نظرية تمثيل ريز

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 556 صور
الموسوعة الحرة

تُرسّخ نظرية تمثيل ريز ، والتي تُسمى أحيانًا نظرية تمثيل ريز-فريشيه نسبةً إلى فريجيس ريز وموريس رينيه فريشيه ، صلةً مهمةً بين فضاء هيلبرت وفضائه الثنائي المتصل . إذا كان الحقل الأساسي هو الأعداد الحقيقية ، فإنهما متماثلان قياسيًا ؛ أما إذا كان الحقل الأساسي هو الأعداد المركبة ، فإنهما متماثلان عكسيًا قياسيًا. يُعدّ التماثل (أو العكسي) تماثلًا طبيعيًا خاصًا .

المقدمات والتدوين

يتركح{\displaystyle H}ليكن فضاء هيلبرت فوق حقلF،{\displaystyle \mathbb {F} ,}أينF{\displaystyle \mathbb {F} }إما أن تكون أعدادًا حقيقيةR{\displaystyle \mathbb {R} }أو الأعداد المركبةج.{\displaystyle \mathbb {C} .}لوF=ج{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }(على التوالي إذاF=R{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }) ثمح{\displaystyle H}يُطلق على فضاء هيلبرت اسم فضاء هيلبرت مُركّب (أو فضاء هيلبرت حقيقي ). يمكن توسيع أي فضاء هيلبرت حقيقي ليصبح مجموعة جزئية كثيفة من فضاء هيلبرت مُركّب فريد (حتى التماثل التقابلي )، ويُسمى هذا التوسيع "التكعيب" ، ولهذا السبب يُفترض غالبًا أن فضاءات هيلبرت مُركّبة. تشترك فضاءات هيلبرت الحقيقية والمُركّبة في العديد من الخصائص والنتائج/النظريات، ولكن ليس جميعها.

هذه المقالة موجهة لكل من علماء الرياضيات والفيزياء ، وستشرح النظرية لكليهما. في كل من الرياضيات والفيزياء، إذا افترضنا أن فضاء هيلبرت حقيقي (أي إذاF=R{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }عندئذٍ، سيتضح هذا الأمر عادةً. في الرياضيات، وخاصةً في الفيزياء، يُفترض تلقائيًا، ما لم يُذكر خلاف ذلك، أن مصطلح "فضاء هيلبرت" يعني "فضاء هيلبرت المركب". وبحسب المؤلف، يُقصد بمصطلح "فضاء هيلبرت" في الرياضيات عادةً إما (1) فضاء هيلبرت المركب، أو (2) فضاء هيلبرت الحقيقي أو المركب.

الخرائط الخطية والخرائط المضادة للخطية

بحسب التعريف، فإن الخريطة المضادة للخطية (وتسمى أيضاً الخريطة الخطية المترافقة )و:ح→Y{\displaystyle f:H\to Y}هي دالة بين فضاءات متجهة تكون جمعية : و(x+y)=و(x)+و(y) للجميع x،y∈ح،{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ لجميع }}x,y\in H,} ومضاد الخطية (يسمى أيضًا مترافق خطي أو مترافق متجانس ): و(جx)=ج¯و(x) للجميع x∈ح وجميع الكميات القياسية ج∈F،{\displaystyle f(cx)={\overline {c}}f(x)\quad {\text{ لجميع }}x\in H{\text{ وجميع القيم العددية }}c\in \mathbb {F} ,} أينج¯{\displaystyle {\overline {c}}}هو مرافق العدد المركبج=أ+بأنا{\displaystyle c=a+bi}، مقدمة منج¯=أ-بأنا{\displaystyle {\overline {c}}=a-bi}.

على النقيض من ذلك، الخريطةو:ح→Y{\displaystyle f:H\to Y}تكون خطية إذا كانت جمعية ومتجانسة : و(جx)=جو(x) للجميع x∈ح وجميع الكميات القياسية ج∈F.{\displaystyle f(cx)=cf(x)\quad {\text{ لجميع }}x\in H\quad {\text{ وجميع القيم العددية }}c\in \mathbb {F} .}

كل ثابت0{\displaystyle 0}تكون الخريطة دائمًا خطية ومضادة للخطية في آن واحد. إذاF=R{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }عندئذٍ، تكون تعريفات التطبيقات الخطية والتطبيقات المضادة للخطية متطابقة تمامًا. يكون التطبيق الخطي من فضاء هيلبرت إلى فضاء باناخ (أو بشكل أعم، من أي فضاء باناخ إلى أي فضاء متجهي طوبولوجي ) متصلًا إذا وفقط إذا كان محدودًا ؛ وينطبق الأمر نفسه على التطبيقات المضادة للخطية. ويكون معكوس أي تقابل مضاد للخطية (أو خطي) تقابلًا مضادًا للخطية (أو خطيًا). ويكون تركيب تطبيقين مضادين للخطية تطبيقًا خطيًا .

مساحات ثنائية ومتضادة ثنائية متصلة

وظيفة على​ح{\displaystyle H}هي دالةح→F{\displaystyle H\to \mathbb {F} }مجالها المقابل هو الحقل القياسي الأساسيF.{\displaystyle \mathbb {F} .} يرمز بـح*{\displaystyle H^{*}}(على التوالي بواسطةح¯*){\displaystyle {\overline {H}}^{*})}مجموعة جميع الدوال الخطية المتصلة (أو الدوال المضادة للخطية المتصلة) علىح،{\displaystyle H,}والذي يُطلق عليه الفضاء الثنائي (المتصل) (أو الفضاء المضاد للثنائي (المتصل) ) لـح.{\displaystyle H.}[ 1 ] إذاF=R{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }ثم الدوال الخطية علىح{\displaystyle H}وهي مماثلة للدوال غير الخطية، وبالتالي، ينطبق الأمر نفسه على هذه الخرائط المتصلة: أي،ح*=ح¯*.{\displaystyle H^{*}={\overline {H}}^{*}.}

تطابق أحادي بين الدوال الخطية والدوال المضادة للخطية

بالنظر إلى أي دالةو : ح→F،{\displaystyle f~:~H\to \mathbb {F} ,}مرافق​و{\displaystyle f}الوظيفة و¯:ح→Fح↦و(ح)¯.{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{\overline {f}}:\,&H&&\to \,&&\mathbb {F} \\&h&&\mapsto \,&&{\overline {f(h)}}.\\\end{alignedat}}}

تكون هذه المهمة مفيدة للغاية عندماF=ج{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }لأنه إذاF=R{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }ثمو=و¯{\displaystyle f={\overline {f}}}والمهمةو↦و¯{\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}يختزل إلى خريطة الهوية .

المهمةو↦و¯{\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}يُعرّف هذا التعريف تناظرًا تقابليًا مضادًا للخطية من مجموعة

جميع الدوال الوظيفية (أو جميع الدوال الوظيفية الخطية، وجميع الدوال الوظيفية الخطية المتصلة)ح*{\displaystyle H^{*}}) علىح،{\displaystyle H,}

على موقع تصوير

جميع الدوال الوظيفية (أو جميع الدوال الوظيفية المضادة للخطية، وجميع الدوال الوظيفية المضادة للخطية المتصلة)ح¯*{\displaystyle {\overline {H}}^{*}}) علىح.{\displaystyle H.}

الرموز الرياضية مقابل الرموز الفيزيائية وتعريفات الضرب الداخلي

مساحة هيلبرتح{\displaystyle H}له منتج داخلي مرتبطح×ح→F{\displaystyle H\times H\to \mathbb {F} }بقيمةح{\displaystyle H}الحقل القياسي الأساسيF{\displaystyle \mathbb {F} }أي أن الدالة خطية في أحد الإحداثيات ومضادة للخطية في الإحداثي الآخر (كما هو موضح أدناه). إذاح{\displaystyle H}هو فضاء هيلبرت معقد (F=ج{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }ثمّة فرق جوهري بين الرموز السائدة في الرياضيات والفيزياء، فيما يتعلق بأيّ المتغيرين خطي. ومع ذلك، بالنسبة لفضاءات هيلبرت الحقيقية (F=R{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} })، الضرب الداخلي هو دالة متناظرة خطية في كل إحداثية ( ثنائية الخطية )، لذلك لا يمكن أن يكون هناك مثل هذا الالتباس.

في الرياضيات ، يُعرف الجداء الداخلي على فضاء هيلبرتح{\displaystyle H}يُشار إليه غالبًا بـ⟨⋅،⋅⟩{\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle }أو⟨⋅،⋅⟩ح{\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle _{H}}أما في الفيزياء ، فيتم استخدام تدوين برا-كيت⟨⋅|⋅⟩{\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle }أو⟨⋅|⋅⟩ح{\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle _{H}}يُستخدم عادةً. في هذه المقالة، سنربط بين هذين الرمزين من خلال المساواة:

⟨x،y⟩:=⟨y|x⟩ للجميع x،y∈ح.{\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle :=\left\langle y\mid x\right\rangle \quad {\text{ لجميع }}x,y\in H.} هذه لها الخصائص التالية:

  1. الخريطة⟨⋅،⋅⟩{\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle }تكون خطية في إحداثيتها الأولى ؛ أو بعبارة أخرى، الخريطة⟨⋅|⋅⟩{\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle }تكون خطية في إحداثيها الثاني . أي بالنسبة لقيمة ثابتةy∈ح،{\displaystyle y\in H,}الخريطة ⟨y|⋅⟩=⟨⋅،y⟩:ح→F{\displaystyle \left\langle \,y\mid \cdot \,\right\rangle =\left\langle \,\cdot \,,y\,\right\rangle :H\to \mathbb {F} }معح↦⟨y|ح⟩=⟨ح،y⟩{\textstyle h\mapsto \left\langle \,y\mid h\,\right\rangle =\left\langle \,h,y\,\right\rangle } دالة خطية علىح.{\displaystyle H.}هذه الدالة الخطية متصلة، لذا⟨y|⋅⟩=⟨⋅،y⟩∈ح*.{\displaystyle \left\langle \,y\mid \cdot \,\right\rangle =\left\langle \,\cdot ,y\,\right\rangle \in H^{*}.}
  2. الخريطة⟨⋅،⋅⟩{\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle }تكون الدالة مضادة للخطية في إحداثيتها الثانية ؛ أو بعبارة أخرى، الخريطة⟨⋅|⋅⟩{\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle }تكون دالة مضادة للخطية في إحداثيتها الأولى . أي أنه بالنسبة لقيمة ثابتةy∈ح،{\displaystyle y\in H,}الخريطة ⟨⋅|y⟩=⟨y،⋅⟩:ح→F{\displaystyle \left\langle \,\cdot \mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,\cdot \,\right\rangle :H\to \mathbb {F} }معح↦⟨ح|y⟩=⟨y،ح⟩{\textstyle h\mapsto \left\langle \,h\mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,h\,\right\rangle } دالة مضادة للخطية علىح.{\displaystyle H.}هذه الدالة غير الخطية متصلة، لذا⟨⋅|y⟩=⟨y،⋅⟩∈ح¯*.{\displaystyle \left\langle \,\cdot \mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,\cdot \,\right\rangle \in {\overline {H}}^{*}.}

في العمليات الحسابية، يجب على المرء استخدام الترميز الرياضي بشكل متسق⟨⋅،⋅⟩{\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle }، وهو (خطي، مضاد للخطية)؛ أو الترميز الفيزيائي⟨⋅|⋅⟩{\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle }، وهو (مضاد للخطية | خطي).

