الخرائط المفتوحة والمغلقة

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في علم الطوبولوجيا ، يُعرَّف التطبيق المفتوح بأنه دالة بين فضاءين طوبولوجيين تُحوِّل المجموعات المفتوحة إلى مجموعات مفتوحة أخرى. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] أي دالةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}تكون المجموعة مفتوحة إذا كان لأي مجموعة مفتوحةيو{\displaystyle U}فيX،{\displaystyle X,}الصورة​و(يو){\displaystyle f(U)}مفتوح فيY.{\displaystyle Y.} وبالمثل، فإن الدالة المغلقة هي دالة تربط المجموعات المغلقة بمجموعات مغلقة أخرى. [ 3 ] [ 4 ] قد تكون الدالة مفتوحة، أو مغلقة، أو كليهما، أو لا شيء منهما؛ [ 5 ] وعلى وجه الخصوص، لا يشترط أن تكون الدالة المفتوحة مغلقة، والعكس صحيح. [ 6 ]

لا تُعدّ الدوال المفتوحة [ 7 ] والمغلقة [ 8 ] بالضرورة دوالًا متصلة . [ 4 ] علاوة على ذلك، فإن الاتصال مستقل عن الانفتاح والانغلاق في الحالة العامة، وقد تمتلك الدالة المتصلة إحدى هاتين الخاصيتين أو كلتيهما أو لا تمتلك أيًا منهما؛ [ 3 ] وتبقى هذه الحقيقة صحيحة حتى عند الاقتصار على الفضاءات المترية . [ 9 ] على الرغم من أن تعريفاتهما تبدو أكثر طبيعية، إلا أن الدوال المفتوحة والمغلقة أقل أهمية بكثير من الدوال المتصلة. تذكر أن الدالة، بحسب تعريفها،و:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}تكون متصلة إذا وفقط إذا كانت الصورة العكسية لكل مجموعة مفتوحة منY{\displaystyle Y}مفتوح فيX.{\displaystyle X.}[ 2 ] (بصورة مكافئة، إذا وفقط إذا كانت الصورة العكسية لكل مجموعة مغلقة منY{\displaystyle Y}مغلق فيX{\displaystyle X}).

وقد قام سيميون ستويلو وجوردون توماس وايبورن بدراسة الخرائط المفتوحة في وقت مبكر . [ 10 ]

التعريفات والخصائص

لوS{\displaystyle S}إذا كانت مجموعة جزئية من فضاء طوبولوجي، فلنفرضS¯{\displaystyle {\overline {S}}}وCl⁡S{\displaystyle \operatorname {Cl} S}(على التوالي)عدد صحيح⁡S{\displaystyle \operatorname {Int} S}) تشير إلى إغلاق (أو باطن )S{\displaystyle S}في تلك المساحة. دعو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}لتكن دالة بين فضاءات طوبولوجية . إذاS{\displaystyle S}هل أي مجموعة إذنو(S):={و(s) : s∈S∩اِختِصاص⁡و}{\displaystyle f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}}يُطلق عليها صورةS{\displaystyle S}تحتو.{\displaystyle f.}

تعريفات متنافسة

هناك تعريفان مختلفان متنافسان، ولكنهما مترابطان بشكل وثيق، لمصطلح " الخريطة المفتوحة " يستخدمان على نطاق واسع، ويمكن تلخيص كلا التعريفين على النحو التالي: "إنها خريطة ترسل المجموعات المفتوحة إلى مجموعات مفتوحة أخرى". ويُستخدم المصطلح التالي أحيانًا للتمييز بين التعريفين.

خريطةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}يُطلق عليه اسم

  • " خريطة مفتوحة بقوة " إذا كان ذلك في أي وقتيو{\displaystyle U}هي مجموعة فرعية مفتوحة من المجالX{\displaystyle X}ثمو(يو){\displaystyle f(U)}هي مجموعة فرعية مفتوحة منو{\displaystyle f}'s codomainY.{\displaystyle Y.}
  • "خريطة مفتوحة نسبيًا "إذا كان كلمايو{\displaystyle U}هي مجموعة فرعية مفتوحة من المجالX{\displaystyle X}ثمو(يو){\displaystyle f(U)}هي مجموعة فرعية مفتوحة منو{\displaystyle f}صورة​أنا⁡و:=و(X)،{\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),}وكما هو معتاد، فإن هذه المجموعة مزودة بطوبولوجيا الفضاء الجزئي المستحثة عليها بواسطةو{\displaystyle f}'s codomainY.{\displaystyle Y.}[ 11 ]

كل خريطة مفتوحة بقوة هي خريطة مفتوحة نسبياً. ومع ذلك، فإن هذه التعريفات ليست متكافئة بشكل عام.

