الحد الأدنى والحد الأعلى

أخيرًا، قد تحتوي المجموعة المرتبة جزئيًا على العديد من الحدود العليا الدنيا دون وجود حد أعلى أصغر. الحدود العليا الدنيا هي تلك الحدود التي لا يوجد لها عنصر أصغر منها تمامًا ويُعد أيضًا حدًا أعلى. هذا لا يعني أن كل حد أعلى أدنى أصغر من جميع الحدود العليا الأخرى، بل يعني فقط أنه ليس أكبر منها. لا يمكن التمييز بين "الأدنى" و"الأصغر" إلا عندما لا يكون الترتيب كليًا . في المجموعة المرتبة كليًا، مثل الأعداد الحقيقية، تكون المفاهيم متطابقة.

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle S}$ليكن مجموعة جميع المجموعات الجزئية المنتهية من الأعداد الطبيعية، ولنعتبر المجموعة المرتبة جزئيًا التي تم الحصول عليها بأخذ جميع المجموعات من${\displaystyle S}$بالإضافة إلى مجموعة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$ومجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة${\displaystyle \mathbb {R} ^{+},}$مرتبة حسب تضمين المجموعة الفرعية كما سبق. ومن الواضح أن كليهما${\displaystyle \mathbb {Z} }$و${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$أكبر من جميع المجموعات المنتهية من الأعداد الطبيعية. ومع ذلك، لا هذا ولا ذاك${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$أصغر من${\displaystyle \mathbb {Z} }$ولا يصح العكس أيضاً: فكلتا المجموعتين تمثلان حدوداً عليا دنيا، لكن لا توجد مجموعة تمثل حداً أعلى.

تُعدّ خاصية الحد الأعلى الأدنى مثالاً على خصائص الاكتمال المذكورة آنفاً ، وهي خاصية نموذجية لمجموعة الأعداد الحقيقية. وتُعرف هذه الخاصية أحياناً باسم اكتمال ديديكيند .

إذا كانت مجموعة مرتبة${\displaystyle S}$تتمتع بخاصية أن كل مجموعة جزئية غير فارغة من${\displaystyle S}$إن وجود حد أعلى يعني أيضاً وجود حد أعلى أدنى، ثم${\displaystyle S}$يقال إن لها خاصية الحد الأعلى الأدنى. كما ذكرنا سابقًا، فإن المجموعة${\displaystyle \mathbb {R} }$تتمتع جميع الأعداد الحقيقية بخاصية الحد الأدنى الأعلى. وبالمثل، فإن المجموعة${\displaystyle \mathbb {Z} }$تتمتع مجموعة الأعداد الصحيحة بخاصية الحد الأدنى الأعلى؛ إذا${\displaystyle S}$هي مجموعة جزئية غير فارغة من${\displaystyle \mathbb {Z} }$وهناك عدد ما${\displaystyle n}$بحيث يكون كل عنصر${\displaystyle s}$ل${\displaystyle S}$أقل من أو يساوي${\displaystyle n,}$ثم هناك حد أعلى أدنى${\displaystyle u}$ل${\displaystyle S,}$عدد صحيح يمثل حدًا أعلى لـ${\displaystyle S}$ويكون أقل من أو يساوي كل حد أعلى آخر لـ${\displaystyle S.}$تتمتع المجموعة المرتبة جيدًا أيضًا بخاصية الحد الأعلى الأدنى، كما أن المجموعة الفرعية الفارغة لها أيضًا حد أعلى أدنى: وهو الحد الأدنى للمجموعة بأكملها.

مثال على مجموعة تفتقر إلى خاصية الحد الأعلى الأدنى هو${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$مجموعة الأعداد النسبية. ليكن${\displaystyle S}$لتكن مجموعة جميع الأعداد النسبية${\displaystyle q}$بحيث${\displaystyle q^{2}<2.}$ثم${\displaystyle S}$له حد أعلى (${\displaystyle 1000,}$على سبيل المثال، أو${\displaystyle 6}$) ولكن لا يوجد حد أعلى أدنى في${\displaystyle \mathbb {Q} }$إذا افترضنا${\displaystyle p\in \mathbb {Q} }$إذا كان الحد الأعلى هو الأدنى، فسيتم استنتاج تناقض على الفور لأنه بين أي عددين حقيقيين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$(مشتمل${\displaystyle {\sqrt {2}}}$و${\displaystyle p}$) يوجد عدد معقول${\displaystyle r,}$والذي يجب أن يكون بدوره الحد الأعلى الأدنى (إذا${\displaystyle p>{\sqrt {2}}}$) أو أحد أعضاء${\displaystyle S}$أكبر من${\displaystyle p}$(لو${\displaystyle p<{\sqrt {2}}}$). مثال آخر هو الأعداد الحقيقية الفائقة ؛ لا يوجد حد أدنى أعلى لمجموعة الأعداد المتناهية الصغر الموجبة.

