x),\ldots )\;\mu (\mathrm {d} x)} تشكل فئة خاصة من الدوال الوظيفية. فهي تُمثل دالة.و{\displaystyle f}إلى عدد حقيقي، بشرط أنح{\displaystyle H}لها قيمة حقيقية. ومن الأمثلة على ذلك:

  • المساحة الواقعة أسفل منحنى دالة موجبةو{\displaystyle f}و↦∫x0x1و(x)دx{\displaystyle f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\;\mathrm {d} x}
  • لص{\displaystyle L^{p}}معيار دالة على مجموعةهـ{\displaystyle E}و↦(∫هـ|و|صدx)1/ص{\displaystyle f\mapsto \left(\int _{E}|f|^{p}\;\mathrm {d} x\right)^{1/p}}
  • طول قوس منحنى في الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعادو↦∫x0x11+|و′(x)|2دx{\displaystyle f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}\;\mathrm {d} x}

مساحات المنتج الداخلية

بالنظر إلى فضاء المنتج الداخليX،{\displaystyle X,}ومتجه ثابتx→∈X،{\displaystyle {\vec {x}}\in X,}الخريطة المحددة بواسطةy→↦x→⋅y→{\displaystyle {\vec {y}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}دالة خطية علىX.{\displaystyle X.}مجموعة المتجهاتy→{\displaystyle {\vec {y}}}بحيثx→⋅y→{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}إذا كان الصفر هو فضاء متجهي جزئي منX،{\displaystyle X,}يُطلق عليه اسم الفضاء الصفري أو نواة الدالة، أو المتمم المتعامد لـx→،{\displaystyle {\vec {x}},}يُشار إليه{x→}⊥.{\displaystyle \{{\vec {x}}\}^{\perp }.}

على سبيل المثال، حساب الجداء الداخلي مع دالة ثابتةز∈ل2([-π،π]){\displaystyle g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])}يُعرّف دالة (خطية) على فضاء هيلبرتل2([-π،π]){\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}من الدوال القابلة للتكامل التربيعي على[-π،π]:{\displaystyle [-\pi ,\pi ]:}و↦⟨و،ز⟩=∫[-π،π]و¯ز{\displaystyle f\mapsto \langle f,g\rangle =\int _{[-\pi ,\pi ]}{\bar {f}}g}

المنطقة

إذا أمكن حساب قيمة دالة ما لأجزاء صغيرة من منحنى الإدخال ثم جمعها لإيجاد القيمة الكلية، تُسمى الدالة محلية. وإلا تُسمى غير محلية. على سبيل المثال: F(y)=∫x0x1y(x)دx{\displaystyle F(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x} محلي بينما F(y)=∫x0x1y(x)دx∫x0x1(1+[y(x)]2)دx{\displaystyle F(y)={\frac {\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}}^{x_{1}}(1+[y(x)]^{2})\;\mathrm {d} x}}} غير محلي. يحدث هذا عادةً عندما تظهر التكاملات بشكل منفصل في بسط ومقام معادلة، كما هو الحال في حسابات مركز الكتلة.

المعادلات الوظيفية

ينطبق الاستخدام التقليدي أيضًا عند الحديث عن معادلة دالية، أي معادلة بين دوال: معادلةF=جي{\displaystyle F=G}يمكن قراءة العلاقة بين الدوال الوظيفية على أنها "معادلة لحلها"، حيث تكون الحلول نفسها دوالًا. في مثل هذه المعادلات، قد توجد عدة مجموعات من المتغيرات المجهولة، كما هو الحال عندما يُقال إن الخريطة الجمعيةو{\displaystyle f}أحدها يحقق معادلة كوشي الوظيفية : و(x+y)=و(x)+و(y) للجميع x،y.{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\qquad {\text{ لجميع }}x,y.}

المشتق والتكامل

تُستخدم المشتقات الوظيفية في ميكانيكا لاغرانج . وهي مشتقات للدوال الوظيفية؛ أي أنها تحمل معلومات حول كيفية تغير الدالة الوظيفية عندما تتغير دالة الإدخال بمقدار صغير.

استخدم ريتشارد فاينمان التكاملات الوظيفية كفكرة مركزية في صياغته لميكانيكا الكم القائمة على مجموع التواريخ . ويشير هذا الاستخدام إلى تكامل محسوب على فضاء دالي معين .

انظر أيضاً

  • الصيغة الخطية – دالة خطية من فضاء متجهي إلى حقل الكميات العددية الخاص به 
  • التحسين (الرياضيات) - دراسة الخوارزميات الرياضية لمسائل التحسين. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
  • الموتر – كائن جبري ذو تطبيقات هندسية 

مراجع

  1. ↑ لانغ 2002 ، ص 142 : "ليكن E وحدة نمطية حرة على حلقة تبديلية A. ننظر إلى A على أنها وحدة نمطية حرة من الرتبة 1 على نفسها. ونقصد بالوحدة النمطية الثنائية E ∨ لـ E الوحدة النمطية Hom( E , A ). تُسمى عناصرها دوالًا . وبالتالي، فإن الدالة على E هيتطبيق خطي A - f : E → A. "  
  2. ↑ كولموغوروف وفومين 1957 ، ص 77 : " تُسمىالدالة العددية f ( x ) المعرفة على فضاء خطي معياري R دالة . ويُقال إنالدالة f ( x ) خطية إذا كانت f (αx + βy ) = αf ( x ) + βf ( y ) حيث x و y ∈ R و α و β عددان اختياريان." 
  3. 1 2 ويلانسكي 2008 ، ص. 7.
  4. ↑ أكسلر (2014) ص 101، §3.92
  5. ↑ خيلمسكي، أ. يا. (2001) [1994]، "الدالة الخطية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
  6. ↑ كولموغوروف وفومين 1957 ، ص 62-63 : "الدالة الحقيقية على الفضاء R هي تطبيق من R إلى الفضاء R1 (خط الأعداد الحقيقية). وبالتالي، على سبيل المثال، فإن تطبيق Rn إلى R1 هو دالة حقيقية عادية لـ n متغير. في حالة كون الفضاء R نفسه يتكون من دوال، تُسمى دوال عناصر R عادةً بالدوال الوظيفية . "