تنبيه : يُعرّف العديد من المؤلفين مصطلح "الخريطة المفتوحة" بأنه " خريطة مفتوحة نسبيًا " (على سبيل المثال، موسوعة الرياضيات )، بينما يُعرّفه آخرون بأنه " خريطة مفتوحة بقوة ". وبشكل عام، لا تتطابق هذه التعريفات، لذا يُنصح دائمًا بالتحقق من تعريف "الخريطة المفتوحة" الذي يستخدمه المؤلف.

تكون الخريطة الشاملة مفتوحة نسبيًا إذا وفقط إذا كانت مفتوحة بقوة؛ لذا فإن التعريفات متكافئة في هذه الحالة الخاصة المهمة. وبشكل أعم، الخريطةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}تكون مفتوحة نسبيًا إذا وفقط إذا كان الإسقاط الشاملو:X→و(X){\displaystyle f:X\to f(X)}هي خريطة مفتوحة للغاية.

لأنX{\displaystyle X}هي دائمًا مجموعة فرعية مفتوحة منX،{\displaystyle X,}الصورةو(X)=أنا⁡و{\displaystyle f(X)=\operatorname {Im} f}خريطة مفتوحة بشدةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}يجب أن تكون مجموعة جزئية مفتوحة من مجالها المقابلY.{\displaystyle Y.}في الواقع، تكون الخريطة المفتوحة نسبيًا خريطة مفتوحة بقوة إذا وفقط إذا كانت صورتها مجموعة جزئية مفتوحة من مجالها المقابل. باختصار،

تكون الخريطة مفتوحة بقوة إذا وفقط إذا كانت مفتوحة نسبياً وكانت صورتها مجموعة فرعية مفتوحة من مجالها المقابل.

باستخدام هذا التوصيف، غالباً ما يكون من السهل تطبيق النتائج التي تتضمن أحد هذين التعريفين لـ "الخريطة المفتوحة" على حالة تتضمن التعريف الآخر.

وينطبق النقاش أعلاه أيضًا على الخرائط المغلقة إذا تم استبدال كل حالة من حالات كلمة "مفتوح" بكلمة "مغلق".

افتح الخرائط

خريطةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}يُطلق عليه اسمافتح الخريطة أوخريطة مفتوحة بقوة إذا استوفت أيًا من الشروط المكافئة التالية:

  1. تعريف:و:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}تقوم هذه الدالة بتحويل المجموعات الفرعية المفتوحة من مجالها إلى مجموعات فرعية مفتوحة من مجالها المقابل؛ أي، لأي مجموعة فرعية مفتوحةيو{\displaystyle U}لX{\displaystyle X}،و(يو){\displaystyle f(U)}هي مجموعة فرعية مفتوحة منY.{\displaystyle Y.}
  2. و:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هي خريطة مفتوحة نسبياً وصورتهاأنا⁡و:=و(X){\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}هي مجموعة فرعية مفتوحة من مجالها المقابلY.{\displaystyle Y.}
  3. لكلx∈X{\displaystyle x\in X}وكل حيشمال{\displaystyle N}لx{\displaystyle x}(مهما كان صغيراً)،و(شمال){\displaystyle f(N)}هو حي منو(x){\displaystyle f(x)}يمكننا استبدال أول أو كلا الحالتين لكلمة "neighborhood" بـ "open neighborhood" في هذه الحالة، وستظل النتيجة حالة مكافئة:
    • لكلx∈X{\displaystyle x\in X}وكل حي مفتوحشمال{\displaystyle N}لx{\displaystyle x}،و(شمال){\displaystyle f(N)}هو حي منو(x){\displaystyle f(x)}.
    • لكلx∈X{\displaystyle x\in X}وكل حي مفتوحشمال{\displaystyle N}لx{\displaystyle x}،و(شمال){\displaystyle f(N)}هو حي مفتوحو(x){\displaystyle f(x)}.
  4. و(عدد صحيحX⁡أ)⊆عدد صحيحY⁡(و(أ)){\displaystyle f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))}لجميع المجموعات الفرعيةأ{\displaystyle A}لX،{\displaystyle X,}أينعدد صحيح{\displaystyle \operatorname {Int} }يشير إلى البنية الطوبولوجية الداخلية للمجموعة.
  5. حينماج{\displaystyle C}هي مجموعة فرعية مغلقة منX{\displaystyle X}ثم المجموعة{y∈Y : و-1(y)⊆ج}{\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}}هي مجموعة فرعية مغلقة منY.{\displaystyle Y.}
    • هذا نتيجة للهويةو(X∖R)=Y∖{y∈Y:و-1(y)⊆R}،{\displaystyle f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}وهذا ينطبق على جميع المجموعات الجزئيةR⊆X.{\displaystyle R\subseteq X.}

