نظرية المغلف

الموسوعة الحرة

في الرياضيات والاقتصاد ، تُعدّ نظرية الغلاف نتيجةً رئيسيةً تتعلق بخصائص قابلية التفاضل لدالة القيمة في مسألة التحسين المُعَلمة. [ 1 ] عند تغيير معلمات دالة الهدف، تُبيّن نظرية الغلاف أنه، بمعنى ما، لا تُساهم التغييرات في مُحسِّن دالة الهدف في تغيير دالة الهدف نفسها. تُعدّ نظرية الغلاف أداةً مهمةً للتحليل المقارن لنماذج التحسين . [ 2 ]

يُشتق مصطلح "الغلاف" من وصف الرسم البياني لدالة القيمة بأنه "الغلاف العلوي" للرسوم البيانية لعائلة الدوال المُعَلمة.{و(x،⋅)}x∈X{\displaystyle \left\{f\left(x,\cdot \right)\right\}_{x\in X}} التي تم تحسينها.

إفادة

يتركو(x،α){\displaystyle f(x,\alpha )}وزج(x،α)،ج=1،2،...،م{\displaystyle g_{j}(x,\alpha ),j=1,2,\ldots ,m}لتكن دوال حقيقية قابلة للتفاضل باستمرار علىRن+ل{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+l}}، أينx∈Rن{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}هي متغيرات الاختيار وα∈Rل{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{l}}هي معلمات، ولننظر في مشكلة الاختيارx{\displaystyle x}، بالنسبة لـα{\displaystyle \alpha }، وذلك من أجل:

الأعلىxو(x،α){\displaystyle \max _{x}f(x,\alpha )}رهناً بـزج(x،α)≥0،ج=1،2،...،م{\displaystyle g_{j}(x,\alpha )\geq 0,j=1,2,\ldots ,m}وx≥0{\displaystyle x\geq 0}.

يُعطى التعبير اللاغرانجي لهذه المسألة بالصيغة التالية

ل(x،λ،α)=و(x،α)+λ⋅ز(x،α){\displaystyle {\mathcal {L}}(x,\lambda ,\alpha )=f(x,\alpha )+\lambda \cdot g(x,\alpha )}

أينλ∈Rم{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{m}}هي معاملات لاغرانج . الآن لنفترضx*(α){\displaystyle x^{\ast }(\alpha )}وλ*(α){\displaystyle \lambda ^{\ast }(\alpha )}معًا، يكون الحل الذي يزيد من دالة الهدف f مع مراعاة القيود (وبالتالي تكون نقاط سرجية لدالة لاغرانج)،

ل*(α)≡و(x*(α)،α)+λ*(α)⋅ز(x*(α)،α)،{\displaystyle {\mathcal {L}}^{\ast }(\alpha )\equiv f(x^{\ast }(\alpha ),\alpha )+\lambda ^{\ast }(\alpha )\cdot g(x^{\ast }(\alpha ),\alpha ),}

وحدد دالة القيمة

V(α)≡و(x*(α)،α).{\displaystyle V(\alpha )\equiv f(x^{\ast }(\alpha ),\alpha ).}

ثم لدينا النظرية التالية. [ 3 ] [ 4 ]

النظرية: افترض أنV{\displaystyle V}ول{\displaystyle {\mathcal {L}}}قابلة للتفاضل باستمرار. إذن

∂V(α)∂αك=∂ل*(α)∂αك=∂ل(x*(α)،λ*(α)،α)∂αك،ك=1،2،...،ل{\displaystyle {\frac {\partial V(\alpha )}{\partial \alpha _{k}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}^{\ast }(\alpha )}{\partial \alpha _{k}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}(x^{\ast }(\alpha ),\lambda ^{\ast }(\alpha ),\alpha )}{\partial \alpha _{k}}},k=1,2,\ldots ,l}

أين∂ل/∂αك=∂و/∂αك+λ⋅∂ز/∂αك{\displaystyle \partial {\mathcal {L}}/\partial \alpha _{k}=\partial f/\partial \alpha _{k}+\lambda \cdot \partial g/\partial \alpha _{k}}.

