تكافؤ المقاييس

في الرياضيات ، يُقال إن مقياسين على نفس المجموعة الأساسية متكافئان إذا كانت فضاءات القياس الناتجة تشترك في خصائص معينة. هذا المفهوم يعمم تكافؤ المعايير ليشمل فضاءات قياس عشوائية.

طوال المقال،${\displaystyle X}$سيشير إلى مجموعة غير فارغة و${\displaystyle d_{1}}$و${\displaystyle d_{2}}$سيشير إلى مقياسين على${\displaystyle X}$.

المقياسان${\displaystyle d_{1}}$و${\displaystyle d_{2}}$يُقال إنهما متكافئان طوبولوجيًا إذا كانا يولدان نفس الطوبولوجيا على${\displaystyle X}$غالباً ما يتم حذف الظرف " طوبولوجياً" . ^{[ 1 ]} هناك طرق متعددة للتعبير عن هذه الحالة:

• مجموعة فرعية${\displaystyle A\subseteq X}$يكون${\displaystyle d_{1}}$- افتح إذا وفقط إذا كان${\displaystyle d_{2}}$-يفتح؛
• "عش" الكرات المفتوحة : لأي نقطة${\displaystyle x\in X}$وأي نصف قطر${\displaystyle r>0}$توجد أنصاف أقطار${\displaystyle r',r''>0}$بحيث$${\displaystyle B_{r'}(x;d_{1})\subseteq B_{r}(x;d_{2}){\text{ و }}B_{r''}(x;d_{2})\subseteq B_{r}(x;d_{1}).}$$
• دالة الهوية${\displaystyle I:(X,d_{1})\to (X,d_{2})}$هي دالة متصلة مع دالة عكسية متصلة ؛ أي أنها دالة متماثلة .

الشروط التالية كافية ولكنها ليست ضرورية للتكافؤ الطوبولوجي:

• يوجد تزايد صارم، ومستمر، ودون جمعي${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$بحيث${\displaystyle d_{2}=f\circ d_{1}}$[ ^{2 ]​}
• لكل${\displaystyle x\in X}$توجد ثوابت موجبة${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$بحيث يكون لكل نقطة${\displaystyle y\in X}$،$${\displaystyle \alpha d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq \beta d_{1}(x,y).}$$

مقياسان${\displaystyle d_{1}}$و${\displaystyle d_{2}}$تكون المجموعات على X متكافئة بقوة أو متكافئة ثنائية الشفة (وأحيانًا متكافئة بشكل منتظم على الرغم من أن ذلك مضلل؛ انظر المثال أدناه)، إذا وفقط إذا وُجدت ثوابت موجبة.${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$بحيث يكون لكل${\displaystyle x,y\in X}$،

${\displaystyle \alpha d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq \beta d_{1}(x,y).}$

على عكس الشرط الكافي للتكافؤ الطوبولوجي المذكور أعلاه، يتطلب التكافؤ القوي وجود مجموعة واحدة من الثوابت التي تنطبق على كل زوج من النقاط في${\displaystyle X}$بدلاً من الثوابت المختلفة المحتملة المرتبطة بكل نقطة من${\displaystyle X}$.

التكافؤ القوي بين مقياسين يستلزم التكافؤ الطوبولوجي، ولكن ليس العكس. على سبيل المثال، المقاييس${\displaystyle d_{1}(x,y)=|xy|}$و${\displaystyle d_{2}(x,y)=|\tan(x)-\tan(y)|}$على الفترة${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$متكافئتان طوبولوجيًا، لكنهما ليستا متكافئتين بقوة. في الواقع، هذه الفترة محدودة وفقًا لأحد هذين المقياسين دون الآخر. من جهة أخرى، فإن التكافؤات القوية تُحوّل المجموعات المحدودة دائمًا إلى مجموعات محدودة.

لو${\displaystyle {\mathcal {C}}}$إذا كانت فئة عناصرها جميعها فضاءات مترية، ومورفيزماتها بعض التطبيقات المتصلة (أي فئة فرعية واسعة من فئة Top )، فيمكننا القول إن المقاييس${\displaystyle d_{1},d_{2}}$نكون${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-مكافئ إذا كانت دالة التطابق${\displaystyle I:(X,d_{1})\to (X,d_{2})}$هو تماثل لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

يتم الحصول على التكافؤ الطوبولوجي للمقاييس عن طريق أخذ تشاكلات من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ to be all continuous maps, and strong equivalence is obtained by taking all Lipschitz maps. If the morphisms are taken to be non-expansive maps or isometries, then ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$ are equivalent if and only if ${\displaystyle d_{1}=d_{2}}$. Other examples include to take morphisms to be all similarities, so that ${\displaystyle d_{1}(x,y)=c\cdot d_{2}(x,y)}$ for some ${\displaystyle c>0}$, or all uniformly continuous maps, obtaining uniform equivalence. Uniformly equivalent metrics in this sense do not need to be strongly equivalent. For example, if ${\displaystyle X=[0,1],d_{1}(x,y)=|xy|,d_{2}(x,y)=|x^{2}-y^{2}|}$, then ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$ are uniformly but not strongly equivalent.

When X is a vector space and the two metrics ${\displaystyle d_{1}}$ and ${\displaystyle d_{2}}$ are those induced by norms${\displaystyle \|\cdot \|_{A}}$ and ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$, respectively, then strong equivalence is equivalent to the condition that, for all ${\displaystyle x\in X}$, $${\displaystyle \alpha \|x\|_{A}\leq \|x\|_{B}\leq \beta \|x\|_{A}}$$ For linear operators between normed vector spaces, Lipschitz continuity is equivalent to continuity—an operator satisfying either of these conditions is called bounded.^[3] Therefore, in this case, ${\displaystyle d_{1}}$ and ${\displaystyle d_{2}}$ are topologically equivalent if and only if they are strongly equivalent; the norms ${\displaystyle \|\cdot \|_{A}}$ and ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$ are simply said to be equivalent.

In finite dimensional vector spaces, all metrics induced by a norm, including the euclidean metric, the taxicab metric, and the Chebyshev distance, are equivalent.^[4]

• The continuity of a function is preserved if either the domain or range is remetrized by an equivalent metric, but uniform continuity is preserved only by strongly equivalent metrics.^[5]
• The differentiability of a function ${\displaystyle f:U\to V}$, for ${\displaystyle V}$ a normed space and ${\displaystyle U}$ a subset of a normed space, is preserved if either the domain or range is renormed by an equivalent norm.^[6]
• A metric that is strongly equivalent to a complete metric is also complete; the same is not true of equivalent metrics because homeomorphisms do not preserve completeness. For example, since ${\displaystyle (0,1)}$ and ${\displaystyle \mathbb {R} }$ are homeomorphic, the homeomorphism induces a metric on ${\displaystyle (0,1)}$ which is complete because ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is, and generates the same topology as the usual one, yet ${\displaystyle (0,1)}$ with the usual metric is not complete, because the sequence ${\displaystyle (2^{-n})_{n\in \mathbb {N} }}$ is Cauchy but not convergent. (It is not Cauchy in the induced metric.)