طوبولوجيا القطب

القطبية أو القطبية المطلقة لمجموعة جزئية${\displaystyle A\subseteq X}$هي المجموعة ^{[ 1 ]}

${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$

وبالمثل، القطبية أو القطبية المطلقة لمجموعة جزئية${\displaystyle B\subseteq Y}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle B^{\circ },}$ومحددة بواسطة

${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$

في هذه الحالة، القطبية المطلقة لمجموعة جزئية${\displaystyle B\subseteq Y}$ويُطلق عليه أيضًا اسم ما قبل القطب${\displaystyle B}$ ويمكن الإشارة إليه بـ${\displaystyle {}^{\circ }B.}$

القطب هو مجموعة محدبة متوازنة تحتوي على نقطة الأصل. ^{[ 2 ]}

لو${\displaystyle A\subseteq X}$ثم ثنائي القطب${\displaystyle A,}$يرمز إليه بـ${\displaystyle A^{\circ \circ },}$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle A^{\circ \circ }={}^{\circ }(A^{\circ }).}$وبالمثل، إذا${\displaystyle B\subseteq Y}$ثم ثنائي القطب${\displaystyle B}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle B^{\circ \circ }=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.}$

لنفترض أن${\displaystyle (X,Y,b)}$هو اقتران بين فضاءات متجهة على${\displaystyle \mathbb {K} .}$

الترميز : لكل${\displaystyle x\in X,}$يترك${\displaystyle b(x,\cdot ):Y\to \mathbb {K} }$يرمز إلى الدالة الخطية على${\displaystyle Y}$محدد بواسطة${\displaystyle y\mapsto b(x,y)}$ودع${\displaystyle b(X,\cdot )=\left\{b(x,\cdot )~:~x\in X\right\}.}$

وبالمثل، بالنسبة للجميع${\displaystyle y\in Y,}$يترك${\displaystyle b(\cdot ,y):X\to \mathbb {K} }$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle x\mapsto b(x,y)}$ودع${\displaystyle b(\cdot ,Y)=\left\{b(\cdot ,y)~:~y\in Y\right\}.}$

الطوبولوجيا الضعيفة على${\displaystyle X}$ناتج عن${\displaystyle Y}$(و${\displaystyle b}$) هي أضعف بنية TVS على${\displaystyle X,}$يرمز إليه بـ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$أو ببساطة${\displaystyle \sigma (X,Y),}$إعداد جميع الخرائط${\displaystyle b(\cdot ,y):X\to \mathbb {K} }$بشكل مستمر، كما هو الحال${\displaystyle y}$نطاقات${\displaystyle Y.}$^{[ 3 ]} وبالمثل، يوجد تعريف مزدوج للطوبولوجياالضعيفةعلى${\displaystyle Y}$ناتج عن${\displaystyle X}$(و${\displaystyle b}$)، والذي يُرمز إليه بـ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$أو ببساطة${\displaystyle \sigma (Y,X)}$إنها أضعف بنية TVS على${\displaystyle Y}$إعداد جميع الخرائط${\displaystyle b(x,\cdot ):Y\to \mathbb {K} }$بشكل مستمر، كما هو الحال${\displaystyle x}$نطاقات${\displaystyle X.}$^{[ 3 ]}

وبسبب النظرية التالية، يُفترض دائمًا تقريبًا أن الأسرة${\displaystyle {\mathcal {G}}}$يتكون من${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$المجموعات الفرعية المحدودة من${\displaystyle X.}$^{[ 3 ]}

كل ثنائي${\displaystyle (X,Y,b)}$يمكن ربطها بزوج مطابق${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}})}$حيث بحسب التعريف${\displaystyle {\hat {b}}(y,x)=b(x,y).}$^{[ 3 ]}

هناك موضوع متكرر في نظرية الازدواجية، وهو أن أي تعريف للاقتران${\displaystyle (X,Y,b)}$يوجد تعريف ثنائي مماثل للاقتران${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}}).}$

الاصطلاح والتعريف : بالنظر إلى أي تعريف للاقتران${\displaystyle (X,Y,b),}$يمكن الحصول على تعريف مزدوج بتطبيقه على الاقتران${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}}).}$إذا كان التعريف يعتمد على ترتيب${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$(على سبيل المثال، تعريف "الطوبولوجيا الضعيفة"${\displaystyle \sigma (X,Y)}$محدد في${\displaystyle X}$بواسطة${\displaystyle Y}$ثم عن طريق تبديل ترتيب${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y,}$المقصود هو أن هذا التعريف يجب تطبيقه على${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}})}$(على سبيل المثال، هذا يعطينا تعريف "الطوبولوجيا الضعيفة"${\displaystyle \sigma (Y,X)}$محدد في${\displaystyle Y}$بواسطة${\displaystyle X}$").

