المسافة الإقليدية

في الرياضيات ، تُعرف المسافة الإقليدية بين نقطتين في الفضاء الإقليدي بأنها طول القطعة المستقيمة الواصلة بينهما. ويمكن حسابها من الإحداثيات الديكارتية للنقطتين باستخدام نظرية فيثاغورس ، ولذلك تُسمى أحيانًا بالمسافة الفيثاغورية .

هذه الأسماء مشتقة من اسمي عالمي الرياضيات اليونانيين القدماء إقليدس وفيثاغورس . في الهندسة الاستنتاجية اليونانية، التي تجسدها أصول إقليدس ، لم تُمثل المسافات بأرقام، بل بقطع مستقيمة متساوية الطول، تُعتبر "متساوية". مفهوم المسافة متأصل في أداة الفرجار المستخدمة لرسم الدائرة ، حيث تبعد جميع نقاطها نفس المسافة عن مركز مشترك . لم يُربط مفهوم المسافة بنظرية فيثاغورس إلا في القرن الثامن عشر.

تُعرَّف المسافة بين جسمين غير نقطتين عادةً بأنها أقصر مسافة بين أي زوج من النقاط بينهما. توجد صيغ رياضية لحساب المسافات بين أنواع مختلفة من الأجسام، مثل المسافة من نقطة إلى خط مستقيم . في الرياضيات المتقدمة، عُمِّم مفهوم المسافة ليشمل الفضاءات المترية المجردة ، ودُرست مسافات أخرى غير المسافة الإقليدية. في بعض تطبيقات الإحصاء والتحسين ، يُستخدم مربع المسافة الإقليدية بدلًا من المسافة نفسها.

المسافة الإقليدية هي المثال النموذجي للمسافة في الفضاء المتري ، ^{[ 12 ]} وتخضع لجميع الخصائص المحددة للفضاء المتري: ^{[ 13 ]}

• إنها متناظرة ، مما يعني أنه بالنسبة لجميع النقاط${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$،${\displaystyle d(p,q)=d(q,p)}$أي (على عكس مسافة الطريق في الشوارع ذات الاتجاه الواحد) أن المسافة بين نقطتين لا تعتمد على أي من النقطتين هي نقطة البداية وأيهما هي نقطة الوصول. ^{[ 13 ]}
• وهي موجبة ، مما يعني أن المسافة بين كل نقطتين مختلفتين هي عدد موجب ، بينما المسافة من أي نقطة إلى نفسها تساوي صفرًا. ^{[ 13 ]}
• وهي تخضع لمتباينة المثلث : لكل ثلاث نقاط${\displaystyle p}$،${\displaystyle q}$، و${\displaystyle r}$،${\displaystyle d(p,q)+d(q,r)\geq d(p,r)}$بشكل بديهي، السفر من${\displaystyle p}$ل${\displaystyle r}$عبر${\displaystyle q}$لا يمكن أن تكون أقصر من السفر مباشرة من${\displaystyle p}$ل${\displaystyle r}$[ ^{13 ]​}

خاصية أخرى، وهي متباينة بطليموس ، تتعلق بالمسافات الإقليدية بين أربع نقاط${\displaystyle p}$،${\displaystyle q}$،${\displaystyle r}$، و${\displaystyle s}$ينص على ذلك

$${\displaystyle d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).}$$

بالنسبة للنقاط في المستوى، يمكن إعادة صياغة ذلك على النحو التالي: لكل شكل رباعي ، يكون مجموع حاصل ضرب أضلاعه المتقابلة مساويًا على الأقل لحاصل ضرب قطريه. مع ذلك، تنطبق متباينة بطليموس بشكل أعم على النقاط في الفضاءات الإقليدية مهما كان بُعدها، بغض النظر عن ترتيبها. ^{[ 14 ]} أما بالنسبة للنقاط في الفضاءات المترية غير الإقليدية، فقد لا تكون هذه المتباينة صحيحة. يدرس علم هندسة المسافة الإقليدية خصائص المسافة الإقليدية، مثل متباينة بطليموس، وتطبيقها في اختبار ما إذا كانت مجموعات المسافات المعطاة تنتمي إلى نقاط في فضاء إقليدي. ^{[ 15 ]}

وفقًا لنظرية بيكمان-كوارلز ، فإن أي تحويل للمستوى الإقليدي أو للفضاء الإقليدي ذي الأبعاد الأعلى والذي يحافظ على مسافات الوحدة يجب أن يكون تحويلًا متساوي القياس ، يحافظ على جميع المسافات. ^{[ 16 ]}

