المادة مشروطة

الشرط المادي (المعروف أيضًا باسم الاستلزام المادي ) هو عملية ثنائية شائعة الاستخدام في المنطق . عندما يكون الرمز الشرطي${\displaystyle \to }$يُفسَّر ذلك على أنه دلالة مادية، وهي صيغة${\displaystyle P\to Q}$صحيح إلا إذا${\displaystyle P}$صحيح و${\displaystyle Q}$هذا غير صحيح.

يُستخدم الاستلزام المادي في جميع الأنظمة الأساسية للمنطق الكلاسيكي، بالإضافة إلى بعض أنواع المنطق غير الكلاسيكي . ويُعتبر نموذجًا للاستدلال الشرطي الصحيح في الرياضيات، ويُشكّل أساسًا للأوامر في العديد من لغات البرمجة . مع ذلك، تستبدل العديد من أنواع المنطق الاستلزام المادي بعوامل أخرى، مثل الشرط الصارم والشرط المتغير الصرامة . ونظرًا لمفارقات الاستلزام المادي والمشاكل المرتبطة به، لا يُعتبر الاستلزام المادي عمومًا تحليلًا عمليًا للجمل الشرطية في اللغة الطبيعية .

في المنطق والمجالات ذات الصلة، يُشار عادةً إلى الشرط المادي باستخدام عامل وسيط.${\displaystyle \to }$( U+2192 → سهم نحو اليمين ). ^{[ 1 ]} يُشار إلى الشرط المادي أيضًا باستخدام الزوائد الداخلية.${\displaystyle \supset }$و${\displaystyle \Rightarrow }$( U+2283 ⊃ مجموعة فائقة من و U+21D2 ⇒ سهم مزدوج متجه لليمين على التوالي). ^{[ 2 ]} في التدوين البولندي ذي البادئة ، تُكتب الجمل الشرطية على النحو التالي:${\displaystyle Cpq}$في الصيغة الشرطية${\displaystyle p\to q}$الصيغة الفرعية${\displaystyle p}$ويُشار إليه باسم السابق و${\displaystyle q}$يُطلق عليه اسم نتيجة الشرط. يمكن أن تكون العبارات الشرطية متداخلة بحيث يكون كل من المقدمة والنتيجة عبارات شرطية، كما في الصيغة${\displaystyle (p\to q)\to (r\to s)}$.

في مبادئ الحساب: نوفا ميثود إكسبوسيتا (1889)، عبر بيانو عن الاقتراح "إذا${\displaystyle A}$، ثم${\displaystyle B}$" مثل${\displaystyle A}$Ɔ${\displaystyle B}$باستخدام الرمز Ɔ، وهو عكس C. ^{[ 3 ]} كما عبّر عن القضية${\displaystyle A\supset B}$مثل${\displaystyle A}$Ɔ${\displaystyle B}$[ ^{4 ] [ 5 ]} عبّر هيلبرت عن القضية "إذا كان أ ، فإن ب " على النحو التالي ^:${\displaystyle A\to B}$في عام 1918. ^{[ 1 ]} اتبع راسل بيانو في كتابه "مبادئ الرياضيات " (1910-1913)، حيث عبّر عن القضية "إذا كان أ ، فإن ب " على النحو التالي:${\displaystyle A\supset B}$. على غرار راسل، عبّر جنتزن عن القضية "إذا كان أ ، فإن ب " على النحو التالي${\displaystyle A\supset B}$عبّر هيتينغ عن القضية "إذا كان أ ، فإن ب " على النحو التالي :${\displaystyle A\supset B}$في البداية، ولكن لاحقًا أصبحوا يعبرون عنه على النحو التالي:${\displaystyle A\to B}$بسهم يشير إلى اليمين. عبّر بورباكي عن القضية "إذا كان أ ، فإن ب " على النحو التالي: ${\displaystyle A\Rightarrow B}$في عام 1954. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

لا يسمح التعريف الدلالي باستخدام جداول الصواب بدراسة الصيغ الافتراضية المتطابقة بنيويًا في أنظمة منطقية مختلفة ، حيث يمكن إثبات خصائص مختلفة. وتقتصر اللغة المستخدمة هنا على الصيغ الاستلزامية من النوع f .

ضع في اعتبارك قواعد الاستنتاج الطبيعي (المرشحة) التالية .

