العدد الأويلري

في علم التوافيق ، العدد الأويلري${\textstyle A(n,k)}$هو عدد التباديل للأعداد من 1 إلى${\textstyle n}$في أي منها بالضبط${\textstyle k}$العناصر أكبر من العنصر السابق (التباديل مع${\textstyle k}$"الصعود").

قام ليونارد أويلر بدراسة هذه المعادلات ومتعددات الحدود المرتبطة بها في كتابه "Institutiones calculi differentialis" الصادر عام 1755. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

رموز أخرى لـ${\textstyle A(n,k)}$نكون${\textstyle E(n,k)}$و${\displaystyle \textstyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle }$.

كثيرات الحدود الأويلرية${\displaystyle A_{n}(t)}$يتم تعريفها بواسطة الدالة المولدة الأسية

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}(t)\,{\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {t-1}{te^{(t-1)\,x}}}=\left(1-{\frac {e^{(t-1)x}-1}{t-1}}\right)^{-1}.}$

الأعداد الأويلرية${\displaystyle A(n,k)}$ويمكن تعريفها أيضاً بأنها معاملات كثيرات حدود أويلر:

${\displaystyle A_{n}(t)=\sum _{k=0}^{n}A(n,k)\,t^{k}.}$

صيغة صريحة لـ${\textstyle A(n,k)}$هو ^{[ 3 ]}

${\displaystyle A(n,k)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {n+1}{i}}(k+1-i)^{n}.}$

• للثابت${\textstyle n}$يوجد تبديل واحد يحتوي على 0 صعود:${\textstyle (n,n-1,n-2,\ldots ,1)}$في الواقع، كما${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$للجميع${\displaystyle n}$،${\textstyle A(n,0)=1}$وهذا يشمل رسمياً مجموعة الأرقام الفارغة،${\textstyle n=0}$وهكذا${\textstyle A_{0}(t)=A_{1}(t)=1}$.
• ل${\textstyle k=1}$الصيغة الصريحة تعني${\textstyle A(n,1)=2^{n}-(n+1)}$، وهو تسلسل في${\displaystyle n}$هذا ما يقول${\textstyle 0,0,1,4,11,26,57,\dots }$.
• عكس التبديل بالكامل باستخدام${\textstyle k}$تُنشئ عمليات الصعود تبديلاً آخر يوجد فيه${\textstyle nk-1}$الصعود. لذلك${\textstyle A(n,k)=A(n,nk-1)}$إذن، هناك أيضًا تبديل واحد يحتوي على${\textstyle n-1}$الصعود، أي التبديل التصاعدي${\textstyle (1,2,\ldots ,n)}$وكذلك${\textstyle A(n,n-1)}$يساوي${\displaystyle 1}$.
• بما أن تبديل الأرقام${\displaystyle 1}$ل${\displaystyle n}$والذي يحتوي${\displaystyle k}$يجب أن تتضمن عمليات الصعود${\displaystyle n-1-k}$الانحدارات، التناظر${\textstyle A(n,k)=A(n,nk-1)}$يُظهر ذلك أن${\textstyle A(n,k)}$كما يحسب عدد التباديل مع${\displaystyle k}$المنحدرات .
• ل${\textstyle k\geq n>0}$، القيم تساوي صفرًا رسميًا، مما يعني وجود العديد من عمليات الجمع على${\textstyle k}$يمكن كتابتها باستخدام فهرس علوي حتى${\textstyle n-1}$وهذا يعني أيضاً أن كثيرات الحدود${\displaystyle A_{n}(t)}$هي بالفعل من الدرجة${\textstyle n-1}$ل${\textstyle n>0}$.

يُطلق على ترتيب الأرقام في مصفوفة مثلثية اسم مثلث أويلر . وهو يشترك في بعض الخصائص مع مثلث باسكال . قيم${\textstyle A(n,k)}$(التسلسل A008292 في OEIS ) لـ${\textstyle 0\leq n\leq 9}$نكون:

ك ن	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	1
1	1
2	1	1
3	1	4	1
4	1	11	11	1
5	1	26	66	26	1
6	1	57	302	302	57	1
7	1	120	1191	2416	1191	120	1
8	1	247	4293	15619	15619	4293	247	1
9	1	502	14608	88234	156190	88234	14608	502	1

بالنسبة للقيم الأكبر من${\textstyle n}$،${\textstyle A(n,k)}$ويمكن أيضًا حسابها باستخدام الصيغة التكرارية ^{[ 4 ]}

${\displaystyle A(n,k)=(nk)A(n-1,k-1)+(k+1)A(n-1,k).}$

يمكن استنباط هذه الصيغة من التعريف التوافقي، وبالتالي فهي بمثابة نقطة انطلاق طبيعية للنظرية.

