عقدة على شكل الرقم ثمانية (رياضيات)

في نظرية العقد ، تُعدّ عقدة الرقم ثمانية (وتُسمى أيضًا عقدة ليستينغ ^{[ 1 ]} ) العقدة الوحيدة التي تحتوي على أربعة تقاطعات . وهذا يجعلها ثالث أصغر عقدة من حيث عدد التقاطعات الممكنة، بعد العقدة البسيطة وعقدة البرسيم . تُعتبر عقدة الرقم ثمانية عقدة أولية .

وقد أطلق هذا الاسم لأن ربط عقدة على شكل الرقم ثمانية العادية في حبل ثم ربط الطرفين معًا، بأكثر الطرق طبيعية، يعطي نموذجًا للعقدة الرياضية.

يمكن تمثيل عقدة الرقم ثمانية تمثيلاً بارامترياً بسيطاً على أنها مجموعة جميع النقاط ( x , y , z ) حيث

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=2\cos {(3t)}+\cos {(t)},\\y&=2\sin {(3t)}+\sin {(t)},\\z&=\sin {(4t)},\end{aligned}}}$

بالنسبة لـ t المتغيرة على الأعداد الحقيقية (انظر التمثيل المرئي ثنائي الأبعاد في أسفل اليمين).

عقدة الشكل ثمانية هي عدد أولي ، متناوب ، نسبي ، وقيمته 5/3، ^{[ 2 ]} وهي غير كيرالية . كما أنها عقدة ليفية . ويستنتج هذا من تمثيلات أخرى أقل بساطة (لكنها مثيرة للاهتمام للغاية) لهذه العقدة.

(1) إنها ضفيرة مغلقة متجانسة ^{[ ملاحظة 1 ]} (أي إغلاق ضفيرة 3 أوتار σ ₁ σ ₂ ⁻¹ σ ₁ σ ₂ ⁻¹ )، ونظرية جون ستالينجز تُظهر أن أي ضفيرة متجانسة مغلقة تكون ليفية.

(2) إنها الرابطة عند (0,0,0,0) لنقطة حرجة معزولة لدالة متعددة الحدود الحقيقية F : R ⁴ → R ² ، لذا (وفقًا لنظرية جون ميلنور ) فإن دالة ميلنور لـ F هي في الواقع تليف. وقد وجد برنارد بيرون أول دالة F من هذا النوع لهذه العقدة، وهي:

${\displaystyle F(x,y,z,t)=G(x,y,z^{2}-t^{2},2zt),\,\!}$

أين

${\displaystyle {\begin{align}G(x,y,z,t)=\ &(z(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})+x(6x^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2}),\\&\ tx{\sqrt {2}}+y(6x^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2})).\end{محاذاة}}}$

لعبت عقدة الشكل ثمانية دورًا هامًا تاريخيًا (ولا تزال كذلك) في نظرية الفضاءات ثلاثية الأبعاد . في منتصف إلى أواخر سبعينيات القرن العشرين، أثبت ويليام ثورستون أن عقدة الشكل ثمانية زائدية ، وذلك بتحليل مكملتها إلى هرمين رباعيي الأوجه زائديين مثاليين . ( كان روبرت رايلي وترولز يورغنسن ، كلٌ على حدة، قد أثبتا سابقًا أن عقدة الشكل ثمانية زائدية بطرق أخرى). قاده هذا البناء، الذي كان جديدًا آنذاك، إلى العديد من النتائج والأساليب المهمة. على سبيل المثال، تمكن من إثبات أن جميع عمليات ديهن الجراحية على عقدة الشكل ثمانية، باستثناء عشر عمليات، نتج عنها فضاءات ثلاثية الأبعاد غير قابلة للاختزال، لا تخضع لتقنية هاكن ولا لتقنية سيفيرت الليفية ؛ وكانت هذه أولى الأمثلة من نوعها. وقد تم اكتشاف المزيد من الأمثلة بتعميم بناء ثورستون ليشمل عقدًا وروابط أخرى.

