نطاق فارغ

في منطق الرتبة الأولى ، المجال الفارغ هو المجموعة الفارغة التي لا تحتوي على أي عناصر. أما في المنطق التقليدي والكلاسيكي، فتكون المجالات غير فارغة بشكل مقيد لكي تكون بعض النظريات صحيحة. وقد ثبت أن التفسيرات التي تتضمن مجالًا فارغًا حالة بديهية بموجب اصطلاح يعود أصله على الأقل إلى عام 1927 مع بيرنايز وشونفينكل ( وربما أقدم من ذلك)، ولكنه يُنسب غالبًا إلى كتاب كواين "المنطق الرياضي" الصادر عام 1951. ^{[ 1 ]} ينص هذا الاصطلاح على إسناد قيمة "صحيح" لأي صيغة تبدأ بمُكمِّم كلي ، بينما تُسند قيمة "خطأ" لأي صيغة تبدأ بمُكمِّم وجودي . وينبع هذا من فكرة أن العبارات المُكمَّمة وجوديًا لها دلالة وجودية (أي أنها تُشير إلى وجود شيء ما)، بينما لا تحمل العبارات المُكمَّمة كليًا هذه الدلالة. ويُقال إن هذا التفسير يعود إلى جورج بول في أواخر القرن التاسع عشر، ولكن هذا الأمر محل نقاش. وفي نظرية النماذج الحديثة ، يترتب على ذلك مباشرةً شروط الصدق للجمل المُكمَّمة.

• ${\displaystyle A\models \exists x\phi (x){\text{ إذا وفقط إذا كان هناك }}a\in A{\text{ بحيث }}A\models \phi [a]}$
• ${\displaystyle A\models \forall x\phi (x){\text{ إذا وفقط إذا كان كل }}a\in A{\text{ بحيث }}A\models \phi [a]}$

بمعنى آخر، يكون التحديد الكمي الوجودي للصيغة المفتوحة φ صحيحًا في نموذج ما إذا وفقط إذا كان هناك عنصر ما في نطاق (النموذج) يحقق الصيغة؛ أي إذا وفقط إذا كان لهذا العنصر الخاصية التي تشير إليها الصيغة المفتوحة. ويكون التحديد الكمي الكلي للصيغة المفتوحة φ صحيحًا في نموذج ما إذا وفقط إذا كان كل عنصر في النطاق يحقق تلك الصيغة. (لاحظ أنه في اللغة الوصفية، يُفسَّر "كل ما هو بحيث X هو بحيث Y" على أنه تعميم كلي للشرط المادي "إذا كان أي شيء بحيث X فهو بحيث Y". كما تُعطى المُكمِّمات قراءاتها الموضوعية المعتادة، بحيث يكون للعبارة الوجودية الإيجابية دلالة وجودية، بينما لا يكون للعبارة الكلية دلالة وجودية). وتتعلق حالة مماثلة بالعطف الفارغ والفصل الفارغ. وتُعطى العبارات الدلالية للعطف والفصل، على التوالي، بواسطة

• ${\displaystyle A\models \phi _{1}\land \dots \land \phi _{n}\iff \forall \phi _{i}(1\leq i\leq n),A\models \phi _{i}}$
• ${\displaystyle A\models \phi _{1}\lor \dots \lor \phi _{n}\iff \exists \phi _{i}(1\leq i\leq n),A\models \phi _{i}}$.

من السهل أن نرى أن العطف الفارغ صحيح بشكل بديهي، وأن الفصل الفارغ خاطئ بشكل بديهي.

تم النظر لأول مرة في المنطق الذي تكون نظرياته صالحة في كل مجال، بما في ذلك المجال الفارغ، من قبل جاسكوفسكي 1934، وموستوفسكي 1951، وهايلبيرين 1953، وكواين 1954، وليونارد 1956، وهينتيكا 1959. وبينما أطلق كواين على هذه المنطق اسم "المنطق الشامل"، إلا أنها تُعرف الآن باسم " المنطق الحر ".

• المكعب المنطقي
• سداسي منطقي
• ساحة المعارضة
• مثلث المعارضة
• جدول الرموز المنطقية