بديهية اللانهاية

في نظرية المجموعات البديهية وفروع الرياضيات والفلسفة التي تستخدمها، تُعدّ بديهية اللانهاية إحدى بديهيات نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات . وهي تضمن وجود مجموعة لانهائية واحدة على الأقل ، وهي مجموعة تحتوي على الأعداد الطبيعية . وقد نشرها إرنست زيرميلو لأول مرة كجزء من نظريته للمجموعات عام 1908. ^{[ 1 ]}

باستخدام الرموز الأولية لمنطق الرتبة الأولى ، يمكن التعبير عن البديهية على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \exists \mathrm {I} \ (\exists o\ (o\in \mathrm {I} \ \land \lnot \exists n\ (n\in o))\ \land \ \forall x\ (x\in \mathrm {I} \Rightarrow \exists y\ (y\in \mathrm {I} \ \land \ \forall a\ (a\in y\Leftrightarrow (a\in x\ \lor \ a=x))))).}$

إذا عرّفنا${\displaystyle \varnothing }$أن تكون المجموعة فارغة وأن تتعرف على العملية اللاحقة:

${\displaystyle \exists \mathrm {I} \,(\varnothing \in \mathrm {I} \,\land \,\forall x\,(x\in \mathrm {I} \Rightarrow \,(x\cup \{x\})\in \mathrm {I} )).}$

قد يطلق بعض علماء الرياضيات على المجموعة التي تم بناؤها بهذه الطريقة اسم المجموعة الاستقرائية .

يمكن صياغة هذه البديهية بلغة طبيعية على النحو التالي: " توجد مجموعة 𝐈 بحيث تكون المجموعة الفارغة عنصرًا منها، ولكل عنصر 𝐈 � ...${\displaystyle x}$من 𝐈 ، يوجد عنصر${\displaystyle y}$من 𝐈 بحيث تكون عناصر${\displaystyle y}$يتكون من${\displaystyle x}$نفسها وعناصر${\displaystyle x}$"

ترتبط هذه البديهية ارتباطًا وثيقًا ببناء فون نيومان للأعداد الطبيعية في نظرية المجموعات، حيث يُعرَّف العنصر التالي لـ x على أنه x ∪ { x }. إذا كانت x مجموعة، فإنه يترتب من البديهيات الأخرى لنظرية المجموعات أن هذا العنصر التالي هو أيضًا مجموعة مُعرَّفة بشكل فريد. تُستخدم العناصر التالية لتعريف الترميز المعتاد للأعداد الطبيعية في نظرية المجموعات . في هذا الترميز، الصفر هو المجموعة الفارغة.

0 = {}.

الرقم 1 هو الرقم التالي للرقم 0:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = {{}}.

وبالمثل، فإن 2 هو خليفة 1:

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1} = { {}, {{}} },

وهكذا دواليك:

3 = {0, 1, 2} = { {}, {{}}, {{}, {{}}} };

4 = {0, 1, 2, 3} = { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} } }.

نتيجةً لهذا التعريف، فإن كل عدد طبيعي يساوي مجموعة جميع الأعداد الطبيعية السابقة له. عدد العناصر في كل مجموعة، في المستوى الأعلى، هو نفسه عدد الأعداد الطبيعية التي يمثلها، وعمق التداخل لأعمق مجموعة فارغة {}، بما في ذلك تداخلها في المجموعة التي تمثل العدد الذي تنتمي إليه، يساوي أيضًا عدد الأعداد الطبيعية التي تمثلها تلك المجموعة.

يشكل هذا البناء الأعداد الطبيعية. ومع ذلك، فإن البديهيات الأخرى غير كافية لإثبات وجود مجموعة جميع الأعداد الطبيعية.${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$لذا، يُعتبر وجودها بديهية - بديهية اللانهاية. تنص هذه البديهية على وجود مجموعة I تحتوي على الصفر وتكون مغلقة تحت عملية أخذ العنصر التالي؛ أي أنه لكل عنصر من عناصر I ، فإن العنصر التالي لهذا العنصر موجود أيضًا في I.

وبالتالي فإن جوهر البديهية هو:

هناك مجموعة، I ، تشمل جميع الأعداد الطبيعية.

إن بديهية اللانهاية هي أيضاً واحدة من بديهيات فون نيومان-بيرنايز-غودل .

المجموعة اللانهائية I هي مجموعة شاملة للأعداد الطبيعية. ولإثبات أن الأعداد الطبيعية نفسها تُشكّل مجموعة، يمكن تطبيق مخطط التحديد البديهي لإزالة العناصر غير المرغوب فيها، تاركًا المجموعة N التي تضم جميع الأعداد الطبيعية. هذه المجموعة فريدة من نوعها وفقًا لبديهية الامتداد .

