نظرية أويلر الرباعية

تُعرف نظرية أويلر للأشكال الرباعية، أو قانون أويلر للأشكال الرباعية ، نسبةً إلى ليونارد أويلر (1707-1783)، بأنها العلاقة بين أضلاع الشكل الرباعي المحدب وأقطاره. وهي تعميم لقانون متوازي الأضلاع ، الذي بدوره يُمكن اعتباره تعميمًا لنظرية فيثاغورس . ولهذا السبب، يُطلق أحيانًا على إعادة صياغة نظرية فيثاغورس بدلالة الأشكال الرباعية اسم نظرية أويلر-فيثاغورس .

لشكل رباعي محدب ذي أضلاع${\displaystyle a,b,c,d}$، الأقطار${\displaystyle e}$و${\displaystyle f}$، و${\displaystyle g}$بما أن القطعة المستقيمة التي تربط منتصفي القطرين صحيحة، فإن المعادلات التالية تنطبق:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}$

إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع ، فإن منتصفات الأقطار تتطابق بحيث يكون الخط الواصل بينهما${\displaystyle g}$طوله صفر. بالإضافة إلى ذلك، فإن الأضلاع المتوازية متساوية في الطول، وبالتالي فإن نظرية أويلر تُختزل إلى

${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}}$

وهو قانون متوازي الأضلاع.

إذا كان الشكل الرباعي مستطيلاً ، فإن المعادلة تتبسط أكثر لأن القطرين متساويان في الطول أيضاً:

${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}}$

القسمة على 2 تعطي:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=e^{2}}$

بمعنى آخر، في حالة المستطيل، يتم وصف العلاقة بين أضلاع الشكل الرباعي وأقطاره بواسطة نظرية فيثاغورس. ^{[ 1 ]}

استنتج أويلر في الأصل النظرية المذكورة أعلاه كنتيجة لنظرية مختلفة قليلاً تتطلب إدخال نقطة إضافية، ولكنها توفر رؤية هيكلية أكثر.

لشكل رباعي محدب معين${\displaystyle ABCD}$أدخل أويلر نقطة إضافية${\displaystyle E}$بحيث${\displaystyle ABED}$يشكل متوازي أضلاع، وبالتالي تتحقق المساواة التالية:

${\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}}$

المسافة${\displaystyle |CE|}$بين النقطة الإضافية${\displaystyle E}$والنقطة${\displaystyle C}$يمكن اعتبار عدم كون الشكل الرباعي جزءًا من متوازي الأضلاع بمثابة قياس لمدى انحراف الشكل الرباعي عن متوازي الأضلاع.${\displaystyle |CE|^{2}}$^{[ 2 ]} هو مصطلح تصحيح يجب إضافته إلى المعادلة الأصلية لقانون متوازي الأضلاع.

${\displaystyle M}$كونها نقطة المنتصف${\displaystyle AC}$العائد${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2}$. منذ${\displaystyle N}$هي نقطة المنتصف${\displaystyle BD}$وهي أيضاً نقطة المنتصف لـ${\displaystyle AE}$، مثل${\displaystyle AE}$و${\displaystyle BD}$كلاهما قطران من متوازي الأضلاع${\displaystyle ABED}$وهذا ينتج عنه${\displaystyle {\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2}$وبالتالي${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}}$لذلك، يترتب على نظرية التقاطع (وعكسها) أن${\displaystyle CE}$و${\displaystyle NM}$متوازية و${\displaystyle |CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}}$، مما يؤدي إلى نظرية أويلر. ^{[ 2 ]}

يمكن تعميم نظرية أويلر لتشمل مجموعة أكبر من الأشكال الرباعية، بما في ذلك الأشكال المتقاطعة وغير المستوية. وهي تنطبق على ما يسمى بالأشكال الرباعية المعممة ، والتي تتكون ببساطة من أربع نقاط عشوائية في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$متصلة بالحواف بحيث تشكل رسمًا بيانيًا دوريًا . ^{[ 3 ]}

• ديانا هاونسبرغر، ستيفن كينيدي: حافة الكون: الاحتفال بعشر سنوات من مجلة آفاق الرياضيات . جمعية الرياضيات الأمريكية، 2006، رقم ISBN 9780883855553، الصفحات 137-139
• لوكيناث ديبناث: إرث ليونارد أويلر: تكريم بمناسبة مرور ثلاثمائة عام . دار النشر العالمية، 2010، رقم ISBN 9781848165267، الصفحات 105-107
• سي. إدوارد سانديفير: كيف فعلها أويلر . جمعية الرياضيات الأمريكية، 2007، رقم ISBN 9780883855638، الصفحات 33-36
• جيفري أ. كاندال: نظرية أويلر للأشكال الرباعية المعممة . مجلة الرياضيات الجامعية، المجلد 33، العدد 5 (نوفمبر 2002)، الصفحات  403-404 ( JSTOR )
• ديتمار هيرمان: الرياضيات القديمة: Eine Geschichte der Griechischen Mathematik, ihrer Concerne und Lösungen . سبرينغر، 2013، ردمك 9783642376122، ص 418

• وايسشتاين، إريك دبليو. "الرباعي" . عالم الرياضيات .