المعيار الكنسي والضرب الداخلي في الفضاء المزدوج والفضاء المضاد للثنائية

لوx=y{\displaystyle x=y}ثم⟨x|x⟩=⟨x،x⟩{\displaystyle \langle \,x\mid x\,\rangle =\langle \,x,x\,\rangle }هو عدد حقيقي غير سالب والخريطة ‖x‖:=⟨x،x⟩=⟨x|x⟩{\displaystyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}={\sqrt {\langle x\mid x\rangle }}}

يُعرّف معيارًا قانونيًا علىح{\displaystyle H}وهذا يجعلح{\displaystyle H}إلى فضاء معياري . [ 1 ] كما هو الحال مع جميع الفضاءات المعيارية، فإن الفضاء الثنائي (المتصل)ح*{\displaystyle H^{*}}يحمل معيارًا قانونيًا، يسمى المعيار المزدوج ، والذي يتم تعريفه بواسطة [ 1 ]‖و‖ح* := رشفة‖x‖≤1،x∈ح|و(x)| لكل و∈ح*.{\displaystyle \|f\|_{H^{*}}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in H^{*}.}

المعيار الكنسي على الفضاء المضاد للثنائية (المستمر)ح¯*،{\displaystyle {\overline {H}}^{*},}يرمز إليه بـ‖و‖ح¯*،{\displaystyle \|f\|_{{\overline {H}}^{*}},}يتم تعريفها باستخدام هذه المعادلة نفسها: [ 1 ]‖و‖ح¯* := رشفة‖x‖≤1،x∈ح|و(x)| لكل و∈ح¯*.{\displaystyle \|f\|_{{\overline {H}}^{*}}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in {\overline {H}}^{*}.}

هذا المعيار الكنسي بشأنح*{\displaystyle H^{*}}يحقق قانون متوازي الأضلاع ، مما يعني أنه يمكن استخدام متطابقة الاستقطاب لتعريف جداء داخلي قانوني علىح*،{\displaystyle H^{*},}والتي سيشير إليها هذا المقال بالرموز ⟨و،ز⟩ح*:=⟨ز|و⟩ح*،{\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle _{H^{*}}:=\left\langle g\mid f\right\rangle _{H^{*}},} حيث يتحول هذا المنتج الداخليح*{\displaystyle H^{*}}إلى فضاء هيلبرت. توجد الآن طريقتان لتعريف معيار علىح*:{\displaystyle H^{*}:}المعيار الناتج عن هذا المنتج الداخلي (أي المعيار المحدد بواسطةو↦⟨و،و⟩ح*{\displaystyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{H^{*}}}}}) والمعيار الثنائي المعتاد (المُعرَّف بأنه القيمة العليا على الكرة المغلقة ذات الوحدة ). هذه المعايير متطابقة؛ وهذا يعني صراحةً أن ما يلي ينطبق على كلو∈ح*:{\displaystyle f\in H^{*}:}رشفة‖x‖≤1،x∈ح|و(x)|=‖و‖ح* = ⟨و،و⟩ح* = ⟨و|و⟩ح*.{\displaystyle \sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|=\|f\|_{H^{*}}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{H^{*}}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{H^{*}}}}.}

كما سيتم شرحه لاحقًا، يمكن استخدام نظرية تمثيل ريز لإعطاء تعريف مكافئ للمعيار الكنسي والجداء الداخلي الكنسي علىح*.{\displaystyle H^{*}.}

يمكن استخدام المعادلات نفسها التي تم استخدامها أعلاه لتعريف معيار وضرب داخلي علىح{\displaystyle H}الفضاء المضاد للازدواجيةح¯*.{\displaystyle {\overline {H}}^{*}.}[ 1 ]

التناظر الكنسي بين الثنائي والمضاد للثنائي

المركب المترافقو¯{\displaystyle {\overline {f}}}من وظيفةو،{\displaystyle f,}والذي تم تعريفه أعلاه، يفي بـ ‖و‖ح* = ‖و¯‖ح¯* و ‖ز¯‖ح* = ‖ز‖ح¯*{\displaystyle \|f\|_{H^{*}}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {H}}^{*}}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{H^{*}}~=~\|g\|_{{\overline {H}}^{*}}} لكلو∈ح*{\displaystyle f\in H^{*}}وكلز∈ح¯*.{\displaystyle g\in {\overline {H}}^{*}.} هذا يعني بالضبط أن التقابل المضاد الخطي المتعارف عليه هو المحدد بواسطة الكونغرس:ح*→ح¯*و↦و¯{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {Cong} :\;&&H^{*}&&\;\to \;&{\overline {H}}^{*}\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&{\overline {f}}\\\end{alignedat}}} وكذلك معكوسهالكونغرس-1⁡ : ح¯*→ح*{\displaystyle \operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {H}}^{*}\to H^{*}}هي تماثلات مضادة للخطية، وبالتالي فهي أيضًا تماثلات تماثلية . الضرب الداخلي على الفضاء الثنائيح*{\displaystyle H^{*}}والفضاء المضاد للازدواجيةح¯*،{\displaystyle {\overline {H}}^{*},}ويرمز إليهما على التوالي بـ⟨⋅،⋅⟩ح*{\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{H^{*}}}و⟨⋅،⋅⟩ح¯*،{\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {H}}^{*}},}ترتبط ببعضها البعض من خلال ⟨و¯|ز¯⟩ح¯*=⟨و|ز⟩ح*¯=⟨ز|و⟩ح* للجميع و،ز∈ح*{\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{H^{*}}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{H^{*}}\qquad {\text{ for all }}f,g\in H^{*}} و ⟨و¯|ز¯⟩ح*=⟨و|ز⟩ح¯*¯=⟨ز|و⟩ح¯* للجميع و،ز∈ح¯*.{\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{H^{*}}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {H}}^{*}.}

لوF=R{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }ثمح*=ح¯*{\displaystyle H^{*}={\overline {H}}^{*}}وهذه الخريطة الأساسيةالكونغرس:ح*→ح¯*{\displaystyle \operatorname {Cong} :H^{*}\to {\overline {H}}^{*}}يختزل إلى خريطة الهوية.

نظرية تمثيل ريز

متجهانx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}تكون متعامدة إذا⟨x،y⟩=0،{\displaystyle \langle x,y\rangle =0,}وهذا يحدث إذا وفقط إذا‖y‖≤‖y+sx‖{\displaystyle \|y\|\leq \|y+sx\|}لجميع الكميات القياسيةs.{\displaystyle s.}[ 2 ] المتممالمتعامدلمجموعة جزئيةX⊆ح{\displaystyle X\subseteq H}يكون X⊥:={y∈ح:⟨y،x⟩=0 للجميع x∈X}،{\displaystyle X^{\bot }:=\{\,y\in H:\langle y,x\rangle =0{\text{ for all }}x\in X\,\},} وهو دائمًا فضاء متجهي مغلق منح.{\displaystyle H.} تضمن نظرية إسقاط هيلبرت أنه لأي مجموعة فرعية محدبة مغلقة غير فارغةج{\displaystyle C}يوجد متجه وحيد في فضاء هيلبرتم∈ج{\displaystyle m\in C}بحيث‖م‖=معلوماتج∈ج‖ج‖؛{\displaystyle \|m\|=\inf _{c\in C}\|c\|;}إنه،م∈ج{\displaystyle m\in C}هي نقطة الحد الأدنى العالمي (الفريد) للدالةج→[0،∞){\displaystyle C\to [0,\infty )}محدد بواسطةج↦‖ج‖.{\displaystyle c\mapsto \|c\|.}

إفادة

نظرية تمثيل ريز —ليكنح{\displaystyle H}كن فضاء هيلبرت الذي يكون ناتجه الداخلي⟨x،y⟩{\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle }هي خطية في وسيطها الأول ومضادة للخطية في وسيطها الثاني، ولتكن⟨y|x⟩:=⟨x،y⟩{\displaystyle \langle y\mid x\rangle لتكن } :=\langle x,y\rangle الترميز الفيزيائي المقابل. لكل دالة خطية متصلةφ∈ح*،{\displaystyle \varphi \in H^{*},}يوجد متجه فريدوφ∈ح،{\displaystyle f_{\varphi }\in H,}يُطلق عليه اسمتمثيل ريز لـφ،{\displaystyle \varphi ,}بحيث [ 3 ]φ(x)=⟨x،وφ⟩=⟨وφ|x⟩ للجميع x∈ح.{\displaystyle \varphi (x)=\left\langle x,f_{\varphi }\right\rangle =\left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle \quad {\text{ for all }}x\in H.}

وهذا أمر بالغ الأهمية بالنسبة لمساحات هيلبرت المعقدة ،وφ{\displaystyle f_{\varphi }}يقع دائمًا في الإحداثي المضاد للخطية للجداء الداخلي. [ ملاحظة 1 ]

علاوة على ذلك، فإن طول متجه التمثيل يساوي معيار الدالة: ‖وφ‖ح=‖φ‖ح*،{\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|_{H}=\|\varphi \|_{H^{*}},}ووφ{\displaystyle f_{\varphi }}هو المتجه الفريدوφ∈(كير⁡φ)⊥{\displaystyle f_{\varphi }\in \left(\ker \varphi \right)^{\bot }}معφ(وφ)=‖φ‖2.{\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)=\|\varphi \|^{2}.} كما أنه العنصر الفريد للحد الأدنى من المعايير فيج:=φ-1(‖φ‖2){\displaystyle C:=\varphi ^{-1}\left(\|\varphi \|^{2}\right)}أي بمعنى آخر،وφ{\displaystyle f_{\varphi }}هو العنصر الفريد لـج{\displaystyle C}مُرضٍ‖وφ‖=معلوماتج∈ج‖ج‖.{\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\inf _{c\in C}\|c\|.} علاوة على ذلك، أي قيمة غير صفريةq∈(كير⁡φ)⊥{\displaystyle q\in (\ker \varphi )^{\bot }}يمكن كتابتها على النحو التاليq=(‖q‖2/φ(q)¯) وφ.{\displaystyle q=\left(\|q\|^{2}/\,{\overline {\varphi (q)}}\right)\ f_{\varphi }.}

النتيجة — الخريطة الأساسية منح{\displaystyle H}إلى ثنائيتهاح*{\displaystyle H^{*}}[ 1 ] هومعادلةالعكسيالخطيالحقني [ ملاحظة 2 ] [ 1 ]Φ:ح→ح*y↦⟨⋅،y⟩=⟨y|⋅⟩{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi تنص نظرية تمثيل ريز على أن هذه الخريطة شاملة (وبالتالي تقابلية ) عندماح{\displaystyle H}كاملة وأن معكوسها هو التشاكل التقابلي المتساوي القياس المضاد للخطيةΦ-1:ح*→حφ↦وφ.{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi ^{-1}:\;&&H^{*}&&\;\to \;&H\\[0.3ex]&&\varphi &&\;\mapsto \;&f_{\varphi }\\\end{alignedat}}.} وبالتالي، فإن كل دالة خطية متصلة على فضاء هيلبرتح{\displaystyle H}يمكن كتابتها بشكل فريد على النحو التالي⟨y|⋅⟩{\displaystyle \langle y\,|\,\cdot \,\rangle }[ 1 ] حيث‖⟨y|⋅⟩‖ح*=‖y‖ح{\displaystyle \|\langle y\,|\cdot \rangle \|_{H^{*}}=\|y\|_{H}}لكلy∈ح.{\displaystyle y\in H.} المهمةy↦⟨y،⋅⟩=⟨⋅|y⟩{\displaystyle y\mapsto \langle y,\cdot \rangle =\langle \cdot \,|\,y\rangle }يمكن أيضًا اعتبارها تقابلًا خطيًا متماثلًاح→ح¯*{\displaystyle H\to {\overline {H}}^{*}}في فضاء مضاد للثنائيةح،{\displaystyle H,}[ 1 ] وهوفضاء المتجهات المترافقة المعقدةللفضاءالثنائي المتصلح*.{\displaystyle H^{*}.}

المنتجات الداخلية علىح{\displaystyle H}وح*{\displaystyle H^{*}}ترتبط ببعضها البعض من خلال ⟨Φح،Φك⟩ح*=⟨ح،ك⟩¯ح=⟨ك،ح⟩ح للجميع ح،ك∈ح{\displaystyle \left\langle \Phi h,\Phi k\right\rangle _{H^{*}}={\overline {\langle h,k\rangle }}_{H}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H} وبالمثل، ⟨Φ-1φ،Φ-1ψ⟩ح=⟨φ،ψ⟩¯ح*=⟨ψ،φ⟩ح* للجميع φ،ψ∈ح*.{\displaystyle \left\langle \Phi ^{-1}\varphi ,\Phi ^{-1}\psi \right\rangle _{H}={\overline {\langle \varphi ,\psi \rangle }}_{H^{*}}=\left\langle \psi ,\varphi \right\rangle _{H^{*}}\quad {\text{ for all }}\varphi ,\psi \in H^{*}.}

المجموعةج:=φ-1(‖φ‖2){\displaystyle C:=\varphi ^{-1}\left(\|\varphi \|^{2}\right)}يرضيج=وφ+كير⁡φ{\displaystyle C=f_{\varphi }+\ker \varphi }وج-وφ=كير⁡φ{\displaystyle C-f_{\varphi }=\ker \varphi }لذلك عندماوφ≠0{\displaystyle f_{\varphi }\neq 0}ثمج{\displaystyle C}يمكن تفسير ذلك على أنه المستوى الفائق الأفيني [ ملاحظة 3 ] الموازي للفضاء الفرعي المتجهيكير⁡φ{\displaystyle \ker \varphi }ويحتويوφ.{\displaystyle f_{\varphi }.}

لy∈ح،{\displaystyle y\in H,}الترميز الفيزيائي للدالةΦ(y)∈ح*{\displaystyle \Phi (y)\in H^{*}}هل حمالة الصدر⟨y|،{\displaystyle \langle y|,}حيث يعني هذا صراحةً أن⟨y|:=Φ(y)،{\displaystyle \langle y|:=\Phi (y),}وهو ما يكمل تدوين ket|y⟩{\displaystyle |y\rangle }محدد بواسطة|y⟩:=y.{\displaystyle |y\rangle  في المعالجة الرياضية لميكانيكا الكم ، يمكن اعتبار هذه النظرية بمثابة تبرير لترميز برا-كيت الشائع . تنص النظرية على أن كل برا⟨ψ|{\displaystyle \langle \psi \,|}له رمز مقابل|ψ⟩،{\displaystyle |\,\psi \rangle ,}والأخير فريد من نوعه.

تاريخياً، غالباً ما تُنسب النظرية في وقت واحد إلى ريز وفريشيه في عام 1907 (انظر المراجع).