على سبيل المثال، بعد تعريف "${\displaystyle X}$يميز نقاط${\displaystyle Y}$"(على التوالي، "${\displaystyle S}$هي مجموعة جزئية كاملة من${\displaystyle Y}$") كما هو مذكور أعلاه، فإن التعريف المزدوج لـ "${\displaystyle Y}$يميز نقاط${\displaystyle X}$"(على التوالي، "${\displaystyle S}$هي مجموعة جزئية كاملة من${\displaystyle X}$يتم الحصول على ") على الفور. على سبيل المثال، بمجرد${\displaystyle \sigma (X,Y)}$إذا تم تعريف ذلك، فينبغي افتراض ذلك تلقائيًا.${\displaystyle \sigma (Y,X)}$تم تعريفها دون ذكر التعريف المماثل. وينطبق الأمر نفسه على العديد من النظريات.

العرف : الالتزام بالممارسة الشائعة، ما لم تكن هناك حاجة إلى توضيح، كلما تم تقديم تعريف (أو نتيجة) للاقتران.${\displaystyle (X,Y,b)}$ثم سيتم حذف التعريف المزدوج المقابل (أو النتيجة) ولكن يمكن استخدامه مع ذلك.

على وجه الخصوص، على الرغم من أن هذه المقالة ستحدد فقط المفهوم العام للطوبولوجيا القطبية على${\displaystyle Y}$مع${\displaystyle {\mathcal {G}}}$كونها مجموعة من${\displaystyle \sigma (X,Y)}$المجموعات الفرعية المحدودة من${\displaystyle X,}$ومع ذلك، ستستخدم هذه المقالة التعريف المزدوج للطوبولوجيا القطبية على${\displaystyle X}$مع${\displaystyle {\mathcal {G}}}$كونها مجموعة من${\displaystyle \sigma (Y,X)}$المجموعات الفرعية المحدودة من${\displaystyle Y.}$

تحديد${\displaystyle (X,Y)}$مع${\displaystyle (Y,X)}$

على الرغم من أن هذا غير صحيح من الناحية الفنية ويمثل إساءة استخدام للرموز ، إلا أن الاصطلاح التالي شائع الاستخدام في كل مكان تقريبًا:

الاصطلاح : ستستخدم هذه المقالة الممارسة الشائعة في معالجة الاقتران${\displaystyle (X,Y,b)}$يمكن استبدالها بـ${\displaystyle \left(Y,X,{\hat {b}}\right)}$ويشير أيضًا إلى${\displaystyle \left(Y,X,{\hat {b}}\right)}$بواسطة${\displaystyle (Y,X,b).}$

لأي${\displaystyle x\in X,}$أساسي${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$-حي${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$هي مجموعة على الشكل التالي:

${\displaystyle \left\{z\in X:|b(z-x,y_{i})|\leq r{\text{ for all }}i\right\}}$

لبعض الأشياء الحقيقية${\displaystyle r>0}$ومجموعة محدودة من النقاط${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$في${\displaystyle Y.}$^{[ 3 ]}

الفضاء الثنائي المتصل لـ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}$يكون${\displaystyle X,}$وهذا يعني بشكل أدق أن الدالة الخطية${\displaystyle f}$على${\displaystyle Y}$ينتمي إلى هذا الفضاء الثنائي المتصل إذا وفقط إذا كان هناك بعض${\displaystyle x\in X}$بحيث${\displaystyle f(y)=b(x,y)}$للجميع${\displaystyle y\in Y.}$^{[ 3 ]} الطوبولوجيا الضعيفة هي أضعف طوبولوجيا TVS على${\displaystyle Y}$وهذا ينطبق على الحالات التي ينطبق عليها هذا.

بشكل عام، يكون الهيكل المحدب المتوازن لـ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$مجموعة فرعية مضغوطة من${\displaystyle Y}$ليس بالضرورة${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$-مضغوط. ^{[ 3 ]}

لو${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي فضاءات متجهة على الأعداد المركبة (مما يعني أن${\displaystyle b}$إذا كانت ذات قيم مركبة، فلنفرض${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$و${\displaystyle Y_{\mathbb {R} }}$نرمز إلى هذه الفضاءات عندما تُعتبر فضاءات متجهة على الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} .}$يترك${\displaystyle \operatorname {Re} b}$يشير إلى الجزء الحقيقي من${\displaystyle b}$ولاحظ ذلك${\displaystyle \left(X_{\mathbb {R} },Y_{\mathbb {R} },\operatorname {Re} b\right)}$هو اقتران. الطوبولوجيا الضعيفة${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$على${\displaystyle Y}$وهو مطابق للطوبولوجيا الضعيفة${\displaystyle \sigma \left(X_{\mathbb {R} },Y_{\mathbb {R} },\operatorname {Re} b\right).}$ينبع هذا في النهاية من حقيقة أنه بالنسبة لأي دالة خطية ذات قيم مركبة${\displaystyle f}$على${\displaystyle Y}$مع جزء حقيقي${\displaystyle r:=\operatorname {Re} f.}$ثم

