تصميم الآلية

لعبة تصميم الآليات هي لعبة معلومات خاصة، حيث يختار أحد الوكلاء، المسمى الموكل، هيكل العوائد. وباتباع هارساني ( 1967 ) ، يتلقى الوكلاء "رسائل" سرية من الطبيعة تحتوي على معلومات ذات صلة بالعوائد. على سبيل المثال، قد تحتوي الرسالة على معلومات حول تفضيلاتهم أو جودة سلعة معروضة للبيع. نُطلق على هذه المعلومات اسم "نوع" الوكيل (يُشار إليه عادةً بـ ${\displaystyle \theta }$وبالتالي مساحة الأنواع${\displaystyle \Theta }$ثم يقوم الوكلاء بإبلاغ المدير بنوع المنتج (عادةً ما يُشار إليه بعلامة قبعة).${\displaystyle {\hat {\theta }}}$قد يكون ذلك كذباً استراتيجياً. بعد التقرير، يتم دفع مستحقات الموكل والوكلاء وفقاً لهيكل العوائد الذي اختاره الموكل.

موعد المباراة هو:

1. يلتزم المدير بآلية${\displaystyle y()}$وهذا يمنح نتيجة${\displaystyle y}$كدالة للنوع المُبلغ عنه
2. يقدم العملاء تقارير، ربما بشكل غير نزيه، عن نمط معين${\displaystyle {\hat {\theta }}}$
3. يتم تنفيذ الآلية (يتلقى العملاء النتيجة)${\displaystyle y({\hat {\theta }})}$)

لفهم من يحصل على ماذا، من الشائع تقسيم النتيجة${\displaystyle y}$إلى تخصيص السلع وتحويل الأموال،${\displaystyle y(\theta )=\{x(\theta ),t(\theta )\},\ x\in X,t\in T}$أين${\displaystyle x}$يرمز إلى تخصيص السلع المقدمة أو المستلمة وفقًا لنوعها، و${\displaystyle t}$يرمز إلى التحويل النقدي كدالة للنوع.

كمعيار مرجعي، غالبًا ما يحدد المصمم ما ينبغي أن يحدث في ظل توفر المعلومات الكاملة. حدد وظيفة الاختيار الاجتماعي${\displaystyle f(\theta )}$ربط ملف تعريف النوع (الحقيقي) مباشرةً بتخصيص البضائع المستلمة أو المقدمة،

${\displaystyle f(\theta ):\Theta \rightarrow Y}$

في المقابل، تقوم آلية ما بربط نوع الملف الشخصي المُبلغ عنه بنتيجة (مرة أخرى، تخصيص السلع).${\displaystyle x}$وتحويل الأموال${\displaystyle t}$)

${\displaystyle y({\hat {\theta }}):\Theta \rightarrow Y}$

تُشكل الآلية المقترحة لعبة بايزية (لعبة معلومات خاصة)، وإذا كانت هذه الآلية حسنة السلوك، فإن اللعبة تمتلك توازن ناش بايزي . عند التوازن، يختار الوكلاء تقاريرهم استراتيجياً كدالة لنوعها.

${\displaystyle {\hat {\theta }}(\theta )}$

يصعب إيجاد توازنات بايزية في مثل هذا السياق، لأنها تتطلب إيجاد أفضل استراتيجيات استجابة للوكلاء، وأفضل استنتاج من كذبة استراتيجية محتملة. وبفضل نتيجة شاملة تُعرف بمبدأ الكشف، بغض النظر عن الآلية، يستطيع المصمم ^{[ 6 ]} حصر الاهتمام بالتوازنات التي يُفصح فيها الوكلاء عن نوعهم بصدق. ينص مبدأ الكشف على ما يلي: "لكل توازن ناش بايزي، توجد لعبة بايزية لها نفس نتيجة التوازن، ولكن يُفصح فيها اللاعبون عن نوعهم بصدق".

هذا مفيد للغاية. يسمح هذا المبدأ بإيجاد توازن بايزي بافتراض أن جميع اللاعبين يُبلغون عن نوعهم بصدق (مع مراعاة قيد توافق الحوافز ). وبذلك، يُغني عن الحاجة إلى النظر في السلوك الاستراتيجي أو الكذب.