لاستخراج الأعداد الطبيعية، نحتاج إلى تعريف للمجموعات التي تُعدّ أعدادًا طبيعية. يمكن تعريف الأعداد الطبيعية بطريقة لا تفترض أي بديهيات باستثناء بديهية الامتداد وبديهية الاستقراء - فالعدد الطبيعي إما صفر أو عدد لاحق، وكل عنصر من عناصره إما صفر أو عدد لاحق لعنصر آخر من عناصره. وبعبارة أخرى، ينص التعريف على ما يلي:

${\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([n=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k(n=k\cup \{k\})]\,\,\land \,\,\forall m\in n[m=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k\in n(m=k\cup \{k\})])).}$

أو، بشكل أكثر رسمية:

${\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([\forall k(\lnot k\in n)\lor \exists k\forall j(j\in n\iff (j\in k\lor j=k))]\;\land }$

${\displaystyle \forall m(m\in n\Rightarrow [\forall k(\lnot k\in m)\lor \exists k(k\in n\land \forall j(j\in m\iff (j\in k\lor j=k)))]))).}$

تستخدم بعض النصوص القديمة نسخة أضعف على ما يبدو من بديهية اللانهاية، وهي:

${\displaystyle \exists x\,(\exists y\,(y\in x)\,\land \,\forall y(y\in x\,\rightarrow \,\exists z(z\in x\,\land \,y\subsetneq z)))\,.}$

هذا يعني أن x مجموعة غير فارغة ، ولكل عنصر y من x يوجد عنصر آخر z من x بحيث يكون y مجموعة جزئية من z ولا يساوي z . وهذا يعني أن x مجموعة لانهائية دون الخوض في تفاصيل بنيتها. مع ذلك، وباستخدام بديهيات ZF الأخرى، يمكننا إثبات أن هذا يستلزم وجود ω. أولًا، إذا أخذنا مجموعة القوى لأي مجموعة لانهائية x ، فإن مجموعة القوى هذه ستحتوي على عناصر تُشكّل مجموعات جزئية من x ذات عدد أصلي محدود (من بين مجموعات جزئية أخرى من x ). قد يتطلب إثبات وجود هذه المجموعات الجزئية المحدودة إما بديهية الفصل أو بديهيتي الاقتران والاتحاد. بعد ذلك، يمكننا تطبيق بديهية الإحلال لاستبدال كل عنصر من مجموعة القوى x بالعدد الترتيبي الأولي من نفس العدد الأصلي (أو صفر، إذا لم يكن هناك عدد ترتيبي من هذا النوع). ستكون النتيجة مجموعة لانهائية من الأعداد الترتيبية. ثم يمكننا تطبيق بديهية الاتحاد على ذلك للحصول على عدد ترتيبي أكبر من أو يساوي ω.

لا يمكن إثبات بديهية اللانهاية من البديهيات الأخرى لنظرية ZFC إذا كانت متسقة. (لتوضيح ذلك، لاحظ أن نظرية ZFC تستلزم اتساق ZFC − اللانهاية، واستخدم نظرية عدم الاكتمال الثانية لغودل ).

لا يمكن استنتاج نفي بديهية اللانهاية من بقية بديهيات ZFC، إذا كانت متسقة. (وهذا يعني أن ZFC متسقة إذا كانت البديهيات الأخرى متسقة). وبالتالي، فإن ZFC لا تستلزم بديهية اللانهاية ولا نفيها، وهي متوافقة مع كليهما.

في الواقع، باستخدام التسلسل الهرمي لفون نيومان ، يمكننا بناء نموذج لـ ZFC − Infinity + (¬Infinity). وهو${\displaystyle V_{\omega }\!}$، وهي فئة المجموعات المنتهية وراثيًا ، مع علاقة الانتماء الموروثة. لاحظ أنه إذا لم تُؤخذ بديهية المجموعة الفارغة كجزء من هذا النظام (لأنها يمكن اشتقاقها من ZF – Empty)، فإن المجال الفارغ يحقق أيضًا ZFC − Infinity + ¬Infinity، حيث أن جميع بديهياته مُكمّمة عالميًا، وبالتالي تتحقق بشكل بديهي إذا لم توجد مجموعة.

عدد عناصر مجموعة الأعداد الطبيعية، أليف صفر (${\displaystyle \aleph _{0}}$يتمتع هذا العدد بالعديد من خصائص العدد الكاردينالي الكبير . ولذلك، يُعتبر بديهية اللانهاية أحيانًا أول بديهية كاردينالية كبيرة ، وعلى العكس من ذلك، تُسمى البديهيات الكاردينالية الكبيرة أحيانًا بديهيات اللانهاية الأقوى.

• المذهب النهائي
• بديهيات بيانو