ملاحظات

لوφ∈ح*{\displaystyle \varphi \in H^{*}}ثم φ(وφ)=⟨وφ،وφ⟩=‖وφ‖2=‖φ‖2.{\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)=\left\langle f_{\varphi },f_{\varphi }\right\rangle =\left\|f_{\varphi }\right\|^{2}=\|\varphi \|^{2}.} لذا على وجه الخصوص،φ(وφ)≥0{\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)\geq 0}هو حقيقي دائماً، وعلاوة على ذلك،φ(وφ)=0{\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)=0}إذا وفقط إذاوφ=0{\displaystyle f_{\varphi }=0}إذا وفقط إذاφ=0.{\displaystyle \varphi =0.}

الدوال الخطية كسطوح فائقة أفينية

دالة خطية متصلة غير تافهةφ{\displaystyle \varphi }غالباً ما يتم تفسيرها هندسياً من خلال تحديدها مع المستوى الفائق الأفينيأ:=φ-1(1){\displaystyle A:=\varphi ^{-1}(1)}(النواة)كير⁡φ=φ-1(0){\displaystyle \ker \varphi =\varphi ^{-1}(0)}كما يتم تصويره غالبًا بجانبأ:=φ-1(1){\displaystyle A:=\varphi ^{-1}(1)}على الرغم من المعرفةأ{\displaystyle A}يكفي لإعادة البناءكير⁡φ{\displaystyle \ker \varphi }لأنه إذاأ=∅{\displaystyle A=\varnothing }ثمكير⁡φ=ح{\displaystyle \ker \varphi =H}وغير ذلككير⁡φ=أ-أ{\displaystyle \ker \varphi =A-A}). وعلى وجه الخصوص، معيارφ{\displaystyle \varphi }ينبغي تفسيرها بطريقة ما على أنها "معيار المستوى الفائق".أ{\displaystyle A}". متىφ≠0{\displaystyle \varphi \neq 0}ثم تقدم نظرية تمثيل ريز مثل هذا التفسير لـ‖φ‖{\displaystyle \|\varphi \|}من حيث المستوى الفائق الأفيني [ ملاحظة 3 ]أ:=φ-1(1){\displaystyle A:=\varphi ^{-1}(1)}كما يلي: باستخدام الترميز الوارد في نص النظرية، من‖φ‖2≠0{\displaystyle \|\varphi \|^{2}\neq 0}ويترتب على ذلك أنج:=φ-1(‖φ‖2)=‖φ‖2φ-1(1)=‖φ‖2أ{\displaystyle C:=\varphi ^{-1}\left(\|\varphi \|^{2}\right)=\|\varphi \|^{2}\varphi ^{-1}(1)=\|\varphi \|^{2}A}وهكذا‖φ‖=‖وφ‖=معلوماتج∈ج‖ج‖{\displaystyle \|\varphi \|=\left\|f_{\varphi }\right\|=\inf _{c\in C}\|c\|}يشير إلى‖φ‖=معلوماتأ∈أ‖φ‖2‖أ‖{\displaystyle \|\varphi \|=\inf _{a\in A}\|\varphi \|^{2}\|a\|}وبالتالي‖φ‖=1معلوماتأ∈أ‖أ‖.{\displaystyle \|\varphi \|={\frac {1}{\inf _{a\in A}\|a\|}}.} ويمكن ملاحظة ذلك أيضًا من خلال تطبيق نظرية إسقاط هيلبرت علىأ{\displaystyle A}وخلص إلى أن أدنى نقطة عالمية على الخريطةأ→[0،∞){\displaystyle A\to [0,\infty )}محدد بواسطةأ↦‖أ‖{\displaystyle a\mapsto \|a\|}يكونوφ‖φ‖2∈أ.{\displaystyle {\frac {f_{\varphi }}{\|\varphi \|^{2}}}\in A.} الصيغ 1معلوماتأ∈أ‖أ‖=رشفةأ∈أ1‖أ‖{\displaystyle {\frac {1}{\inf _{a\in A}\|a\|}}=\sup _{a\in A}{\frac {1}{\|a\|}}} تقديم التفسير الموعود لمعيار الدالة الخطية‖φ‖{\displaystyle \|\varphi \|}بشكل كامل من حيث المستوى الفائق الأفيني المرتبط بهأ=φ-1(1){\displaystyle A=\varphi ^{-1}(1)}(لأن هذه الصيغة تعتمد فقط على معرفة المجموعةأ{\displaystyle A}يكفي لوصف معيار الدالة الخطية المرتبطة بها . تعريف1∞:=0،{\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0,}الصيغة الدنيا​‖φ‖=1معلوماتأ∈φ-1(1)‖أ‖{\displaystyle \|\varphi \|={\frac {1}{\inf _{a\in \varphi ^{-1}(1)}\|a\|}}} سيظل ساريًا أيضًا عندماφ=0.{\displaystyle \varphi =0.} عندما يتم أخذ القيمة العليا فيR{\displaystyle \mathbb {R} }(كما هو مفترض عادةً)، فإن القيمة العليا للمجموعة الفارغة هيرشفة∅=-∞{\displaystyle \sup \varnothing =-\infty }لكن إذا تم أخذ القيمة العليا في الأعداد الحقيقية غير السالبة[0،∞){\displaystyle [0,\infty )}(وهي صورة / نطاق المعيار)‖⋅‖{\displaystyle \|\,\cdot \,\|}متىخافت⁡ح>0{\displaystyle \dim H>0}ثم يكون هذا الحد الأعلى بدلاً من ذلكرشفة∅=0،{\displaystyle \sup \varnothing =0,}وفي هذه الحالة صيغة القيمة العليا‖φ‖=رشفةأ∈φ-1(1)1‖أ‖{\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{a\in \varphi ^{-1}(1)}{\frac {1}{\|a\|}}}سيظل ساريًا أيضًا عندماφ=0{\displaystyle \varphi =0}(على الرغم من المساواة غير النمطية)رشفة∅=0{\displaystyle \sup \varnothing =0}عادة ما يكون ذلك غير متوقع، وبالتالي فإنه قد يتسبب في حدوث ارتباك).

إنشاءات المتجه التمثيلي

باستخدام الرموز الواردة في النظرية أعلاه، توجد عدة طرق لإنشاءوφ{\displaystyle f_{\varphi }}منφ∈ح*{\displaystyle \varphi \in H^{*}}يتم وصفها الآن. إذاφ=0{\displaystyle \varphi =0}ثموφ:=0{\displaystyle f_{\varphi }:=0}؛ بعبارة أخرى، و0=0.{\displaystyle f_{0}=0.}

هذه حالة خاصة منφ=0{\displaystyle \varphi =0}يُفترض من الآن فصاعدًا أن يكون معروفًا، ولهذا السبب تبدأ بعض الإنشاءات الواردة أدناه بافتراضφ≠0.{\displaystyle \varphi \neq 0.}

المتمم المتعامد للنواة

لوφ≠0{\displaystyle \varphi \neq 0}ثم لأي0≠u∈(كير⁡φ)⊥،{\displaystyle 0\neq u\in (\ker \varphi )^{\bot },}وφ:=φ(u)¯u‖u‖2.{\displaystyle f_{\varphi }:={\frac {{\overline {\varphi (u)}}u}{\|u\|^{2}}}.}

لوu∈(كير⁡φ)⊥{\displaystyle u\in (\ker \varphi )^{\bot }}هو متجه وحدة (بمعنى‖u‖=1{\displaystyle \|u\|=1}) ثم وφ:=φ(u)¯u{\displaystyle f_{\varphi }:={\overline {\varphi (u)}}u} (هذا صحيح حتى لوφ=0{\displaystyle \varphi =0}لأنه في هذه الحالةوφ=φ(u)¯u=0¯u=0{\displaystyle f_{\varphi }={\overline {\varphi (u)}}u={\overline {0}}u=0}). لوu{\displaystyle u}إذا كان متجه وحدة يحقق الشرط المذكور أعلاه، فإن الأمر نفسه ينطبق على-u،{\displaystyle -u,}وهو أيضًا متجه وحدة في(كير⁡φ)⊥.{\displaystyle (\ker \varphi )^{\bot }.}لكن،φ(-u)¯(-u)=φ(u)¯u=وφ{\displaystyle {\overline {\varphi (-u)}}(-u)={\overline {\varphi (u)}}u=f_{\varphi }}لذا فإن كلا هذين المتجهين ينتج عنهما نفس النتيجةوφ.{\displaystyle f_{\varphi }.}

الإسقاط المتعامد على النواة

لوx∈ح{\displaystyle x\in H}بحيثφ(x)≠0{\displaystyle \varphi (x)\neq 0}وإذاxك{\displaystyle x_{K}}هو الإسقاط المتعامد لـx{\displaystyle x}علىكير⁡φ{\displaystyle \ker \varphi }ثم [ الإثبات 1 ]وφ=‖φ‖2φ(x)(x-xك).{\displaystyle f_{\varphi }={\frac {\|\varphi \|^{2}}{\varphi (x)}}\left(x-x_{K}\right).}

أساس متعامد

بالنظر إلى أساس متعامد{هـأنا}أنا∈أنا{\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i\in I}}لح{\displaystyle H}ودالة خطية متصلةφ∈ح*،{\displaystyle \varphi \in H^{*},}المتجهوφ∈ح{\displaystyle f_{\varphi }\in H}يمكن بناؤها بشكل فريد بواسطة وφ=∑أنا∈أناφ(هـأنا)¯هـأنا{\displaystyle f_{\varphi }=\sum _{i\in I}{\overline {\varphi \left(e_{i}\right)}}e_{i}} حيث جميعهم باستثناء عدد قليل على الأكثرφ(هـأنا){\displaystyle \varphi \left(e_{i}\right)}سيكون مساوياً لـ0{\displaystyle 0}وحيث قيمةوφ{\displaystyle f_{\varphi }}لا يعتمد ذلك في الواقع على اختيار الأساس المتعامد (أي استخدام أي أساس متعامد آخر لـح{\displaystyle H}(سيؤدي ذلك إلى نفس المتجه). إذاy∈ح{\displaystyle y\in H}تُكتب على النحو التالي:y=∑أنا∈أناأأناهـأنا{\displaystyle y=\sum _{i\in I}a_{i}e_{i}}ثم φ(y)=∑أنا∈أناφ(هـأنا)أأنا=⟨وφ|y⟩{\displaystyle \varphi (y)=\sum _{i\in I}\varphi \left(e_{i}\right)a_{i}=\langle f_{\varphi }|y\rangle } و ‖وφ‖2=φ(وφ)=∑أنا∈أناφ(هـأنا)φ(هـأنا)¯=∑أنا∈أنا|φ(هـأنا)|2=‖φ‖2.{\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|^{2}=\varphi \left(f_{\varphi }\right)=\sum _{i\in I}\varphi \left(e_{i}\right){\overline {\varphi \left(e_{i}\right)}}=\sum _{i\in I}\left|\varphi \left(e_{i}\right)\right|^{2}=\|\varphi \|^{2}.}

إذا كان الأساس المتعامد{هـأنا}أنا∈أنا={هـأنا}أنا=1∞{\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i\in I}=\left\{e_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }}إذا كانت متتالية، فإن هذا يصبح وφ=φ(هـ1)¯هـ1+φ(هـ2)¯هـ2+⋯{\displaystyle f_{\varphi }={\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}}e_{1}+{\overline {\varphi \left(e_{2}\right)}}e_{2}+\cdots } وإذاy∈ح{\displaystyle y\in H}تُكتب على النحو التالي:y=∑أنا∈أناأأناهـأنا=أ1هـ1+أ2هـ2+⋯{\displaystyle y=\sum _{i\in I}a_{i}e_{i}=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots }ثم φ(y)=φ(هـ1)أ1+φ(هـ2)أ2+⋯=⟨وφ|y⟩.{\displaystyle \varphi (y)=\varphi \left(e_{1}\right)a_{1}+\varphi \left(e_{2}\right)a_{2}+\cdots =\langle f_{\varphi }|y\rangle .}

