فك العقدة

في نظرية العقد الرياضية ، تُعرف العقدة البسيطة ، أو العقدة غير المعقدة ، بأنها أقل أنواع العقد تعقيدًا. ^{[ 1 ]} وبشكل بديهي، تُعرَّف العقدة البسيطة بأنها حلقة مغلقة من حبل بدون عقدة . أما بالنسبة لنظرية العقد، فالعقدة البسيطة هي أي دائرة طوبولوجية مضمنة في الكرة ثلاثية الأبعاد، وتكون متماثلة الشكل (أي قابلة للتشوه) مع دائرة هندسية مستديرة ، وهي العقدة البسيطة القياسية .

العقدة غير المكتملة هي العقدة الوحيدة التي تمثل حدود قرص مضمن ، مما يعطي خاصية أن العقد غير المكتملة فقط لها جنس سيفرت 0. وبالمثل، فإن العقدة غير المكتملة هي عنصر الوحدة بالنسبة لعملية جمع العقدة .

العقدة غير المكتملة هي حلقة مغلقة ثلاثية الأبعاد لا تحتوي على عقد، ويمكن من حيث المبدأ مدّها لتصبح دائرة دون أن يمر أي جزء منها عبر جزء آخر. مخطط العقدة غير المكتملة هو إسقاط لشكلها ثلاثي الأبعاد على بعدين، حيث قد تبدو الحلقة وكأنها تتقاطع مع نفسها. عند كل تقاطع بين جزئي المنحنى، يُظهر المخطط أي جزء يمر فوق الآخر أو تحته. لإثبات ما إذا كان أي مخطط معين يمثل عقدة غير مكتملة، يجب تطبيق سلسلة من حركات ريديميستر على المخطط لإزالة جميع التقاطعات حتى يصبح المخطط دائرة، وهو ما يُعرف بتبسيط المخطط. يتضمن هذا عادةً تمرير أجزاء من المخطط فوق بعضها البعض (النوعان الثاني والثالث من ريديميستر)، أو فكّ الحلقات الملتوية (النوع الأول). في حين أنه يمكن تبسيط مخطط فردي بعدد قليل من حركات ريديميستر، إلا أنه من الصعب جدًا معرفة عدد الحركات اللازمة لذلك لأي مخطط.

كان تحديد ما إذا كانت عقدة معينة عقدة غير مفكوكة دافعًا رئيسيًا وراء ثوابت العقد ، إذ كان يُعتقد أن هذا النهج قد يُوفر خوارزمية فعالة للتعرف على العقدة غير المفكوكة من خلال تمثيل بياني مثل مخطط العقد . ومن المعروف أن التعرف على العقد غير المفكوكة يندرج ضمن فئتي NP و co-NP .

من المعروف أن تماثل فلور للعقدة وتماثل خوفانوف يكشفان عن العقدة غير المكتملة، لكن من غير المعروف ما إذا كان من الممكن حسابهما بكفاءة لهذا الغرض. كما أنه من غير المعروف ما إذا كانت متعددة حدود جونز أو الثوابت من النوع المحدود قادرة على كشف العقدة غير المكتملة.

قد يكون من الصعب إيجاد طريقة لفك تشابك الخيط، على الرغم من أن كونه غير متشابك في البداية يُثبت إمكانية ذلك. وقدّم ثيستلثويت وأوتشياي العديد من الأمثلة على مخططات للعُقد غير المتشابكة التي لا توجد طريقة واضحة لتبسيطها، مما يتطلب زيادة عدد التقاطعات في المخطط مؤقتًا . تُعرف هذه الحالات بالعُقد الصعبة غير المتشابكة .

• 
  عقدة ثيستلثويت
• 
  إحدى عقد أوتشياي التي تم حلها

على الرغم من أن الحبل لا يكون عادةً على شكل حلقة مغلقة، إلا أنه توجد أحيانًا طريقة شائعة لتصور ربط طرفيه معًا. من هذا المنطلق، فإن العديد من العقد العملية المفيدة هي في الواقع عقد غير مكتملة، بما في ذلك تلك التي يمكن ربطها في شكل حلقة . ^{[ 2 ]}

يمكن تمثيل كل عقدة مروضة كوصلة ، وهي عبارة عن مجموعة من القطع المستقيمة الصلبة المتصلة بمفاصل عالمية عند نهاياتها. يُعرف عدد القطع اللازمة لتمثيل عقدة كوصلة باسم "عدد القطع"، بينما تُعرف العقدة غير المعقودة العالقة بأنها وصلة غير معقودة لا يمكن إعادة تشكيلها إلى مضلع محدب مسطح. ^{[ 3 ]} وكما هو الحال مع عدد التقاطعات، قد تحتاج الوصلة إلى زيادة تعقيدها بتقسيم قطعها قبل تبسيطها.