لمجموعات الاختيار العشوائية

يتركX{\displaystyle X}لنرمز إلى مجموعة الخيارات ولنفترض أن المعلمة ذات الصلة هيت∈[0،1]{\displaystyle t\in \lbrack 0,1]}تأجيرو:X×[0،1]→R{\displaystyle f:X\times \lbrack 0,1]\rightarrow R}يرمز إلى دالة الهدف ذات المعلمات، ودالة القيمةV{\displaystyle V}ومطابقة الاختيار الأمثل (دالة ذات قيم متعددة)X*{\displaystyle X^{\ast }}يتم الحصول عليها من خلال:

تصف "نظريات الغلاف" الشروط الكافية لدالة القيمةV{\displaystyle V}أن تكون قابلة للتفاضل في المعلمةت{\displaystyle t}وصف مشتقاته على النحو التالي:

أينوت{\displaystyle f_{t}}يرمز إلى المشتق الجزئي لـو{\displaystyle f}بالنسبة إلىت{\displaystyle t}بمعنى آخر، مشتق دالة القيمة بالنسبة للمعامل يساوي المشتق الجزئي لدالة الهدف بالنسبة لـت{\displaystyle t}مع تثبيت المُعظِّم عند مستواه الأمثل.

تستخدم اشتقاقات نظرية الغلاف التقليدية شرط الرتبة الأولى لـ ( 1 )، والذي يتطلب أن تكون مجموعة الاختيارX{\displaystyle X}تمتلك البنية المحدبة والطوبولوجية، ودالة الهدفو{\displaystyle f}أن تكون قابلة للتفاضل في المتغيرx{\displaystyle x}(الحجة هي أن التغييرات في المُعظِّم لها تأثير من الدرجة الثانية فقط عند الأمثل، وبالتالي يمكن تجاهلها.) ومع ذلك، في العديد من التطبيقات مثل تحليل قيود الحوافز في نظرية العقود ونظرية الألعاب، ومسائل الإنتاج غير المحدبة، والتحليلات المقارنة الثابتة "الرتيبة" أو "القوية"، تفتقر مجموعات الاختيار ووظائف الهدف عمومًا إلى الخصائص الطوبولوجية والتحدبية المطلوبة من قبل نظريات الغلاف التقليدية.

لاحظ بول ميلغروم وإيليا سيغال (2002) أن صيغة الغلاف التقليدية تنطبق على مسائل التحسين ذات مجموعات الاختيار العشوائية عند أي نقطة تفاضلية لدالة القيمة، [ 5 ] بشرط أن تكون دالة الهدف قابلة للتفاضل في المعلمة:

النظرية 1: ليكنت∈(0،1){\displaystyle t\in \left(0,1\right)}وx∈X*(ت){\displaystyle x\in X^{\ast }\left(t\right)}إذا كان كلاهماV′(ت){\displaystyle V^{\prime }\left(t\right)}ووت(x،ت){\displaystyle f_{t}\left(x,t\right)}إذا وُجدت، فإن صيغة الغلاف ( 3 ) صحيحة.

البرهان: المعادلة ( 1 ) تعني أنه بالنسبة لـx∈X*(ت){\displaystyle x\in X^{\ast }\left(t\right)}،

الأعلىs∈[0،1][و(x،s)-V(s)]=و(x،ت)-V(ت)=0.{\displaystyle \max _{s\in \left[0,1\right]}\left[f\left(x,s\right)-V\left(s\right)\right]=f\left(x,t\right)-V\left(t\right)=0.}

بناءً على الافتراضات، فإن دالة الهدف لمسألة التعظيم المعروضة قابلة للتفاضل عندs=ت{\displaystyle s=t}، والشرط من الدرجة الأولى لتحقيق هذه القيمة القصوى هو المعادلة ( 3 ) تحديدًا. QED

بينما تتطلب قابلية اشتقاق دالة القيمة عمومًا افتراضات قوية، إلا أن شروطًا أضعف في العديد من التطبيقات تكفي، مثل الاستمرارية المطلقة ، وقابلية الاشتقاق في كل مكان تقريبًا، أو قابلية الاشتقاق من اليسار واليمين. وعلى وجه الخصوص، تقدم نظرية ميلغروم وسيغال (2002) رقم 2 شرطًا كافيًا لـV{\displaystyle V}أن تكون متصلة بشكل مطلق، [ 5 ] مما يعني أنها قابلة للتفاضل في كل مكان تقريبًا ويمكن تمثيلها كتكامل لمشتقتها:

