معامل الاستمرارية

📅 آخر تحديث: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 35 صور
الموسوعة الحرة

في التحليل الرياضي ، يُعرف معامل الاستمرارية بأنه دالة ω  : [0, ∞] → [0, ∞] تُستخدم لقياس الاستمرارية المنتظمة للدوال كميًا. لذا، تقبل الدالة f  : I → R معامل استمرارية ω إذا كان

|و(x)-و(y)|≤ω(|x-y|)،{\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq \omega (|xy|),}

لكل x و y في مجال f . بما أن معاملات الاستمرارية يجب أن تكون متناهية الصغر عند الصفر، فإن الدالة تكون مستمرة بانتظام إذا وفقط إذا كان لها معامل استمرارية. علاوة على ذلك، تكمن أهمية هذا المفهوم في أن مجموعات الدوال التي تشترك في نفس معامل الاستمرارية هي بالضبط عائلات متساوية الاستمرارية . على سبيل المثال، يصف المعامل ω( t )  := kt دوال k- Lipschitz ، ويصف المعامل ω( t )  := kt α استمرارية Hölder ، ويصف المعامل ω( t )  := kt (|log t |+1) فئة شبه Lipschitz ، وهكذا. بشكل عام، يتمثل دور ω في تحديد بعض التبعية الوظيفية الصريحة لـ ε على δ في تعريف (ε, δ) للاستمرارية المنتظمة . تُعمَّم هذه المفاهيم نفسها بشكل طبيعي على الدوال بين الفضاءات المترية . علاوة على ذلك، يسمح إصدار محلي مناسب من هذه المفاهيم بوصف الاستمرارية عند نقطة ما كمياً بدلالة معاملات الاستمرارية.

تلعب معاملات الاستمرارية المقعرة دورًا خاصًا، لا سيما فيما يتعلق بخصائص التمديد، وتقريب الدوال المتصلة بانتظام . بالنسبة لدالة بين فضاءات مترية، يُكافئ وجود معامل استمرارية إما مقعر، أو شبه جمعي، أو متصل بانتظام، أو شبه خطي (بمعنى النمو ). في الواقع، يُضمن وجود معاملات استمرارية خاصة كهذه لدالة متصلة بانتظام دائمًا عندما يكون المجال إما مجموعة مضغوطة، أو مجموعة جزئية محدبة من فضاء معياري . مع ذلك، فإن الدالة المتصلة بانتظام على فضاء متري عام تقبل معامل استمرارية مقعر إذا وفقط إذا كانت النسب

دY(و(x)،و(x′))دX(x،x′){\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x),f(x'))}{d_{X}(x,x')}}}

تكون الدوال محدودة بانتظام لجميع الأزواج ( x , x ′) المحدودة بعيدًا عن قطر الفضاء المتري X. تُشكل الدوال التي تتمتع بهذه الخاصية فئة فرعية خاصة من الدوال المتصلة بانتظام، والتي سنشير إليها فيما يلي بالدوال المتصلة بانتظام الخاصة . يمكن أيضًا وصف الدوال المتصلة بانتظام الخاصة ذات القيم الحقيقية على الفضاء المتري X بأنها مجموعة جميع الدوال التي تُمثل قيودًا على X لدوال متصلة بانتظام على أي فضاء معياري يحتوي X بشكل متساوي القياس . كما يمكن وصفها بأنها الإغلاق المنتظم لدوال ليبشيتز على X.

التعريف الرسمي

بصورة رسمية، فإن معامل الاستمرارية هو أي دالة حقيقية ممتدة متزايدة ω  : [0, ∞] → [0, ∞]، تتلاشى عند الصفر وتكون مستمرة عند الصفر، أي

ليمت→0ω(ت)=ω(0)=0.{\displaystyle \lim _{t\to 0}\omega (t)=\omega (0)=0.}

تُستخدم معاملات الاستمرارية بشكل أساسي لإعطاء وصف كمي لكل من الاستمرارية عند نقطة ما، والاستمرارية المنتظمة، للدوال بين الفضاءات المترية، وفقًا للتعريفات التالية.