بالنسبة للقيم الصغيرة لـ${\textstyle n}$و${\textstyle k}$، قيم${\textstyle A(n,k)}$يمكن حسابها يدويًا. على سبيل المثال

ن	ك	التباديل	أ ( ن ، ك )
1	0	(1)	A (1,0) = 1
2	0	(2، 1)	A (2,0) = 1
	1	(1، 2 )	A (2,1) = 1
3	0	(3، 2، 1)	A (3,0) = 1
	1	(1، 3 ، 2)، (2، 1، 3 )، (2، 3 ، 1) و(3، 1، 2 )	A (3,1) = 4
	2	(1، 2 ، 3 )	A (3,2) = 1

بتطبيق العلاقة التكرارية على مثال واحد، قد نجد

${\displaystyle A(4,1)=(4-1)\,A(3,0)+(1+1)\,A(3,1)=3\cdot 1+2\cdot 4=11.}$

وبالمثل، يمكن حساب كثيرات حدود أويلر عن طريق التكرار.

${\displaystyle A_{0}(t)=1,}$

${\displaystyle A_{n}(t)=A_{n-1}'(t)\cdot t\,(1-t)+A_{n-1}(t)\cdot (1+(n-1)\,t),{\text{ for }}n>1.}$

يمكن صياغة الصيغة الثانية في شكل استقرائي،

${\displaystyle A_{n}(t)=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}A_{k}(t)\cdot (t-1)^{n-1-k},{\text{ for }}n>1.}$

لأي تجزئة لمجموعة منتهية إلى مجموعات جزئية منفصلة ، ​​يكون مجموع عدد عناصر الأجزاء مساوياً لعدد عناصر المجموعة الكاملة. بما أن هناك${\displaystyle n!}$( مضروب​${\displaystyle n}$) تباديل من الحجم${\displaystyle n}$وبما أن أعداد أويلر تعطي عدد عناصر المجموعات الجزئية لهذه التبديلات ذات عدد ثابت من الانحدارات، فإن ذلك يترتب عليه أن $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}A(n,k)=n!\,.}$$ (المجموع)${\displaystyle k=n}$يساوي صفرًا لـ${\displaystyle n>0}$، ولكن يتم تضمينها لإعطاء المجموع الصحيح${\displaystyle A(0,0)=0!}$متى${\displaystyle n=0}$.) وبشكل أعم بكثير، بالنسبة لدالة ثابتة${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$قابلة للتكامل على الفترة${\displaystyle [0,n]}$، تتحقق الهوية التالية: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}A(n,k)\,f(k)=n!\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(\left\lfloor x_{1}+\cdots +x_{n}\right\rfloor \right)dx_{1}\cdots dx_{n}.}$

هوية ووربيتزكي تعبر عن${\textstyle x^{n}}$باعتبارها تركيبة خطية من أعداد أويلر ذات معاملات ذات حدين :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}A(n,k){\binom {x+k}{n}}=x^{n}.}$

ويترتب على ذلك أن

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}k^{n}=\sum _{k=0}^{n-1}A(n,k){\binom {m+k+1}{n+1}}.}$

سُميت هذه الهوية نسبةً إلى يوليوس وربيتزكي، الذي اكتشفها في ثمانينيات القرن التاسع عشر؛ ^{[ 6 ]} وقد اكتشفها لي شانلان في الأصل قبل ذلك بقليل في كتابه "دو جي بي لي" عام 1867. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

تظهر أعداد أويلر كمعاملات للوغاريتم المتعدد للمدخلات الصحيحة السالبة:$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)={1 \over (1-z)^{n+1}}\sum _{k=0}^{n-1}A(n,k)z^{n-k}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$

للأعداد الأويلرية تفسيران هندسيان مهمان يتعلقان بالمضلعات المحدبة .