برهانها مباشر للغاية. لنفترض لعبة بايزية تكون فيها استراتيجية الوكيل وعائده دالتين لنوعه وما يفعله الآخرون،${\displaystyle u_{i}\left(s_{i}(\theta _{i}),s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)}$. بحسب التعريف، استراتيجية التوازن للوكيل i${\displaystyle s(\theta _{i})}$هل ناش في المنفعة المتوقعة؟

${\displaystyle s_{i}(\theta _{i})\in \arg \max _{s'_{i}\in S_{i}}\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(s'_{i},s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)}$

ببساطة، حدد آلية تحثّ الفاعلين على اختيار نفس التوازن. وأسهل هذه الآليات تعريفًا هي أن تلتزم الآلية بتنفيذ استراتيجيات التوازن الخاصة بالفاعلين نيابةً عنهم.

${\displaystyle y({\hat {\theta }}):\Theta \rightarrow S(\Theta )\rightarrow Y}$

في ظل هذه الآلية، يجد العملاء بالطبع أنه من الأمثل الكشف عن النوع، لأن الآلية تستخدم الاستراتيجيات التي وجدوها مثالية على أي حال. بشكل رسمي، اختر${\displaystyle y(\theta )}$بحيث

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{i}\in {}&\arg \max _{\theta '_{i}\in \Theta }\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(y(\theta '_{i},\theta _{-i}),\theta _{i}\right)\\[5pt]&=\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(s_{i}(\theta ),s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)\end{aligned}}}$

يأمل مصمم الآلية عموماً إما

• لتصميم آلية${\displaystyle y()}$التي "تنفذ" وظيفة الاختيار الاجتماعي
• لإيجاد الآلية${\displaystyle y()}$الذي يحقق أقصى قدر من معيار القيمة (مثل الربح)

لتنفيذ وظيفة الاختيار الاجتماعي${\displaystyle f(\theta )}$يتمثل الهدف في إيجاد دالة نقل معينة${\displaystyle t(\theta )}$وهذا يحفز الوكلاء على الاختيار${\displaystyle f(\theta )}$بصورة رسمية، إذا كان ملف تعريف استراتيجية التوازن في ظل الآلية يتطابق مع نفس تخصيص السلع كدالة اختيار اجتماعي،

${\displaystyle f(\theta )=x\left({\hat {\theta }}(\theta )\right)}$

نقول إن الآلية تنفذ وظيفة الاختيار الاجتماعي.

بفضل مبدأ الكشف، يستطيع المصمم عادةً إيجاد دالة نقل.${\displaystyle t(\theta )}$تطبيق خيار اجتماعي من خلال حل لعبة قول الحقيقة المرتبطة به. إذا وجد الأفراد أنه من الأمثل الإبلاغ بصدق عن النوع،

${\displaystyle {\hat {\theta }}(\theta )=\theta }$

نقول إن مثل هذه الآلية قابلة للتنفيذ بشكل صحيح . وتتمثل المهمة حينها في إيجاد حل قابل للتنفيذ بشكل صحيح.${\displaystyle t(\theta )}$ثمّ نُطبّق دالة النقل هذه على اللعبة الأصلية. تخصيص${\displaystyle x(\theta )}$يمكن تنفيذه بشكل صحيح إذا كانت هناك دالة نقل${\displaystyle t(\theta )}$بحيث

${\displaystyle u(x(\theta ),t(\theta ),\theta )\geq u(x({\hat {\theta }}),t({\hat {\theta }}),\theta )\ \forall \theta ,{\hat {\theta }}\in \Theta }$

والذي يُطلق عليه أيضًا قيد توافق الحوافز (IC).

في التطبيقات، يُعد شرط الدائرة المتكاملة (IC) هو المفتاح لوصف شكل${\displaystyle t(\theta )}$بأي طريقة مفيدة. في ظل ظروف معينة، يمكن حتى عزل دالة التحويل تحليليًا. بالإضافة إلى ذلك، يُضاف أحيانًا قيد المشاركة ( العقلانية الفردية ) إذا كان لدى الفاعلين خيار عدم المشاركة.