المخروط ، هو رسم بياني للمسافة الإقليدية من نقطة الأصل في المستوى

القطع المكافئ ، هو الرسم البياني لمربع المسافة الإقليدية من نقطة الأصل

في العديد من التطبيقات، وخاصة عند مقارنة المسافات، قد يكون من الأنسب حذف الجذر التربيعي الأخير في حساب المسافات الإقليدية، لأن الجذر التربيعي لا يغير الترتيب (${\displaystyle d_{1}^{2}>d_{2}^{2}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle d_{1}>d_{2}}$القيمة الناتجة عن هذا الحذف هي مربع المسافة الإقليدية، وتُسمى مربع المسافة الإقليدية . ^{[ 17 ]} على سبيل المثال، يمكن تحديد الشجرة الممتدة الدنيا الإقليدية باستخدام ترتيب المسافات فقط، وليس قيمها العددية. تُعطي مقارنة مربعات المسافات النتيجة نفسها، ولكنها تتجنب حساب الجذر التربيعي غير الضروري وتتجاوز مشكلات الدقة العددية. ^{[ 18 ]} يمكن التعبير عن مربع المسافة كمعادلة كمجموع مربعات :

$${\displaystyle d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.}$$

إلى جانب استخدامها في مقارنة المسافات، تُعدّ المسافة الإقليدية التربيعية ذات أهمية مركزية في الإحصاء ، حيث تُستخدم في طريقة المربعات الصغرى ، وهي طريقة قياسية لمطابقة التقديرات الإحصائية مع البيانات عن طريق تقليل متوسط ​​مربعات المسافات بين القيم المرصودة والمُقدَّرة، ^{[ 19 ]} كما تُستخدم كأبسط شكل من أشكال التباعد لمقارنة التوزيعات الاحتمالية . ^{[ 20 ]} ويُقابل جمع مربعات المسافات، كما هو الحال في مطابقة المربعات الصغرى، عملية على المسافات (غير المربعة) تُسمى الجمع الفيثاغورسي . ^{[ 21 ]} وفي تحليل التجميع ، يُمكن استخدام مربعات المسافات لتعزيز تأثير المسافات الأطول. ^{[ 17 ]}

لا تُشكّل المسافة الإقليدية التربيعية فضاءً متريًا، لأنها لا تُحقق مُتباينة المثلث. ^{[ 22 ]} ومع ذلك، فهي دالة سلسة ومحدبة تمامًا للنقطتين، على عكس المسافة الإقليدية، التي هي دالة غير سلسة (أزواج النقاط المتساوية القريبة) ومحدبة ولكنها ليست محدبة تمامًا. ولذلك، تُفضّل المسافة التربيعية في نظرية التحسين ، لأنها تسمح باستخدام التحليل المحدب . وبما أن التربيع دالة رتيبة للقيم غير السالبة، فإن تقليل المسافة التربيعية يُكافئ تقليل المسافة الإقليدية، وبالتالي فإن مسألة التحسين متكافئة من حيث أيٍّ منهما، ولكن حلها أسهل باستخدام المسافة التربيعية. ^{[ 23 ]}

يمكن تخزين مجموعة جميع مربعات المسافات بين أزواج النقاط من مجموعة منتهية في مصفوفة المسافة الإقليدية ، ويتم استخدامها بهذا الشكل في هندسة المسافة. ^{[ 24 ]}

في مجالات الرياضيات المتقدمة، عند النظر إلى الفضاء الإقليدي كفضاء متجهي ، يرتبط بُعده بمعيار يُسمى المعيار الإقليدي ، ويُعرَّف بأنه بُعد كل متجه عن نقطة الأصل . من أهم خصائص هذا المعيار، مقارنةً بالمعايير الأخرى، أنه يبقى ثابتًا عند أي دوران للفضاء حول نقطة الأصل. ^{[ 25 ]} وبحسب نظرية دفورتسكي ، فإن كل فضاء متجهي معياري محدود الأبعاد له فضاء جزئي عالي الأبعاد يكون فيه المعيار قريبًا من المعيار الإقليدي؛ والمعيار الإقليدي هو المعيار الوحيد الذي يتمتع بهذه الخاصية. ^{[ 26 ]} ويمكن تعميمه على الفضاءات المتجهة غير المحدودة الأبعاد ^كمعيار L² أو بُعد L² . ^{[ 27 ]} يمنح البُعد الإقليدي الفضاء الإقليدي بنية الفضاء الطوبولوجي ، أي الطوبولوجيا الإقليدية ، حيث تُمثل الكرات المفتوحة (مجموعات جزئية من النقاط التي ^تبعد مسافة أقل من مسافة معينة عن نقطة معينة) جوارًا له . ^{[ 28 ]}