تُعتبر عقدة الرقم ثمانية أيضاً العقدة الزائدية التي يكون لمكملها أصغر حجم ممكن ،${\displaystyle 6\Lambda (\pi /3)\approx 2.02988...}$(التسلسل A091518 في OEIS ) ، حيث${\displaystyle \Lambda }$هي دالة لوباتشيفسكي . ^{[ 3 ]} من هذا المنظور، يمكن اعتبار عقدة الشكل ثمانية أبسط عقدة زائدية. مكمل عقدة الشكل ثمانية هو غطاء مزدوج لمتشعب جيزيكينغ ، الذي يتميز بأصغر حجم بين المتشعبات الزائدية ثلاثية الأبعاد غير المتراصة.

تُعدّ عقدة الشكل ثمانية وعقدة البريتزل (−2,3,7) العقدتين الزائديتين الوحيدتين المعروفتين اللتين تحتويان على أكثر من 6 عمليات جراحية استثنائية ، وهي عمليات دين التي تُنتج فضاءً ثلاثي الأبعاد غير زائدي؛ إذ يبلغ عددها 10 و7 على التوالي. تنصّ نظرية لاكنبي ومايرهوف، التي يعتمد برهانها على حدسية الهندسة والمساعدة الحاسوبية ، على أن 10 هو أكبر عدد ممكن من العمليات الجراحية الاستثنائية لأي عقدة زائدية. مع ذلك، لا يُعرف حاليًا ما إذا كانت عقدة الشكل ثمانية هي الوحيدة التي تصل إلى الحد الأقصى البالغ 10. ومن التخمينات المعروفة أن الحد الأقصى (باستثناء العقدتين المذكورتين) هو 6.

العقدة على شكل الرقم ثمانية من النوع 1 وهي ليفية. لذلك، فإن أليافها المكملة فوق الدائرة هي أسطح سيفرت ، وهي عبارة عن أسطح حلقية ثنائية الأبعاد ذات مكون حدودي واحد. وبالتالي، فإن خريطة المونودرومي هي تماثل شكلي للسطح الحلقي ثنائي الأبعاد، والذي يمكن تمثيله في هذه الحالة بالمصفوفة.${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}})}$.

متعددة حدود ألكسندر لعقدة الرقم ثمانية هي

${\displaystyle \Delta (t)=-t+3-t^{-1},\ }$

منذ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1\\0&-1\end{pmatrix}}}$ هي مصفوفة سيفرت محتملة ، أو بسبب متعددة حدود كونواي الخاصة بها ، والتي هي

${\displaystyle \nabla (z)=1-z^{2},\ }$^{[ 4 ]}

ومتعددة حدود جونز هي

${\displaystyle V(q)=q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}.\ }$

التناظر بين${\displaystyle q}$و${\displaystyle q^{-1}}$يعكس ذلك في متعددة حدود جونز حقيقة أن عقدة الشكل ثمانية غير متناظرة.

• إيان أغول ، حدود التعبئة الاستثنائية لـ Dehn ، الهندسة والطوبولوجيا 4 (2000)، 431-449. MR 1799796 
• تشون كاو وروبرت مايرهوف، " المشعبات الزائدية ثلاثية الأبعاد ذات الحد الأدنى من الحجم القابل للتوجيه" ، مجلة "Inventiones Mathematicae"، المجلد 146 (2001)، العدد 3، الصفحات 451-478. MR 1869847 
• مارك لاكنبي ، جراحة دين الزائدية اللفظية ، Inventiones Mathematicae 140 (2000)، العدد 2، 243-282. MR 1756996 
• مارك لاكينبي وروبرت مايرهوف، الحد الأقصى لعدد عمليات ديهن الجراحية الاستثنائية ، arXiv:0808.1176
• روبيون كيربي ، مسائل في الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد ، (انظر المسألة 1.77، المنسوبة إلى كاميرون جوردون ، للميول الاستثنائية)
• ويليام ثورستون، هندسة وطوبولوجيا الفضاءات الثلاثية ، ملاحظات محاضرات جامعة برينستون (1978-1981).

• " 4_1 "، أطلس العقدة . تاريخ الوصول: 7 مايو 2013. 
• وايسشتاين، إريك دبليو. "عقدة الشكل ثمانية" . عالم الرياضيات .