يقدم فيكري ( 1961 ) نتيجةً شهيرةً مفادها أن أي عضو في فئة كبيرة من المزادات يضمن للبائع نفس الإيرادات المتوقعة، وأن هذه الإيرادات المتوقعة هي أفضل ما يمكن للبائع تحقيقه. ويتحقق هذا إذا 

1. يمتلك المشترون وظائف تقييم متطابقة (والتي قد تكون دالة للنوع).
2. أنواع المشترين موزعة بشكل مستقل
3. يتم اختيار أنواع المشترين من توزيع مستمر
4. يتميز توزيع النوع بخاصية معدل الخطر الرتيب
5. تبيع الآلية السلعة للمشتري الذي يقدم أعلى تقييم

الشرط الأخير أساسيٌّ للنظرية. ومن تبعاته أنه لكي يحقق البائع عائدًا أعلى، عليه أن يُخاطر ببيع السلعة لوكيلٍ بتقييمٍ أقل. وهذا يعني عادةً أنه يُخاطر بعدم بيع السلعة أصلًا.

قام كلارك (1971 ) وغروفز بتوسيع نموذج مزاد فيكري ( 1961 ) لاحقًا لمعالجة مشكلة الاختيار العام التي يتحمل فيها جميع الفاعلين تكلفة مشروع عام، مثل بناء جسر بلدي. ويمكن لآلية "فيكري-كلارك-غروفز" الناتجة أن تحفز الفاعلين على اختيار التوزيع الأمثل اجتماعيًا للسلعة العامة حتى لو كانت لديهم تقييمات خاصة بهم. وبعبارة أخرى، يمكنها حل " مأساة المشاعات " - في ظل شروط معينة، ولا سيما المنفعة شبه الخطية أو إذا لم يكن توازن الميزانية مطلوبًا. 

تخيل وضعًا يكون فيه${\displaystyle I}$عدد الوكلاء له منفعة شبه خطية مع التقييمات الخاصة${\displaystyle v(x,t,\theta )}$حيث العملة${\displaystyle t}$يتم تقييمها بشكل خطي. يصمم مصمم VCG آلية متوافقة مع الحوافز (وبالتالي قابلة للتنفيذ بشكل صحيح) للحصول على ملف تعريف النوع الحقيقي، والذي من خلاله ينفذ المصمم التخصيص الأمثل اجتماعيًا

${\displaystyle x_{I}^{*}(\theta )\in {\underset {x\in X}{\operatorname {argmax} }}\sum _{i\in I}v(x,\theta _{i})}$

تكمن براعة آلية VCG في تحفيزها للإفصاح الصادق. فهي تقضي على دوافع التضليل من خلال معاقبة أي طرف بتكلفة التشويه الذي يُحدثه. ومن بين التقارير التي يُمكن للطرف تقديمها، تسمح آلية VCG بتقرير "محايد" يُفيد بأنه غير مُبالٍ بالصالح العام ولا يهتم إلا بتحويل الأموال. وهذا يُخرج الطرف فعليًا من اللعبة. إذا اختار الطرف الإبلاغ عن نوعٍ مُعين، فإن آلية VCG تفرض عليه رسومًا إذا كان تقريره محوريًا ، أي إذا غيّر تقريره التخصيص الأمثل x بما يُلحق الضرر بالطرف الآخر. ويتم حساب هذه الرسوم.

${\displaystyle t_{i}({\hat {\theta }})=\sum _{j\in I-i}v_{j}(x_{I-i}^{*}(\theta _{I-i}),\theta _{j})-\sum _{j\in I-i}v_{j}(x_{I}^{*}({\hat {\theta }}_{i},\theta _{I}),\theta _{j})}$

وهو ما يجمع التشوه في منافع العملاء الآخرين (وليس منافعه الخاصة) الناجم عن قيام أحد العملاء بالإبلاغ.

قدم جيبارد ( 1973 ) وساتيرثويت ( 1975 ) نتيجة استحالة مشابهة في جوهرها لنظرية استحالة آرو . بالنسبة لفئة عامة جدًا من الألعاب، لا يمكن تطبيق سوى وظائف الاختيار الاجتماعي "الديكتاتورية" .  

وظيفة الاختيار الاجتماعي${\displaystyle f(\cdot )}$يُعتبر النظام استبدادياً إذا كان أحد الوكلاء يحصل دائماً على حصة السلع المفضلة لديه.