مقدمة عن الآثار المترتبة (${\displaystyle \to }$أنا) بافتراض${\displaystyle A}$يمكن للمرء أن يستنتج${\displaystyle B}$ثم يمكن للمرء أن يستنتج${\displaystyle A\to B}$. ${\displaystyle {\frac {\begin{array}{c}[A]\\\vdots \\B\end{array}}{A\to B}}}$(${\displaystyle \to }$أنا) ${\displaystyle [A]}$وهو افتراض يتم استبعاده عند تطبيق القاعدة.	إزالة التبعات (${\displaystyle \to }$هـ) هذه القاعدة تتوافق مع طريقة ponens . ${\displaystyle {\frac {A\to B\quad A}{B}}}$(${\displaystyle \to }$هـ) ${\displaystyle {\frac {A\quad A\to B}{B}}}$(${\displaystyle \to }$هـ)
حذف النفي المزدوج (${\displaystyle \neg \neg }$هـ) ${\displaystyle {\frac {\begin{array}{c}(A\to \bot )\to \bot \\\end{array}}{A}}}$(${\displaystyle \neg \neg }$هـ)	الاستبعاد الخاطئ (${\displaystyle \bot }$هـ) من falsum (${\displaystyle \bot }$يمكن للمرء أن يستنتج أي صيغة. (مثال: falso quodlibet) ${\displaystyle {\frac {\bot }{A}}}$(${\displaystyle \bot }$هـ)

• المنطق الأدنى : من خلال حصر قواعد الاستدلال الطبيعي في مقدمة الاستلزام (${\displaystyle \to }$أولاً) وإزالة التبعات (${\displaystyle \to }$هـ)، يحصل المرء على (الجزء الضمني من) ^{[ 10 ]} المنطق الأدنى (كما عرّفه يوهانسون ). ^{[ 11 ]}

إثبات${\displaystyle P\to \neg \neg P\quad }$، ضمن الحد الأدنى من المنطق
1.  [P]  // يفترض 2.  [ P → ⊥ ]  // يفترض 3.  ⊥  //${\displaystyle \to }$E (1, 2) 4.  (P → ⊥) → ⊥)  //${\displaystyle \to }$أنا (2، 3)، تفريغ 2 5.  P → ((P → ⊥) → ⊥)  //${\displaystyle \to }$أنا (1، 4)، تفريغ 1

• المنطق الحدسي : بإضافة طريقة الاستبعاد الخاطئ (${\displaystyle \bot }$هـ) كقاعدة عامة، يحصل المرء على (الجزء الضمني من) ^{[ 10 ]} المنطق الحدسي.

البيان${\displaystyle P\to \neg \neg P}$صحيح (بالفعل في المنطق الأدنى)، على عكس الاستلزام العكسي الذي يستلزم قانون الوسط المرفوع .

• المنطق الكلاسيكي : إذا تم حذف النفي المزدوج (${\displaystyle \neg \neg }$يُسمح أيضًا بالخيار (هـ)، ^{[ 14 ]} حيث يُعرّف النظام منطقًا كلاسيكيًا (كاملًا!). ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 15 ]}

في المنطق الكلاسيكي، يؤكد الاستلزام المادي صحة ما يلي:

التناقض:${\displaystyle (\neg Q\to \neg P)\to (P\to Q)}$

1.  [ (Q → ⊥) → (P → ⊥) ]  // بافتراض (التفريغ عند الساعة 9) 2.  [P]  // بافتراض (التفريغ عند 8) 3.  [ Q → ⊥ ]  // بافتراض (التفريغ عند 6)) 4.  P → ⊥  //${\displaystyle \to }$E (1, 3) 5.  ⊥  //${\displaystyle \to }$E (2, 4) 6.  (Q → ⊥) → ⊥  //${\displaystyle \to }$أنا (3، 5) (تفريغ 3) 7.  سؤال  //${\displaystyle \neg \neg }$هـ (6) 8.  P → Q  //${\displaystyle \to }$أنا (2، 7) (تفريغ 2) 9.  ((Q → ⊥) → (P → ⊥)) → (P → Q)  //${\displaystyle \to }$أنا (1، 8) (تفريغ 1)

