مقارنة بين البنى الطوبولوجية

في علم الطوبولوجيا والمجالات الرياضية ذات الصلة ، تُشكل مجموعة جميع الطوبولوجيات الممكنة على مجموعة معينة مجموعة مرتبة جزئيًا . ويمكن استخدام علاقة الترتيب هذه لمقارنة الطوبولوجيات .

يمكن تعريف الطوبولوجيا على مجموعة ما بأنها مجموعة المجموعات الجزئية التي تُعتبر "مفتوحة". (ثمة تعريف بديل هو أنها مجموعة المجموعات الجزئية التي تُعتبر "مغلقة". هذان التعريفان متكافئان جوهريًا لأن متممة المجموعة المفتوحة تكون مغلقة والعكس صحيح. في ما يلي، لا يهم أي تعريف يُستخدم.)

وللتوضيح، ينبغي على القارئ أن يفكر في الطوبولوجيا على أنها عائلة من المجموعات المفتوحة في فضاء طوبولوجي، لأن هذا هو المعنى القياسي لكلمة "طوبولوجيا".

ليكن τ ₁ و τ ₂ بنيتين طوبولوجية على مجموعة X بحيث تكون τ ₁ محتواة في τ ₂ :

${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$.

أي أن كل عنصر من عناصر ^{τ1 هو أيضاً} _عنصر من عناصر _τ2 . عندئذٍ _، يُقال _إن الطوبولوجيا τ1 طوبولوجيا أضعف ( أصغر ) من τ2 ، ويُقال إن τ2 طوبولوجيا أدق ( أقوى ) من _{τ1 .} [ ملاحظة 1 ]

وإذا كان ذلك بالإضافة إلى

${\displaystyle \tau _{1}\neq \tau _{2}}$

نقول ^أن τ ₁ أكثر خشونة من τ ₂ وأن τ ₂ أكثر دقة من τ _1. ^{[ 1} ]

تحدد العلاقة الثنائية ⊆ علاقة ترتيب جزئية على مجموعة جميع الطوبولوجيات الممكنة على X.

أفضل طوبولوجيا على X هي الطوبولوجيا المنفصلة ؛ تجعل هذه الطوبولوجيا جميع المجموعات الجزئية مفتوحة. أما أضعف طوبولوجيا على X فهي الطوبولوجيا التافهة ؛ لا تقبل هذه الطوبولوجيا سوى المجموعة الفارغة والفضاء بأكمله كمجموعات مفتوحة.

في فضاءات الدوال وفضاءات القياسات ، توجد عادةً عدة طوبولوجيات ممكنة. انظر إلى الطوبولوجيات على مجموعة المؤثرات في فضاء هيلبرت للاطلاع على بعض العلاقات المعقدة.

جميع الطوبولوجيات القطبية الممكنة على زوج ثنائي تكون أدق من الطوبولوجيا الضعيفة وأكثر خشونة من الطوبولوجيا القوية .

يمكن تزويد الفضاء المتجهي المركب Cₙ إما بطوبولوجيا إقليدية عادية، أو بطوبولوجيا زاريسكي . في الأخيرة، تكون المجموعة الجزئية V من Cₙ مغلقة إذا وفقط إذا كانت تحتوي على جميع حلول نظام معادلات متعددة الحدود. ولأن أي مجموعة جزئية V ^من هذا النوع هي أيضًا مجموعة مغلقة بالمعنى العادي، ولكن ليس العكس ، ^فإن طوبولوجيا زاريسكي أضعف من الطوبولوجيا العادية.

لتكن τ ₁ و τ ₂ بنيتين طوبولوجيتين على مجموعة X. عندئذٍ تكون العبارات التالية متكافئة:

• τ ₁ ⊆ τ ₂ .
• إن خريطة الهوية id _X  : ( X , τ ₂ ) → ( X , τ ₁ ) هي خريطة متصلة .
• إن خريطة الهوية id _X  : ( X , τ ₁ ) → ( X , τ ₂ ) هي خريطة مفتوحة بقوة .
• إن خريطة الهوية id _X  : ( X , τ ₁ ) → ( X , τ ₂ ) هي خريطة مفتوحة نسبياً .