النظرية 2: لنفترض أنو(x،⋅){\displaystyle f(x,\cdot )}هو مستمر بشكل مطلق للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}لنفترض أيضاً وجود دالة قابلة للتكاملب:[0،1]{\displaystyle b:[0,1]}→{\displaystyle \rightarrow }R+{\displaystyle \mathbb {R} _{+}}بحيث|وت(x،ت)|≤ب(ت){\displaystyle |f_{t}(x,t)|\leq b(t)}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}وجميعها تقريباًت∈[0،1]{\displaystyle t\in \lbrack 0,1]}. ثمV{\displaystyle V}دالة متصلة تمامًا. لنفترض، بالإضافة إلى ذلك، أنو(x،⋅){\displaystyle f(x,\cdot )}قابلة للتفاضل لجميعx∈X{\displaystyle x\in X}وذلكX*(ت)≠∅{\displaystyle X^{\ast }(t)\neq \varnothing }الطريق في كل مكان[0،1]{\displaystyle [0,1]}ثم لأي اختيارx*(ت)∈X*(ت){\displaystyle x^{\ast }(t)\in X^{\ast }(t)}،

البرهان: باستخدام ( 1 )(1)، لاحظ أنه لأيت′،ت′′∈[0،1]{\displaystyle t^{\prime },t^{\prime \prime }\in \lbrack 0,1]}معت′<ت′′{\displaystyle t^{\prime }<t^{\prime \prime }}،

|V(ت′′)-V(ت′)|≤رشفةx∈X|و(x،ت′′)-و(x،ت′)|=رشفةx∈X|∫ت′ت′′وت(x،ت)دت|≤∫ت′ت′′رشفةx∈X|وت(x،ت)|دت≤∫ت′ت′′ب(ت)دت.{\displaystyle |V(t^{\prime \prime })-V(t^{\prime })|\leq \sup _{x\in X}|f(x,t^{\prime \prime })-f(x,t^{\prime })|=\sup _{x\in X}\left\vert \int _{t^{\prime }}^{t^{\prime \prime }}f_{t}(x,t)dt\right\vert \leq \int _{t^{\prime }}^{t^{\prime \prime }}\sup _{x\in X}|f_{t}(x,t)|dt\leq \int _{t^{\prime }}^{t^{\prime \prime }}b(t)dt.}

وهذا يعني أنV{\displaystyle V}متصلة تمامًا. لذلك،V{\displaystyle V}قابلة للتفاضل في كل مكان تقريبًا، وباستخدام ( 3 ) نحصل على ( 4 ). QED

تُفنّد هذه النتيجة الاعتقاد الخاطئ الشائع بأنّ السلوك الجيد لدالة القيمة يستلزم سلوكًا جيدًا مماثلًا للدالة المُعظِّمة. تضمن النظرية 2 الاستمرارية المطلقة لدالة القيمة حتى وإن كانت الدالة المُعظِّمة غير مستمرة. وبالمثل، تُشير النظرية 3 لميلغروم وسيغال (2002) إلى أن دالة القيمة يجب أن تكون قابلة للتفاضل عندت=ت0{\displaystyle t=t_{0}}وبالتالي تحقق صيغة الغلاف ( 3 ) عندما تكون العائلة{و(x،⋅)}x∈X{\displaystyle \left\{f\left(x,\cdot \right)\right\}_{x\in X}}قابلة للتفاضل بالتساوي عندت0∈(0،1){\displaystyle t_{0}\in \left(0,1\right)}ووت(X*(ت)،ت0){\displaystyle f_{t}\left(X^{\ast }\left(t\right),t_{0}\right)}هي دالة أحادية القيمة ومتصلة عندت=ت0{\displaystyle t=t_{0}}حتى لو لم يكن المُعظِّم قابلاً للتفاضل عندت0{\displaystyle t_{0}}(على سبيل المثال، إذاX{\displaystyle X}يتم وصفها بواسطة مجموعة من قيود عدم المساواة، وتتغير مجموعة القيود الملزمة عندت0{\displaystyle t_{0}}). [ 5 ]

التطبيقات

تطبيقات على نظرية المنتج

تُشير النظرية 1 إلى مبرهنة هوتلينغ عند أي نقطة تفاضل لدالة الربح، وتُشير النظرية 2 إلى صيغة فائض المنتج . رسميًا، ليكنπ(ص){\displaystyle \pi \left(p\right)}تشير إلى دالة الربح غير المباشر لشركة متلقية للسعر مع مجموعة إنتاجX⊆Rل{\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{L}}أسعار المواجهةص∈Rل{\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{L}}ودعx*(ص){\displaystyle x^{\ast }\left(p\right)}تشير إلى وظيفة العرض للشركة، أي

