عقدة البرسيم

في نظرية العقد ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، تُعدّ عقدة البرسيم أبسط مثال على عقدة غير تافهة . يمكن الحصول على عقدة البرسيم بربط طرفي عقدة بسيطة ، مما ينتج عنه حلقة معقودة . وباعتبارها أبسط عقدة، تُعدّ عقدة البرسيم أساسية لدراسة نظرية العقد الرياضية.

سُميت عقدة البرسيم الثلاثية بهذا الاسم نسبةً إلى نبات البرسيم ثلاثي الأوراق (أو البرسيم الثلاثي).

يمكن تعريف عقدة البرسيم الثلاثية بأنها المنحنى الناتج عن المعادلات البارامترية التالية :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin t+2\sin 2t\\y&=\cos t-2\cos 2t\\z&=-\sin 3t\end{aligned}}}$

تُعدّ عقدة الطارة (2,3) أيضًا عقدة ثلاثية الفصوص. تُعطي المعادلات البارامترية التالية عقدة طارة (2,3) تقع على الطارة.${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=(2+\cos 3t)\cos 2t\\y&=(2+\cos 3t)\sin 2t\\z&=\sin 3t\end{aligned}}}$

يُعتبر أي تشوه مستمر للمنحنى أعلاه عقدة ثلاثية الفصوص. وبشكلٍ أدق، يُعتبر أي منحنى متماثل مع عقدة ثلاثية الفصوص عقدة ثلاثية الفصوص. بالإضافة إلى ذلك، تُعتبر الصورة المرآوية لعقدة ثلاثية الفصوص عقدة ثلاثية الفصوص. في علم الطوبولوجيا ونظرية العقد، تُعرَّف العقدة ثلاثية الفصوص عادةً باستخدام مخطط العقد بدلاً من معادلة وسيطية صريحة.

في الهندسة الجبرية ، يمكن أيضًا الحصول على شكل البرسيم كتقاطع في C ² للكرة الثلاثية S ³ مع منحنى المستوى المركب لأصفار متعددة الحدود المركبة z ²  + w ³ ( مكعب ذو قمة مدببة ). 

برسيم ثلاثي الأوراق يساري وبرسيم ثلاثي الأوراق يميني

إذا تم قلب أحد طرفي شريط أو حزام ثلاث مرات ثم لصقه بالطرف الآخر، فإن الحافة تشكل عقدة ثلاثية الفصوص. ^{[ 1 ]}

تُعتبر عقدة البرسيم ثلاثية الشكل حلزونية ، بمعنى أنه يمكن تمييزها عن صورتها المرآوية. يُعرف الشكلان الناتجان باسم عقدة البرسيم اليسرى وعقدة البرسيم اليمنى . لا يمكن تحويل عقدة البرسيم اليسرى بشكل مستمر إلى عقدة برسيم يمنى، أو العكس. (أي أن عقدتي البرسيم ليستا متماثلتين نظائريًا ).

على الرغم من كونها حلزونية، فإن عقدة البرسيم قابلة للانعكاس أيضًا، مما يعني أنه لا يوجد فرق بين عقدة البرسيم الموجهة عكس اتجاه عقارب الساعة وتلك الموجهة مع اتجاه عقارب الساعة. أي أن حلزونية عقدة البرسيم تعتمد فقط على نقاط التقاطع العلوية والسفلية، وليس على اتجاه المنحنى.

لكن العقدة تتمتع بتناظر دوراني. المحور يقع حول خط عمودي على الصفحة بالنسبة للصورة ثلاثية الألوان.

عقدة البرسيم ليست عقدة تافهة، بمعنى أنه لا يمكن "فكّها" في ثلاثة أبعاد دون قطعها. رياضياً، هذا يعني أن عقدة البرسيم ليست متماثلة مع العقدة غير المفكوكة . على وجه الخصوص، لا توجد سلسلة من حركات ريديميستر التي من شأنها فكّ عقدة البرسيم.

يتطلب إثبات ذلك بناء ثابت للعقدة يميز بين العقدة الثلاثية والعقدة البسيطة. أبسط هذه الثوابت هو قابلية التلوين بثلاثة ألوان : فالعقدة الثلاثية قابلة للتلوين بثلاثة ألوان، بينما العقدة البسيطة غير قابلة لذلك. إضافةً إلى ذلك، يميز كل متعدد حدود رئيسي للعقدة تقريبًا بين العقدة الثلاثية والعقدة البسيطة، وكذلك معظم ثوابت العقد القوية الأخرى.