مثال في أبعاد محدودة باستخدام تحويلات المصفوفات

لنأخذ الحالة الخاصة لـح=جن{\displaystyle H=\mathbb {C} ^{n}}(أينن>0{\displaystyle n>0}( عدد صحيح ) مع الضرب الداخلي القياسي ⟨z|w⟩:=z→¯تيw→ للجميع w،z∈ح{\displaystyle \langle z\mid w\rangle :={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}\qquad {\text{ لجميع }}\;w,z\in H} حيثw و z{\displaystyle w{\text{ and }}z}يتم تمثيلها كمصفوفات عموديةw→:=[w1⋮wن]{\displaystyle {\vec {w}}:={\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}}وz→:=[z1⋮zن]{\displaystyle {\vec {z}}:={\begin{bmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{bmatrix}}}فيما يتعلق بالأساس المتعامد القياسيهـ1،...،هـن{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}علىح{\displaystyle H}(هنا،هـأنا{\displaystyle e_{i}}يكون1{\displaystyle 1}في ذروتهاأنا{\displaystyle i}الإحداثي و0{\displaystyle 0}في كل مكان آخر؛ كالعادة،ح*{\displaystyle H^{*}}سيتم الآن ربطها بالأساس المزدوج ) وحيثz→¯تي:=[z1¯،...،zن¯]{\displaystyle {\overline {\,{\vec {z}}\,}}^{\operatorname {T} }:=\left[{\overline {z_{1}}},\ldots ,{\overline {z_{n}}}\right]}يشير إلى منقولة المرافق لـz→.{\displaystyle {\vec {z}}.} يتركφ∈ح*{\displaystyle \varphi \in H^{*}}ليكن أي دالة خطية ولتكنφ1،...،φن∈ج{\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\in \mathbb {C} }لتكن الكميات العددية الفريدة بحيث φ(w1،...،wن)=φ1w1+⋯+φنwن للجميع w:=(w1،...،wن)∈ح،{\displaystyle \varphi \left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)=\varphi _{1}w_{1}+\cdots +\varphi _{n}w_{n}\qquad {\text{ for all }}\;w:=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)\in H,} حيث يمكن إثبات ذلكφأنا=φ(هـأنا){\displaystyle \varphi _{i}=\varphi \left(e_{i}\right)}للجميعأنا=1،...،ن.{\displaystyle i=1,\ldots ,n.} ثم تمثيل ريز لـφ{\displaystyle \varphi }هو المتجه وφ := φ1¯هـ1+⋯+φن¯هـن = (φ1¯،...،φن¯)∈ح.{\displaystyle f_{\varphi }~:=~{\overline {\varphi _{1}}}e_{1}+\cdots +{\overline {\varphi _{n}}}e_{n}~=~\left({\overline {\varphi _{1}}},\ldots ,{\overline {\varphi _{n}}}\right)\in H.} لمعرفة السبب، حدد كل متجهw=(w1،...،wن){\displaystyle w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)}فيح{\displaystyle H}باستخدام مصفوفة الأعمدة w→:=[w1⋮wن]{\displaystyle {\vec {w}}:={\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}} لهذا السبب.وφ{\displaystyle f_{\varphi }}يُعرف بـوφ→:=[φ1¯⋮φن¯]=[φ(هـ1)¯⋮φ(هـن)¯].{\displaystyle {\vec {f_{\varphi }}}:={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}}\\\vdots \\{\overline {\varphi \left(e_{n}\right)}}\end{bmatrix}}.} وكالعادة، حدد أيضاً الدالة الخطيةφ{\displaystyle \varphi }مع مصفوفة التحويل الخاصة بها ، وهي مصفوفة الصفφ→:=[φ1،...،φن]{\displaystyle {\vec {\varphi }}:=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]}لهذا السبب.وφ→:=φ→¯تي{\displaystyle {\vec {f_{\varphi }}}:={\overline {\,{\vec {\varphi }}\,\,}}^{\operatorname {T} }}والوظيفةφ{\displaystyle \varphi }المهمةw→↦φ→w→،{\displaystyle {\vec {w}}\mapsto {\vec {\varphi }}\,{\vec {w}},}حيث يمثل الطرف الأيمن عملية ضرب المصفوفات . ثم لجميعw=(w1،...،wن)∈ح،{\displaystyle w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)\in H,}φ(w)=φ1w1+⋯+φنwن=[φ1،...،φن][w1⋮wن]=[φ1¯⋮φن¯]¯تيw→=وφ→¯تيw→=⟨وφ|w⟩،{\displaystyle \varphi (w)=\varphi _{1}w_{1}+\cdots +\varphi _{n}w_{n}=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]{\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}={\overline {\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}={\overline {\,{\vec {f_{\varphi }}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}=\left\langle \,\,f_{\varphi }\,\mid \,w\,\right\rangle ,} مما يدل على أنوφ{\displaystyle f_{\varphi }}يفي بالشرط المحدد لتمثيل ريز لـφ.{\displaystyle \varphi .} التماثل المضاد للخطية التقابليةΦ:ح→ح*{\displaystyle \Phi :H\to H^{*}}يُعرَّف في نتيجة نظرية تمثيل ريز بأنه التعيين الذي يرسلz=(z1،...،zن)∈ح{\displaystyle z=\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)\in H}إلى الدالة الخطيةΦ(z)∈ح*{\displaystyle \Phi (z)\in H^{*}}علىح{\displaystyle H}محدد بواسطة w=(w1،...،wن) ↦ ⟨z|w⟩=z1¯w1+⋯+zن¯wن،{\displaystyle w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)~\mapsto ~\langle \,z\,\mid \,w\,\rangle ={\overline {z_{1}}}w_{1}+\cdots +{\overline {z_{n}}}w_{n},} حيث يتم تحديد المتجهات فيح{\displaystyle H}مع مصفوفات الأعمدة والمتجه فيح*{\displaystyle H^{*}}باستخدام مصفوفات الصفوف،Φ{\displaystyle \Phi }إنها مجرد مهمة z→=[z1⋮zن] ↦ z→¯تي=[z1¯،...،zن¯].{\displaystyle {\vec {z}}={\begin{bmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{bmatrix}}~\mapsto ~{\overline {\,{\vec {z}}\,}}^{\operatorname {T} }=\left[{\overline {z_{1}}},\ldots ,{\overline {z_{n}}}\right].} كما هو موضح في النتيجة،Φ{\displaystyle \Phi }معكوس 'sΦ-1:ح*→ح{\displaystyle \Phi ^{-1}:H^{*}\to H}هو التماثل المضاد للخطيةφ↦وφ،{\displaystyle \varphi \mapsto f_{\varphi },}والذي تم توضيحه أعلاه على النحو التالي: φ ↦ وφ := (φ(هـ1)¯،...،φ(هـن)¯)؛{\displaystyle \varphi ~\mapsto ~f_{\varphi }~:=~\left({\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}},\ldots ,{\overline {\varphi \left(e_{n}\right)}}\right);} أما فيما يتعلق بالمصفوفات،Φ-1{\displaystyle \Phi ^{-1}}المهمة φ→=[φ1،...،φن] ↦ φ→¯تي=[φ1¯⋮φن¯].{\displaystyle {\vec {\varphi }}=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]~\mapsto ~{\overline {\,{\vec {\varphi }}\,\,}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}.} وبالتالي، من حيث المصفوفات، كل منΦ:ح→ح*{\displaystyle \Phi :H\to H^{*}}وΦ-1:ح*→ح{\displaystyle \Phi ^{-1}:H^{*}\to H}إنها مجرد عملية تبديل مترافقv→↦v→¯تي{\displaystyle {\vec {v}}\mapsto {\overline {\,{\vec {v}}\,}}^{\operatorname {T} }}(على الرغم من أنه بين فضاءات مختلفة من المصفوفات: إذاح{\displaystyle H}إذا تم تعريفها على أنها فضاء جميع مصفوفات الأعمدة (أو الصفوف)،ح*{\displaystyle H^{*}}يتم تعريفها بمساحة جميع صفوف (على التوالي، مصفوفات الأعمدة).

استخدم هذا المثال الضرب الداخلي القياسي، وهو الخريطة⟨z|w⟩:=z→¯تيw→،{\displaystyle \langle z\mid w\rangle :={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}},} ولكن إذا تم استخدام جداء داخلي مختلف، مثل⟨z|w⟩م:=z→¯تيمw→{\displaystyle \langle z\mid w\rangle _{M}:={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }\,M\,{\vec {w}}\,}أينم{\displaystyle M}أي مصفوفة هيرميتية موجبة محددة ، أو إذا تم استخدام أساس متعامد مختلف، فإن مصفوفات التحويل، وبالتالي الصيغ المذكورة أعلاه، ستكون مختلفة.

العلاقة مع فضاء هيلبرت الحقيقي المرتبط به

افترض أنح{\displaystyle H}هو فضاء هيلبرت معقد ذو جداء داخلي⟨⋅|⋅⟩.{\displaystyle \langle \,\cdot \mid \cdot \,\rangle .} عندما يكون فضاء هيلبرتح{\displaystyle H}إذا أُعيد تفسيرها على أنها فضاء هيلبرت حقيقي، فسيتم الإشارة إليها بـحR،{\displaystyle H_{\mathbb {R} },}حيث يكون الناتج الداخلي (الحقيقي)حR{\displaystyle H_{\mathbb {R} }}هو الجزء الحقيقي منح{\displaystyle H}المنتج الداخلي؛ أي: ⟨x،y⟩R:=يكرر⁡⟨x،y⟩.{\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {re} \langle x,y\rangle .}

الوضع الطبيعي فيحR{\displaystyle H_{\mathbb {R} }}ناتج عن⟨⋅،⋅⟩R{\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{\mathbb {R} }}يساوي المعيار الأصلي علىح{\displaystyle H}والفضاء الثنائي المتصل لـحR{\displaystyle H_{\mathbb {R} }}هي مجموعة جميع القيم الحقيقية المحدودة.R{\displaystyle \mathbb {R} }الدوال الخطية علىحR{\displaystyle H_{\mathbb {R} }}(انظر المقال المتعلق بهوية الاستقطاب لمزيد من التفاصيل حول هذه العلاقة).ψR:=يكرر⁡ψ{\displaystyle \psi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {re} \psi }وψأنا:=أنا⁡ψ{\displaystyle \psi _{i}:=\operatorname {im} \psi }يرمز إلى الأجزاء الحقيقية والخيالية للدالة الخطيةψ،{\displaystyle \psi ,}لهذا السبب.ψ=يكرر⁡ψ+أناأنا⁡ψ=ψR+أناψأنا.{\displaystyle \psi =\operatorname {re} \psi +i\operatorname {im} \psi =\psi _{\mathbb {R} }+i\psi _{i}.} الصيغة التي تعبر عن دالة خطية بدلالة جزئها الحقيقي هي ψ(ح)=ψR(ح)-أناψR(أناح) ل ح∈ح،{\displaystyle \psi (h)=\psi _{\mathbb {R} }(h)-i\psi _{\mathbb {R} }(ih)\quad {\text{ for }}h\in H,} أينψأنا(ح)=-أناψR(أناح){\displaystyle \psi _{i}(h)=-i\psi _{\mathbb {R} }(ih)}للجميعح∈ح.{\displaystyle h\in H.} ويترتب على ذلك أنكير⁡ψR=ψ-1(أناR)،{\displaystyle \ker \psi _{\mathbb {R} }=\psi ^{-1}(i\mathbb {R} ),}وذلكψ=0{\displaystyle \psi =0}إذا وفقط إذاψR=0.{\displaystyle \psi _{\mathbb {R} }=0.} ويمكن أيضاً إثبات أن‖ψ‖=‖ψR‖=‖ψأنا‖{\displaystyle \|\psi \|=\left\|\psi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\psi _{i}\right\|}أين‖ψR‖:=رشفة‖ح‖≤1|ψR(ح)|{\displaystyle \left\|\psi _{\mathbb {R} }\right\|:=\sup _{\|h\|\leq 1}\left|\psi _{\mathbb {R} }(h)\right|}و‖ψأنا‖:=رشفة‖ح‖≤1|ψأنا(ح)|{\displaystyle \left\|\psi _{i}\right\|:=\sup _{\|h\|\leq 1}\left|\psi _{i}(h)\right|}هي معايير المؤثرات المعتادة . على وجه الخصوص، دالة خطيةψ{\displaystyle \psi }تكون محدودة إذا وفقط إذا كان جزءها الحقيقيψR{\displaystyle \psi _{\mathbb {R} }}محدود.

تمثيل دالة وجزئها الحقيقي

تمثيل ريز للدالة الخطية المتصلةφ{\displaystyle \varphi }على فضاء هيلبرت المركب يساوي تمثيل ريز لجزئه الحقيقييكرر⁡φ{\displaystyle \operatorname {re} \varphi }في فضاء هيلبرت الحقيقي المرتبط به.

بصراحة، دعφ∈ح*{\displaystyle \varphi \in H^{*}}وكما سبق، دعوφ∈ح{\displaystyle f_{\varphi }\in H}كن تمثيل ريز لـφ{\displaystyle \varphi }تم الحصول عليه في(ح،⟨،⋅،⋅⟩)،{\displaystyle (H,\langle ,\cdot ,\cdot \rangle ),}إذن فهو المتجه الفريد الذي يحقق المطلوبφ(x)=⟨وφ|x⟩{\displaystyle \varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle }للجميعx∈ح.{\displaystyle x\in H.} الجزء الحقيقي منφ{\displaystyle \varphi }هي دالة خطية حقيقية متصلة علىحR{\displaystyle H_{\mathbb {R} }}وبالتالي يمكن تطبيق نظرية تمثيل ريز علىφR:=يكرر⁡φ{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {re} \varphi }والفضاء الحقيقي المرتبط بهيلبرت(حR،⟨،⋅،⋅⟩R){\displaystyle \left(H_{\mathbb {R} },\langle ,\cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }\right)}لإنتاج تمثيلها لريز، والذي سيرمز إليه بـوφR.{\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.} إنه،وφR{\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}}هو المتجه الفريد فيحR{\displaystyle H_{\mathbb {R} }}ذلك يرضيφR(x)=⟨وφR|x⟩R{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\mid x\right\rangle _{\mathbb {R} }}للجميعx∈ح.{\displaystyle x\in H.} الخلاصة هيوφR=وφ.{\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}=f_{\varphi }.} ويترتب على ذلك النظرية الرئيسية لأنكير⁡φR=φ-1(أناR){\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }=\varphi ^{-1}(i\mathbb {R} )}وإذاx∈ح{\displaystyle x\in H}ثم ⟨وφ|x⟩R=يكرر⁡⟨وφ|x⟩=يكرر⁡φ(x)=φR(x){\displaystyle \left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle _{\mathbb {R} }=\operatorname {re} \left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle =\operatorname {re} \varphi (x)=\varphi _{\mathbb {R} }(x)} وبالتالي، إذام∈كير⁡φR{\displaystyle m\in \ker \varphi _{\mathbb {R} }}ثم⟨وφ|م⟩R=0،{\displaystyle \left\langle f_{\varphi }\mid m\right\rangle _{\mathbb {R} }=0,}مما يدل على أنوφ∈(كير⁡φR)⊥R.{\displaystyle f_{\varphi }\in (\ker \varphi _{\mathbb {R} })^{\perp _{\mathbb {R} }}.} علاوة على ذلك،φ(وφ)=‖φ‖2{\displaystyle \varphi (f_{\varphi })=\|\varphi \|^{2}}كون العدد حقيقياً يعني أنφR(وφ)=يكرر⁡φ(وφ)=‖φ‖2.{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(f_{\varphi })=\operatorname {re} \varphi (f_{\varphi })=\|\varphi \|^{2}.} بمعنى آخر، في النظرية والإنشاءات المذكورة أعلاه، إذاح{\displaystyle H}يتم استبدالها بنظيرتها الحقيقية في فضاء هيلبرتحR{\displaystyle H_{\mathbb {R} }}وإذاφ{\displaystyle \varphi }يتم استبدالها بـيكرر⁡φ{\displaystyle \operatorname {re} \varphi }ثموφ=ويكرر⁡φ.{\displaystyle f_{\varphi }=f_{\operatorname {re} \varphi }.}هذا يعني أن المتجهوφ{\displaystyle f_{\varphi }}تم الحصول عليها باستخدام(حR،⟨،⋅،⋅⟩R){\displaystyle \left(H_{\mathbb {R} },\langle ,\cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }\right)}والدالة الخطية الحقيقيةيكرر⁡φ{\displaystyle \operatorname {re} \varphi }وهو يساوي المتجه الذي تم الحصول عليه باستخدام فضاء هيلبرت المركب الأصلي(ح،⟨،⋅،⋅⟩){\displaystyle \left(H,\left\langle ,\cdot ,\cdot \right\rangle \right)}والدالة الخطية المعقدة الأصليةφ{\displaystyle \varphi }(مع قيم معيارية متطابقة أيضًا).