العقدة غير المعقودة الصعبة هي رسم تخطيطي للعقدة غير المعقودة يصعب إثبات أنها غير معقودة . تحتوي هذه الرسوم عادةً على عشرة تقاطعات على الأقل، وتنشأ الصعوبة من إدراك الإنسان للعقدة، بالإضافة إلى عدد حركات ريديميستر اللازمة لاختزال الرسم التخطيطي إلى دائرة. عادةً، يتطلب رسم العقدة غير المعقودة الصعبة إضافة تقاطعات إضافية قبل أن يصبح عدد التقاطعات صفرًا. تكتسب هذه الرسوم أهمية في مجال نظرية العقد لأنها تُستخدم كحالات لاختبار الفرضيات المتعلقة بخوارزميات فك العقد. ^{[ 4 ]}

أمثلة

ابتكر ليبرخت غوريتز في عام 1934 أمثلة مبكرة لمخططات العقد المعقدة. يحتوي مخطط يُعرف باسم عقدة غوريتز على 11 تقاطعًا، ولكنه يتطلب إضافة تقاطع آخر لتبسيطه. ^{[ 5 ]} وهناك مخطط آخر يُعرف باسم "المُذنب"، ابتكره كين ميلت في عام 1988. ^{[ 6 ]} يحتوي هذا المخطط على 10 تقاطعات. يجب إضافة تقاطعين على الأقل، ليصل عدد التقاطعات في المخطط إلى 12 تقاطعًا على الأقل، قبل أن يُمكن فك العقدة باستخدام حركات ريديميستر المستوية. (مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه لا يلزم سوى إضافة تقاطع واحد جديد عند استخدام حركات ريديميستر الكروية). وهناك العديد من الأمثلة الأخرى، مثل "الوحش" الذي ابتكره روب شارين، الذي استخدم محركًا فيزيائيًا لإثبات إمكانية تبسيط العقد المعقدة. ^{[ 7 ]} وجدت دراسة حسابية أجريت عام 2025 أن هناك 2.6 مليون حالة من مخططات العقد الصعبة التي لا يمكن تبسيطها بواسطة الخوارزميات المتاحة، ولكن تم تحديد أنها غير معقودة من خلال حساب ثوابت العقد . ^{[ 8 ]}

تعد متعددة حدود ألكسندر -كونواي ومتعددة حدود جونز للعقدة غير المكتملة تافهة:

${\displaystyle \Delta (t)=1,\quad \nabla (z)=1,\quad V(q)=1.}$

لا توجد عقدة أخرى ذات 10 تقاطعات أو أقل لها متعددة حدود ألكسندر تافهة، لكن عقدة كينوشيتا-تيراساكا وعقدة كونواي (وكلتاهما ذات 11 تقاطعًا) لهما نفس متعددات حدود ألكسندر وكونواي للعقدة غير المعقدة. يبقى السؤال مطروحًا حول ما إذا كانت أي عقدة غير تافهة لها نفس متعددة حدود جونز للعقدة غير المعقدة.

العقدة غير المكتملة هي العقدة الوحيدة التي تكون مجموعة عقدها مجموعة دورية لانهائية ، ومكمل عقدتها متماثل مع طارة صلبة .

إذا كان الرسم التخطيطي يقع على سطح كرة بدلاً من سطح مستوٍ، فإن فك العقدة يصبح أسهل، إذ يمكن لجزء من الرسم (على سبيل المثال) أن ينزلق فوق القطب الشمالي، ويعبر خط الاستواء، ثم يرتفع من القطب الجنوبي. في حالة كل من عقدة غوريتز وعقدة كولبريت، يلزم عبور إضافي واحد فقط (بدلاً من اثنين) على سطح الكرة، أما عقدة مونستر فلم تعد تتطلب عبورات إضافية. في عام ٢٠٢١، تم إثبات أنه لا يوجد مثال منشور سابقًا لعقدة صعبة يتطلب أكثر من عبور إضافي واحد على سطح الكرة. ^{[ ٩ ]} استُخدمت أساليب حسابية لإنشاء رسومات تخطيطية جديدة لعقد صعبة تتطلب ثلاثة عبورات إضافية على الأقل، سواء على سطح الكرة أو السطح المستوي، وهي حاليًا أصعب العقد المعروفة.

• العقدة (في الرياضيات) - عملية دمج عقدتين موجهتين 
• عدد مرات فك العقدة - الحد الأدنى لعدد المرات التي يجب فيها تمرير عقدة معينة عبر نفسها حتى يتم فكها 
• فك الارتباط - رابط يتكون من عدد محدود من العقد غير المرتبطة 

• " فك العقدة "، أطلس العقدة . تاريخ الوصول: 7 مايو 2013. 
• وايسشتاين، إريك دبليو. "فك العقدة" . عالم الرياضيات .