${\displaystyle {\text{for }}f(\Theta ){\text{, }}\exists i\in I{\text{ such that }}u_{i}(x,\theta _{i})\geq u_{i}(x',\theta _{i})\ \forall x'\in X}$

تنص النظرية على أنه في ظل الظروف العامة، يجب أن تكون أي دالة اختيار اجتماعي قابلة للتنفيذ بصدق استبدادية إذا،

1. X مجموعة منتهية وتحتوي على ثلاثة عناصر على الأقل
2. التفضيلات عقلانية
3. ${\displaystyle f(\Theta )=X}$

أظهر مايرسون وساتيرثويت ( 1983 ) أنه لا توجد طريقة فعالة لتبادل سلعة بين طرفين عندما يمتلك كل منهما تقييمًا سريًا ومتغيرًا احتماليًا لها، دون المخاطرة بإجبار أحد الطرفين على التبادل بخسارة. تُعد هذه النتيجة من أبرز النتائج السلبية في علم الاقتصاد، فهي بمثابة انعكاس سلبي للنظريات الأساسية لاقتصاديات الرفاه . 

أثبت فيليبس وماردن (2018) أنه بالنسبة لألعاب تقاسم التكاليف ذات دوال التكلفة المقعرة، فإن قاعدة تقاسم التكاليف المثلى التي تُحسّن أولًا أسوأ حالات عدم الكفاءة في اللعبة (ثمن الفوضى )، ثم تُحسّن ثانيًا أفضل النتائج ( ثمن الاستقرار )، هي تحديدًا قاعدة تقاسم التكاليف لقيمة شابلي. ^{[ 7 ]} وينطبق بيان مماثل على ألعاب تقاسم المنفعة ذات دوال المنفعة المحدبة.

قدّم ميرليس ( 1971 ) نموذجًا يسهل فيه إيجاد دالة التحويل t (). ونظرًا لأهميته وسهولة التعامل معه، يُعدّ هذا النموذج شائعًا في الأدبيات. لنفترض نموذجًا لسلعة واحدة وعامل واحد، حيث يمتلك العامل منفعة شبه خطية ذات مُعامل نوع غير معروف . ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle u(x,t,\theta )=V(x,\theta )-t}$

والتي يكون فيها للموكل دالة توزيع تراكمي سابقة على نوع الوكيل${\displaystyle P(\theta )}$يستطيع الموكل إنتاج السلع بتكلفة هامشية محدبة c ( x ) ويرغب في تعظيم الربح المتوقع من الصفقة

${\displaystyle \max _{x(\theta ),t(\theta )}\mathbb {E} _{\theta }\left[t(\theta )-c\left(x(\theta )\right)\right]}$

يخضع ذلك لشروط هيئة الاتصالات الهندية وهيئة الإيرادات الهندية.

${\displaystyle u(x(\theta ),t(\theta ),\theta )\geq u(x(\theta '),t(\theta '),\theta )\ \forall \theta ,\theta '}$

${\displaystyle u(x(\theta ),t(\theta ),\theta )\geq {\underline {u}}(\theta )\ \forall \theta }$

يمثل هذا الكيان شركة احتكارية تسعى إلى وضع نظام تسعير يحقق لها أقصى ربح، دون أن تتمكن من تحديد نوع العميل. ومن الأمثلة الشائعة على ذلك شركات الطيران التي تحدد أسعار تذاكرها لرجال الأعمال والسياح والطلاب. وبسبب شرط IR، يتعين عليها تقديم عرض مغرٍ لكل فئة من العملاء لتشجيعهم على المشاركة. وبسبب شرط IC، يتعين عليها تقديم عرض مغرٍ لكل فئة بحيث يفضلونه على أي عرض آخر.

تتمثل إحدى الحيل التي قدمها ميرليس (1971) في استخدام نظرية الغلاف لإزالة دالة التحويل من القيمة المتوقعة المراد تعظيمها،

${\displaystyle {\text{let }}U(\theta )=\max _{\theta '}u\left(x(\theta '),t(\theta '),\theta \right)}$

${\displaystyle {\frac {dU}{d\theta }}={\frac {\partial u}{\partial \theta }}={\frac {\partial V}{\partial \theta }}}$

التكامل،

${\displaystyle U(\theta )={\underline {u}}(\theta _{0})+\int _{\theta _{0}}^{\theta }{\frac {\partial V}{\partial {\tilde {\theta }}}}d{\tilde {\theta }}}$

أين${\displaystyle \theta _{0}}$هو نوع من أنواع الفهرس. استبدال المتوافق مع الحوافز${\displaystyle t(\theta )=V(x(\theta ),\theta )-U(\theta )}$في الحد الأقصى،

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbb {E} _{\theta }\left[V(x(\theta ),\theta )-{\underline {u}}(\theta _{0})-\int _{\theta _{0}}^{\theta }{\frac {\partial V}{\partial {\tilde {\theta }}}}d{\tilde {\theta }}-c\left(x(\theta )\right)\right]\\&{}=\mathbb {E} _{\theta }\left[V(x(\theta ),\theta )-{\underline {u}}(\theta _{0})-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial V}{\partial \theta }}-c\left(x(\theta )\right)\right]\end{aligned}}}$

بعد التكامل بالتجزئة. يمكن إيجاد القيمة القصوى لهذه الدالة نقطة بنقطة.