تقبل الدالة f  : ( X , d X ) → ( Y , d Y ) قيمة ω كمعيار (محلي) للاستمرارية عند النقطة x في X إذا وفقط إذا،

∀x′∈X:دY(و(x)،و(x′))≤ω(دX(x،x′)).{\displaystyle \forall x'\in X:d_{Y}(f(x),f(x'))\leq \omega (d_{X}(x,x')).}

كذلك، تقبل الدالة f قيمة ω كمعيار (عالمي) للاستمرارية إذا وفقط إذا،

∀x،x′∈X:دY(و(x)،و(x′))≤ω(دX(x،x′)).{\displaystyle \forall x,x'\in X:d_{Y}(f(x),f(x'))\leq \omega (d_{X}(x,x')).}

وبعبارة أخرى، يمكن القول إن ω هو معامل استمرارية (عند x ) للدالة f ، أو باختصار، f دالة مستمرة بالنسبة لـ ω (عند x ). هنا، سنتناول بشكل أساسي المفهوم العام.

حقائق أساسية

  • إذا كان f له ω كمعيار للاستمرارية و ω 1 ≥ ω، فإن f يقبل ω 1 أيضًا كمعيار للاستمرارية.
  • إذا كانت f  : X → Y و g  : Y → Z دالتين بين فضاءات مترية بمعاملات ω 1 و ω 2 على التوالي ، فإن خريطة التركيبز∘و:X→Z{\displaystyle g\circ f:X\to Z}له معامل استمراريةω2∘ω1{\displaystyle \omega _{2}\circ \omega _{1}}.
  • إذا كانت f و g دالتين من الفضاء المتري X إلى فضاء باناخ Y ، بمعاملين ω₁ و ω₂ على التوالي ، فإن أي توليفة خطية af + bg لها معامل استمرارية | a |ω₁ + | b |ω₂ . مجموعة جميع الدوال من X إلى Y التي يكون معامل استمراريتها ω هي مجموعة جزئية محدبة من الفضاء المتجهي C ( X , Y )، مغلقة تحت التقارب النقطي .
  • إذا كانت f و g دالتين حقيقيتين محدودتين على الفضاء المتري X ، بمعاملات ω 1 و ω 2 على التوالي ، فإن حاصل الضرب النقطي fg له معامل استمرارية.‖ز‖∞ω1+‖و‖∞ω2{\displaystyle \|g\|_{\infty }\omega _{1}+\|f\|_{\infty }\omega _{2}}.
  • لو{وλ}λ∈Λ{\displaystyle \{f_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}إذا كانت عائلة من الدوال الحقيقية على الفضاء المتري X ذات معامل استمرارية مشترك ω، فإن الغلاف السفليمعلوماتλ∈Λوλ{\displaystyle \inf _{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda }}، على التوالي، الغلاف العلويرشفةλ∈Λوλ{\displaystyle \sup _{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda }}هي دالة حقيقية ذات معامل استمرارية ω، بشرط أن تكون ذات قيمة محدودة عند كل نقطة. إذا كانت ω ذات قيمة حقيقية، يكفي أن يكون غلافها محدودًا عند نقطة واحدة على الأقل من X.

ملاحظات

  • لا يشترط بعض المؤلفين خاصية الرتابة، بينما يشترط آخرون خصائص إضافية مثل استمرارية الدالة ω. مع ذلك، إذا كانت الدالة f تقبل معامل استمرارية وفقًا للتعريف الأضعف، فإنها تقبل أيضًا معامل استمرارية متزايدًا وقابلًا للتفاضل بلا حدود في الفترة (0, ∞). على سبيل المثال،ω1(ت):=رشفةs≤تω(s){\displaystyle \omega _{1}(t):=\sup _{s\leq t}\omega (s)}وهي تتزايد، و ω 1 ≥ ω؛ω2(ت):=1ت∫ت2تω1(s)دs{\displaystyle \omega _{2}(t):={\frac {1}{t}}\int _{t}^{2t}\omega _{1}(s)ds}وهي أيضًا متصلة، و ω 2 ≥ ω 1 ، كما أن أحد المتغيرات المناسبة للتعريف السابق يجعل ω 2 قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية في [0، ∞].
  • أي دالة متصلة بشكل منتظم تقبل معامل اتصال أدنى ω f ، والذي يشار إليه أحيانًا باسم معامل الاتصال (الأمثل) لـ f :ωو(ت):=رشفة{دY(و(x)،و(x′)):x∈X،x′∈X،دX(x،x′)≤ت}،∀ت≥0.{\displaystyle \omega _{f}(t):=\sup\{d_{Y}(f(x),f(x')):x\in X,x'\in X,d_{X}(x,x')\leq t\},\quad \forall t\geq 0.}وبالمثل، فإن أي دالة متصلة عند النقطة x تقبل معامل اتصال أدنى عند x ، ω f ( t ; x ) ( معامل الاتصال (الأمثل) لـ f عند x )  :ωو(ت؛x):=رشفة{دY(و(x)،و(x′)):x′∈X،دX(x،x′)≤ت}،∀ت≥0.{\displaystyle \omega _{f}(t;x):=\sup\{d_{Y}(f(x),f(x')):x'\in X,d_{X}(x,x')\leq t\},\quad \forall t\geq 0.}مع ذلك، فإن هذه المفاهيم المقيدة ليست ذات صلة كبيرة، لأنه في معظم الحالات لا يمكن حساب القيمة المثلى للدالة f بشكل صريح، بل يمكن فقط تحديدها من الأعلى ( بأي قيمة لمعامل استمرارية الدالة f ). علاوة على ذلك، فإن الخصائص الرئيسية لمعاملات الاستمرارية تتعلق مباشرة بالتعريف غير المقيد.
  • بشكل عام، يجب أن تأخذ قيمة معامل استمرارية الدالة المتصلة بانتظام على فضاء متري القيمة +∞. على سبيل المثال، الدالة f :  N → R التي تحقق f ( n )  := n² متصلة بانتظام بالنسبة للمقياس المتقطع على N ، وقيمة معامل استمراريتها الدنيا هي ωf ( t ) = +∞ لأي ​​t ≥ 1، و ωf ( t ) = 0 فيما عدا ذلك. مع ذلك، يختلف الوضع بالنسبة للدوال المتصلة بانتظام المعرفة على مجموعات جزئية مضغوطة أو محدبة من الفضاءات المعيارية.