(خريطة الهوية id _X شاملة ، وبالتالي فهي مفتوحة بقوة إذا وفقط إذا كانت مفتوحة نسبياً.)

هناك نتيجتان مباشرتان للعبارات المكافئة المذكورة أعلاه وهما:

• تظل الدالة المتصلة f  : X → Y متصلة إذا أصبحت الطوبولوجيا على Y أكثر خشونة أو الطوبولوجيا على X أكثر دقة .
• تظل الدالة المفتوحة (أو المغلقة) f  : X → Y مفتوحة (أو مغلقة) إذا أصبحت الطوبولوجيا على Y أدق أو الطوبولوجيا على X أخشَن .

يمكن أيضًا مقارنة التوبولوجيات باستخدام قواعد الجوار . لنفترض أن _τ₁ و τ₂ توبولتان على مجموعة X، _{ولنفترض} أن Bᵢ( x ₎ قاعدة محلية للتوبولوجيا τᵢ عند x ∈ X، حيث i = 1, 2. عندئذٍ، τ₁ ⊆ τ₂ إذا وفقط _إذا كان _لكل x ∈ _{X ،} تحتوي كل مجموعة مفتوحة U₁ في B₁ ( x ) على مجموعة مفتوحة _U₂ في _B₂ ( x ₎ . وهذا منطقي بديهيًا: فالتوبولوجيا الأدق ينبغي أن يكون لها جوارات أصغر .

تشكل مجموعة جميع التوبولوجيات على مجموعة X ، بالإضافة إلى علاقة الترتيب الجزئي ⊆، شبكة كاملة مغلقة تحت أي تقاطع. ^{[ 2 ]} أي أن أي مجموعة من التوبولوجيات على X لها نقطة التقاء (أو حد أدنى ) ونقطة اتصال (أو حد أعلى ). نقطة التقاء مجموعة من التوبولوجيات هي تقاطع تلك التوبولوجيات. أما نقطة الاتصال، فهي ليست بالضرورة اتحاد تلك التوبولوجيات (اتحاد توبولتين ليس بالضرورة أن يكون توبولوجيا)، بل هي التوبولوجيا الناتجة عن هذا الاتحاد.

كل شبكة كاملة هي أيضاً شبكة محدودة ، أي أنها تحتوي على عنصر أكبر وعنصر أصغر . في حالة الطوبولوجيا، يكون العنصر الأكبر هو الطوبولوجيا المنفصلة ، ​​ويكون العنصر الأصغر هو الطوبولوجيا التافهة .

شبكة الطوبولوجيا على مجموعة${\displaystyle X}$هي شبكة مكملة ؛ أي، بالنظر إلى طوبولوجيا${\displaystyle \tau }$على${\displaystyle X}$توجد طوبولوجيا${\displaystyle \tau '}$على${\displaystyle X}$بحيث يكون التقاطع${\displaystyle \tau \cap \tau '}$هي الطوبولوجيا التافهة والطوبولوجيا المتولدة من الاتحاد${\displaystyle \tau \cup \tau '}$هي الطوبولوجيا المنفصلة. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

إذا كانت المجموعة${\displaystyle X}$يحتوي على ثلاثة عناصر على الأقل، وهي شبكة من الطوبولوجيات على${\displaystyle X}$^{[ 5 ]} ليس معياريًا ، وبالتالي ليس توزيعيًا أيضًا.

• الطوبولوجيا الأولية ، وهي أبسط طوبولوجيا على مجموعة لجعل عائلة من التطبيقات من تلك المجموعة متصلة
• الطوبولوجيا النهائية ، وهي أفضل طوبولوجيا على مجموعة لجعل عائلة من التطبيقات في تلك المجموعة متصلة

• مونكرز، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا (  الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي : برنتيس هول، إنك . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 . ( متاح للزبائن ذوي الإعاقات البصرية )