π(ص)=الأعلىx∈Xص⋅x=ص⋅x*(ص).{\displaystyle \pi (p)=\max _{x\in X}p\cdot x=p\cdot x^{\ast }\left(p\right){\text{.}}}

يتركت=صأنا{\displaystyle t=p_{i}}(سعر السلعة)أنا{\displaystyle i}) وتحديد أسعار السلع الأخرى عندص-أنا∈Rل-1{\displaystyle p_{-i}\in \mathbb {R} ^{L-1}}تطبيق النظرية 1 علىو(x،ت)=تxأنا+ص-أنا⋅x-أنا{\displaystyle f(x,t)=tx_{i}+p_{-i}\cdot x_{-i}}العائد∂π(ص)∂صأنا=xأنا*(ص){\displaystyle {\frac {\partial \pi (p)}{\partial p_{i}}}=x_{i}^{\ast }(p)}(العرض الأمثل للسلعة لدى الشركة)أنا{\displaystyle i}بتطبيق النظرية 2 (التي يتم التحقق من افتراضاتها عندماصأنا{\displaystyle p_{i}}(يقتصر على فترة محدودة) ينتج

π(ت،ص-أنا)-π(0،ص-أنا)=∫0صأناxأنا*(s،ص-أنا)دs،{\displaystyle \pi (t,p_{-i})-\pi (0,p_{-i})=\int _{0}^{p_{i}}x_{i}^{\ast }(s,p_{-i})ds,}

أي فائض المنتجπ(ت،ص-أنا)-π(0،ص-أنا){\displaystyle \pi (t,p_{-i})-\pi (0,p_{-i})}يمكن الحصول على ذلك عن طريق التكامل تحت منحنى عرض الشركة للسلعةأنا{\displaystyle i}.

تطبيقات في تصميم الآليات ونظرية المزادات

لنفترض وجود وكيل دالة منفعتهو(x،ت){\displaystyle f(x,t)}النتائجx∈X¯{\displaystyle x\in {\bar {X}}}يعتمد ذلك على نوعهت∈[0،1]{\displaystyle t\in \lbrack 0,1]}. يتركX⊆X¯{\displaystyle X\subseteq {\bar {X}}}تمثل "قائمة" النتائج المحتملة التي يمكن أن يحصل عليها العامل في الآلية عن طريق إرسال رسائل مختلفة. منفعة التوازن للعاملV(ت){\displaystyle V(t)}يتم تحديد الآلية من خلال (1)، والمجموعةX*(ت){\displaystyle X^{\ast }(t)}يُعطى عدد نتائج التوازن للآلية بالمعادلة (2). أي اختيارx*(ت)∈X*(ت){\displaystyle x^{\ast }(t)\in X^{\ast }(t)}هي قاعدة اختيار تُنفذها الآلية. لنفترض أن دالة منفعة الوكيلو(x،ت){\displaystyle f(x,t)}قابلة للتفاضل ومستمرة تمامًا فيت{\displaystyle t}للجميعx∈Y{\displaystyle x\in Y}وذلكرشفةx∈X¯|وت(x،ت)|{\displaystyle \sup _{x\in {\bar {X}}}|f_{t}(x,t)|}قابل للتكامل على[0،1]{\displaystyle [0,1]}ثم تشير النظرية 2 إلى أن منفعة التوازن للوكيلV{\displaystyle V}في أي آلية تُنفذ قاعدة اختيار معينةx*{\displaystyle x^{\ast }}يجب أن يستوفي الشرط الصحيح (4).

يُعد الشرط التكاملي (4) خطوةً أساسيةً في تحليل مسائل تصميم الآليات ذات فضاءات الأنواع المتصلة. وعلى وجه الخصوص، في تحليل مايرسون (1981) لمزادات السلعة الواحدة، يمكن وصف النتيجة من وجهة نظر أحد المزايدين على النحو التالي:x=(y،z){\displaystyle x=\left(y,z\right)}، أينy{\displaystyle y}يمثل احتمال حصول المزايد على السلعة وz{\displaystyle z}هو المبلغ المتوقع دفعه، وتأخذ المنفعة المتوقعة للمزايد الشكل التالي:و((y،z)،ت)=تy-z{\displaystyle f\left(\left(y,z\right),t\right)=ty-z}في هذه الحالة، السماحت_{\displaystyle {\underline {t}}}يشير إلى أدنى نوع ممكن للمزايد، والشرط التكاملي (4) لمنفعة التوازن المتوقعة للمزايدV{\displaystyle V}يأخذ الشكل