توجد خاصية الحد الأدنى الأكبر المقابلة ؛ تمتلك المجموعة المرتبة خاصية الحد الأدنى الأكبر إذا وفقط إذا كانت تمتلك أيضًا خاصية الحد الأعلى الأصغر؛ الحد الأعلى الأصغر لمجموعة الحدود الدنيا لمجموعة ما هو الحد الأدنى الأكبر، والحد الأدنى الأكبر لمجموعة الحدود العليا لمجموعة ما هو الحد الأعلى الأصغر للمجموعة.

إذا كان في مجموعة مرتبة جزئياً${\displaystyle P}$كل مجموعة جزئية محدودة لها قيمة عليا، وينطبق هذا أيضًا على أي مجموعة${\displaystyle X,}$في فضاء الدوال الذي يحتوي على جميع الدوال من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle P,}$أين${\displaystyle f\leq g}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$للجميع${\displaystyle x\in X.}$على سبيل المثال، ينطبق ذلك على الدوال الحقيقية، وبما أن هذه الدوال يمكن اعتبارها حالات خاصة من الدوال، فإنها تنطبق على الدوال الحقيقية.${\displaystyle n}$-الصفوف والمتتاليات من الأعداد الحقيقية.

تُعد خاصية الحد الأعلى الأدنى مؤشراً على القيم العليا.

لو${\displaystyle A}$هل أي مجموعة من الأعداد الحقيقية${\displaystyle A\neq \varnothing }$إذا وفقط إذا${\displaystyle \sup A\geq \inf A,}$وغير ذلك${\displaystyle -\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .}$^{[ 2 ]}

تضمين المجموعة

لو${\displaystyle A\subseteq B}$إذا كانت مجموعات من الأعداد الحقيقية${\displaystyle \inf A\geq \inf B}$(لو${\displaystyle A=\varnothing }$يُقرأ هذا على النحو التالي${\displaystyle \inf B\leq \infty }$) و${\displaystyle \sup A\leq \sup B.}$

صورة ضمن الوظائف إذا${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$هي دالة غير متناقصة و${\displaystyle S}$هي مجموعة جزئية محدودة غير فارغة من${\displaystyle \mathbb {R} }$، ثم ${\displaystyle f(\inf(S))\leq \inf(f[S])}$و${\displaystyle f(\sup(S))\geq \sup(f[S])}$، حيث تُعرَّف الصورة على النحو التالي${\displaystyle f[S]\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$

تحديد القبو والعلوي

إذا كان الحد الأدنى لـ${\displaystyle A}$موجود (أي،${\displaystyle \inf A}$(عدد حقيقي) وإذا${\displaystyle p}$هل أي عدد حقيقي إذن${\displaystyle p=\inf A}$إذا وفقط إذا${\displaystyle p}$يمثل حدًا أدنى ولكل${\displaystyle \epsilon >0}$يوجد${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$مع${\displaystyle a_{\epsilon }<p+\epsilon .}$ وبالمثل، إذا${\displaystyle \sup A}$هو عدد حقيقي، وإذا${\displaystyle p}$هل أي عدد حقيقي إذن${\displaystyle p=\sup A}$إذا وفقط إذا${\displaystyle p}$يمثل حدًا أعلى، وإذا كان لكل${\displaystyle \epsilon >0}$يوجد${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$مع${\displaystyle a_{\epsilon }>p-\epsilon .}$

العلاقة بحدود المتتاليات

لو${\displaystyle S\neq \varnothing }$إذا كانت أي مجموعة من الأعداد الحقيقية غير فارغة، فإنه يوجد دائمًا متتالية غير متناقصة${\displaystyle s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots }$في${\displaystyle S}$بحيث${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S.}$وبالمثل، سيكون هناك تسلسل غير متزايد (ربما مختلف).${\displaystyle s_{1}\geq s_{2}\geq \cdots }$في${\displaystyle S}$بحيث${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\inf S.}$ على وجه الخصوص، ينتمي الحد الأدنى والحد الأعلى لمجموعة ما إلى إغلاقها إذا${\displaystyle \inf S\in \mathbb {R} }$ثم${\displaystyle \inf S\in {\bar {S}}}$وإذا ${\displaystyle \sup S\in \mathbb {R} }$ثم${\displaystyle \sup S\in {\bar {S}}}$