لوب{\displaystyle {\mathcal {B}}}يشكل أساسًا لـX{\displaystyle X}ثم يمكن إضافة ما يلي إلى هذه القائمة:

  2. و{\displaystyle f}تُحوّل المجموعات المفتوحة الأساسية إلى مجموعات مفتوحة في مجالها المقابل (أي، لأي مجموعة مفتوحة أساسية).ب∈ب،{\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}و(ب){\displaystyle f(B)}هي مجموعة فرعية مفتوحة منY{\displaystyle Y}).

الخرائط المغلقة

خريطةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}يُطلق عليه اسمخريطة مغلقة نسبياً في أي وقتج{\displaystyle C}هي مجموعة فرعية مغلقة من المجالX{\displaystyle X}ثمو(ج){\displaystyle f(C)}هي مجموعة فرعية مغلقة منو{\displaystyle f}صورة​أنا⁡و:=و(X)،{\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),}وكما هو معتاد، فإن هذه المجموعة مزودة بطوبولوجيا الفضاء الجزئي المستحثة عليها بواسطةو{\displaystyle f}'s codomainY.{\displaystyle Y.}

خريطةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}يُطلق عليه اسمخريطة مغلقة أو أتُعتبر الخريطة مغلقة بقوة إذا استوفت أيًا من الشروط المكافئة التالية:

  1. تعريف:و:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}تقوم هذه الدالة بربط المجموعات الفرعية المغلقة من مجالها بالمجموعات الفرعية المغلقة من مجالها المقابل؛ أي، لأي مجموعة فرعية مغلقةج{\displaystyle C}لX،{\displaystyle X,}و(ج){\displaystyle f(C)}هي مجموعة فرعية مغلقة منY.{\displaystyle Y.}
  2. و:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هي خريطة مغلقة نسبياً وصورتهاأنا⁡و:=و(X){\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}هي مجموعة جزئية مغلقة من مجالها المقابلY.{\displaystyle Y.}
  3. و(أ)¯⊆و(أ¯){\displaystyle {\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)}لكل مجموعة جزئيةأ⊆X.{\displaystyle A\subseteq X.}
  4. و(ج)¯⊆و(ج){\displaystyle {\overline {f(C)}}\subseteq f(C)}لكل مجموعة جزئية مغلقةج⊆X.{\displaystyle C\subseteq X.}
  5. حينمايو{\displaystyle U}هي مجموعة فرعية مفتوحة منX{\displaystyle X}ثم المجموعة{y∈Y : و-1(y)⊆يو}{\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}}هي مجموعة فرعية مفتوحة منY.{\displaystyle Y.}
  6. لوx∙{\displaystyle x_{\bullet }}هي شبكة فيX{\displaystyle X}وy∈Y{\displaystyle y\in Y}هي نقطة بحيثو(x∙)→y{\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to y}فيY،{\displaystyle Y,}ثمx∙{\displaystyle x_{\bullet }}يتقارب فيX{\displaystyle X}إلى المجموعةو-1(y).{\displaystyle f^{-1}(y).}
    • التقاربx∙→و-1(y){\displaystyle x_{\bullet }\to f^{-1}(y)}يعني ذلك أن كل مجموعة فرعية مفتوحة منX{\displaystyle X}الذي يحتويو-1(y){\displaystyle f^{-1}(y)}سيحتوي علىxج{\displaystyle x_{j}}لجميع المؤشرات الكبيرة بما فيه الكفايةج.{\displaystyle j.}

تكون الدالة الشاملة مغلقة بقوة إذا وفقط إذا كانت مغلقة نسبيًا. لذا، في هذه الحالة الخاصة المهمة، يكون التعريفان متكافئين. بحسب التعريف، الدالةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}تكون الخريطة مغلقة نسبياً إذا وفقط إذا كان الإسقاط الشاملو:X→أنا⁡و{\displaystyle f:X\to \operatorname {Im} f}هي خريطة مغلقة بقوة.

