مؤثر هيلبرت-شميدت

في الرياضيات ، يُعرف عامل هيلبرت-شميدت ، الذي سُمي على اسم ديفيد هيلبرت وإرهارد شميدت ، بأنه عامل محدود.${\displaystyle A\colon H\to H}$الذي يؤثر على فضاء هيلبرت${\displaystyle H}$وله معيار هيلبرت-شميدت محدود

$$\displaystyle \|A\|_{\operatorname {HS} }^{2}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|_{H}^{2},}$$

أين${\displaystyle \{e_{i}:i\in I\}}$هي أساس متعامد معياري . ^{[ 1 ] [ 2 ]} مجموعة الفهارس${\displaystyle I}$لا يشترط أن يكون المجموع قابلاً للعد. مع ذلك، يجب أن يحتوي المجموع على اليمين على عدد لا يتجاوز عددًا قابلاً للعد من الحدود غير الصفرية ليكون ذا معنى. ^{[ 3 ]} هذا التعريف مستقل عن اختيار الأساس المتعامد. في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد المحدودة ، معيار هيلبرت-شميدت${\displaystyle \|\cdot \|_{\text{HS}}}$وهو مطابق لمعيار فروبينيوس .

لا يعتمد معيار هيلبرت-شميدت على اختيار الأساس المتعامد. في الواقع، إذا${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$و${\displaystyle \{f_{j}\}_{j\in I}}$إذا كانت هذه هي القواعد، $${\displaystyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}=\sum _{i,j}\left|\langle Ae_{i},f_{j}\rangle \right|^{2}=\sum _{i,j}\left|\langle e_{i},A^{*}f_{j}\rangle \right|^{2}=\sum _{j}\|A^{*}f_{j}\|^{2}.}$$ لو${\displaystyle e_{i}=f_{i},}$ثم${\textstyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}=\sum _{i}\|A^{*}e_{i}\|^{2}.}$أما بالنسبة لأي عامل محدود،${\displaystyle A=A^{**}.}$استبدال${\displaystyle A}$مع${\displaystyle A^{*}}$في الصيغة الأولى، احصل على${\textstyle \sum _{i}\|A^{*}e_{i}\|^{2}=\sum _{j}\|Af_{j}\|^{2}.}$ثم يأتي الاستقلال.

تُقدّم مؤثرات هيلبرت-شميدت التكاملية فئةً مهمةً من الأمثلة . كل مؤثر محدود ذو مدى محدود الأبعاد (وتُسمى هذه المؤثرات بمؤثرات ذات رتبة محدودة) هو مؤثر هيلبرت-شميدت. يكون مؤثر الوحدة على فضاء هيلبرت مؤثر هيلبرت-شميدت إذا وفقط إذا كان فضاء هيلبرت محدود الأبعاد. لأي${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في${\displaystyle H}$، يُعرِّف${\displaystyle x\otimes y:H\to H}$بواسطة${\displaystyle (x\otimes y)(z)=\langle z,y\rangle x}$، وهو مؤثر خطي متصل من الرتبة 1، وبالتالي فهو مؤثر هيلبرت-شميدت؛ علاوة على ذلك، لأي مؤثر خطي محدود${\displaystyle A}$على${\displaystyle H}$(وإلى)${\displaystyle H}$)${\displaystyle \operatorname {tr} \left(A\left(x\otimes y\right)\right)=\left\langle Ax,y\right\rangle }$[ ^{4 ]​}

لو${\displaystyle T:H\to H}$هو مؤثر مضغوط محدود ذو قيم ذاتية${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2},\dots }$ل${\displaystyle |T|:={\sqrt {T^{*}T}}}$حيث تتكرر كل قيمة ذاتية بعدد مرات تكرارها، ثم${\displaystyle T}$تكون معادلة هيلبرت-شميدت إذا وفقط إذا${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}<\infty }$وفي هذه الحالة، يكون معيار هيلبرت-شميدت لـ${\displaystyle T}$يكون${\textstyle \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}}}}$[ ^{5 ]​}

لو${\displaystyle k\in L^{2}\left(X\times X\right)}$، أين${\displaystyle \left(X,\Omega ,\mu \right)}$إذا كان فضاء قياس، فإن المؤثر التكاملي${\displaystyle K:L^{2}\left(X\right)\to L^{2}\left(X\right)}$مع النواة${\displaystyle k}$هو عامل هيلبرت-شميدت و${\displaystyle \left\|K\right\|_{\operatorname {HS} }=\left\|k\right\|_{2}}$^{[ 5 ]} على العكس من ذلك ، إذا كان هناك مؤثر محدود على${\displaystyle L^{2}\left(X\right)}$إذا كانت هيلبرت-شميدت، فيمكن كتابتها كمؤثر تكاملي من هذا الشكل. ^{[ 6 ]}

حاصل ضرب مؤثرين من نوع هيلبرت-شميدت له معيار فئة أثر محدود ؛ لذلك، إذا كان A و B مؤثرين من نوع هيلبرت-شميدت، فيمكن تعريف حاصل الضرب الداخلي لهيلبرت-شميدت على النحو التالي:

$${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{HS}}=\operatorname {tr} (B^{*}A)=\sum _{i}\langle Ae_{i},Be_{i}\rangle .}$$