إن التعبير عن الحد الأدنى والحد الأعلى كحدٍّ لمتتالية كهذه يسمح بتطبيق نظريات من فروع مختلفة من الرياضيات. لنأخذ على سبيل المثال الحقيقة المعروفة في علم الطوبولوجيا، وهي أنه إذا${\displaystyle f}$هي دالة متصلة و${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$هي سلسلة من النقاط في مجالها تتقارب إلى نقطة${\displaystyle p,}$ثم${\displaystyle f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots }$يتقارب بالضرورة إلى${\displaystyle f(p).}$ وهذا يعني أنه إذا${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S}$هو عدد حقيقي (حيث جميع${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$في${\displaystyle S}$) وإذا${\displaystyle f}$هي دالة متصلة مجالها يحتوي${\displaystyle S}$و${\displaystyle \sup S,}$ثم $${\displaystyle f(\sup S)=f\left(\lim _{n\to \infty }s_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(s_{n}\right),}$$ وهذا (على سبيل المثال) يضمن ^{[ ملاحظة 1 ]} أن${\displaystyle f(\sup S)}$نقطة التزام بالمجموعة${\displaystyle f(S)\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$ بالإضافة إلى ما تم افتراضه، فإن الدالة المستمرة${\displaystyle f}$إذا كانت الدالة متزايدة أو غير متناقصة ، فمن الممكن استنتاج أن${\displaystyle \sup f(S)=f(\sup S).}$ يمكن تطبيق ذلك، على سبيل المثال، للاستنتاج بأنه كلما${\displaystyle g}$هي دالة ذات قيم حقيقية (أو مركبة ) ومجالها${\displaystyle \Omega \neq \varnothing }$معياره الأعلى${\displaystyle \|g\|_{\infty }\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\sup _{x\in \Omega }|g(x)|}$إذا كانت المجموعة محدودة، فإنه لكل عدد حقيقي غير سالب${\displaystyle q,}$$${\displaystyle \|g\|_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\sup _{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}=\sup _{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)}$$ منذ الخريطة${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$محدد بواسطة${\displaystyle f(x)=x^{q}}$هي دالة متصلة غير متناقصة مجالها${\displaystyle [0,\infty )}$يحتوي دائمًا${\displaystyle S:=\{|g(x)|:x\in \Omega \}}$و${\displaystyle \sup S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\|g\|_{\infty }.}$

على الرغم من أن هذا النقاش ركز على${\displaystyle \sup ,}$ويمكن التوصل إلى استنتاجات مماثلة لـ${\displaystyle \inf }$مع إجراء التغييرات المناسبة (مثل اشتراط ذلك)${\displaystyle f}$(أن تكون غير متزايدة بدلاً من غير متناقصة). معايير أخرى محددة من حيث${\displaystyle \sup }$أو${\displaystyle \inf }$يشمل الضعفاء${\displaystyle L^{p,w}}$معايير الفضاء (لـ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$), المعيار في فضاء ليبيغ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu ),}$ومعايير المشغل . المتتاليات الرتيبة في${\displaystyle S}$التي تتقارب إلى${\displaystyle \sup S}$(أو إلى)${\displaystyle \inf S}$ويمكن أيضًا استخدام ) للمساعدة في إثبات العديد من الصيغ الواردة أدناه، حيث أن جمع وضرب الأعداد الحقيقية عمليات متصلة.

تعتمد الصيغ التالية على ترميز يُعمم العمليات الحسابية على المجموعات بشكل ملائم. في جميع أنحاء النص،${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }$هي مجموعات من الأعداد الحقيقية.

مجموع المجموعات

مجموع مينكوفسكي لمجموعتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$مجموعة الأعداد الحقيقية $${\displaystyle A+B~:=~\{a+b:a\in A,b\in B\}}$$ يتألف من جميع المجاميع الحسابية الممكنة لأزواج الأعداد، عدد واحد من كل مجموعة. ويحقق الحد الأدنى والحد الأعلى لمجموع مينكوفسكي الشرط التالي: إذا${\displaystyle A\neq \varnothing \neq B}$$${\displaystyle \inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)}$$ و $${\displaystyle \sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).}$$