V(ت)-V(ت_)=∫0تy*(s)دs.{\displaystyle V(t)-V({\underline {t}})=\int _{0}^{t}y^{\ast }(s)ds.}

(يمكن تفسير هذه المعادلة على أنها صيغة فائض المنتج للشركة التي تمتلك تكنولوجيا إنتاج لتحويل العملةz{\displaystyle z}احتماليةy{\displaystyle y}يتم تحديد احتمالية الفوز بالسلعة من خلال المزاد، والذي يعيد بيع السلعة بسعر ثابت.ت{\displaystyle t}). ويؤدي هذا الشرط بدوره إلى نظرية مايرسون (1981) الشهيرة لتكافؤ الإيرادات : الإيرادات المتوقعة المتولدة في مزاد يكون فيه للمزايدين قيم خاصة مستقلة تتحدد بالكامل باحتمالات المزايدين.y*(ت){\displaystyle y^{\ast }\left(t\right)}الحصول على الكائن لجميع الأنواعت{\displaystyle t}وكذلك من خلال العوائد المتوقعةV(ت_){\displaystyle V({\underline {t}})}من بين أدنى أنواع العروض المقدمة من المزايدين. وأخيرًا، يُعد هذا الشرط خطوة أساسية في نموذج مايرسون (1981) للمزادات المثلى. [ 6 ]

للاطلاع على تطبيقات أخرى لنظرية الغلاف في تصميم الآليات، انظر ميرليس (1971)، [ 7 ] وهولمستروم (1979)، [ 8 ] ولافونت وماسكين (1980)، [ 9 ] ورايلي وسامويلسون (1981)، [ 10 ] وفودنبرغ وتيرول (1991)، [ 11 ] وويليامز (1999). [ 12 ] مع أن هؤلاء المؤلفين استنتجوا نظرية الغلاف واستغلوها بالتركيز على قواعد الاختيار القابلة للتفاضل المستمر (قطعياً) أو حتى فئات أضيق، فقد يكون من الأمثل أحياناً تطبيق قاعدة اختيار غير قابلة للتفاضل المستمر قطعياً. (أحد الأمثلة على ذلك هو فئة مسائل التداول ذات المنفعة الخطية الموصوفة في الفصل 6.5 من كتاب مايرسون (1991). [ 13 ] ) لاحظ أن الشرط التكاملي (3) لا يزال ساريًا في هذا السياق، ويستلزم نتائج مهمة مثل ليمّة هولمستروم (هولمستروم، 1979)، [ 8 ] وليمّة مايرسون (مايرسون، 1981)، [ 6 ] ونظرية تكافؤ الإيرادات (للمزادات)، ونظرية غرين-لافونت-هولمستروم (غرين ولافونت، 1979؛ هولمستروم، 1979)، [ 14 ] [ 8 ] ونظرية عدم كفاءة مايرسون-ساترثويت (مايرسون وساتيرثويت، 1983)، [ 15 ] ونظريات استحالة جيهيل-مولدوفانو (جيهيل ومولدوفانو، 2001)، [ 16 ] نظرية ماكافي-ماكميلان للكارتلات الضعيفة (ماكافي وماكميلان، 1992)، [ 17 ] ونظرية مارتينجال ويبر (ويبر، 1983)، [ 18 ] إلخ. ترد تفاصيل هذه التطبيقات في الفصل 3 من ميلجروم (2004)، [ 19 ] الذي يقدم إطارًا أنيقًا وموحدًا في تحليل تصميم المزادات والآليات يعتمد بشكل أساسي على نظرية الغلاف وتقنيات ومفاهيم أخرى مألوفة في نظرية الطلب.

