نظرية الوجود
في الرياضيات ، نظرية الوجود هي نظرية تؤكد وجود كائن معين. [1] قد تكون عبارة تبدأ بعبارة " يوجد(يوجد) "، أو قد تكون عبارة عالمية يكون آخر كميتها وجوديًا (على سبيل المثال، "لكل x و y و... يوجد(يوجد)..."). في المصطلحات الرسمية للمنطق الرمزي ، نظرية الوجود هي نظرية ذات شكل طبيعي أولي يتضمن الكم الوجودي ، على الرغم من أنه في الممارسة العملية، عادة ما يتم ذكر مثل هذه النظريات بلغة رياضية قياسية. على سبيل المثال، يمكن اعتبار العبارة التي تفيد بأن دالة الجيب متصلة في كل مكان، أو أي نظرية مكتوبة بترميز O الكبير ، نظريات وجودية بطبيعتها - حيث يمكن العثور على الكم في تعريفات المفاهيم المستخدمة.
يتعلق الجدل الذي يعود إلى أوائل القرن العشرين بقضية نظريات الوجود النظرية البحتة، أي النظريات التي تعتمد على مواد أساسية غير بناءة مثل بديهية اللانهاية أو بديهية الاختيار أو قانون الوسط المستبعد . لا تقدم مثل هذه النظريات أي إشارة إلى كيفية بناء (أو عرض) الكائن الذي يتم ادعاء وجوده. من وجهة نظر بنائية ، فإن مثل هذه الأساليب ليست قابلة للتطبيق لأنها تؤدي إلى فقدان الرياضيات لتطبيقها الملموس، [2] في حين أن وجهة النظر المعارضة هي أن الأساليب المجردة بعيدة المدى، [ بحاجة لشرح إضافي ] بطريقة لا يمكن للتحليل العددي أن يكون عليها.
نتائج الوجود "الخالص"
في الرياضيات، تكون نظرية الوجود نظرية بحتة إذا لم يشير الدليل المقدم لها إلى بناء الكائن الذي يُزعم وجوده. مثل هذا الدليل غير بنّاء، [3] لأن النهج بأكمله قد لا يصلح للبناء. [4] من حيث الخوارزميات ، تتجاوز نظريات الوجود النظرية البحتة جميع الخوارزميات للعثور على ما يُزعم وجوده. يجب مقارنة هذه النظريات بما يسمى نظريات الوجود "البناءة"، [5] والتي يعتقد العديد من علماء الرياضيات البنائيين الذين يعملون في المنطق الموسع (مثل المنطق الحدسي ) أنها أقوى جوهريًا من نظيراتها غير البنّاءة.
وعلى الرغم من ذلك، فإن نتائج الوجود النظرية البحتة لا تزال منتشرة في الرياضيات المعاصرة. على سبيل المثال، كان الدليل الأصلي الذي قدمه جون ناش على وجود توازن ناش في عام 1951 عبارة عن نظرية وجود. كما تم العثور على نهج بنّاء في وقت لاحق في عام 1962. [6]
أفكار بنائية
من الاتجاه الآخر، كان هناك توضيح كبير لما هي الرياضيات البناءة - دون ظهور "نظرية رئيسية". على سبيل المثال، وفقًا لتعريفات إيريت بيشوب ، يجب إثبات استمرارية دالة مثل sin( x ) كحد بناء على معامل الاستمرارية ، مما يعني أن المحتوى الوجودي لتأكيد الاستمرارية هو وعد يمكن الوفاء به دائمًا. وفقًا لذلك، يرفض بيشوب الفكرة القياسية للاستمرارية النقطية، ويقترح أنه يجب تعريف الاستمرارية من حيث "الاستمرارية الموحدة المحلية". [7] يمكن للمرء أن يحصل على تفسير آخر لنظرية الوجود من نظرية النوع ، حيث لا يمكن أن يأتي إثبات عبارة وجودية إلا من مصطلح ( يمكن للمرء أن يراه كمحتوى حسابي).
انظر أيضا
ملحوظات
- ^ "تعريف نظرية الوجود | Dictionary.com". www.dictionary.com . تم الاسترجاع في 2019-11-29 .
- ^ انظر القسم الخاص بالإثباتات غير البنّاءة في مدخل " الإثبات البنّاء ".
- ^ Weisstein, Eric W. "Existence Theorem". mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 2019-11-29 .
- ^ دينيس إي. هيسلنج (6 ديسمبر 2012). الأقزام في الضباب: استقبال حدسية بروير في عشرينيات القرن العشرين. بيركهاوزر. ص. 376. ISBN 978-3-0348-7989-7.
- ^ إسحاق روبنشتاين؛ ليف روبنشتاين (28 أبريل 1998). المعادلات التفاضلية الجزئية في الفيزياء الرياضية الكلاسيكية. مطبعة جامعة كامبريدج. ص 246. ISBN 978-0-521-55846-4.
- ^ شايفر، أوي (3 ديسمبر 2014). من مبرهنة سبيرنر إلى المعادلات التفاضلية في فضاءات باناخ: مقدمة إلى نظريات النقطة الثابتة وتطبيقاتها. دار النشر العلمية كيت. ص 31. رقم ISBN 978-3-7315-0260-9.
- ^ "رياضيات بيشوب البناءة في nLab". ncatlab.org . تم الاسترجاع في 2019-11-29 .