منتج المجموعات

ضرب مجموعتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يتم تعريف الأعداد الحقيقية بشكل مشابه لمجموع مينكوفسكي الخاص بها: $${\displaystyle A\cdot B~:=~\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.}$$

لو${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$إذا كانت مجموعات الأعداد الحقيقية الموجبة غير فارغة، فإن${\displaystyle \inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)}$وبالمثل بالنسبة للعليا${\displaystyle \sup(A\cdot B)=(\sup A)\cdot (\sup B).}$^{[ 3 ]}

الضرب القياسي لمجموعة

حاصل ضرب عدد حقيقي${\displaystyle r}$ومجموعة${\displaystyle B}$مجموعة الأعداد الحقيقية $${\displaystyle rB~:=~\{r\cdot b:b\in B\}.}$$

لو${\displaystyle r>0}$ثم $${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\sup A),}$$ بينما إذا${\displaystyle r<0}$ثم $${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).}$$ في هذه الحالة${\displaystyle r=0}$، يمتلك المرء، إذا${\displaystyle A\neq \varnothing }$$${\displaystyle \inf(0\cdot A)=0\quad {\text{ and }}\quad \sup(0\cdot A)=0}$$ استخدام${\displaystyle r=-1}$والترميز${\textstyle -A:=(-1)A=\{-a:a\in A\},}$وبناءً على ذلك، $${\displaystyle \inf(-A)=-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)=-\inf A.}$$

المعكوس الضربي لمجموعة

لأي مجموعة${\displaystyle S}$الذي لا يحتوي${\displaystyle 0,}$يترك $${\displaystyle {\frac {1}{S}}~:=\;\left\{{\tfrac {1}{s}}:s\in S\right\}.}$$

لو${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )}$إذا لم تكن فارغة $${\displaystyle {\frac {1}{\sup _{}S}}~=~\inf _{}{\frac {1}{S}}}$$ حيث تنطبق هذه المعادلة أيضًا عندما${\displaystyle \sup _{}S=\infty }$إذا كان التعريف${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0}$يُستخدم. ^{[ ملاحظة 2 ]} يمكن كتابة هذه المساواة على النحو التالي: ${\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\tfrac {1}{s}}.}$ علاوة على ذلك،${\displaystyle \inf _{}S=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \sup _{}{\tfrac {1}{S}}=\infty ,}$حيث إذا ^{[ ملاحظة 2 ]}${\displaystyle \inf _{}S>0,}$ثم${\displaystyle {\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}.}$

• الحد الأدنى لمجموعة الأرقام${\displaystyle \{2,3,4\}}$يكون${\displaystyle 2.}$الرقم${\displaystyle 1}$هو حد أدنى، ولكنه ليس الحد الأدنى الأكبر، وبالتالي ليس الحد الأدنى المطلق.
• بشكل عام، إذا كانت لمجموعة ما أصغر عنصر، فإن هذا العنصر هو الحد الأدنى للمجموعة. وفي هذه الحالة، يُطلق عليه أيضًا اسم أصغر عنصر في المجموعة.
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3,\ldots \}=1.}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.}$
• لو${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$هي متتالية متناقصة ذات نهاية${\displaystyle x,}$ثم${\displaystyle \inf x_{n}=x.}$

• القيمة العليا لمجموعة الأرقام${\displaystyle \{1,2,3\}}$يكون${\displaystyle 3.}$الرقم${\displaystyle 4}$هو حد أعلى، ولكنه ليس الحد الأعلى الأدنى، وبالتالي فهو ليس الحد الأعلى.
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.}$

في المثال الأخير، يكون الحد الأعلى لمجموعة من الأعداد النسبية غير نسبي ، مما يعني أن الأعداد النسبية غير مكتملة .

إحدى الخصائص الأساسية للحد الأعلى هي $${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}}$$ لأي وظائف${\displaystyle f}$و${\displaystyle g.}$

القيمة العليا لمجموعة جزئية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid \,)}$أين${\displaystyle \,\mid \,}$يرمز إلى " يقسم "، وهو المضاعف المشترك الأصغر لعناصر${\displaystyle S.}$

الحد الأعلى لمجموعة${\displaystyle S}$تحتوي على مجموعات جزئية من مجموعة ما${\displaystyle X}$يمثل اتحاد المجموعات الجزئية عند النظر إلى المجموعة المرتبة جزئيًا${\displaystyle (P(X),\subseteq )}$، أين${\displaystyle P}$هي مجموعة القوى لـ${\displaystyle X}$و${\displaystyle \,\subseteq \,}$هي مجموعة جزئية .