علاوة على ذلك، إذاφ≠0{\displaystyle \varphi \neq 0}ثموφ{\displaystyle f_{\varphi }}عمودي علىكير⁡φR{\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }}بالنسبة إلى⟨⋅،⋅⟩R{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }}حيث نواةφ{\displaystyle \varphi }ليكن فضاءً جزئياً مناسباً من نواة الجزء الحقيقي منهφR.{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }.}افترض الآن أنφ≠0.{\displaystyle \varphi \neq 0.} ثموφ∉كير⁡φR{\displaystyle f_{\varphi }\not \in \ker \varphi _{\mathbb {R} }}لأنφR(وφ)=φ(وφ)=‖φ‖2≠0{\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\left(f_{\varphi }\right)=\varphi \left(f_{\varphi }\right)=\|\varphi \|^{2}\neq 0}وكير⁡φ{\displaystyle \ker \varphi }هي مجموعة جزئية مناسبة منكير⁡φR.{\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }.}الفضاء الفرعي المتجهيكير⁡φ{\displaystyle \ker \varphi }له أبعاد حقيقية1{\displaystyle 1}فيكير⁡φR،{\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} },}بينماكير⁡φR{\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }}له أبعاد حقيقية1{\displaystyle 1}فيحR،{\displaystyle H_{\mathbb {R} },}و⟨وφ،كير⁡φR⟩R=0.{\displaystyle \left\langle f_{\varphi },\ker \varphi _{\mathbb {R} }\right\rangle _{\mathbb {R} }=0.}إنه،وφ{\displaystyle f_{\varphi }}عمودي علىكير⁡φR{\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }}بالنسبة إلى⟨⋅،⋅⟩R.{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }.}

الحقن الكنسي في الثنائي والمضاد للثنائي

تحويل الخريطة الخطية المستحثة إلى خريطة مضادة للثنائية

الخريطة المحددة عن طريق وضعy{\displaystyle y}في الإحداثي الخطي للجداء الداخلي، مع ترك المتغيرح∈ح{\displaystyle h\in H}يؤدي التغير على الإحداثيات المضادة للخطية إلى دالة مضادة للخطية : ⟨⋅|y⟩=⟨y،⋅⟩:ح→F محدد بواسطة ح↦⟨ح|y⟩=⟨y،ح⟩.{\displaystyle \langle \,\cdot \mid y\,\rangle =\langle \,y,\cdot \,\rangle :H\to \mathbb {F} \quad {\text{ defined by }}\quad h\mapsto \langle \,h\mid y\,\rangle =\langle \,y,h\,\rangle .}

تُعد هذه الخريطة جزءًا منح¯*،{\displaystyle {\overline {H}}^{*},}وهو الفضاء المضاد للثنائية المستمر لـح.{\displaystyle H.} الخريطة الأساسية منح{\displaystyle H}إلى ثنائيتها المضادةح¯*{\displaystyle {\overline {H}}^{*}}[ 1 ] هوالمؤثرالخطيفيحح¯*:ح→ح¯*y↦⟨⋅|y⟩=⟨y،⋅⟩{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {In} _{H}^{{\overline {H}}^{*}}:\;&&H&&\;\to \;&{\overline {H}}^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,\cdot \mid y\,\rangle =\langle \,y,\cdot \,\rangle \\[0.3ex]\end{alignedat}}} وهو أيضًا تقابلٌ أحادي . [ 1 ] تنص النظرية الأساسية لفضاءات هيلبرت ، المرتبطة بنظرية تمثيل ريز، على أن هذا التطبيق شامل (وبالتالي تقابلي ). ونتيجة لذلك، فإن كل دالة مضادة للخطية علىح{\displaystyle H}يمكن كتابتها (بشكل فريد) بهذا الشكل. [ 1 ]

لوالكونغرس:ح*→ح¯*{\displaystyle \operatorname {Cong} :H^{*}\to {\overline {H}}^{*}}هو التناظر التقابلي الخطي المتعارف عليهو↦و¯{\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}وبناءً على التعريف المذكور أعلاه، فإن المساواة التالية تتحقق: الكونغرس⁡ ∘ فيحح*⁡ = فيحح¯*.{\displaystyle \operatorname {Cong} ~\circ ~\operatorname {In} _{H}^{H^{*}}~=~\operatorname {In} _{H}^{{\overline {H}}^{*}}.}

توسيع نطاق تدوين bra–ket ليشمل bras و kets

يترك(ح،⟨⋅،⋅⟩ح){\displaystyle \left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}\right)}ليكن فضاء هيلبرت، وكما في السابق، ليكن⟨y|x⟩ح:=⟨x،y⟩ح.{\displaystyle \langle y\,|\,x\rangle _{H}:=\langle x,y\rangle _{H}.} يترك Φ:ح→ح*ز↦⟨ز|⋅⟩ح=⟨⋅،ز⟩ح{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi :\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&g&&\;\mapsto \;&\left\langle \,g\mid \cdot \,\right\rangle _{H}=\left\langle \,\cdot ,g\,\right\rangle _{H}\\\end{alignedat}}} وهو تقابل خطي مضاد يحقق (Φح)ز=⟨ح|ز⟩ح=⟨ز،ح⟩ح للجميع ز،ح∈ح.{\displaystyle (\Phi h)g=\langle h\mid g\rangle _{H}=\langle g,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}g,h\in H.}

حمالات الصدر

بالنظر إلى متجهح∈ح،{\displaystyle h\in H,}يترك⟨ح|{\displaystyle \langle h\,|}يرمز إلى الدالة الخطية المستمرةΦح{\displaystyle \Phi h}؛ إنه، ⟨ح| := Φح{\displaystyle \langle h\,|~:=~\Phi h} بحيث يكون هذا وظيفيًا⟨ح|{\displaystyle \langle h\,|}يتم تعريفها بواسطةز↦⟨ح|ز⟩ح.{\displaystyle g\mapsto \left\langle \,h\mid g\,\right\rangle _{H}.}تمت الإشارة إلى هذه الخريطة بواسطة⟨ح|⋅⟩{\displaystyle \left\langle h\mid \cdot \,\right\rangle }في وقت سابق من هذه المقالة.

المهمةح↦⟨ح|{\displaystyle h\mapsto \langle h|}هو مجرد تماثل متساوي القياس مضاد للخطيةΦ : ح→ح*،{\displaystyle \Phi ~:~H\to H^{*},}ولهذا السبب ⟨جز+ح| = ج¯⟨ز| + ⟨ح| {\displaystyle ~\langle cg+h\,|~=~{\overline {c}}\langle g\mid ~+~\langle h\,|~}ينطبق على الجميعز،ح∈ح{\displaystyle g,h\in H}وجميع الكميات القياسيةج.{\displaystyle c.} نتيجة إدخال بعض القيم المعطاةز∈ح{\displaystyle g\in H}في الوظيفة⟨ح|{\displaystyle \langle h\,|}هو الكمية القياسية⟨ح|ز⟩ح=⟨ز،ح⟩ح،{\displaystyle \langle h\,|\,g\rangle _{H}=\langle g,h\rangle _{H},}والتي يمكن الإشارة إليها بـ⟨ح|ز⟩.{\displaystyle \langle h\mid g\rangle .}[ ملاحظة 6 ]

برا دالة خطية

بفرض دالة خطية متصلةψ∈ح*،{\displaystyle \psi \in H^{*},}يترك⟨ψ|{\displaystyle \langle \psi \mid }يرمز إلى المتجهΦ-1ψ∈ح{\displaystyle \Phi ^{-1}\psi \in H}؛ إنه، ⟨ψ| := Φ-1ψ.{\displaystyle \langle \psi \mid ~:=~\Phi ^{-1}\psi .}

المهمةψ↦⟨ψ|{\displaystyle \psi \mapsto \langle \psi \mid }هو مجرد تماثل متساوي القياس مضاد للخطيةΦ-1 : ح*→ح،{\displaystyle \Phi ^{-1}~:~H^{*}\to H,}ولهذا السبب ⟨جψ+ϕ| = ج¯⟨ψ| + ⟨ϕ| {\displaystyle ~\langle c\psi +\phi \mid ~=~{\overline {c}}\langle \psi \mid ~+~\langle \phi \mid ~}ينطبق على الجميعϕ،ψ∈ح*{\displaystyle \phi ,\psi \in H^{*}}وجميع الكميات القياسيةج.{\displaystyle c.}

الشرط المحدد للمتجه⟨ψ|∈ح{\displaystyle \langle \psi |\in H}المساواة الصحيحة تقنياً ولكنها قبيحة ⟨⟨ψ||ز⟩ح = ψز للجميع ز∈ح،{\displaystyle \left\langle \,\langle \psi \mid \,\mid g\right\rangle _{H}~=~\psi g\quad {\text{ for all }}g\in H,} ولهذا السبب فإن الترميز⟨ψ|ز⟩{\displaystyle \left\langle \psi \mid g\right\rangle }يُستخدم بدلاً من⟨⟨ψ||ز⟩ح=⟨ز،⟨ψ|⟩ح.{\displaystyle \left\langle \,\langle \psi \mid \,\mid g\right\rangle _{H}=\left\langle g,\,\langle \psi \mid \right\rangle _{H}.}وبهذا الترميز، يصبح الشرط المحدد ⟨ψ|ز⟩ = ψز للجميع ز∈ح.{\displaystyle \left\langle \psi \mid g\right\rangle ~=~\psi g\quad {\text{ for all }}g\in H.}

الحقائب

لأي متجه معطىز∈ح،{\displaystyle g\in H,}الترميز|ز⟩{\displaystyle |\,g\rangle }يُستخدم للدلالة علىز{\displaystyle g}؛ إنه، |ز⟩:=ز.{\displaystyle \mid g\rangle :=g.}

المهمةز↦|ز⟩{\displaystyle g\mapsto |\,g\rangle }إنها مجرد خريطة الهويةبطاقة تعريفح:ح→ح،{\displaystyle \operatorname {Id} _{H}:H\to H,}ولهذا السبب |جز+ح⟩ = ج|ز⟩ + |ح⟩ {\displaystyle ~\mid cg+h\rangle ~=~c\mid g\rangle ~+~\mid h\rangle ~}ينطبق على الجميعز،ح∈ح{\displaystyle g,h\in H}وجميع الكميات القياسيةج.{\displaystyle c.}

الترميز⟨ح|ز⟩{\displaystyle \langle h\mid g\rangle }و⟨ψ|ز⟩{\displaystyle \langle \psi \mid g\rangle }يُستخدم بدلاً من⟨ح||ز⟩⟩ح = ⟨|ز⟩،ح⟩ح{\displaystyle \left\langle h\mid \,\mid g\rangle \,\right\rangle _{H}~=~\left\langle \mid g\rangle ,h\right\rangle _{H}}و⟨ψ||ز⟩⟩ح = ⟨ز،⟨ψ|⟩ح،{\displaystyle \left\langle \psi \mid \,\mid g\rangle \,\right\rangle _{H}~=~\left\langle g,\,\langle \psi \mid \right\rangle _{H},}على التوالي. وكما هو متوقع، ⟨ψ|ز⟩=ψز {\displaystyle ~\langle \psi \mid g\rangle =\psi g~}و ⟨ح|ز⟩ {\displaystyle ~\langle h\mid g\rangle ~}هو في الحقيقة مجرد كمية قياسية ⟨ح|ز⟩ح = ⟨ز،ح⟩ح.{\displaystyle ~\langle h\mid g\rangle _{H}~=~\langle g,h\rangle _{H}.}