قانون بيرس :${\displaystyle ((P\to Q)\to P)\to P}$

1.  [ (P → Q) → P ]  // بافتراض (التفريغ عند الساعة 11) 2.  [ P → ⊥ ]  // بافتراض (التفريغ عند الساعة 9) 3.  [P]  // بافتراض (التفريغ عند 6) 4.  ⊥  //${\displaystyle \to }$E (2, 3) 5.  سؤال  //${\displaystyle \bot }$هـ (4) 6.  P → Q  //${\displaystyle \to }$أنا (3، 5) (تفريغ 3) 7.  P  //${\displaystyle \to }$E (1, 6) 8.  ⊥  //${\displaystyle \to }$E (2, 7) 9.  (P → ⊥) → ⊥  //${\displaystyle \to }$أنا (2، 8) (تفريغ 2) 10.  P  //${\displaystyle \neg \neg }$هـ (9) 11.  ((P → Q) → P) → P  //${\displaystyle \to }$أنا (1، 10) (تفريغ 1)

الشرط الفارغ (IPC):${\displaystyle \neg P\to (P\to Q)}$
1.  ${\displaystyle [P\to \bot ]}$  // يفترض 2.  ${\displaystyle [P]}$  // يفترض 3.  ${\displaystyle \bot }$  //${\displaystyle \to }$E (1, 2) 4.  ${\displaystyle Q}$  //${\displaystyle \bot }$هـ (3) 5.  ${\displaystyle P\to Q}$  //${\displaystyle \to }$أنا (2، 4) (تفريغ 2) 6.  ${\displaystyle (P\to \bot )\to (P\to Q)}$  //${\displaystyle \to }$أنا (1، 5) (تفريغ 1)

• الاستيراد والتصدير :${\displaystyle P\to (Q\to R)\equiv (P\land Q)\to R}$
• الشروط المنفية:${\displaystyle \neg (P\to Q)\equiv P\land \neg Q}$
• أو إذا:${\displaystyle P\to Q\equiv \neg P\lor Q}$
• خاصية التبادلية بين المقدمات:${\displaystyle {\big (}P\to (Q\to R){\big )}\equiv {\big (}Q\to (P\to R){\big )}}$
• خاصية التوزيع الأيسر :${\displaystyle {\big (}R\to (P\to Q){\big )}\equiv {\big (}(R\to P)\to (R\to Q){\big )}}$

وبالمثل، في التفسيرات الكلاسيكية للروابط الأخرى، فإن الاستلزام المادي يؤكد صحة الاستلزامات التالية :

• تعزيز سابق:${\displaystyle P\to Q\models (P\land R)\to Q}$
• التعدي :${\displaystyle (P\to Q)\land (Q\to R)\models P\to R}$
• تبسيط المقدمات الانفصالية :${\displaystyle (P\lor Q)\to R\models (P\to R)\land (Q\to R)}$

تشمل التكرارات التي تنطوي على دلالات مادية ما يلي:

• الانعكاسية :${\displaystyle \models P\to P}$
• الشمولية :${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (Q\to P)}$
• الوسط المستبعد المشروط :${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (P\to \neg Q)}$

الشرط المادي هو رابط جملي ضمن لغة رسمية. لا ينبغي الخلط بينه وبين علاقة النتيجة المنطقية (وتسمى أيضًا الاستلزام المنطقي أو التبعية المنطقية)، والتي تُعامل عادةً كعلاقة بين الجمل المعبر عنها بلغة وصفية .

تُعطى العلاقة بين الشرط المادي وعلاقة النتيجة المنطقية بواسطة نظرية الاستنتاج .

${\displaystyle \Gamma \cup \{A\}\vdash B\;}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \;\Gamma \vdash A\to B}$

يمكن تفسير ذلك على أنه يشير إلى أن مجموعة الجمل${\displaystyle \Gamma }$إذا وفقط إذا كان A يستلزم منطقياً B${\displaystyle \Gamma }$يستلزم ذلك منطقياً الشرط المادي${\displaystyle A\to B}$.

في الحالة الخاصة حيث${\displaystyle \Gamma }$إذا كان فارغًا، فإن هذا يختزل إلى:

${\displaystyle A\vdash B\;}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \;\vdash A\to B}$

ينص هذا على أن A يستلزم منطقياً B إذا وفقط إذا كان الشرط المادي${\displaystyle A\to B}$هي نظرية في المنطق.

تحتفظ العديد من الكتب المدرسية بمصطلح النتيجة المنطقية (أو الاستلزام المنطقي) للدلالة على علاقة النتيجة الدلالية مع الرمز${\displaystyle \models }$[ ^{16 ] [ 17 ] وفي هذه} الحالة تصبح العلاقة

${\displaystyle A\models B\;}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \;\models A\to B}$

يستلزم A منطقياً B إذا وفقط إذا كان الشرط المادي${\displaystyle A\to B}$هذا تكرار .