تطبيقات على فضاءات المعلمات متعددة الأبعاد

بالنسبة لفضاء المعلمات متعدد الأبعادتي⊆Rك{\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{K}}يمكن تطبيق النظرية 1 على المشتقات الجزئية والاتجاهية لدالة القيمة. إذا كانت دالة الهدفو{\displaystyle f}ودالة القيمةV{\displaystyle V}قابلة للتفاضل (كليًا) فيت{\displaystyle t}، تشير النظرية 1 إلى صيغة الغلاف لتدرجاتها:∇V(ت)=∇تو(x،ت){\displaystyle \nabla V\left(t\right)=\nabla _{t}f\left(x,t\right)}لكلx∈X*(ت){\displaystyle x\in X^{\ast }\left(t\right)}على الرغم من أن ضمان قابلية التفاضل الكلي لدالة القيمة قد لا يكون سهلاً، إلا أنه لا يزال من الممكن تطبيق النظرية 2 على طول أي مسار سلس يربط بين قيمتين للمعامل.ت0{\displaystyle t_{0}}وت{\displaystyle t}أي ، لنفترض أن الدوالو(x،⋅){\displaystyle f(x,\cdot )}قابلة للتفاضل بالنسبة للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}مع|∇تو(x،ت)|≤ب{\displaystyle |\nabla _{t}f(x,t)|\leq B}للجميعx∈X،{\displaystyle x\in X,}ت∈تي{\displaystyle t\in T}مسار سلس منت0{\displaystyle t_{0}}لت{\displaystyle t}يتم وصفها بواسطة دالة قابلة للتفاضلγ:[0،1]→تي{\displaystyle \gamma :\left[0,1\right]\rightarrow T} مع مشتقة محدودة، بحيثγ(0)=ت0{\displaystyle \gamma \left(0\right)=t_{0}}وγ(1)=ت{\displaystyle \gamma \left(1\right)=t}تنص النظرية 2 على أنه بالنسبة لأي مسار أملس من هذا القبيل، يمكن التعبير عن تغير دالة القيمة على أنه تكامل المسار للتدرج الجزئي∇تو(x*(ت)،ت){\displaystyle \nabla _{t}f(x^{\ast }(t),t)}دالة الهدف على طول المسار:

V(ت)-V(ت0)=∫γ∇تو(x*(s)،s)⋅دs.{\displaystyle V(t)-V(t_{0})=\int _{\gamma }\nabla _{t}f(x^{\ast }(s),s)\cdot ds.}

على وجه الخصوص، بالنسبة لـت=ت0{\displaystyle t=t_{0}}وهذا يثبت أن تكاملات المسار الدوري على طول أي مسار أملسγ{\displaystyle \gamma }يجب أن يكون صفرًا:

∫∇تو(x*(s)،s)⋅دs=0.{\displaystyle \int \nabla _{t}f(x^{\ast }(s),s)\cdot ds=0.}

يلعب "شرط التكامل" هذا دورًا مهمًا في تصميم الآليات ذات الأنواع متعددة الأبعاد، حيث يقيد نوع قواعد الاختيارx*{\displaystyle x^{\ast }}يمكن الحفاظ عليها من خلال قوائم ناتجة عن الآليةX⊆X¯{\displaystyle X\subseteq {\bar {X}}}في تطبيق نظرية المنتجين، معx∈X⊆Rل{\displaystyle x\in X\subseteq \mathbb {R} ^{L}}باعتبارها ناقل الإنتاج للشركة وت∈Rل{\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{L}}كونه متجه السعر،و(x،ت)=ت⋅x{\displaystyle f\left(x,t\right)=t\cdot x}وينص شرط التكامل على أن أي دالة عرض قابلة للترشيدx*{\displaystyle x^{\ast }}يجب أن يفي

∫x*(s)⋅دs=0.{\displaystyle \int x^{\ast }(s)\cdot ds=0.}

متىx*{\displaystyle x^{\ast }}إذا كانت الدالة قابلة للتفاضل باستمرار، فإن شرط التكامل هذا يكافئ تناظر مصفوفة الاستبدال.(∂xأنا*(ت)/∂تج)أنا،ج=1ل{\displaystyle \left(\partial x_{i}^{\ast }\left(t\right)/\partial t_{j}\right)_{i,j=1}^{L}}(في نظرية المستهلك ، تؤدي نفس الحجة المطبقة على مشكلة تقليل الإنفاق إلى تناظر مصفوفة سلوتسكي .)