المرافقات والمنقولة

يتركأ:ح→Z{\displaystyle A:H\to Z}ليكن مؤثرًا خطيًا متصلًا بين فضاءات هيلبرت(ح،⟨⋅،⋅⟩ح){\displaystyle \left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}\right)}و(Z،⟨⋅،⋅⟩Z).{\displaystyle \left(Z,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{Z}\right).}كما في السابق، دع⟨y|x⟩ح:=⟨x،y⟩ح{\displaystyle \langle y\mid x\rangle _{H}:=\langle x,y\rangle _{H}}و⟨y|x⟩Z:=⟨x،y⟩Z.{\displaystyle \langle y\mid x\rangle _{Z}:=\langle x,y\rangle _{Z}.}

يرمز بـ Φح:ح→ح*ز↦⟨ز|⋅⟩ح و ΦZ:Z→Z*y↦⟨y|⋅⟩Z{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi _{H}:\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&g&&\;\mapsto \;&\langle \,g\mid \cdot \,\rangle _{H}\\\end{alignedat}}\quad {\text{ and }}\quad {\begin{alignedat}{4}\Phi _{Z}:\;&&Z&&\;\to \;&Z^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,y\mid \cdot \,\rangle _{Z}\\\end{alignedat}}} التماثلات الخطية المضادة المعتادة التي تحقق ما يلي: (Φحز)ح=⟨ز|ح⟩ح للجميع ز،ح∈ح و (ΦZy)z=⟨y|z⟩Z للجميع y،z∈Z.{\displaystyle \left(\Phi _{H}g\right)h=\langle g\mid h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}g,h\in H\qquad {\text{ and }}\qquad \left(\Phi _{Z}y\right)z=\langle y\mid z\rangle _{Z}\quad {\text{ for all }}y,z\in Z.}

تعريف المرافق

لكلz∈Z،{\displaystyle z\in Z,}الخريطة ذات القيم العددية⟨z|أ(⋅)⟩Z{\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}}[ ملاحظة 7 ] بشأنح{\displaystyle H}محدد بواسطة ح↦⟨z|أح⟩Z=⟨أح،z⟩Z{\displaystyle h\mapsto \langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\langle Ah,z\rangle _{Z}}

هي دالة خطية متصلة علىح{\displaystyle H}وبالتالي، وفقًا لنظرية تمثيل ريز، يوجد متجه وحيد فيح،{\displaystyle H,}يرمز إليه بـأ*z،{\displaystyle A^{*}z,}بحيث⟨z|أ(⋅)⟩Z=⟨أ*z|⋅⟩ح،{\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}=\left\langle A^{*}z\mid \cdot \,\right\rangle _{H},}أو ما يعادل ذلك، بحيث ⟨z|أح⟩Z=⟨أ*z|ح⟩ح للجميع ح∈ح.{\displaystyle \langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\left\langle A^{*}z\mid h\right\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h\in H.}

المهمةz↦أ*z{\displaystyle z\mapsto A^{*}z}وبالتالي يحفز وظيفةأ*:Z→ح{\displaystyle A^{*}:Z\to H}يُطلق عليه اسم المرافق لـأ:ح→Z{\displaystyle A:H\to Z}الشرط المحدد له هو ⟨z|أح⟩Z=⟨أ*z|ح⟩ح للجميع ح∈ح وكل شيء z∈Z.{\displaystyle \langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\left\langle A^{*}z\mid h\right\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h\in H{\text{ and all }}z\in Z.} المرافقأ*:Z→ح{\displaystyle A^{*}:Z\to H}هو بالضرورة عامل خطي مستمر (أو مكافئ له، محدود ) .

لوح{\displaystyle H}يكون ذا أبعاد محدودة مع الضرب الداخلي القياسي، وإذام{\displaystyle M}هي مصفوفة التحويل لـأ{\displaystyle A}بالنسبة للأساس المتعامد القياسي،م{\displaystyle M}منقول المرافق 'sمتي¯{\displaystyle {\overline {M^{\operatorname {T} }}}}هي مصفوفة التحويل للمرافقأ*.{\displaystyle A^{*}.}

المرافقون هم منقولون

من الممكن أيضًا تعريف منقولة أو مرافق جبري لـأ:ح→Z،{\displaystyle A:H\to Z,}وهي الخريطةتأ:Z*→ح*{\displaystyle {}^{t}A:Z^{*}\to H^{*}}يتم تعريفها عن طريق إرسال دوال خطية متصلةψ∈Z*{\displaystyle \psi \in Z^{*}}ل تأ(ψ):=ψ∘أ،{\displaystyle {}^{t}A(\psi ):=\psi \circ A,} حيث التركيبψ∘أ{\displaystyle \psi \circ A}هي دائمًا دالة خطية متصلة علىح{\displaystyle H}وهو يُرضي‖أ‖=‖تأ‖{\displaystyle \|A\|=\left\|{}^{t}A\right\|}(هذا صحيح بشكل عام، عندماح{\displaystyle H}وZ{\displaystyle Z}هي مجرد فضاءات معيارية ). [ 5 ] على سبيل المثال، إذاz∈Z{\displaystyle z\in Z}ثمتأ{\displaystyle {}^{t}A}يرسل الدالة الخطية المستمرة⟨z|⋅⟩Z∈Z*{\displaystyle \langle z\mid \cdot \rangle _{Z}\in Z^{*}}(محدد في)Z{\displaystyle Z}بواسطةز↦⟨z|ز⟩Z{\displaystyle g\mapsto \langle z\mid g\rangle _{Z}}) إلى الدالة الخطية المستمرة⟨z|أ(⋅)⟩Z∈ح*{\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}\in H^{*}}(محدد في)ح{\displaystyle H}بواسطةح↦⟨z|أ(ح)⟩Z{\displaystyle h\mapsto \langle z\mid A(h)\rangle _{Z}}); [ ملاحظة 7 ] باستخدام تدوين برا-كيت، يمكن كتابة ذلك على النحو التاليتأ⟨z| = ⟨z|أ{\displaystyle {}^{t}A\langle z\mid ~=~\langle z\mid A}حيث يتجاور⟨z|{\displaystyle \langle z\mid }معأ{\displaystyle A}يشير الجانب الأيمن إلى تركيب الوظائف:ح→أZ→⟨z|ج.{\displaystyle H\xrightarrow {A} Z\xrightarrow {\langle z\mid } \mathbb {C} .}

المرافقأ*:Z→ح{\displaystyle A^{*}:Z\to H}في الواقع، الأمر يتعلق فقط بالتبديل.تأ:Z*→ح*{\displaystyle {}^{t}A:Z^{*}\to H^{*}}[ 2 ] عند استخدام نظرية تمثيل ريز لتحديدZ{\displaystyle Z}معZ*{\displaystyle Z^{*}}وح{\displaystyle H}معح*.{\displaystyle H^{*}.}

بصورة صريحة، فإن العلاقة بين المرافق والمنقول هي:

والتي يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي: أ* = Φح-1 ∘ تأ ∘ ΦZ و تأ = Φح ∘ أ* ∘ ΦZ-1.{\displaystyle A^{*}~=~\Phi _{H}^{-1}~\circ ~{}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}\quad {\text{ and }}\quad {}^{t}A~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*}~\circ ~\Phi _{Z}^{-1}.}

دليل

لإثبات ذلكتأ ∘ ΦZ = Φح ∘ أ*،{\displaystyle {}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*},}يصلحz∈Z.{\displaystyle z\in Z.} تعريفتأ{\displaystyle {}^{t}A}يشير إلى(تأ∘ΦZ)z=تأ(ΦZz)=(ΦZz)∘أ{\displaystyle \left({}^{t}A\circ \Phi _{Z}\right)z={}^{t}A\left(\Phi _{Z}z\right)=\left(\Phi _{Z}z\right)\circ A}لذا يبقى أن نثبت ذلك(ΦZz)∘أ=Φح(أ*z).{\displaystyle \left(\Phi _{Z}z\right)\circ A=\Phi _{H}\left(A^{*}z\right).}لوح∈ح{\displaystyle h\in H}ثم((ΦZz)∘أ)ح=(ΦZz)(أح)=⟨z|أح⟩Z=⟨أ*z|ح⟩ح=(Φح(أ*z))ح،{\displaystyle \left(\left(\Phi _{Z}z\right)\circ A\right)h=\left(\Phi _{Z}z\right)(Ah)=\langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\langle A^{*}z\mid h\rangle _{H}=\left(\Phi _{H}(A^{*}z)\right)h,}حسب الرغبة.◼{\displaystyle \blacksquare }

أو بدلاً من ذلك، قيمة الجانبين الأيسر والأيمن من ( المُرافق-المُنقل ) عند أي قيمة مُعطاةz∈Z{\displaystyle z\in Z}يمكن إعادة كتابة المعادلة بدلالة الضرب الداخلي على النحو التالي: (تأ ∘ ΦZ)z=⟨z|أ(⋅)⟩Z و (Φح ∘ أ*)z=⟨أ*z|⋅⟩ح{\displaystyle \left({}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}\right)z=\langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}\quad {\text{ and }}\quad \left(\Phi _{H}~\circ ~A^{*}\right)z=\langle A^{*}z\mid \cdot \,\rangle _{H}} لهذا السبب.تأ ∘ ΦZ = Φح ∘ أ*{\displaystyle {}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*}}يتحقق إذا وفقط إذا⟨z|أ(⋅)⟩Z=⟨أ*z|⋅⟩ح{\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}=\langle A^{*}z\mid \cdot \,\rangle _{H}}صحيح؛ لكن المساواة على اليمين صحيحة بحكم تعريفأ*z.{\displaystyle A^{*}z.} الشرط المحدد لـأ*z{\displaystyle A^{*}z}ويمكن كتابتها أيضاً ⟨z|أ = ⟨أ*z|{\displaystyle \langle z\mid A~=~\langle A^{*}z\mid } إذا تم استخدام تدوين برا-كيت.

وصف المؤثرات الذاتية المرافقة، والمؤثرات العادية، والمؤثرات الوحدوية

يفترضZ=ح{\displaystyle Z=H}ودعΦ:=Φح=ΦZ.{\displaystyle \Phi :=\Phi _{H}=\Phi _{Z}.} ليكنأ:ح→ح{\displaystyle A:H\to H}ليكن مؤثرًا خطيًا متصلًا (أي محدودًا).

سواء كان ذلك أم لاأ:ح→ح{\displaystyle A:H\to H}يعتمد كون النظام ذاتي الترافق ، أو طبيعي ، أو وحدوي، كلياً على ما إذا كانأ{\displaystyle A}يستوفي شروطًا تعريفية معينة تتعلق بمرافقه، والذي تم إثباته بواسطة ( المرافق-المنقوض ) بأنه في الأساس مجرد منقولتأ:ح*→ح*.{\displaystyle {}^{t}A:H^{*}\to H^{*}.} لأن منقولةأ{\displaystyle A}بما أن هذه العلاقة عبارة عن دالة بين دوال خطية متصلة، فإنه يمكن بالتالي إعادة صياغة هذه الشروط المحددة بالكامل بدلالة الدوال الخطية، كما سيوضح الجزء المتبقي من هذا القسم الفرعي بالتفصيل. الدوال الخطية المستخدمة هي أبسط الدوال الخطية المتصلة الممكنة علىح{\displaystyle H}يمكن تعريف ذلك بالكامل من حيثأ،{\displaystyle A,}المنتج الداخلي⟨⋅|⋅⟩{\displaystyle \langle \,\cdot \mid \cdot \,\rangle }علىح،{\displaystyle H,}وبعض المتجهات المعطاةح∈ح.{\displaystyle h\in H.} وبالتحديد، هذه هي⟨أح|⋅⟩{\displaystyle \left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle }و⟨ح|أ(⋅)⟩{\displaystyle \langle h\mid A(\cdot )\rangle }[ ملاحظة 7 ] حيث ⟨أح|⋅⟩=Φ(أح)=(Φ∘أ)ح و ⟨ح|أ(⋅)⟩=(تأ∘Φ)ح.{\displaystyle \left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle =\Phi (Ah)=(\Phi \circ A)h\quad {\text{ and }}\quad \langle h\mid A(\cdot )\rangle =\left({}^{t}A\circ \Phi \right)h.}

المؤثرات ذاتية الترافق

مؤثر خطي متصلأ:ح→ح{\displaystyle A:H\to H}يُطلق عليه اسم "مترافق ذاتي" إذا كان مساوياً لمرافقه الخاص؛ أي إذاأ=أ*.{\displaystyle A=A^{*}.}باستخدام ( المُرافق-المُنقّط )، يحدث هذا إذا وفقط إذا: Φ∘أ=تأ∘Φ{\displaystyle \Phi \circ A={}^{t}A\circ \Phi } حيث يمكن إعادة كتابة هذه المساواة بالشكلين المتكافئين التاليين: أ=Φ-1∘تأ∘Φ أو تأ=Φ∘أ∘Φ-1.{\displaystyle A=\Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi \quad {\text{ or }}\quad {}^{t}A=\Phi \circ A\circ \Phi ^{-1}.}

يؤدي فك رموز وتعريفات إلى توصيف المؤثرات الذاتية المرافقة على النحو التالي من حيث الدوال الخطية المستمرة المذكورة أعلاه:أ{\displaystyle A}تكون ذاتية الترافق إذا وفقط إذا كان لكلz∈ح،{\displaystyle z\in H,}الدالة الخطية⟨z|أ(⋅)⟩{\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle }[ ملاحظة 7 ] يساوي الدالة الخطية⟨أz|⋅⟩{\displaystyle \langle Az\mid \cdot \,\rangle }أي، إذا وفقط إذا

