أرقام أويلر

تعبر الصيغتان التاليتان عن أعداد أويلر بدلالة أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني : ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle E_{n}=2^{2n-1}\sum _{\ell =1}^{n}{\frac {(-1)^{\ell }S(n,\ell )}{\ell +1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{\overline {\ell {\phantom {.}}}}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{\overline {\ell {\phantom {.}}}}\right),}$

${\displaystyle E_{2n}=-4^{2n}\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }\cdot {\frac {S(2n,\ell )}{\ell +1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{\overline {\ell {\phantom {.}}}},}$

أين${\displaystyle S(n,\ell )}$تشير إلى أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني ، و${\displaystyle x^{\overline {\ell {\phantom {.}}}}=(x)(x+1)\cdots (x+\ell -1)}$يشير إلى المضروب المتزايد .

يمكن تعريف أعداد أويلر من خلال التكرار

${\displaystyle E_{2n}=-\sum _{k=1}^{n}{\binom {2n}{2k}}E_{2(nk)},}$

أو ما يعادل ذلك

${\displaystyle 1=-\sum _{k=1}^{n}{\binom {2n}{2k}}E_{2k},}$

يمكن إيجاد كلتا هاتين العلاقتين التكراريتين باستخدام حقيقة أن

${\displaystyle \cos(x)\sec(x)=1.}$

تعبر الصيغتان التاليتان عن أعداد أويلر كمجموعات مزدوجة ^{[ 3 ]}

$$$

${\displaystyle E_{2n}=\sum _{k=0}^{2n}(-1)^{k}{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^{2k}(-1)^{\ell }{\binom {2k}{\ell }}(k-\ell )^{2n}.}$

الصيغة الصريحة لأعداد أويلر هي

${\displaystyle E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{\ell =0}^{k}{\binom {k}{\ell }}{\frac {(-1)^{\ell }(k-2\ell )^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}},}$

حيث يرمز i إلى الوحدة التخيلية مع i ² = −1 . ^{[ 4 ]}

يمكن التعبير عن عدد أويلر E _{2 n} كمجموع على التقسيمات الزوجية لـ 2 n ، ^{[ 5 ]}

${\displaystyle E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},}$

بالإضافة إلى مجموع على التقسيمات الفردية لـ 2 n − 1 ، ^{[ 6 ]}

${\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},}$

حيث في كلتا الحالتين K = k ₁ + ··· + k _n و

${\displaystyle {\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}}$

هو معامل متعدد الحدود . تقيد دلتا كرونكر في الصيغ أعلاه المجاميع على k s إلى 2 k ₁ + 4 k ₂ + ... + 2 nk _n = 2 n وإلى k ₁ + 3 k ₂ + ... + (2 n − 1) k _n = 2 n − 1 ، على التوالي.

على سبيل المثال،

$\displaystyle \begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\[6pt]&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\[6pt]&=-50\,521.\end{aligned}}}$

E _{2 n} معطى بواسطة المحدد

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

يُعطى E _{2 n أيضًا بالتكاملات التالية:}

$\begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\;dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\;dx\\[8pt]&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int \int_{0}^{\pi/2}\log^{2n}\left(\tan{\frac{x}{2}}\right)\,dx\\[8pt]&={\frac{2^{2n+3}}{\pi^{2n+2}}}\int_{0}^{\pi/2}x\log^{2n}(\tan x)\,dx=\left({\frac{2}{\pi}}\right)^{2n+2}\int_{0}^{\pi}{\frac{x}{2}}\log^{2n}\left(\tan{\frac{x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$