قوس إيفرسون

نستنتج آلياً قاعدة معروفة لمعالجة المجموع باستخدام أقواس إيفرسون: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k\in A}f(k)+\sum _{k\in B}f(k)&=\sum _{k}f(k)\,[k\in A]+\sum _{k}f(k)\,[k\in B]\\&=\sum _{k}f(k)\,([k\in A]+[k\in B])\\&=\sum _{k}f(k)\,([k\in A\cup B]+[k\in A\cap B])\\&=\sum _{k\in A\cup B}f(k)\ +\sum _{k\in A\cap B}f(k).\end{aligned}}}$$

القاعدة المعروفة${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ويمكن استنتاج ذلك بسهولة أيضاً: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}\,\sum _{k=1}^{j}f(j,k)&=\sum _{j,k}f(j,k)\,[1\leq j\leq n]\,[1\leq k\leq j]\\&=\sum _{j,k}f(j,k)\,[1\leq k\leq j\leq n]\\&=\sum _{j,k}f(j,k)\,[1\leq k\leq n]\,[k\leq j\leq n]\\&=\sum _{k=1}^{n}\,\sum _{j=k}^{n}f(j,k).\end{محاذاة}}}$$

على سبيل المثال، يمكن التعبير عن دالة أويلر التي تحسب عدد الأعداد الصحيحة الموجبة حتى n والتي تكون أولية فيما بينها مع n بالصيغة التالية:$${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1],\qquad {\text{for }}n\in \mathbb {N} ^{+}.}$$

يُستخدم قوس إيفرسون أيضًا لتبسيط المعادلات ذات الحالات الخاصة. على سبيل المثال، الصيغة $${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n)}$$

تكون هذه المتطابقة صالحة لقيم n > 1، ولكنها تختلف بمقدار 1/2 لقيم n = 1. للحصول على متطابقة صالحة لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n (أي جميع القيم التي تحقق الشرط التالي :${\displaystyle \varphi (n)}$(إذا تم تعريفها)، يمكن إضافة مصطلح تصحيح يتضمن قوس إيفرسون: $${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n{\Big (}\varphi (n)+[n=1]{\Big )}}$$

يمكن التعبير عن العديد من الدوال الشائعة، وخاصة تلك التي لها تعريف طبيعي متعدد الأجزاء ، باستخدام قوس إيفرسون. يُعد ترميز دلتا كرونكر حالة خاصة من ترميز إيفرسون عندما يكون الشرط هو المساواة. أي، $${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j].}$$

دالة المؤشر لمجموعة${\displaystyle A}$، وغالبًا ما يُشار إليه${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)}$،${\displaystyle \mathbf {I} _{A}(x)}$أو${\displaystyle \chi _{A}(x)}$، عبارة عن قوس إيفرسون بشرط عضوية المجموعة: $${\displaystyle \mathbf {I} _{A}(x)=[x\in A].}$$

يمكن أيضًا التعبير بسهولة عن دالة هيفسايد المتدرجة ، ودالة الإشارة ، ^{[ 1 ]} ودالة القيمة المطلقة بهذه الصيغة: $${\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=[x\geq 0],\\\operatorname {sgn}(x)&=[x>0]-[x<0],\end{aligned}}}$$

و $${\displaystyle {\begin{aligned}|x|&=x[x>0]-x[x<0]\\&=x([x>0]-[x<0])\\&=x\cdot \operatorname {sgn}(x).\end{aligned}}}$$

يمكن كتابة دالتي المقارنة max و min (اللتان تُرجعان القيمة الأكبر أو الأصغر من بين وسيطين) على النحو التالي: $${\displaystyle \max(x,y)=x[x>y]+y[x\leq y]}$$و $${\displaystyle \min(x,y)=x[x\leq y]+y[x>y].}$$

يمكن التعبير عن وظائف الأرضية والسقف على النحو التالي :$${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\sum _{n}n\cdot [n\leq x<n+1]}$$ و $${\displaystyle \lceil x\rceil =\sum _{n}n\cdot [n-1<x\leq n],}$$ حيث الفهرس${\displaystyle n}$من المفهوم أن عملية الجمع تشمل جميع الأعداد الصحيحة.

يمكن التعبير عن دالة المنحدر على النحو التالي$${\displaystyle R(x)=x\cdot [x\geq 0].}$$

إن تقسيم الأعداد الحقيقية إلى ثلاثة أجزاء يعادل الهوية التالية: $${\displaystyle [a<b]+[a=b]+[a>b]=1.}$$

تتمتع دالة موبيوس بالخاصية (ويمكن تعريفها بالتكرار على النحو ^{[ 4 ]} ) $${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)=[n=1],}$$أين${\displaystyle d|n}$يعني ذلك أن المجموع يُحسب على جميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle d}$التي هي قواسم لـ${\displaystyle n}$.