تطبيقات على القيود ذات المعلمات

لنفترض الآن أن المجموعة الممكنةX(ت){\displaystyle X\left(t\right)}يعتمد ذلك على المعامل، أي

V(ت)=رشفةx∈X(ت)و(x،ت){\displaystyle V(t)=\sup _{x\in X\left(t\right)}f(x,t)}
X*(ت)={x∈X(ت):و(x،ت)=V(ت)}، {\displaystyle X^{\ast }(t)=\{x\in X\left(t\right):f(x,t)=V(t)\}{\text{, }}}

أينX(ت)={x∈X:ز(x،ت)≥0}{\displaystyle X\left(t\right)=\left\{x\in X:g\left(x,t\right)\geq 0\right\}}بالنسبة للبعضز:X×[0،1]→Rك.{\displaystyle g:X\times \left[0,1\right]\rightarrow \mathbb {R} ^{K}.}

لنفترض أنX{\displaystyle X}هي مجموعة محدبة ،و{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}مقعرة فيx{\displaystyle x}ويوجدx^∈X{\displaystyle {\hat {x}}\in X}بحيثز(x^،ت)>0{\displaystyle g\left({\hat {x}},t\right)>0}للجميعت∈[0،1]{\displaystyle t\in \left[0,1\right]}في ظل هذه الافتراضات، من المعروف جيدًا أن برنامج التحسين المقيد المذكور أعلاه يمكن تمثيله كمسألة نقطة سرجية لدالة لاغرانج.ل(x،λ،ت)=و(x،ت)+λ⋅ز(x،ت){\displaystyle L\left(x,\lambda ,t\right)=f(x,t)+\lambda \cdot g\left(x,t\right)}، أينλ∈R+ك{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+}^{K}}يمثل متجه معاملات لاغرانج الذي يختاره الخصم لتقليل دالة لاغرانج. [ 20 ] [ 21 ] وهذا يسمح بتطبيق نظرية الغلاف لميلغروم وسيغال (2002، النظرية 4) على مسائل نقطة السرج، [ 5 ] في ظل الافتراضات الإضافية التالية:X{\displaystyle X}هي مجموعة متراصة في فضاء خطي معياري،و{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}مستمر فيx{\displaystyle x}، ووت{\displaystyle f_{t}}وزت{\displaystyle g_{t}}مستمر في(x،ت){\displaystyle \left(x,t\right)}وعلى وجه الخصوص، السماح(x*(ت)،λ*(ت)){\displaystyle \left(x^{\ast }(t),\lambda ^{\ast }\left(t\right)\right)}يشير إلى نقطة السرج في دالة لاغرانج لقيمة المعاملت{\displaystyle t}، تشير النظرية إلى أنV{\displaystyle V}مستمر تمامًا ويلبي الاحتياجات

V(ت)=V(0)+∫0تلت(x*(s)،λ*(s)،s)دs.{\displaystyle V(t)=V(0)+\int _{0}^{t}L_{t}(x^{\ast }(s),\lambda ^{\ast }\left(s\right),s)ds.}

في الحالة الخاصة التيو(x،ت){\displaystyle f\left(x,t\right)}مستقل عنت{\displaystyle t}،ك=1{\displaystyle K=1}، وز(x،ت)=ح(x)+ت{\displaystyle g\left(x,t\right)=h\left(x\right)+t}، تشير الصيغة إلى أنV′(ت)=لت(x*(ت)،λ*(ت)،ت)=λ*(ت){\displaystyle V^{\prime }(t)=L_{t}(x^{\ast }(t),\lambda ^{\ast }\left(t\right),t)=\lambda ^{\ast }\left(t\right)}لـ aeت{\displaystyle t}أي، مُضاعِف لاغرانجλ*(ت){\displaystyle \lambda ^{\ast }\left(t\right)}[ 21 ] يمثل القيد " سعر الظل " الخاص به في برنامج التحسين.