${\displaystyle f=r(y)-ir(iy)}$    للجميع${\displaystyle y\in Y.}$

الفضاء الثنائي المتصل لـ${\displaystyle (Y,\tau (Y,X,b))}$يكون${\displaystyle X}$(بنفس الطريقة التي وُصفت بها الطوبولوجيا الضعيفة). علاوة على ذلك، تُعد طوبولوجيا ماكي أفضل طوبولوجيا محدبة محليًا على${\displaystyle Y}$وهذا صحيح بالنسبة لهذه الحالة، وهو ما يجعل هذه البنية الطوبولوجية مهمة.

بما أن الهيكل المحدب المتوازن لـ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$مجموعة فرعية مضغوطة من${\displaystyle Y}$ليس بالضرورة${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$-مضغوطة، ^{[ 3 ]} قد تكون طوبولوجيا ماكي أكثر خشونة من الطوبولوجيا${\displaystyle c(X,Y,b).}$لأن كل${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$-مجموعة مضغوطة هي${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$في حالة الحدود، تكون طوبولوجيا ماكي أكثر خشونة من الطوبولوجيا القوية.${\displaystyle b(X,Y,b).}$^{[ 3 ]}

أساس الجوار ( وليس مجرد أساس فرعي ) عند نقطة الأصل لـ${\displaystyle \beta (Y,X,b)}$الطوبولوجيا هي: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \left\{A^{\circ }~:~A\subseteq X{\text{ is a }}\sigma (X,Y,b)-{\text{bounded}}{\text{ subset of }}X\right\}.}$

الطوبولوجيا القوية${\displaystyle \beta (Y,X,b)}$أدق من طوبولوجيا ماكي. ^{[ 3 ]}

• لو${\displaystyle \bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$أغطية${\displaystyle X}$ثم الخريطة الأساسية من${\displaystyle X}$داخل${\displaystyle \left(X'_{\mathcal {G}}\right)'}$محدد جيدًا. أي، بالنسبة للجميع${\displaystyle x\in X}$وظيفة التقييم على${\displaystyle X'.}$بمعنى الخريطة${\displaystyle x'\in X'\mapsto \langle x',x\rangle ,}$مستمر على${\displaystyle X'_{\mathcal {G}}.}$
  • بالإضافة إلى ذلك${\displaystyle X'}$يفصل النقاط على${\displaystyle X}$ثم الخريطة الأساسية لـ${\displaystyle X}$داخل${\displaystyle \left(X'_{\mathcal {G}}\right)'}$هو حقنة.
• لنفترض أن${\displaystyle u:E\to F}$هو خطي متصل، و${\displaystyle {\mathcal {G}}}$و${\displaystyle {\mathcal {H}}}$هي مجموعات من مجموعات فرعية محدودة من${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y,}$على التوالي، أن كل منها يحقق البديهيات${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$و${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}.}$ثم منقولة​${\displaystyle u,}$${\displaystyle {}^{t}u:Y'_{\mathcal {H}}\to X'_{\mathcal {G}}}$تكون متصلة إذا كان لكل${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$هناك بعض${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}$بحيث${\displaystyle u(G)\subseteq H.}$^{[ 6 ]}
  • وعلى وجه الخصوص، منقولة${\displaystyle u}$تكون متصلة إذا${\displaystyle X'}$يحمل${\displaystyle \sigma (X',X)}$(على التوالى،${\displaystyle \gamma (X',X),}$${\displaystyle c(X',X),}$${\displaystyle b(X',X)}$) الطوبولوجيا و${\displaystyle Y'}$تحمل أي بنية طوبولوجية أقوى من${\displaystyle \sigma (Y',Y)}$الطوبولوجيا (على التوالي،${\displaystyle \gamma (Y',Y),}$${\displaystyle c(Y',Y),}$${\displaystyle b(Y',Y)}$).
• لو${\displaystyle X}$هو جهاز قياس تباين هاوسدورف محدب محليًا فوق الحقل${\displaystyle \mathbb {K} }$و${\displaystyle {\mathcal {G}}}$هي مجموعة من المجموعات الجزئية المحدودة من${\displaystyle X}$الذي يحقق البديهيات${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$و${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}}$ثم الخريطة الثنائية الخطية${\displaystyle X\times X'_{\mathcal {G}}\to \mathbb {K} }$محدد بواسطة${\displaystyle (x,x')\mapsto \langle x',x\rangle =x'(x)}$تكون متصلة إذا وفقط إذا${\displaystyle X}$قابل للتطبيع و${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-الطوبولوجيا على${\displaystyle X'}$هي الطوبولوجيا الثنائية القوية${\displaystyle b(X',X).}$
• لنفترض أن${\displaystyle X}$هو مكان تابع لـ Fréchet و${\displaystyle {\mathcal {G}}}$هي مجموعة من المجموعات الجزئية المحدودة من${\displaystyle X}$الذي يحقق البديهيات${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$و${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}.}$لو${\displaystyle {\mathcal {G}}}$يحتوي على جميع المجموعات الفرعية المدمجة من${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle X'_{\mathcal {G}}}$مكتمل.