تشكل مؤثرات هيلبرت-شميدت مثاليًا ثنائي الجانب في جبر باناخ للمؤثرات المحدودة على H. كما أنها تشكل فضاء هيلبرت، يُرمز له بـ B _HS ( H ) أو B ₂ ( H ) ، والذي يمكن إثبات أنه متماثل قياسيًا بشكل طبيعي مع حاصل الضرب الموتري لفضاءات هيلبرت.

$${\displaystyle H^{*}\otimes H,}$$

حيث H ^* هو الفضاء الثنائي لـ H. المعيار الناتج عن هذا الضرب الداخلي هو معيار هيلبرت-شميدت الذي يكون فضاء مؤثرات هيلبرت-شميدت كاملاً في ظله (مما يجعله فضاء هيلبرت). ^{[ 4 ]} فضاء جميع المؤثرات الخطية المحدودة ذات الرتبة المحدودة (أي التي لها مدى محدود الأبعاد) هو مجموعة جزئية كثيفة من فضاء مؤثرات هيلبرت-شميدت (مع معيار هيلبرت-شميدت). ^{[ 4 ]}

تكون مجموعة مؤثرات هيلبرت-شميدت مغلقة في طوبولوجيا المعيار إذا وفقط إذا كانت H ذات أبعاد محدودة.

• كل مؤثر هيلبرت-شميدت T  : H → H هو مؤثر مضغوط . ^{[ 5 ]}
• يكون المؤثر الخطي المحدود T  : H → H مؤثرًا هيلبرت-شميدت إذا وفقط إذا كان الأمر نفسه صحيحًا بالنسبة للمؤثر${\textstyle \left|T\right|:={\sqrt {T^{*}T}}}$وفي هذه الحالة، تكون معايير هيلبرت-شميدت لـ${\displaystyle T}$و${\textstyle \left|T\right|}$متساويان. ^{[ 5 ]}
• مؤثرات هيلبرت-شميدت هي مؤثرات نووية من الرتبة 2، وبالتالي فهي مؤثرات مضغوطة . ^{[ 5 ]}
• لو${\displaystyle S:H_{1}\to H_{2}}$و${\displaystyle T:H_{2}\to H_{3}}$إذا كانت مؤثرات هيلبرت-شميدت بين فضاءات هيلبرت، فإن التركيب${\displaystyle T\circ S:H_{1}\to H_{3}}$هو مشغل نووي . ^{[ 3 ]}
• إذا كان T  : H → H مؤثرًا خطيًا محدودًا، فإننا نحصل على${\displaystyle \left\|T\right\|\leq \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }}$[ ^{5 ]​}
• يكون T مؤثر هيلبرت-شميدت إذا وفقط إذا كان الأثر${\displaystyle \operatorname {tr} }$للمؤثر الذاتي المرافق غير السالب${\displaystyle T^{*}T}$محدودة، وفي هذه الحالة${\displaystyle \|T\|_{\text{HS}}^{2}=\operatorname {tr} (T^{*}T)}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}
• إذا كان T  : H → H مؤثرًا خطيًا محدودًا على H و S  : H → H مؤثرًا من نوع هيلبرت-شميدت على H، فإن${\displaystyle \left\|S^{*}\right\|_{\operatorname {HS} }=\left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }}$،${\displaystyle \left\|TS\right\|_{\operatorname {HS} }\leq \left\|T\right\|\left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }}$، و${\displaystyle \left\|ST\right\|_{\operatorname {HS} }\leq \left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }\left\|T\right\|}$^{[ 5 ]} على وجه الخصوص ، فإن تركيب مؤثرين من نوع هيلبرت-شميدت هو أيضاً مؤثر من نوع هيلبرت-شميدت (بل ومؤثر من فئة الأثر ). ^{[ 5 ]}
• فضاء مؤثرات هيلبرت-شميدت على H هو مثالي في فضاء المؤثرات المحدودة${\displaystyle B\left(H\right)}$والتي تحتوي على عوامل ذات رتبة محدودة. ^{[ 5 ]}
• إذا كان A مؤثر هيلبرت-شميدت على H ، فإن$${\displaystyle \|A\|_{\text{HS}}^{2}=\sum _{i,j}|\langle e_{i},Ae_{j}\rangle |^{2}=\|A\|_{2}^{2}}$$أين${\displaystyle \{e_{i}:i\in I\}}$هي أساس متعامد لـ H ، و${\displaystyle \|A\|_{2}}$هو معيار شاتن لـ${\displaystyle A}$عندما تكون قيمة p تساوي 2. في الفضاء الإقليدي ،${\displaystyle \|\cdot \|_{\text{HS}}}$ويُطلق عليه أيضاً معيار فروبينيوس .

• الضرب الداخلي لفروبينيوس – عملية ثنائية، تأخذ مصفوفتين وتعيد قيمة عددية. 
• نظرية سازونوف
• فئة التتبع - عامل مضغوط يمكن تعريف تتبع محدود له 

• كونواي، جون ب. (1990). دورة في التحليل الوظيفي . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 . 
• شيفر، هيلموت هـ. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  3. نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
• ريد، مايكل ؛ سيمون، باري (1980). أساليب الفيزياء الرياضية الحديثة: التحليل الوظيفي . دار النشر الأكاديمية.