أما إذا تم استخدام تدوين برا-كيت، فهذا هو ⟨z|أ = ⟨أz| للجميع z∈ح.{\displaystyle \langle z\mid A~=~\langle Az\mid \quad {\text{ for all }}z\in H.}

المشغلون العاديون

مؤثر خطي متصلأ:ح→ح{\displaystyle A:H\to H}يُطلق عليه اسم طبيعي إذاأأ*=أ*أ،{\displaystyle AA^{*}=A^{*}A,}وهذا يحدث إذا وفقط إذا كان ذلك صحيحًا للجميعz،ح∈ح،{\displaystyle z,h\in H,}⟨أأ*z|ح⟩=⟨أ*أz|ح⟩.{\displaystyle \left\langle AA^{*}z\mid h\right\rangle =\left\langle A^{*}Az\mid h\right\rangle .}

باستخدام ( المرافق-المنقول ) وفك رموز وتعريفات ينتج [ البرهان 2 ] التوصيف التالي للمؤثرات العادية من حيث الضرب الداخلي للدوال الخطية المستمرة:أ{\displaystyle A}يكون عاملًا عاديًا إذا وفقط إذا

حيث يكون الجانب الأيسر مساوياً أيضاً لـ⟨أح|أz⟩¯ح=⟨أz|أح⟩ح.{\displaystyle {\overline {\langle Ah\mid Az\rangle }}_{H}=\langle Az\mid Ah\rangle _{H}.} لا يتضمن الجانب الأيسر من هذا التوصيف سوى الدوال الخطية من الشكل⟨أح|⋅⟩{\displaystyle \langle Ah\mid \cdot \,\rangle }بينما يتضمن الجانب الأيمن دوال خطية فقط من الشكل⟨ح|أ(⋅)⟩{\displaystyle \langle h\mid A(\cdot )\rangle }(كما هو مُعرَّف أعلاه [ ملاحظة 7 ] ). لذا، بعبارة أخرى، يُشير التوصيف ( دوال الانتظام ) إلى أن المؤثر يكون طبيعيًا عندما يكون حاصل الضرب الداخلي لأي دالتين خطيتين من الشكل الأول مساويًا لحاصل الضرب الداخلي لشكلهما الثاني (باستخدام نفس المتجهات).z،ح∈ح{\displaystyle z,h\in H}(لكلا الشكلين). بعبارة أخرى، إذا حدث ذلك (ومتىأ{\displaystyle A}(إذا كانت دالة حقنية أو ذاتية الترافق، فإن تعيين الدوال الخطية⟨أح|⋅⟩ ↦ ⟨ح|أ(⋅)⟩{\displaystyle \langle Ah\mid \cdot \,\rangle ~\mapsto ~\langle h|A(\cdot )\rangle }محدد جيدًا (أو بدلاً من ذلك، إذا⟨ح|أ(⋅)⟩ ↦ ⟨أح|⋅⟩{\displaystyle \langle h|A(\cdot )\rangle ~\mapsto ~\langle Ah\mid \cdot \,\rangle }(محدد جيدًا) حيثح{\displaystyle h}نطاقاتح،{\displaystyle H,}ثمأ{\displaystyle A}يكون عاملًا عاديًا إذا وفقط إذا حافظ هذا التعيين على الضرب الداخلي علىح*.{\displaystyle H^{*}.}

إن حقيقة أن كل مؤثر خطي محدود ذاتي الترافق هو مؤثر طبيعي تتبع بسهولة عن طريق الاستبدال المباشر لـأ*=أ{\displaystyle A^{*}=A}إلى جانبيأ*أ=أأ*.{\displaystyle A^{*}A=AA^{*}.} وتترتب هذه الحقيقة نفسها مباشرة من الاستبدال المباشر للمساواة ( الوظائف الذاتية المرافقة ) في أي من جانبي ( الوظائف الطبيعية ).

أو بدلاً من ذلك، بالنسبة لفضاء هيلبرت المعقد، فإن المؤثر الخطي المستمرأ{\displaystyle A}يكون عاملًا عاديًا إذا وفقط إذا‖أz‖=‖أ*z‖{\displaystyle \|Az\|=\left\|A^{*}z\right\|}لكلz∈ح،{\displaystyle z\in H,}[ 2 ] وهو ما يحدث إذا وفقط إذا ‖أz‖ح=‖⟨z|أ(⋅)⟩‖ح* لكل z∈ح.{\displaystyle \|Az\|_{H}=\|\langle z\,|\,A(\cdot )\rangle \|_{H^{*}}\quad {\text{ for every }}z\in H.}

المؤثرات الوحدوية

مؤثر خطي محدود قابل للعكسأ:ح→ح{\displaystyle A:H\to H}يقال إن العملية وحدوية إذا كان معكوسها هو مرافقها:أ-1=أ*.{\displaystyle A^{-1}=A^{*}.} باستخدام ( المُرافق-المُنقَل )، يتضح أن هذا يُكافئ لـΦ∘أ-1=تأ∘Φ.{\displaystyle \Phi \circ A^{-1}={}^{t}A\circ \Phi .} وبفك رموز المصطلحات والتعريفات، يتبين أنأ{\displaystyle A}تكون أحادية إذا وفقط إذا ⟨أ-1z|⋅⟩=⟨z|أ(⋅)⟩ للجميع z∈ح.{\displaystyle \langle A^{-1}z\mid \cdot \,\rangle =\langle z\mid A(\cdot )\rangle \quad {\text{ for all }}z\in H.}

حقيقة أن المؤثر الخطي القابل للعكس والمحدودأ:ح→ح{\displaystyle A:H\to H}تكون أحادية إذا وفقط إذاأ*أ=بطاقة تعريفح{\displaystyle A^{*}A=\operatorname {Id} _{H}}(أو ما يعادل ذلك،تأ∘Φ∘أ=Φ{\displaystyle {}^{t}A\circ \Phi \circ A=\Phi }ينتج ) توصيفًا آخر (معروفًا جيدًا): خريطة خطية محدودة قابلة للعكسأ{\displaystyle A}تكون أحادية إذا وفقط إذا ⟨أz|أ(⋅)⟩=⟨z|⋅⟩ للجميع z∈ح.{\displaystyle \langle Az\mid A(\cdot )\,\rangle =\langle z\mid \cdot \,\rangle \quad {\text{ for all }}z\in H.}

لأنأ:ح→ح{\displaystyle A:H\to H}إذا كانت قابلة للعكس (وبالتالي فهي تقابل على وجه الخصوص)، فإن هذا ينطبق أيضًا على منقولة المصفوفة.تأ:ح*→ح*.{\displaystyle {}^{t}A:H^{*}\to H^{*}.}هذه الحقيقة تسمح أيضًا للمتجهz∈ح{\displaystyle z\in H}في التوصيفات المذكورة أعلاه، يجب استبدالها بـأz{\displaystyle Az}أوأ-1z،{\displaystyle A^{-1}z,}وبذلك ينتج عن ذلك مزيد من المساواة. وبالمثل،⋅{\displaystyle \,\cdot \,}يمكن استبدالها بـأ(⋅){\displaystyle A(\cdot )}أوأ-1(⋅).{\displaystyle A^{-1}(\cdot ).}

انظر أيضاً

الاقتباسات

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 تريف 2006 ، ص 112-123.
  2. 1 2 3 رودين 1991 ، ص 306-312.
  3. ↑ رومان 2008 ، ص 351، النظرية 13.32
  4. ^ رودين 1991 ، ص 307−309.
  5. ^ رودين 1991 ، ص 92 – 115.