المسافات الشائعة الأخرى في فضاءات الإحداثيات الحقيقية وفضاءات الدوال : ^{[ 29 ]}

• مسافة تشيبيشيف ( مسافة L ^∞ )، والتي تقيس المسافة باعتبارها الحد الأقصى للمسافات في كل إحداثية.
• مسافة سيارة الأجرة ( مسافة L ¹ )، وتسمى أيضًا مسافة مانهاتن، والتي تقيس المسافة كمجموع المسافات في كل إحداثية.
• مسافة مينكوفسكي ( مسافة L ^p )، وهي تعميم يوحد المسافة الإقليدية، ومسافة سيارة الأجرة، ومسافة تشيبيشيف.

بالنسبة للنقاط على الأسطح في ثلاثة أبعاد، يجب التمييز بين المسافة الإقليدية والمسافة الجيوديسية ، وهي طول أقصر منحنى ينتمي إلى السطح. وعلى وجه الخصوص، لقياس المسافات على الدوائر العظمى على الأرض أو غيرها من الأسطح الكروية أو شبه الكروية، تشمل المسافات المستخدمة مسافة هافرسين التي تعطي المسافات على الدوائر العظمى بين نقطتين على الكرة انطلاقًا من خطوط الطول والعرض الخاصة بهما، وصيغة فينسنتي المعروفة أيضًا باسم "مسافة فينسنت" للمسافة على سطح كروي مجوف. ^{[ 30 ]}

المسافة الإقليدية هي المسافة في الفضاء الإقليدي . سُمّي كلا المفهومين نسبةً إلى عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس ، الذي أصبح كتابه "الأصول " مرجعًا أساسيًا في الهندسة لعدة قرون. ^{[ 31 ]} تنتشر مفاهيم الطول والمسافة على نطاق واسع بين الثقافات، ويمكن تأريخها إلى أقدم الوثائق البيروقراطية "البدائية" الباقية من سومر في الألفية الرابعة قبل الميلاد (قبل إقليدس بزمن طويل)، ^{[ 32 ]} ويُفترض أنها تتطور لدى الأطفال في وقت أبكر من مفاهيم السرعة والزمن ذات الصلة. ^{[ 33 ]} لكن مفهوم المسافة، كرقم مُعرّف من نقطتين، لا يظهر فعليًا في كتاب إقليدس " الأصول" . بدلًا من ذلك، يتناول إقليدس هذا المفهوم ضمنيًا، من خلال تطابق القطع المستقيمة، ومقارنة أطوالها، ومفهوم التناسب . ^{[ 34 ]}

نظرية فيثاغورس قديمة أيضاً، لكنها لم تتبوأ مكانتها المحورية في قياس المسافات إلا بعد اختراع الإحداثيات الديكارتية على يد رينيه ديكارت عام 1637. وقد نُشرت صيغة المسافة نفسها لأول مرة عام 1731 على يد ألكسيس كليروت . ^{[ 35 ]} وبسبب هذه الصيغة، تُسمى المسافة الإقليدية أحياناً بالمسافة الفيثاغورية. ^{[ 36 ]} مع أن القياسات الدقيقة للمسافات الطويلة على سطح الأرض، وهي ليست إقليدية، دُرست في العديد من الحضارات منذ العصور القديمة (انظر تاريخ الجيوديسيا )، إلا أن فكرة أن المسافة الإقليدية قد لا تكون الطريقة الوحيدة لقياس المسافات بين النقاط في الفضاءات الرياضية ظهرت لاحقاً، مع صياغة الهندسة غير الإقليدية في القرن التاسع عشر . ^{[ 37 ]} ظهر تعريف المعيار الإقليدي والمسافة الإقليدية للهندسات ذات الأبعاد التي تزيد عن ثلاثة لأول مرة في القرن التاسع عشر، في عمل أوغسطين لويس كوشي . ^{[ 38 ]}