معاملات الاستمرارية الخاصة

تعكس معاملات الاستمرارية الخاصة أيضًا بعض الخصائص العامة للدوال، مثل قابلية التمديد والتقريب المنتظم. في هذا القسم، نتناول بشكل أساسي معاملات الاستمرارية المقعرة ، أو شبه الجمعية ، أو المستمرة بانتظام، أو شبه الخطية. هذه الخصائص متكافئة جوهريًا، حيث أن لكل معامل ω (أو تحديدًا، تقييده على الفترة [0, ∞))، كل مما يلي يستلزم ما يليه:

  • ω مقعرة؛
  • ω شبه جمعي؛
  • ω متصلة بشكل منتظم؛
  • ω شبه خطي، أي أن هناك ثوابت a و b بحيث يكون ω( t ) ≤ at + b لجميع قيم t ؛
  • تهيمن على ω قيمة مقعرة، أي أن هناك قيمة مقعرة للاستمرارية.ω~{\displaystyle {\tilde {\omega }}}بحيثω(ت)≤ω~(ت){\displaystyle \omega (t)\leq {\tilde {\omega }}(t)}لكل t .

وبالتالي، بالنسبة لدالة f بين فضاءات مترية، يُكافئ ذلك قبول معامل استمرارية إما أن يكون مقعرًا، أو شبه جمعي، أو مستمرًا بانتظام، أو شبه خطي. في هذه الحالة، تُسمى الدالة f أحيانًا تطبيقًا خاصًا مستمرًا بانتظام . هذا صحيح دائمًا في حالة المجالات المدمجة أو المحدبة. في الواقع، التطبيق المستمر بانتظام f  : C → Y المعرف على مجموعة محدبة C من فضاء معياري E يقبل دائمًا معامل استمرارية شبه جمعي ؛ على وجه الخصوص، حقيقي القيمة كدالة ω  : [0, ∞) → [0, ∞). في الواقع، من السهل التحقق من أن معامل الاستمرارية الأمثل ω f المعرف أعلاه هو شبه جمعي إذا كان مجال f محدبًا: لدينا، لجميع s و t :

ωو(s+ت)=رشفة|x-x′|≤ت+sدY(و(x)،و(x′))≤رشفة|x-x′|≤ت+s{دY(و(x)،و(x-تx-x′|x-x′|))+دY(و(x-تx-x′|x-x′|)،و(x′))}≤ωو(ت)+ωو(s).{\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{f}(s+t)&=\sup _{|x-x'|\leq t+s}d_{Y}(f(x),f(x'))\\&\leq \sup _{|x-x'|\leq t+s}\left\{d_{Y}\left(f(x),f\left(x-t{\frac {x-x'}{|x-x'|}}\right)\right)+d_{Y}\left(f\left(x-t{\frac {x-x'}{|x-x'|}}\right),f(x')\right)\right\}\\&\leq \omega _{f}(t)+\omega _{f}(s).\end{aligned}}}