ملحوظات

  1. ↑ إذاF=R{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }عندئذٍ سيكون الضرب الداخلي متناظرًا، لذا لا يهم أي إحداثي من إحداثيات الضرب الداخلي هو العنصرy{\displaystyle y}يتم وضعها في لأن نفس الخريطة ستنتج. ولكن إذاF=ج{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }باستثناء الثابت0{\displaystyle 0}الخريطة، الدوال المضادة للخطية علىح{\displaystyle H}وهي تختلف تمامًا عن الدوال الخطية علىح،{\displaystyle H,}مما يجعل الإحداثيy{\displaystyle y}يُعدّ تحديد مكانها أمرًا بالغ الأهمية. بالنسبة لقيمة غير صفريةy∈ح{\displaystyle y\in H}لتحفيز دالة خطية (بدلاً من دالة مضادة للخطية)،y{\displaystyle y}يجب وضعها في الإحداثي المضاد للخطية للجداء الداخلي. إذا وُضعت بشكل خاطئ في الإحداثي الخطي بدلاً من الإحداثي المضاد للخطية، فستكون الخريطة الناتجة هي الخريطة المضادة للخطية.ح↦⟨y،ح⟩=⟨ح|y⟩،{\displaystyle h\mapsto \langle y,h\rangle =\langle h\mid y\rangle ,}وهو ليس دالة خطية علىح{\displaystyle H}وبالتالي لن يكون عنصرًا من عناصر الفضاء الثنائي المتصلح*.{\displaystyle H^{*}.}
  2. ↑ هذا يعني أنه بالنسبة لجميع المتجهاتy∈ح:{\displaystyle y\in H:}(1)Φ:ح→ح*{\displaystyle \Phi :H\to H^{*}}(2) هي دالة حقنية .y{\displaystyle y}وΦ(y){\displaystyle \Phi (y)}هي نفسها:‖Φ(y)‖=‖y‖.{\displaystyle \|\Phi (y)\|=\|y\|.}(3)Φ{\displaystyle \Phi }هي دالة جمعية ، مما يعني أنΦ(x+y)=Φ(x)+Φ(y){\displaystyle \Phi (x+y)=\Phi (x)+\Phi (y)}للجميعx،y∈ح.{\displaystyle x,y\in H.}(4)Φ{\displaystyle \Phi }مترافق متجانس :Φ(sy)=s¯Φ(y){\displaystyle \Phi (sy)={\overline {s}}\Phi (y)}لجميع الكميات القياسيةs.{\displaystyle s.}(5)Φ{\displaystyle \Phi }متجانس حقيقي :Φ(رy)=رΦ(y){\displaystyle \Phi (ry)=r\Phi (y)}لجميع الأعداد الحقيقيةر∈R.{\displaystyle r\in \mathbb {R} .}
  3. 1 2 توضح هذه الحاشية كيفية التعريف - باستخدام فقطح{\displaystyle H}عمليات 's - الجمع والضرب القياسي للمستويات الفائقة الأفينية بحيث تتوافق هذه العمليات مع الجمع والضرب القياسي للدوال الخطية. ليكنح{\displaystyle H}ليكن أي فضاء متجهي وليكنح8{\displaystyle H^{\#}}لنرمز إلى فضاءها الجبري المزدوج .أ:={φ-1(1):φ∈ح8}{\displaystyle {\mathcal {A}}:=\left\{\varphi ^{-1}(1):\varphi \in H^{\#}\right\}}ودع⋅^{\displaystyle \,{\hat {\cdot }}\,}و+^{\displaystyle \,{\hat {+}}\,}تشير إلى عمليات الفضاء المتجهي (الفريدة) علىأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}ذلك الذي يجعل التقابلأنا:ح8→أ{\displaystyle I:H^{\#}\to {\mathcal {A}}}محدد بواسطةφ↦φ-1(1){\displaystyle \varphi \mapsto \varphi ^{-1}(1)}تحويله إلى تماثل في فضاء متجهي . لاحظ أنφ-1(1)=∅{\displaystyle \varphi ^{-1}(1)=\varnothing }إذا وفقط إذاφ=0،{\displaystyle \varphi =0,}لذا∅{\displaystyle \varnothing }هو العنصر المحايد الجمعي لـ(أ،+^،⋅^){\displaystyle \left({\mathcal {A}},{\hat {+}},{\hat {\cdot }}\right)}(لأن هذا ينطبق علىأنا-1(∅)=0{\displaystyle I^{-1}(\varnothing )=0}فيح8{\displaystyle H^{\#}}وأنا{\displaystyle I}(هو تماثل في الفضاء المتجهي). لكلأ∈أ،{\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}يترككير⁡أ=ح{\displaystyle \ker A=H}لوأ=∅{\displaystyle A=\varnothing }ودعكير⁡أ=أ-أ{\displaystyle \ker A=A-A}وإلا؛ إذاأ=أنا(φ)=φ-1(1){\displaystyle A=I(\varphi )=\varphi ^{-1}(1)}ثمكير⁡أ=كير⁡φ{\displaystyle \ker A=\ker \varphi }إذن، يتوافق هذا التعريف مع التعريف المعتاد لنواة الدالة الخطية. لنفترض أنأ،ب∈أ{\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}تكون متوازية إذاكير⁡أ=كير⁡ب،{\displaystyle \ker A=\ker B,}أين إذاأ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}إذا لم تكن الدوال الخطية فارغة، فإن هذا يحدث إذا وفقط إذاأنا-1(أ){\displaystyle I^{-1}(A)}وأنا-1(ب){\displaystyle I^{-1}(B)}هي مضاعفات قياسية غير صفرية لبعضها البعض. عمليات الفضاء المتجهي على الفضاء المتجهي للمستويات الفائقة الأفينيةأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}يتم وصفها الآن بطريقة لا تتضمن سوى عمليات الفضاء المتجهي علىح{\displaystyle H}وينتج عن ذلك تفسير لعمليات الفضاء المتجهي على الفضاء الثنائي الجبريح8{\displaystyle H^{\#}}هذا يتعلق كلياً بالمستويات الفائقة الأفينية. ثبت المستويات الفائقةأ،ب∈أ.{\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}.}لوs{\displaystyle s}إذا كان كمية قياسيةs⋅^أ={ح∈ح:sح∈أ}.{\displaystyle s{\hat {\cdot }}A=\left\{h\in H:sh\in A\right\}.}وصف العمليةأ+^ب{\displaystyle A{\hat {+}}B}فيما يتعلق بالمجموعات فقطأ=φ-1(1){\displaystyle A=\varphi ^{-1}(1)}وب=ψ-1(1){\displaystyle B=\psi ^{-1}(1)}الأمر أكثر تعقيداً لأنه بحكم التعريف،أ+^ب=أنا(φ)+^أنا(ψ):=أنا(φ+ψ)=(φ+ψ)-1(1).{\displaystyle A{\hat {+}}B=I(\varphi ){\hat {+}}I(\psi ):=I(\varphi +\psi )=(\varphi +\psi )^{-1}(1).}لوأ=∅{\displaystyle A=\varnothing }(على التوالي، إذاب=∅{\displaystyle B=\varnothing }) ثمأ+^ب{\displaystyle A{\hat {+}}B}يساويب{\displaystyle B}(على التوالي يساويأ{\displaystyle A}) لذا افترضأ≠∅{\displaystyle A\neq \varnothing }وب≠∅.{\displaystyle B\neq \varnothing .}المستويات الفائقةأ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}تكون متوازية إذا وفقط إذا وُجد عدد قياسي مار{\displaystyle r}(بالضرورة غير الصفر) بحيثأ=رب،{\displaystyle A=rB,}وفي هذه الحالةأ+^ب={ح∈ح:(1+ر)ح∈ب}؛{\displaystyle A{\hat {+}}B=\left\{h\in H:(1+r)h\in B\right\};}يمكن تقسيم هذا اختيارياً إلى حالتين: إذار=-1{\displaystyle r=-1}(وهذا يحدث فقط إذا كانت الدوال الخطيةأنا-1(أ){\displaystyle I^{-1}(A)}وأنا-1(ب){\displaystyle I^{-1}(B)}(وهي نفي كل منها) إذنأ+^ب=∅{\displaystyle A{\hat {+}}B=\varnothing }بينما إذار≠-1{\displaystyle r\neq -1}ثمأ+^ب=11+رب=ر1+رأ.{\displaystyle A{\hat {+}}B={\frac {1}{1+r}}B={\frac {r}{1+r}}A.}وأخيراً، افترض الآن أنكير⁡أ≠كير⁡ب.{\displaystyle \ker A\neq \ker B.}ثمأ+^ب{\displaystyle A{\hat {+}}B}هو المستوى الفائق الأفيني الفريد الذي يحتوي على كليهماأ∩كير⁡ب{\displaystyle A\cap \ker B}وب∩كير⁡أ{\displaystyle B\cap \ker A}كمجموعات فرعية؛ بشكل صريح،كير⁡(أ+^ب)=فترة⁡(أ∩كير⁡ب-ب∩كير⁡أ){\displaystyle \ker \left(A{\hat {+}}B\right)=\operatorname {span} \left(A\cap \ker B-B\cap \ker A\right)}وأ+^ب=أ∩كير⁡ب+كير⁡(أ+^ب)=ب∩كير⁡أ+كير⁡(أ+^ب).{\displaystyle A{\hat {+}}B=A\cap \ker B+\ker \left(A{\hat {+}}B\right)=B\cap \ker A+\ker \left(A{\hat {+}}B\right).}لمعرفة سبب هذه الصيغة لـأ+^ب{\displaystyle A{\hat {+}}B}ينبغي أن يبقى، ضع في اعتباركح:=R3،{\displaystyle H:=\mathbb {R} ^{3},}أ:=φ-1(1)،{\displaystyle A:=\varphi ^{-1}(1),}وب:=ψ-1(1)،{\displaystyle B:=\psi ^{-1}(1),}أينφ(x،y،z):=x{\displaystyle \varphi (x,y,z):=x}وψ(x،y،z):=x+y{\displaystyle \psi (x,y,z):=x+y}(أو بدلاً من ذلك،ψ(x،y،z):=y{\displaystyle \psi (x,y,z):=y}ثم بحسب التعريف،أ+^ب:=(φ+ψ)-1(1){\displaystyle A{\hat {+}}B:=(\varphi +\psi )^{-1}(1)}وكير⁡(أ+^ب):=(φ+ψ)-1(0).{\displaystyle \ker \left(A{\hat {+}}B\right):=(\varphi +\psi )^{-1}(0).}الآنأ∩كير⁡ب = φ-1(1)∩ψ-1(0) ⊆ (φ+ψ)-1(1){\displaystyle A\cap \ker B~=~\varphi ^{-1}(1)\cap \psi ^{-1}(0)~\subseteq ~(\varphi +\psi )^{-1}(1)}هو فضاء فرعي أفيني ذو بُعد مشترك2{\displaystyle 2}فيح{\displaystyle H}(وهو ما يعادل ترجمة لـz{\displaystyle z}-محور{(0،0)}×R{\displaystyle \{(0,0)\}\times \mathbb {R} }وينطبق الشيء نفسه علىب∩كير⁡أ.{\displaystyle B\cap \ker A.}التخطيط لـx{\displaystyle x}-y{\displaystyle y}-مقطع عرضي مستوٍ (أي، تحديدz={\displaystyle z=}ثابت) من المجموعاتكير⁡أ،كير⁡ب،أ{\displaystyle \ker A,\ker B,A}وب{\displaystyle B}(سيتم رسم كل منها كخط)، المجموعة(φ+ψ)-1(1){\displaystyle (\varphi +\psi )^{-1}(1)}ثم سيتم رسمها كخط (فريد) يمر عبرأ∩كير⁡ب{\displaystyle A\cap \ker B}وب∩كير⁡أ{\displaystyle B\cap \ker A}(والتي سيتم رسمها كنقطتين منفصلتين) بينما(φ+ψ)-1(0)=كير⁡(أ+^ب){\displaystyle (\varphi +\psi )^{-1}(0)=\ker \left(A{\hat {+}}B\right)}سيتم رسم الخط المار بنقطة الأصل والموازي لـأ+^ب=(φ+ψ)-1(1).{\displaystyle A{\hat {+}}B=(\varphi +\psi )^{-1}(1).}الصيغ المذكورة أعلاه لـكير⁡(أ+^ب):=(φ+ψ)-1(0){\displaystyle \ker \left(A{\hat {+}}B\right):=(\varphi +\psi )^{-1}(0)}وأ+^ب:=(φ+ψ)-1(1){\displaystyle A{\hat {+}}B:=(\varphi +\psi )^{-1}(1)}وهي تنبثق بشكل طبيعي من الحبكة، كما أنها تنطبق بشكل عام.
  4. ↑ إثبات وجود متجه غير صفريv{\displaystyle v}فيك⊥{\displaystyle K^{\bot }}يعتمد على استمراريةϕ{\displaystyle \phi }وكمال كوشي لـح.{\displaystyle H.}هذا هو المكان الوحيد في البرهان الذي تُستخدم فيه هذه الخصائص.
  5. ↑ من الناحية الفنية،ح=ك⊕ك⊥{\displaystyle H=K\oplus K^{\bot }}يعني ذلك أن خريطة الجمعك×ك⊥→ح{\displaystyle K\times K^{\bot }\to H}محدد بواسطة(ك،ص)↦ك+ص{\displaystyle (k,p)\mapsto k+p}هو تماثل خطي شامل وتماثل شكلي . انظر المقال الخاص بالفضاءات الجزئية المكملة لمزيد من التفاصيل.
  6. ↑ الصيغة المعتادة لتوصيل عنصرز{\displaystyle g}إلى خريطة خطيةF{\displaystyle F}يكونF(ز){\displaystyle F(g)}وأحياناًFز.{\displaystyle Fg.}استبدالF{\displaystyle F}مع⟨ح| := Φح{\displaystyle \langle h\mid ينتج :=~\Phi h} ⟨ح|(ز){\displaystyle \langle h\mid (g)}أو⟨ح|ز،{\displaystyle \langle h\mid g,}وهو أمر غير لائق (على الرغم من كونه متسقًا مع الترميز المعتاد المستخدم مع الدوال). وبالتالي، فإن الرمز⟩{\displaystyle \,\rangle \,}تُضاف إلى النهاية، بحيث يكون الترميز⟨ح|ز⟩{\displaystyle \langle h\mid g\rangle }يُستخدم بدلاً من ذلك للدلالة على هذه القيمة(Φح)ز.{\displaystyle (\Phi h)g.}
  7. 1 2 3 4 5 الترميز⟨z|أ(⋅)⟩Z{\displaystyle \left\langle z\mid A(\cdot )\right\rangle _{Z}}يرمز إلى الدالة الخطية المستمرة المعرفة بواسطةز↦⟨z|أز⟩Z.{\displaystyle g\mapsto \left\langle z\mid Ag\right\rangle _{Z}.}

البراهين

  1. ↑ هذا لأنxك=x-⟨x،وφ⟩‖وφ‖2وφ.{\displaystyle x_{K}=x-{\frac {\left\langle x,f_{\varphi }\right\rangle }{\left\|f_{\varphi }\right\|^{2}}}f_{\varphi }.}استخدم الآن‖وφ‖2=‖φ‖2{\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|^{2}=\|\varphi \|^{2}}و⟨x،وφ⟩=φ(x){\displaystyle \left\langle x,f_{\varphi }\right\rangle =\varphi (x)}وحل المعادلة التالية:وφ.{\displaystyle f_{\varphi }.}◼{\displaystyle \blacksquare }
  2. ↑⟨أ*أz|ح⟩=⟨أz|أح⟩ح=⟨Φأح|Φأz⟩ح*{\displaystyle \left\langle A^{*}Az\mid h\right\rangle =\left\langle \,Az\mid Ah\,\right\rangle _{H}=\left\langle \,\Phi Ah\mid \Phi Az\,\right\rangle _{H^{*}}}أينΦأح:=⟨أح|⋅⟩{\displaystyle \Phi Ah:=\left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle }وΦأz:=⟨أz|⋅⟩.{\displaystyle \Phi Az:=\left\langle Az\mid \cdot \,\right\rangle .} بحسب تعريف المرافق،⟨أ*ح|أ*z⟩=⟨ح|أأ*z⟩{\displaystyle \left\langle A^{*}h\mid A^{*}z\,\right\rangle =\left\langle h\mid AA^{*}z\,\right\rangle }لذا فإن أخذ المرافق المركب لكلا الطرفين يثبت ذلك.⟨أأ*z|ح⟩=⟨أ*z|أ*ح⟩.{\displaystyle \left\langle AA^{*}z\mid h\right\rangle =\left\langle A^{*}z\mid A^{*}h\right\rangle .} منأ*=Φ-1∘تأ∘Φ،{\displaystyle A^{*}=\Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi ,}ويترتب على ذلك أن⟨أأ*z|ح⟩ح=⟨أ*z|أ*ح⟩ح=⟨Φ-1∘تأ∘Φz|Φ-1∘تأ∘Φح⟩ح=⟨تأ∘Φح|تأ∘Φz⟩ح*{\displaystyle \left\langle AA^{*}z\,|\,h\right\rangle _{H}=\left\langle A^{*}z\mid A^{*}h\right\rangle _{H}=\left\langle \Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi z\mid \Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi h\right\rangle _{H}=\left\langle \,{}^{t}A\circ \Phi h\mid {}^{t}A\circ \Phi z\right\rangle _{H^{*}}}أين(تأ∘Φ)ح=⟨ح|أ(⋅)⟩{\displaystyle \left({}^{t}A\circ \Phi \right)h=\langle h\,|\,A(\cdot )\rangle }و(تأ∘Φ)z=⟨z|أ(⋅)⟩.{\displaystyle \left({}^{t}A\circ \Phi \right)z=\langle z\,|\,A(\cdot )\rangle .}◼{\displaystyle \blacksquare }

فهرس

  • باخمان، جورج؛ ناريسي، لورانس (2000). التحليل الوظيفي (  الطبعة الثانية). مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0486402512. OCLC 829157984 . 
  • فريشيه، م. (1907). "حول مجموعات الوظائف والعمليات الخطية" . Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences (باللغة الفرنسية). 144 : 1414 – 1416.
  • نظرية قياس هالموس ، د. فان نوستراند وشركاه، 1950.
  • P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book , Springer, New York 1982 (المسألة 3 تحتوي على نسخة للفضاءات المتجهة ذات أنظمة الإحداثيات) .
  • ريسز ف. (1907). "حول مجال هندسي تحليلي لأنظمة الوظائف القابلة للدمج" . Comptes rendus de l'Académie des Sciences (باللغة الفرنسية). 144 : 1409 – 1411.
  • ريسز ف. (1909). "Sur les opérations fonctionnelles linéaires" . Comptes rendus de l'Académie des Sciences (باللغة الفرنسية). 149 : 974 – 977.