طريقة أويلر-ماروياما

في حساب إيتو ، تُعدّ طريقة أويلر-ماروياما (وتُسمى أيضًا ببساطة طريقة أويلر ) طريقةً لإيجاد الحل العددي التقريبي لمعادلة تفاضلية عشوائية . وهي امتداد لطريقة أويلر للمعادلات التفاضلية العادية لتشمل المعادلات التفاضلية العشوائية، وقد سُميت نسبةً إلى ليونارد أويلر وجيزيرو ماروياما . ولا يمكن تطبيق هذا التعميم على أي طريقة حتمية أخرى. ^{[ 1 ]}

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية العشوائية (انظر حساب إيتو )

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=a(X_{t},t)\,\mathrm {d} t+b(X_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t},}$

بافتراض الشرط الابتدائي X₀ = x₀ _، حيث _يرمز Wₜ إلى عملية وينر ، ولنفترض أننا نرغب في حل هذه المعادلة التفاضلية العشوائية على فترة زمنية ما [0, T ]. عندئذٍ، _يكون تقريب أويلر-ماروياما للحل الحقيقي X هو سلسلة ماركوف Y المعرفة على النحو التالي:   

• قسّم الفترة [0، T ] إلى N فترات فرعية متساوية العرض ${\displaystyle \Delta t>0}$:

${\displaystyle 0=\tau _{0}<\tau _{1}<\cdots <\tau _{N}=T{\text{ و }}\Delta t=T/N;}$

• اجعل Y ₀  = x ₀ 
• عرّف Y _n بشكل متكرر لـ 0  ≤ n ≤ N-1 بواسطة   

${\displaystyle \,Y_{n+1}=Y_{n}+a(Y_{n},\tau _{n})\,\Delta t+b(Y_{n},\tau _{n})\,\Delta W_{n},}$

أين

${\displaystyle \Delta W_{n}=W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}}.}$

المتغيرات العشوائية Δ W _n هي متغيرات عشوائية طبيعية مستقلة وموزعة بشكل متطابق بقيمة متوقعة صفر وتباين Δ t .

كما هو الحال مع طرق التقريب الأخرى، يتم تحليل دقة مخطط أويلر-ماروياما من خلال مقارنته بحل مستمر أساسي.${\displaystyle X}$يشير إلى عملية إيتو على${\displaystyle [0,T]}$، يساوي

${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\mu (s,X_{s})ds+\int _{0}^{t}\sigma (s,X_{s})dW_{s}}$

في ذلك الوقت${\displaystyle t\in [0,T]}$، أين${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \sigma }$تشير إلى دالتي "الانجراف" و"الانتشار" الحتميتين، على التوالي، و${\displaystyle W_{t}}$هي عملية وينر . حيث يتم عادةً تقييم التقريبات المنفصلة للعمليات المستمرة من خلال المقارنة بين حالاتها النهائية عند${\displaystyle T>0}$، يُعد معيار التقارب الطبيعي لمثل هذه العمليات المنفصلة هو

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\mathbb {E} \left[\left|{\hat {X}}_{N}-X_{T}\right|\right]=0.}$

هنا،${\displaystyle {\hat {X}}_{N}}$يتوافق مع الحالة النهائية للعملية المنفصلة${\displaystyle {\hat {X}}}$، وهو ما يقارب${\displaystyle X_{T}}$عن طريق أخذ${\displaystyle N}$خطوات طولية${\displaystyle \Delta t=T/N}$[ ^{2 ]} يُقال إن المخططات التكرارية التي تحقق الشرط المذكور أعلاه تتقارب بقوة نحو العملية ^{المستمرة}${\displaystyle X}$وهذا يعني تلقائياً استيفاءها لمعيار التقارب الضعيف،

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left|\mathbb {E} \left[g({\hat {X}}_{N})\right]-\left[g(X_{T})\right]\right|=0,}$

لأي دالة محدودة ومتصلة${\displaystyle g}$[ ^{3 ] وبشكل أكثر} تحديدًا، إذا كان هناك ثابت${\displaystyle K}$و${\displaystyle \gamma _{s},\delta _{0}>0}$بحيث

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left|{\hat {X}}_{N}-X_{T}\right|\right]\leq K\delta _{0}^{\gamma _{s}}}$