في نظرية العقد، تُعدّ عقدة البرسيم الثلاثي أول عقدة غير تافهة، وهي العقدة الوحيدة التي تحتوي على ثلاثة تقاطعات . وهي عقدة أولية ، ويُرمز لها بالرمز 3 ₁ في ترميز ألكسندر-بريجز . أما ترميز داوكر ​​لعقدة البرسيم الثلاثي فهو 4  6  2، وترميز كونواي هو [3].

يمكن وصف العقدة ثلاثية الفصوص بأنها عقدة (2,3)-الحلقية . وهي أيضاً العقدة التي يتم الحصول عليها عن طريق إغلاق الجديلة σ ₁ ³ .

العقدة ثلاثية الفصوص هي عقدة متبادلة . مع ذلك، فهي ليست عقدة مقطعية ، أي أنها لا تُحيط بقرص ثنائي الأبعاد أملس داخل كرة رباعية الأبعاد؛ إحدى طرق إثبات ذلك هي ملاحظة أن إشارتها لا تساوي صفرًا. دليل آخر هو أن متعددة حدود ألكسندر الخاصة بها لا تُحقق شرط فوكس-ميلنور .

العقدة ثلاثية الفصوص هي عقدة ليفية ، مما يعني أن مكملها في${\displaystyle S^{3}}$هي حزمة ألياف فوق الدائرة${\displaystyle S^{1}}$يمكن اعتبار شكل البرسيم الثلاثي K مجموعة من الأزواج${\displaystyle (z,w)}$من الأعداد المركبة بحيث${\displaystyle |z|^{2}+|w|^{2}=1}$و${\displaystyle z^{2}+w^{3}=0}$ثم تحتوي حزمة الألياف هذه على خريطة ميلنور${\displaystyle \phi (z,w)=(z^{2}+w^{3})/|z^{2}+w^{3}|}$باعتبارها إسقاط حزمة الألياف لمكمل العقدة${\displaystyle S^{3}\setminus \mathbf {K} }$إلى الدائرة${\displaystyle S^{1}}$الليف عبارة عن طارة مثقوبة مرة واحدة . وبما أن مكمل العقدة هو أيضًا ليف سيفرت ذو حدود، فإنه يمتلك سطحًا أفقيًا غير قابل للانضغاط - وهو أيضًا ليف خريطة ميلنور . (يفترض هذا أن العقدة قد تم تكثيفها لتصبح طارة صلبة N _ε ( K )، وأن الجزء الداخلي من هذه الطارة الصلبة قد تمت إزالته لإنشاء مكمل عقدة مضغوط).${\displaystyle S^{3}\setminus \operatorname {int} (\mathrm {N} _{\varepsilon }(\mathbf {K} )}$.)

متعددة حدود ألكسندر لعقدة البرسيم الثلاثية هي$${\displaystyle \Delta (t)=t-1+t^{-1},}$$منذ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}}$هي مصفوفة سيفرت محتملة (للمصفوفة اليسرى)، أو بسبب متعددة حدود كونواي الخاصة بها ، ^{[ 2 ]} وهي$${\displaystyle \nabla (z)=z^{2}+1.}$$متعددة حدود جونز هي$${\displaystyle V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4},}$$ومتعددة حدود كوفمان للبرسيم الثلاثي هي$${\displaystyle L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2}.}$$متعددة الحدود HOMFLY للبرسيم ثلاثي الأوراق هي$${\displaystyle L(\alpha ,z)=-\alpha ^{4}+\alpha ^{2}z^{2}+2\alpha ^{2}.}$$

يتم تحديد مجموعة العقد للشكل ثلاثي الفصوص من خلال العرض التقديمي$${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle ,}$$أو ما يعادل ذلك ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \langle x,y\mid xyx=yxy\rangle .}$$هذه المجموعة متماثلة مع مجموعة الجدائل ذات الخيوط الثلاثة.

باعتبارها أبسط عقدة غير تافهة، تُعدّ العقدة ثلاثية الفصوص رمزًا شائعًا في الأيقونات والفنون البصرية . على سبيل المثال، الشكل الشائع لرمز التريكيترا هو عقدة ثلاثية الفصوص، وكذلك بعض نسخ رمز فالكنوت الجرماني .

في الفن الحديث، تصور لوحة "العقد" الخشبية للفنان إم سي إيشر (1965) ثلاث عقد ثلاثية الفصوص، حيث تلتف أشكالها الصلبة بطرق مختلفة. ^{[ 4 ]}

• عقدة الخمسة أوراق
• عقدة على شكل الرقم ثمانية (رياضيات)
• العقدة الغوردية
• رابط البريتزل
• تبادل العقدة ثلاثية الفصوص
• رمز التريكيترا

• Wolframalpha: عقدة توروس (2,3)
• نموذج ثلاثي الأبعاد لعقدة البرسيم www.cgtrader.com

التصنيف: الطوبولوجيا