ال${\displaystyle \sigma (X',X)}$تتمتع الطوبولوجيا بالخصائص التالية:

• نظرية باناش-ألاوغلو : كل مجموعة جزئية متساوية الاستمرارية من${\displaystyle X'}$صغير الحجم نسبياً بالنسبة لـ${\displaystyle \sigma (X',X).}$^{[ 9 ]}
  • ويترتب على ذلك أن${\displaystyle \sigma (X',X)}$- إغلاق الغلاف المحدب المتوازن لمجموعة فرعية متساوية الاستمرارية من${\displaystyle X'}$هي متصلة بشكل متساوٍ و${\displaystyle \sigma (X',X)}$-مدمج.
• نظرية (إس. باناش): لنفترض أن${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي فضاءات فريشيه أو أنها فضاءات ثنائية لفضاءات فريشيه الانعكاسية، و${\displaystyle u:X\to Y}$هي دالة خطية متصلة. إذن${\displaystyle u}$تكون شاملة إذا وفقط إذا كان منقولة${\displaystyle u,}$${\displaystyle {}^{t}u:Y'\to X',}$هو واحد لواحد وصورة${\displaystyle {}^{t}u}$مغلق بشكل ضعيف في${\displaystyle X'_{\sigma (X',X)}.}$
• لنفترض أن${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي مساحات فريشيه ،${\displaystyle Z}$هو فضاء هاوسدورف محدب محليًا، و${\displaystyle u:X'_{\sigma }\times Y'_{\sigma }\to Z'_{\sigma }}$هي دالة ثنائية الخطية متصلة بشكل منفصل. إذن${\displaystyle u:X'_{b}\times Y'_{b}\to Z'_{b}}$متصل.
  • على وجه الخصوص، فإن أي خرائط ثنائية الخطية متصلة بشكل منفصل من ناتج ضرب اثنين من الفضاءات المزدوجة لـ Fréchet الانعكاسية إلى فضاء ثالث تكون متصلة.
• ${\displaystyle X'_{\sigma (X',X)}}$يكون قابلاً للتطبيع إذا وفقط إذا${\displaystyle X}$هو ذو أبعاد محدودة.
• متى${\displaystyle X}$هو ذو أبعاد لا نهائية${\displaystyle \sigma (X',X)}$الطوبولوجيا على${\displaystyle X'}$هو أكثر خشونة بشكل صارم من الطوبولوجيا الثنائية القوية${\displaystyle b(X',X).}$
• لنفترض أن${\displaystyle X}$هو فضاء هاوسدورف محدب محليًا، و${\displaystyle {\hat {X}}}$هو اكتماله. إذا${\displaystyle X\neq {\hat {X}}}$ثم${\displaystyle \sigma (X',{\hat {X}})}$أدق بكثير من${\displaystyle \sigma (X',X).}$
• أي مجموعة جزئية متساوية الاستمرارية في الفضاء الثنائي لفضاء متجهي هاوسدورف قابل للفصل ومحدب محليًا تكون قابلة للقياس في${\displaystyle \sigma (X',X)}$الطوبولوجيا.
• لو${\displaystyle X}$إذا كانت محدبة محليًا، فهي مجموعة جزئية${\displaystyle H\subseteq X'}$يكون${\displaystyle \sigma (X',X)}$محدود إذا وفقط إذا كان هناك برميل${\displaystyle B}$في${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }.}$^{[ 3 ]}

لو${\displaystyle X}$إذا كان فضاء فريشيه، فإن الطوبولوجيا${\displaystyle \gamma \left(X',X\right)=c\left(X',X\right).}$

لو${\displaystyle X}$هل هو فضاء فريشيه أم فضاء منخفض التردد ؟${\displaystyle c(X',X)}$مكتمل.