لا يتطابق مفهوم الاستلزام المادي تمامًا مع استخدام الجمل الشرطية في اللغة الطبيعية . فعلى سبيل المثال، على الرغم من أن الجمل الشرطية المادية ذات المقدمات الخاطئة صحيحةٌ ظاهريًا ، إلا أن عبارة "إذا كان 8 فرديًا، فإن 3 عدد أولي" تُعتبر خاطئةً في اللغة الطبيعية. وبالمثل، فإن أي جملة شرطية مادية ذات نتيجة صحيحة تكون صحيحةً في حد ذاتها، لكن المتحدثين عادةً ما يرفضون جملًا مثل "إذا كان لديّ بنس واحد في جيبي، فإن باريس تقع في فرنسا". وقد سُميت هذه المشكلات الكلاسيكية بمفارقات الاستلزام المادي . ^{[ 18 ]} بالإضافة إلى هذه المفارقات، قُدِّمت حججٌ أخرى متنوعة ضد تحليل الاستلزام المادي. فعلى سبيل المثال، ستكون جميع الجمل الشرطية المضادة للواقع صحيحةً ظاهريًا وفقًا لهذا التحليل، بينما في الواقع بعضها خاطئ. ^{[ 19 ]}

في منتصف القرن العشرين، اقترح عدد من الباحثين، من بينهم إتش بي غرايس وفرانك جاكسون، أن المبادئ البراغماتية قد تفسر التباينات بين الجمل الشرطية في اللغة الطبيعية والجمل الشرطية المادية. ووفقًا لآرائهم، تدل الجمل الشرطية على الاستلزام المادي، لكنها في النهاية تنقل معلومات إضافية عند تفاعلها مع قواعد المحادثة، مثل قواعد غرايس . ^{[ 18 ] [ 20 ]} وقد تجنبت الدراسات الحديثة في الدلالات الرسمية وفلسفة اللغة عمومًا الاستلزام المادي كتحليل للجمل الشرطية في اللغة الطبيعية. ^{[ 20 ]} وعلى وجه الخصوص، غالبًا ما رفضت هذه الدراسات افتراض أن الجمل الشرطية في اللغة الطبيعية هي جمل منطقية وظيفية ، بمعنى أن قيمة الصواب لعبارة "إذا كان P ، فإن Q " تُحدد فقط بقيمتي الصواب لـ P و Q. ^{[ 18 ]} وبالتالي، تقترح التحليلات الدلالية للجمل الشرطية عادةً تفسيرات بديلة مبنية على أسس مثل المنطق الموجه ، ومنطق الصلة ، ونظرية الاحتمالات ، والنماذج السببية . ^{[ 20 ] [ 18 ] [ 21 ]}

لاحظ علماء النفس الذين يدرسون الاستدلال الشرطي اختلافات مماثلة، كما في دراسة مهمة اختيار واسون الشهيرة ، حيث لم يستدل أقل من 10% من المشاركين وفقًا للشرط المادي. وقد فسر بعض الباحثين هذه النتيجة على أنها فشل المشاركين في الالتزام بقوانين الاستدلال المعيارية، بينما فسرها آخرون على أنها استدلال معياري وفقًا لقوانين غير تقليدية. ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}

• أيالا رينكون، موريسيو؛ دي مورا، فلافيو إل سي (2017). المنطق التطبيقي لعلماء الكمبيوتر . موضوعات البكالوريوس في علوم الكمبيوتر. سبرينغر. دوى : 10.1007/978-3-319-51653-0 . رقم ISBN 978-3-319-51651-6.

• بورباكي، ن. (1954). نظرية المجموعات . باريس: هيرمان وسي، المحررون. ص.  14.

• إيدجنجتون، دوروثي (2008). "الجمل الشرطية" . في إدوارد ن. زالتا (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة (  طبعة شتاء 2008).

• إندرتون، هربرت ب. (2001). مقدمة رياضية في المنطق (  الطبعة الثانية). دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 0-12-238452-0.

• فون فينتل، كاي (2011). "الشروط" (PDF) . وفي فون هوسينجر، كلاوس؛ ماينبورن، كلوديا؛ بورتنر، بول (محرران). علم الدلالة: دليل دولي للمعنى . دي جرويتر موتون. الصفحات من 1515 إلى 1538. دوى : 10.1515/9783110255072.1515 . اتش دي ال : 1721.1/95781 . رقم ISBN  978-3-11-018523-2.