لأن${\displaystyle U(\theta )}$إذا كان التصميم متوافقًا مع الحوافز بالفعل، فيمكن للمصمم التخلي عن قيد التوافق مع الحوافز. وإذا كانت دالة المنفعة تحقق شرط سبنس-ميرليس، فإنها تكون رتيبة.${\displaystyle x(\theta )}$توجد دالة. يمكن التحقق من قيد IR عند التوازن، ورفع أو خفض جدول الرسوم وفقًا لذلك. بالإضافة إلى ذلك، لاحظ وجود معدل خطر في التعبير. إذا كان توزيع النوع يتمتع بخاصية نسبة الخطر الرتيبة، فإن FOC كافٍ لحل t (). إذا لم يكن كذلك، فمن الضروري التحقق مما إذا كان قيد الرتابة (انظر الكفاية ، أعلاه) مُحققًا في كل مكان على طول جداول التخصيص والرسوم. إذا لم يكن كذلك، فيجب على المصمم استخدام طريقة مايرسون.

في بعض التطبيقات، قد يجد المصمم أن شروط الرتبة الأولى لجداول التسعير والتخصيص ليست رتيبة. على سبيل المثال، في الحالة شبه الخطية، يحدث هذا غالبًا عندما لا تكون نسبة المخاطرة رتيبة. وبحسب شرط سبنس-ميرليس، يجب أن تكون جداول التسعير والتخصيص المثلى رتيبة، لذا يجب على المصمم إزالة أي فترة يتغير فيها اتجاه الجدول عن طريق تسويته.

بشكل بديهي، يرى المصمم أنه من الأمثل تجميع أنواع معينة معًا ومنحها نفس العقد. عادةً ما يحفز المصمم الأنواع الأعلى على التميز بمنحها صفقة أفضل. إذا كان عدد الأنواع الأعلى على الهامش قليلًا جدًا، فلن يجد المصمم جدوى من منح الأنواع الأدنى تنازلًا (يُسمى ريع معلوماتها ) مقابل فرض عقد خاص بالأنواع الأعلى.

لنفترض وجود مُحتكر رئيسي يبيع لوكلاء ذوي منفعة شبه خطية، كما في المثال أعلاه. لنفترض جدول التخصيص${\displaystyle x(\theta )}$إن استيفاء شروط الرتبة الأولى له ذروة داخلية واحدة عند${\displaystyle \theta _{1}}$وحوض داخلي واحد في${\displaystyle \theta _{2}>\theta _{1}}$، كما هو موضح على اليمين.

• باتباع مايرسون (1981) قم بتسويتها عن طريق اختيار${\displaystyle x}$مُرضٍ$${\displaystyle \int _{\phi _{2}(x)}^{\phi _{1}(x)}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}(x,\theta )-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \theta \,\partial x}}(x,\theta )-{\frac {\partial c}{\partial x}}(x)\right)d\theta =0}$$أين${\displaystyle \phi _{1}(x)}$هي الدالة العكسية لـ x التي تُسقط على${\displaystyle \theta \leq \theta _{1}}$و${\displaystyle \phi _{2}(x)}$هي الدالة العكسية لـ x التي تُسقط على${\displaystyle \theta \geq \theta _{2}}$. إنه،${\displaystyle \phi _{1}}$يُرجع${\displaystyle \theta }$قبل القمة الداخلية و${\displaystyle \phi _{2}}$يُرجع${\displaystyle \theta }$بعد الحوض الداخلي.
• إذا كانت المنطقة غير الرتيبة لـ${\displaystyle x(\theta )}$يُحدد هذا الجزء حافة مساحة الكتابة، ما عليك سوى ضبطه بالشكل المناسب.${\displaystyle \phi (x)}$قم بتطبيق الدالة (أو كليهما) على نوع الحدود. إذا كانت هناك مناطق متعددة، فراجع كتابًا دراسيًا للاطلاع على إجراء تكراري؛ فقد يكون من الضروري دمج أكثر من حوض واحد معًا.