لاحظ أنه كنتيجة مباشرة، فإن أي دالة متصلة بانتظام على مجموعة جزئية محدبة من فضاء معياري لها نمو شبه خطي: ​​يوجد ثابتان a و b بحيث يكون | f ( x )| ≤ a | x | + b لجميع قيم x . ومع ذلك، فإن الدالة المتصلة بانتظام على فضاء متري عام تقبل معامل اتصال مقعر إذا وفقط إذا كانت النسبدY(و(x)،و(x′))/دX(x،x′){\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x'))/d_{X}(x,x')}تكون محدودة بشكل منتظم لجميع الأزواج ( x ، x ′) بمسافة محدودة بعيدًا عن الصفر؛ هذا الشرط يتحقق بالتأكيد بواسطة أي دالة محدودة ومستمرة بشكل منتظم؛ وبالتالي على وجه الخصوص، بواسطة أي دالة مستمرة على فضاء متري مضغوط.

المعاملات شبه الخطية، والاضطرابات المحدودة من ليبشيتز

يمكن إيجاد معامل استمرارية شبه خطي بسهولة لأي دالة مستمرة بانتظام تمثل اضطرابًا محدودًا لدالة ليبشيتز: إذا كانت f دالة مستمرة بانتظام بمعامل استمرارية ω، وكانت g دالة ليبشيتز من الرتبة k بمسافة منتظمة r من f ، فإن f تقبل معامل استمرارية شبه خطي min{ω( t ), 2r + kt } . وعلى العكس، على الأقل بالنسبة للدوال ذات القيم الحقيقية، فإن أي دالة خاصة مستمرة بانتظام هي اضطراب محدود ومستمر بانتظام لدالة ليبشيتز ما؛ بل إن الأمر أكثر صحة كما هو موضح أدناه (تقريب ليبشيتز).

المعاملات الفرعية المضافة، وقابلية التمديد

تسمح الخاصية المذكورة أعلاه للدوال المتصلة بانتظام على المجالات المحدبة بنوع من العكس، على الأقل في حالة الدوال ذات القيم الحقيقية: أي أن كل دالة خاصة متصلة بانتظام ذات قيم حقيقية f  : X → R معرفة على فضاء متري X ، وهو فضاء جزئي متري من فضاء معياري E ، تقبل امتدادات على E تحافظ على أي معامل فرعي جمعي ω للدالة f . أصغر وأكبر هذه الامتدادات هما على التوالي:

و*(x):=رشفةy∈X{و(y)-ω(|x-y|)}،و*(x):=معلوماتy∈X{و(y)+ω(|x-y|)}.{\displaystyle {\begin{aligned}f_{*}(x)&:=\sup _{y\in X}\left\{f(y)-\omega (|x-y|)\right\},\\f^{*}(x)&:=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+\omega (|x-y|)\right\}.\end{aligned}}}

كما ذُكر، فإن أي معامل استمرارية فرعي جمعي يكون مستمرًا بانتظام؛ بل إنه يقبل نفسه كمعامل استمرارية. لذلك، فإن f * و f* هما غلافان سفليان وعلويان على التوالي لعائلات ω-مستمرة؛ وبالتالي فهما مستمران ω. ومن الجدير بالذكر، أنه وفقًا لتضمين كوراتوفسكي ، فإن أي فضاء متري يكون متساوي القياس مع مجموعة جزئية من فضاء معياري. ومن ثم، فإن الدوال الحقيقية ذات الاستمرارية المنتظمة الخاصة هي في جوهرها قيود على الدوال المستمرة بانتظام على الفضاءات المعيارية. وعلى وجه الخصوص، يوفر هذا البناء برهانًا سريعًا لنظرية تيتز للتمديد على الفضاءات المترية المتراصة. ومع ذلك، بالنسبة للتطبيقات ذات القيم في فضاءات باناخ أكثر عمومية من R ، فإن الوضع أكثر تعقيدًا؛ وأول نتيجة غير بديهية في هذا الاتجاه هي نظرية كيرزبراون .