• فرانكو، جون؛ جولدسميث، جودي؛ شليبف، جون؛ سبيكنماير، إيوالد؛ سواميناثان، آر بي (1999). "خوارزمية لفئة الصيغ الاستلزامية البحتة" . الرياضيات التطبيقية المنفصلة . 96-97 : 89-106 . doi : 10.1016/S0166-218X(99)00038-4 .

• جيليز، ثوني (2017). "الجمل الشرطية" (ملف PDF) . في: هيل، ب.؛ رايت، س.؛ ميلر، أ. (محررون). دليل فلسفة اللغة . وايلي بلاكويل. ص 401-436 . doi : 10.1002/9781118972090.ch17 . ISBN  9781118972090.

• فان هيجينورت، جان، محرر. (1967). من فريجه إلى غودل: كتاب مرجعي في المنطق الرياضي، 1879-1931 . مطبعة جامعة هارفارد. ص 84-87 . ISBN  0-674-32449-8.

• هيلبرت، د. (1918). Prinzipien der Mathematik (ملاحظات المحاضرة تم تحريرها بواسطة Bernays, P.) .

• يوهانسون، إنجبريت (1937). "Der Minimalkalkül، ein reduzierter intuitionistischer Formalismus" . Compositio Mathematica (باللغة الألمانية). 4 : 119 - 136.

• مندلسون، إليوت (2015). مقدمة في المنطق الرياضي (  الطبعة السادسة). بوكا راتون: دار نشر سي آر سي/مجموعة تايلور وفرانسيس (كتاب من منشورات تشابمان وهول). ص  2. ISBN 978-1-4822-3778-8.

• نحاس ، مايكل (25 أبريل 2022). "الترجمة الإنجليزية لكتاب "مبادئ الحساب، معرض جديد للمنهجية""( ملف PDF) . GitHub . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 أغسطس 2022 .

• أوكسفورد، م.؛ تشاتر، ن. (1994). "تحليل منطقي لمهمة الاختيار باعتبارها اختيارًا أمثل للبيانات". مجلة علم النفس . 101 (4): 608-631 . CiteSeerX 10.1.1.174.4085 . doi : 10.1037/0033-295X.101.4.608 . S2CID 2912209 .  

• براويتز، داج (1965). الاستنتاج الطبيعي: دراسة إثباتية نظرية . Acta Universitatis Stockholmiensis؛ دراسات ستوكهولم في الفلسفة، 3. ستوكهولم، جوتنبرج، أوبسالا: المكفيست وويكسل. او سي ال سي 912927896 . 

• ستار، ويلو (2019). "الافتراضات المضادة للواقع" . في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة .

• ستينينغ، ك.؛ فان لامبالجن، م. (2004). "قليل من المنطق يُحدث فرقًا كبيرًا: بناء التجربة على النظرية الدلالية في علم الإدراك للاستدلال الشرطي". العلوم المعرفية . 28 (4): 481-530 . CiteSeerX 10.1.1.13.1854 . doi : 10.1016/j.cogsci.2004.02.002 . 

• فون سيدو، م. (2006). نحو منطق بايزي مرن ومنطق أخلاقي لاختبار القواعد الوصفية والإرشادية (أطروحة دكتوراه). غوتنغن: مطبعة جامعة غوتنغن. doi : 10.53846/goediss-161 . S2CID 246924881 . 

• تينانت، نيل (1990) [1978]. المنطق الطبيعي (الطبعة الأولى، معاد طباعتها مع تصحيحات  ). مطبعة جامعة إدنبرة . ISBN 0852245793.

• براون، فرانك ماركهام (2003)، الاستدلال البولياني: منطق المعادلات البوليانية ، الطبعة الأولى، دار نشر كلوير الأكاديمية، نورويل ، ماساتشوستس. الطبعة الثانية، دار نشر دوفر ، مينولا ، نيويورك، 2003.
• إيدجنجتون، دوروثي (2001)، "الشروط"، في لو جوبل (محرر)، دليل بلاكويل للمنطق الفلسفي ، بلاكويل .
• كوين، دبليو في (1982)، أساليب المنطق ، (الطبعة الأولى 1950)، (الطبعة الثانية 1959)، (الطبعة الثالثة 1972)، الطبعة الرابعة، مطبعة جامعة هارفارد ، كامبريدج ، ماساتشوستس.
• ستالناكر، روبرت ، "الجمل الشرطية الدلالية"، فلسفة ، 5 (1975): 269-286.

• إيدجنجتون، دوروثي. "الجمل الشرطية" . في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة . الرقم الدولي الموحد للدوريات 1095-5054 . رقم OCLC 429049174 .