أولاً وقبل كل شيء، الهوية

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(i+1)^{n}x^{i}={\frac {1}{(1-x)^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}A(n,k)\,x^{k}}$

وهذا يعني أن أعداد أويلر تشكل${\displaystyle h^{\ast }}$متجه المعيار${\displaystyle n}$المكعب الفائق ذو الأبعاد n ، وهو الغلاف المحدب لجميع${\displaystyle 0,1}$-المتجهات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

ثانياً، الهوية $${\displaystyle A_{n}(t)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}k!(t-1)^{n-k}}$$ وهذا يعني أن أعداد أويلر تشكل أيضًا${\displaystyle h}$متجه متعدد السطوح البسيط الذي هو ثنائي لـ${\displaystyle n}$المجسم التبادلي ذو الأبعاد n ، وهو الغلاف المحدب لجميع تباديل المتجه${\displaystyle (1,2,\ldots ,n)}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

المجموعة فائقة الثمانيات من الرتبة${\displaystyle n}$هي مجموعة جميع التباديل الموقعة للأعداد${\displaystyle 1}$ل${\displaystyle n}$، بمعنى التقابل${\displaystyle \pi }$من المجموعة${\displaystyle \{-n,-n+1,\ldots ,-1,1,2,\ldots ,n\}}$لنفسه بالخاصية التي${\displaystyle \pi (-i)=-\pi (i)}$للجميع${\displaystyle i}$تمامًا مثل المجموعة المتناظرة من الرتبة${\displaystyle n}$(أي مجموعة جميع تباديل الأرقام)${\displaystyle 1}$ل${\displaystyle n}$) هي مجموعة كوكسيتر من النوع${\displaystyle A_{n-1}}$، المجموعة فائقة الثمانيات من الرتبة${\displaystyle n}$هي مجموعة كوكسيتر من النوع${\displaystyle B_{n}}$.

بالنظر إلى عنصر${\displaystyle \pi }$من المجموعة فائقة السطوح ذات الترتيب${\displaystyle n}$انحدار من النوع ب${\displaystyle \pi }$هو فهرس${\displaystyle i\in \{0,1,\ldots ,n-1\}}$والتي${\displaystyle \pi (i)>\pi (i-1)}$، مع الاتفاق على أن${\displaystyle \pi (0)=0}$العدد الأويلري من النوع ب${\displaystyle B(n,k)}$هو عدد عناصر المجموعة الفائقة الثمانية السطوح من الرتبة${\displaystyle n}$بالضبط${\displaystyle k}$الانحدارات. ^{[ 10 ]} يتم إعطاؤها بالصيغة التالية: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle B(n,k)=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {n}{k-i}}(2i-1)^{n-1}.}$

جدول${\displaystyle B(n,k)}$(التسلسل A060187 في OEIS ) هو

ك ن	0	1	2	3	4	5
0	1
1	1	1
2	1	6	1
3	1	23	23	1
4	1	76	230	76	1
5	1	237	1682	1682	237	1

كثيرات الحدود المقابلة${\displaystyle M_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}B(n,k)x^{k}}$تُسمى هذه الدوال متعددة الحدود الأويلرية ذات نقطة المنتصف نظرًا لاستخدامها في الاستيفاء ونظرية الدوال التكعيبية؛ انظر شونبيرج. ^{[ 12 ]}

تُحقق أعداد ومتعددات حدود أويلر من النوع B العديد من المتطابقات المتشابهة، ولها العديد من الخصائص المشابهة لأعداد ومتعددات حدود أويلر من النوع A، أي الأعداد والمتعددات الحدود المعتادة. على سبيل المثال، لأي${\displaystyle n\geq 1}$،

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(2i+1)^{n}x^{i}={\frac {M_{n}(x)}{(1-x)^{n+1}}}.}$

وتعطي أعداد أويلر من النوع B متجه h للمتعدد السطوح البسيط المزدوج للنوع B من متعدد السطوح التبادلي.

في الواقع، يمكن تعريف أعداد أويلر لأي مجموعة كوكسيتر منتهية بخصائص مماثلة. ^{[ 13 ]}

تباديل المجموعة المتعددة${\textstyle \{1,1,2,2,\ldots ,n,n\}}$والتي تتميز بخاصية أنه لكل قيمة k ، يتم حساب جميع الأعداد التي تظهر بين ظهورين متتاليين لـ k في التبديل والتي تكون أكبر من k باستخدام العدد المضروب المزدوج.${\textstyle (2n-1)!!}$تُسمى هذه التباديل بتباديل ستيرلينغ .