المعاملات المقعرة وتقريب ليبشيتز

كل دالة حقيقية خاصة f  : X → R متصلة بانتظام، معرفة على الفضاء المتري X ، قابلة للتقريب المنتظم باستخدام دوال ليبشيتز. علاوة على ذلك، ترتبط سرعة التقارب، بدلالة ثوابت ليبشيتز للتقريبات، ارتباطًا وثيقًا بمعامل استمرارية f . تحديدًا، ليكن ω هو معامل الاستمرارية الأدنى المقعر لـ f ، وهو

ω(ت)=معلومات{أت+ب:أ>0،ب>0،∀x∈X،∀x′∈X|و(x)-و(x′)|≤أد(x،x′)+ب}.{\displaystyle \omega (t)=\inf {\big \{}at+b\,:\,a>0,\,b>0,\,\forall x\in X,\,\forall x'\in X\,\,|f(x)-f(x')|\leq ad(x,x')+b{\big \}}.}

ليكن δ( s ) المسافة المنتظمة بين الدالة f ومجموعة Lip s لجميع الدوال الحقيقية ذات القيم Lipschitz على C والتي لها ثابت Lipschitz s  :

دلتا(s):=معلومات{‖و-u‖∞،X:u∈لأناصs}≤+∞.{\displaystyle \delta (s):=\inf {\big \{}\|f-u\|_{\infty ,X}\,:\,u\in \mathrm {Lip} _{s}{\big \}}\leq +\infty .}

عندئذٍ، يمكن ربط الدالتين ω( t ) و δ( s ) ببعضهما البعض عبر تحويل ليجاندر : وبشكل أدق، فإن الدالتين 2δ( s ) و −ω(−t ) (الممتدتين بشكل مناسب إلى +∞ خارج نطاقاتهما المحدودة) هما زوج من الدوال المحدبة المترافقة، [ 1 ] لـ

2دلتا(s)=رشفةت≥0{ω(ت)-sت}،{\displaystyle 2\delta (s)=\sup _{t\geq 0}\left\{\omega (t)-st\right\},}
ω(ت)=معلوماتs≥0{2دلتا(s)+sت}.{\displaystyle \omega (t)=\inf _{s\geq 0}\left\{2\delta (s)+st\right\}.}

بما أن ω( t ) = o(1) عندما t → 0+ ، فإن δ( s ) = o(1) عندما s → +∞، وهذا يعني تحديدًا أن f قابلة للتقريب المنتظم بواسطة دوال ليبشيتز. وبناءً على ذلك، يُعطى التقريب الأمثل بواسطة الدوال.

وs:=دلتا(s)+معلوماتy∈X{و(y)+sد(x،y)}،وoر s∈دoم(دلتا):{\displaystyle f_{s}:=\delta (s)+\inf _{y\in X}\{f(y)+sd(x,y)\},\quad \mathrm {for} \ s\in \mathrm {dom} (\delta ):}

لكل دالة f s ثابت ليبشيتز s و

‖و-وs‖∞،X=دلتا(s)؛{\displaystyle \|f-f_{s}\|_{\infty ,X}=\delta (s);}

في الواقع، إن أكبر دالة s -Lipschitz هي التي تحقق المسافة δ( s ). على سبيل المثال، تتميز دوال α-Hölder الحقيقية على فضاء متري بأنها تلك الدوال التي يمكن تقريبها بشكل منتظم بواسطة دوال s -Lipschitz بسرعة تقارب معينة.يا(s-α1-α)،{\displaystyle O(s^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}),}بينما تتميز الدوال شبه الليبشيتزية بسرعة تقارب أسيةيا(هـ-أs).{\displaystyle O(e^{-as}).}

أمثلة على الاستخدام

  • لتكن f  دالة متصلة من [ a , b ] إلى R. في برهان أن f قابلة للتكامل وفقًا لريمان ، عادةً ما يتم تحديد المسافة بين مجموعي ريمان العلوي والسفلي بالنسبة لتقسيم ريمان P  := { t₀ , ..., tₙ } بدلالة معامل استمرارية f وشبكة التقسيم P (وهو العدد ) .|P|:=الأعلى0≤أنا<ن(تأنا+1-تأنا){\textstyle |P|:=\max _{0\leq i<n}(t_{i+1}-t_{i})})S*(و؛P)-S*(و؛P)≤(ب-أ)ω(|P|).{\displaystyle S^{*}(f;P)-S_{*}(f;P)\leq (b-a)\omega (|P|).}
  • للاطلاع على مثال لاستخدامه في متسلسلة فورييه ، انظر اختبار ديني .

تاريخ

ينسب ستيفنز (2006، ص  160) أول استخدام لمصطلح أوميغا للدلالة على معامل الاستمرارية إلى لوبيغ (1909، ص  309/ص  75)، حيث يشير أوميغا إلى تذبذب تحويل فورييه . ويذكر دي لا فالي بوسان (1919، ص  7-8) كلا المصطلحين: (1) "معامل الاستمرارية" و(2) "معامل التذبذب"، ثم يختتم قائلاً: "لكننا نختار (1) للفت الانتباه إلى الاستخدام الذي سنقوم به لهذا المصطلح".