لأي${\displaystyle \delta \in (0,\delta _{0})}$، يتقارب التقريب بقوة مع الرتبة${\displaystyle \gamma _{s}}$إلى العملية المستمرة${\displaystyle X}$؛ على نفس المنوال،${\displaystyle {\hat {X}}}$يتقارب بشكل ضعيف إلى${\displaystyle X}$مع الطلب${\displaystyle \gamma _{w}}$إذا كانت نفس المتباينة تنطبق على توقع${\displaystyle g({\hat {X}}_{N})-g(X_{T})}$طلب قوي${\displaystyle \gamma _{s}}$التقارب يعني وجود ترتيب ضعيف${\displaystyle \gamma _{w}\geq \gamma _{s}}$التقارب: على سبيل المثال، تم إثبات في عام 1972 ^{[ 4 ]} أن طريقة أويلر-ماروياما تتقارب بقوة من الرتبة${\displaystyle \gamma _{s}=1/2}$لأي عملية من عمليات إيتو، شريطة${\displaystyle \mu ,\sigma }$تحقق شروط استمرارية ليبشيتز وشروط النمو الخطي فيما يتعلق بـ${\displaystyle x}$وفي عام 1974، تم إثبات أن مخطط أويلر-ماروياما يتقارب تقاربًا ضعيفًا من الرتبة${\displaystyle \gamma _{w}=1}$إلى عمليات إيتو التي تخضع لنفس ذلك${\displaystyle \mu ,\sigma }$[ ^{5 ]} بشرط أن تستوفي مشتقاتها أيضًا شروطًا مماثلة ^{. [ 6 ]}

تُعد الحركة البراونية الهندسية حالة بسيطة للتحليل ، والتي تحقق المعادلة التفاضلية العشوائية.

${\displaystyle dX_{t}=\lambda X_{t}\,dt+\sigma X_{t}\,dW_{t}}$

للثابت${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \sigma }$تطبيق ليمّا إيتو على${\displaystyle \ln X_{t}}$ينتج عنه الحل ذو الصيغة المغلقة

${\displaystyle X_{t}=X_{0}\exp \left(\left(\lambda -{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t+\sigma W_{t}\right)}$

يؤدي التقطيع باستخدام طريقة أويلر-ماروياما إلى تحديثات الخطوة الزمنية

${\displaystyle Y_{n+1}=\left(1+\lambda \Delta t+\sigma \Delta W_{n}\right)Y_{n}=Y_{0}\prod _{k=0}^{n}\left(1+\lambda \Delta t+\sigma \Delta W_{k}\right)}$

باستخدام توسيع متسلسلة تايلور للدالة الأسية في الحل التحليلي، يمكننا الحصول على صيغة للتحديث الدقيق في خطوة زمنية.

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{\tau _{k+1}}&=X_{\tau _{k}}\exp \left((\lambda -{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2})\Delta t+\sigma \Delta W_{k}\right)\\&=X_{\tau _{k}}\left[1+\lambda \Delta t+\sigma \Delta W_{k}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}\left((\Delta W_{k})^{2}-\Delta t\right)+O\left(\Delta t^{3/2}\right)\right]\\\end{aligned}}}$

جمع الأخطاء المحلية بين الحلول التحليلية وحلول أويلر-ماروياما على كل من${\displaystyle N=T/\Delta t}$تُعطي الخطوات تقديرًا قويًا للخطأ

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\,|X_{T}-Y_{N}|\,\right]=O\left({\sqrt {\Delta t}}\right)}$

تأكيد النظام القوي${\displaystyle 1/2}$التقارب.

جانب عددي آخر يجب مراعاته هو الاستقرار. العزم الثاني للمسار هو ${\displaystyle \mathbb {E} |X_{t}|^{2}\propto \exp \left((2\lambda +\sigma ^{2})t\right)}$لذا فإن التحلل طويل الأمد للمحلول لا يحدث إلا عندما${\displaystyle 2\lambda +\sigma ^{2}<0}$تحافظ طريقة أويلر-ماروياما على انخفاض التباين في هذه الحالة بشرط أن ${\displaystyle \Delta t\leq {\frac {-1}{\lambda ^{2}}}\left(2\lambda +\sigma ^{2}\right)}$.

يُعد علم الأحياء الرياضي أحد المجالات التي استفادت بشكل كبير من المعادلات التفاضلية العشوائية . ونظرًا لأن العديد من العمليات البيولوجية تتسم بطبيعتها العشوائية والمستمرة في آن واحد، فإن الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية العشوائية ذات قيمة عالية في هذا المجال.