العدد الأويلري من الرتبة الثانية، ويرمز له بـ${\textstyle \left\langle \!\left\langle {n \atop m}\right\rangle \!\right\rangle }$، يحسب عدد جميع تباديل ستيرلينغ التي تحتوي على m صعودًا بالضبط. على سبيل المثال، بالنسبة لـ n = 3، يوجد 15 تبديلاً من هذا القبيل، تبديل واحد بدون صعود، و8 تباديل بصعود واحد، و6 تباديل بصعودين:

332211،

221133، 221331، 223311، 233211، 113322، 133221، 331122، 331221،

112233، 122133، 112332، 123321، 133122، 122331.

تحقق أعداد أويلر من الدرجة الثانية علاقة التكرار، التي تتبع مباشرة من التعريف أعلاه:

${\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {n \atop k}\right\rangle \!\!\right\rangle =(2n-k-1)\left\langle \!\!\left\langle {n-1 \atop k-1}\right\rangle \!\!\right\rangle +(k+1)\left\langle \!\!\left\langle {n-1 \atop k}\right\rangle \!\!\right\rangle ,}$

مع الشرط الابتدائي لـ n = 0، معبراً عنه بصيغة أقواس إيفرسون :

${\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {0 \atop k}\right\rangle \!\!\right\rangle =[k=0].}$

وبالمثل، فإن كثير الحدود الأويلري من الدرجة الثانية، والذي يُرمز إليه هنا بـ P _n (لا يوجد رمز قياسي له) هو

${\displaystyle P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}\left\langle \!\!\left\langle {n \atop k}\right\rangle \!\!\right\rangle x^{k}}$

وتُترجم علاقات التكرار المذكورة أعلاه إلى علاقة تكرار للمتتالية P _n ( x ):

${\displaystyle P_{n+1}(x)=(2nx+1)P_{n}(x)-x(x-1)P_{n}^{\prime }(x)}$

مع الشرط الابتدائي${\displaystyle P_{0}(x)=1}$يمكن كتابة التكرار الأخير بشكل أكثر إيجازًا باستخدام عامل التكامل :

${\displaystyle (x-1)^{-2n-2}P_{n+1}(x)=\left(x\,(1-x)^{-2n-1}P_{n}(x)\right)^{\prime }}$

بحيث تكون الدالة الكسرية

${\displaystyle u_{n}(x):=(x-1)^{-2n}P_{n}(x)}$

يفي بشرط التكرار الذاتي البسيط:

${\displaystyle u_{n+1}=\left({\frac {x}{1-x}}u_{n}\right)^{\prime },\quad u_{0}=1}$

ومن ثمّ نحصل على كثيرات حدود أويلر من الدرجة الثانية كما يلي${\textstyle P_{n}(x)=(1-x)^{2n}u_{n}(x)}$، والأعداد الأويلرية من الدرجة الثانية كمعاملات لها.

تحقق كثيرات حدود أويلر من الدرجة الثانية متطابقة مماثلة للمتطابقة

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }i^{n}x^{i}={\frac {xA_{n}(x)}{(1-x)^{n+1}}}}$

تُحقق هذه المعادلات باستخدام كثيرات حدود أويلر المعتادة. وعلى وجه التحديد، كما أثبت جيسيل وستانلي ^{[ 14 ]} ، فإنها تُحقق المتطابقة

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\left\{{n+m \atop m}\right\}x^{m}={\frac {xP_{n}(x)}{(1-x)^{2n+1}}}}$

أين مرة أخرى${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}}$تشير إلى أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني . (يُفسر هذا الظهور لأعداد ستيرلينغ مصطلح " تباديل ستيرلينغ ").

يعرض الجدول التالي الأعداد القليلة الأولى من الأعداد الأويلرية من الدرجة الثانية:

ك ن	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	1
1	1
2	1	2
3	1	8	6
4	1	22	58	24
5	1	52	328	444	120
6	1	114	1452	4400	3708	720
7	1	240	5610	32120	58140	33984	5040
8	1	494	19950	195800	644020	785304	341136	40320
9	1	1004	67260	1062500	5765500	12440064	11026296	3733920	362880

مجموع الصف رقم n ، وهو أيضاً القيمة${\textstyle P_{n}(1)}$، يكون${\textstyle (2n-1)!!}$.