مجموعة التحويل لدوال L p ، ومعاملات الاستمرارية L p .

ليكن 1 ≤ p ؛ ولتكن f  : R n → R دالة من الفئة L p ، وليكن h ∈ R n . إن الإزاحة h للدالة f ، المعرفة بـ (τ h f )( x ) := f ( x − h )، تنتمي إلى الفئة L p ؛ علاوة على ذلك، إذا كان 1 ≤ p < ∞، فعندما ǁ h ǁ → 0 لدينا: 

‖τحو-و‖ص=o(1).{\displaystyle \|\tau _{h}f-f\|_{p}=o(1).}

لذلك، بما أن الإزاحات هي في الواقع تحويلات خطية متساوية القياس، كذلك

‖τv+حو-τvو‖ص=o(1)،{\displaystyle \|\tau _{v+h}f-\tau _{v}f\|_{p}=o(1),}

عندما ǁ h ǁ → 0، بشكل منتظم على v ∈ R n .

بمعنى آخر، يُعرّف التطبيق h → τ h مجموعةً متصلةً بقوة من التماثلات الخطية في L p . في حالة p = ∞، لا تتحقق الخاصية المذكورة أعلاه بشكل عام: في الواقع، تختزل تمامًا إلى الاتصال المنتظم، وتُعرّف الدوال المتصلة بانتظام. هذا يقودنا إلى التعريف التالي، الذي يُعمّم مفهوم معامل الاتصال للدوال المتصلة بانتظام: معامل الاتصال L p لدالة قابلة للقياس f  : X → R هو معامل اتصال ω  : [0, ∞] → [0, ∞] بحيث

‖τحو-و‖ص≤ω(ح).{\displaystyle \|\tau _{h}f-f\|_{p}\leq \omega (h).}

وبهذه الطريقة، فإن معاملات الاستمرارية تعطي أيضًا وصفًا كميًا لخاصية الاستمرارية المشتركة بين جميع دوال L p .

معامل استمرارية الرتب العليا

يتضح أن التعريف الرسمي للمعامل يستخدم مفهوم الفرق المحدود من الدرجة الأولى:

ωو(دلتا)=ω(و،دلتا)=رشفةx؛|ح|<دلتا؛|Δح(و،x)|.{\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\omega (f,\delta )=\sup \limits _{x;|h|<\delta ;}\left|\Delta _{h}(f,x)\right|.}

إذا استبدلنا هذا الفرق بفرق من الرتبة n ، فسنحصل على معامل استمرارية من الرتبة n :

ωن(و،دلتا)=رشفةx؛|ح|<دلتا؛|Δحن(و،x)|.{\displaystyle \omega _{n}(f,\delta )=\sup \limits _{x;|h|<\delta ;}\left|\Delta _{h}^{n}(f,x)\right|.}

انظر أيضاً

مراجع

  • شوكيت، ج. (1969). الطوبولوجيا  : الفضاءات الطوبولوجية والمساحات المترية، الوظائف الرقمية، الفضاءات المتجهات الطوبولوجية . كورس داناليز (باللغة الفرنسية). المجلد.  2 (  الطبعة الثانية). باريس: ماسون وآخرون C أي . او سي ال سي 299915897 . 
  • إيفيموف، أ. ف. (2001) [1994]، "الاستمرارية، معامل" ، موسوعة الرياضيات ، سبرينغر، ISBN 1-4020-0609-8
  • ليبيسج، هـ. (1909). "Sur les intégrales Singlegulières". حوليات كلية العلوم بتولوز: الرياضيات . 3 (1): 25-117 . دوى : 10.5802/afst.257 .مستنسخة في: ليبيغ، هنري. الأعمال العلمية (باللغة الفرنسية). المجلد. 3. ص 259 – 351.  
  • بوسين، ش. دي لا فالي (1952) [1919]. L'approximation des fonctions d'unevariable réelle (باللغة الفرنسية). باريس: غوتييه فيلار.
  • بنياميني، ي؛ ليندنشتراوس، ج (1998). التحليل الوظيفي الهندسي غير الخطي: المجلد 1. منشورات كولكيوم. المجلد  48. الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-8218-6963-5.
  • ستيفنز، ك. ج. (2006). تاريخ نظرية التقريب . بوسطن: بيركهاوزر. ISBN 0-8176-4353-2.