تطبيقات أخرى

يوضح ميلغروم وسيغال (2002) أن النسخة المعممة من نظريات الغلاف يمكن تطبيقها أيضًا على البرمجة المحدبة، ومسائل التحسين المستمر ، ومسائل نقطة السرج، ومسائل التوقف الأمثل . [ 5 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بوردر، كيم سي. (2019). "ملاحظات متنوعة حول نظرية التحسين والمواضيع ذات الصلة" . ملاحظات المحاضرات . معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا: 154.
  2. ↑ كارتر، مايكل (2001). أسس الاقتصاد الرياضي . كامبريدج: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحات 603-609 . ISBN  978-0-262-53192-4.
  3. ↑ أفريات، إس إن (1971). "نظرية القيم العظمى وطريقة لاغرانج". مجلة SIAM للرياضيات التطبيقية . 20 (3): 343-357 . doi : 10.1137/0120037 .
  4. ↑ تاكاياما، أكيرا (1985). الاقتصاد الرياضي ( الطبعة الثانية). نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 137-138 . ISBN   978-0-521-31498-5.
  5. 1 2 3 4 5 ميلغروم، بول؛ إيليا سيغال (2002). "نظريات المغلف لمجموعات الاختيار العشوائية". إيكونومتريكا . 70 (2): 583-601 . CiteSeerX 10.1.1.217.4736 . doi : 10.1111/1468-0262.00296 . 
  6. 1 2 مايرسون، روجر ب. (1981). "التصميم الأمثل للمزادات". رياضيات بحوث العمليات . 6 (1): 58-73 . doi : 10.1287/moor.6.1.58 . S2CID 12282691 . 
  7. ↑ ميرليس، جيمس (2002). "استكشاف في نظرية الضرائب المثلى". مراجعة الدراسات الاقتصادية . 38 (2): 175-208 . doi : 10.2307/2296779 . JSTOR 2296779 . 
  8. 1 2 3 هولمستروم، بنغت (1979). "مخططات غروفز على نطاقات مقيدة". إيكونومتريكا . 47 ( 5): 1137-1144 . doi : 10.2307/1911954 . JSTOR 1911954. S2CID 55414969 .  
  9. ↑ لافون، جان جاك؛ إريك ماسكين (1980). "نهج قابل للتفاضل لآليات الاستراتيجية المهيمنة". إيكونومتريكا . 48 (6): 1507-1520 . doi : 10.2307/1912821 . JSTOR 1912821 . 
  10. ↑ رايلي، جون ج.؛ سامويلسون، ويليام س. (1981). "المزادات المثلى". المجلة الاقتصادية الأمريكية . 71 (3): 381-392 . JSTOR 1802786 . 
  11. ^ فودنبرج، درو. تيرول، جان (1991). نظرية اللعبة . كامبريدج: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. رقم ISBN 0-262-06141-4.
  12. ↑ ويليامز، ستيفن (1999). "وصف آلية فعّالة ومتوافقة مع الحوافز البايزية". النظرية الاقتصادية . 14 : 155-180 . doi : 10.1007/s001990050286 . S2CID 154378924 . 
  13. ↑ مايرسون، روجر (1991). نظرية الألعاب . كامبريدج: مطبعة جامعة هارفارد. ISBN 0-674-34115-5.
  14. ↑ غرين، ج.؛ لافونت، ج. ج. (1979). الحوافز في صنع القرار العام . أمستردام: نورث هولاند. ISBN 0-444-85144-5.
  15. ↑ مايرسون، ر.؛ م. ساتيرثويت (1983). "آليات فعّالة للتجارة الثنائية" (ملف PDF) . مجلة النظرية الاقتصادية . 29 (2): 265-281 . doi : 10.1016/0022-0531(83)90048-0 . hdl : 10419/220829 .
  16. ↑ جيهيل، فيليب؛ مولدوفانو، بيني (2001). "التصميم الفعال مع التقييمات المترابطة". Econometrica . 69 ( 5): 1237–1259 . CiteSeerX 10.1.1.23.7639 . doi : 10.1111/1468-0262.00240 . 
  17. ↑ مكافي، ر. بريستون؛ جون ماكميلان (1992). "حلقات المزايدة". المجلة الاقتصادية الأمريكية . 82 (3): 579-599 . JSTOR 2117323 . 
  18. ↑ ويبر، روبرت (1983). "مزادات الأشياء المتعددة" (ملف PDF) . في: إنجلبرخت-ويجنز، ر.؛ شوبيك، م.؛ ستارك، ر.م. (محررون). المزادات، والمزايدة، والتعاقد: الاستخدامات والنظرية . نيويورك: مطبعة جامعة نيويورك. ص 165-191 . ISBN  0-8147-7827-5.
  19. ↑ ميلغروم، بول (2004). تطبيق نظرية المزادات عمليًا . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 9780521536721.
  20. ↑ لونبرغر، دي جي (1969). التحسين باستخدام طرق الفضاء المتجهي . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 9780471181170.
  21. 1 2 روكافيلر، آر تي (1970). التحليل المحدب . برينستون: مطبعة جامعة برينستون. ص 280. ISBN  0691015864.{{cite book}}: CS1 maint: publisher location ( link )