يأتي فهرسة أعداد أويلر من الدرجة الثانية بثلاثة أنواع:

• (التسلسل A008517 في OEIS ) وفقًا لريوردان وكومتيت،
• (التسلسل A201637 في OEIS ) بعد غراهام، وكنوث، وباتاشنيك،
• (التسلسل A340556 في OEIS ) ، توسيع تعريف Gessel و Stanley.

• أويروس، ليوناردوس [ليونارد أويلر] (1755). مؤسسات حساب التفاضل والتكامل مع تطبيقاتها على التحليل المحدود والمتسلسلات . الأكاديمية الإمبراطورية العلمية بتروبوليتانا؛ بيروليني: أوفيسينا ميكايليس.
• كارليتز، ل. (1959). "أعداد أويلر ومتعددات الحدود". مجلة الرياضيات 32 (5): 247-260 . doi : 10.2307/3029225 . JSTOR 3029225 . 
• كومتيه، لويس (1974). التوافقية المتقدمة: فن التوسعات المحدودة وغير المحدودة (ملف PDF) . دوردريخت: سبرينغر هولندا. ISBN 978-94-010-2198-2.
• جولد، إتش دبليو (1978). "تقييم مجاميع القوى الملتفة باستخدام أعداد ستيرلينغ وأويلر" . مجلة فيبروني الفصلية 16 ( 6): 488-497 . doi : 10.1080/00150517.1978.12430271 .
• ديزارمينين، جاك؛ فواتا، دومينيك (1992). "الأعداد الإيلرية الموقعة" . الرياضيات المتقطعة . 99 ( 1-3 ): 49-58 . doi : 10.1016/0012-365X(92)90364-L .
• ليسيور، ليونس؛ نيكولا، جان لويس (1992). "في الأعداد الأويليرية M=max (A(n,k))" . أوروبا. جيه كومبينات . 13 (5): 379-399 . دوى : 10.1016 / S0195-6698 (05)80018-6 .
• بوتزر، بل؛ هاوس، م. (1993). "أرقام أويلرية ذات معلمات ترتيب كسري" . المعادلات الرياضية . 46 ( 1 – 2): 119 – 142. دوى : 10.1007 / bf01834003 . S2CID 121868847 . 
• كوتراس، إم في (1994). "الأعداد الأويلرية المرتبطة بمتتاليات كثيرات الحدود" . مجلة فيبروني الفصلية . 32 (1): 44-57 . doi : 10.1080/00150517.1994.12429255 .
• غراهام، رونالد ؛ كنوت، دونالد ؛ باتاشنيك، أورين (1994). الرياضيات الملموسة : أساس لعلوم الحاسوب (  الطبعة الثانية). أديسون-ويسلي. الصفحات 267-272 . 
• هسو، ليتش سي .؛ جاو-شيونغ شيو، بيتر (1999). "حول بعض مسائل الجمع وتعميمات كثيرات حدود وأعداد أويلر" . الرياضيات المتقطعة . 204 ( 1-3 ): 237-247 . doi : 10.1016/S0012-365X(98)00379-3 .
• بويادجييف، خريستو ن. (2007). "دوال أبوستول-برنولي، ومتعددات الحدود المشتقة، ومتعددات حدود أويلر". arXiv : 0710.1124 [ math.CA ].
• بيترسن، ت. كايل (2015). “أرقام أويلريان”. Birkhäuser النصوص المتقدمة Basler Lehrbücher. بيركهوسر. ص 3 – 18. دوى : 10.1007/978-1-4939-3091-3_1 . رقم ISBN  978-1-4939-3090-6.{{cite book}}: مفقود أو فارغ |title=( مساعدة )

• كثيرات الحدود الأويلرية في ويكي OEIS .
• "الأعداد الأويلرية" . MathPages.com .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "العدد الأويلري" . عالم الرياضيات .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "مثلث أويلر العددي" . عالم الرياضيات .
• وايسستين ، إريك دبليو. “هوية ووربيتسكي” . عالم الرياضيات .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "المثلث الأويلري من الدرجة الثانية" . عالم الرياضيات .
• مصفوفة أويلر (مؤشرات الصفوف المعممة، الجمع المتباعد)