إذا استُبدلت كلمتا "مفتوح" و"مغلق" في تعريف " الخريطة المتصلة " للمجموعة المفتوحة (وهو: "كل صورة عكسية لمجموعة مفتوحة هي مجموعة مفتوحة")، فإن العبارة الناتجة ("كل صورة عكسية لمجموعة مغلقة هي مجموعة مغلقة") تُكافئ الاتصال . لكن هذا لا ينطبق على تعريف "الخريطة المفتوحة" (وهو: "كل صورة لمجموعة مفتوحة هي صورة مفتوحة")، لأن العبارة الناتجة ("كل صورة لمجموعة مغلقة هي مجموعة مغلقة") هي تعريف "الخريطة المغلقة"، وهو تعريف لا يُكافئ الانفتاح عمومًا. توجد خرائط مفتوحة غير مغلقة، كما توجد خرائط مغلقة غير مفتوحة. ويعود هذا الاختلاف بين الخرائط المفتوحة/المغلقة والخرائط المتصلة في النهاية إلى حقيقة أنه لأي مجموعةS،{\displaystyle S,}فقطو(X∖S)⊇و(X)∖و(S){\displaystyle f(X\setminus S)\supseteq f(X)\setminus f(S)}مضمونة بشكل عام، بينما بالنسبة للصور الأصلية، المساواةو-1(Y∖S)=و-1(Y)∖و-1(S){\displaystyle f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)}دائماً ما يكون صحيحاً.

أمثلة

الوظيفةو:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }محدد بواسطةو(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}هي متصلة، ومغلقة، ومفتوحة نسبيًا، ولكنها ليست مفتوحة (بشكل كامل). وذلك لأنه إذايو=(أ،ب){\displaystyle U=(a,b)}أي فترة مفتوحة فيو{\displaystyle f}نطاقR{\displaystyle \mathbb {R} }الذي لا يحتوي0{\displaystyle 0}ثمو(يو)=(مين{أ2،ب2}،الأعلى{أ2،ب2})،{\displaystyle f(U)=(\min\{a^{2},b^{2}\},\max\{a^{2},b^{2}\}),}حيث تكون هذه الفترة المفتوحة مجموعة جزئية مفتوحة من كليهماR{\displaystyle \mathbb {R} }وأنا⁡و:=و(R)=[0،∞).{\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).}لكن إذايو=(أ،ب){\displaystyle U=(a,b)}أي فترة مفتوحة فيR{\displaystyle \mathbb {R} }الذي يحتوي0{\displaystyle 0}ثمو(يو)=[0،الأعلى{أ2،ب2})،{\displaystyle f(U)=[0,\max\{a^{2},b^{2}\}),}وهو ليس مجموعة فرعية مفتوحة منو{\displaystyle f}'s codomainR{\displaystyle \mathbb {R} }لكنها مجموعة فرعية مفتوحة منأنا⁡و=[0،∞).{\displaystyle \operatorname {Im} f=[0,\infty ).}لأن مجموعة جميع الفترات المفتوحة فيR{\displaystyle \mathbb {R} }يُعد أساسًا للطوبولوجيا الإقليدية علىR،{\displaystyle \mathbb {R} ,}هذا يدل على أنو:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }منفتحة نسبياً ولكن ليس (بقوة) منفتحة.

لوY{\displaystyle Y}إذا كانت لها طوبولوجيا منفصلة (أي أن جميع المجموعات الجزئية مفتوحة ومغلقة)، فإن كل دالةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هي مفتوحة ومغلقة في آن واحد (ولكن ليس بالضرورة متصلة). على سبيل المثال، دالة الجزء الصحيح منR{\displaystyle \mathbb {R} }لZ{\displaystyle \mathbb {Z} }مفتوح ومغلق، ولكنه غير متصل. يوضح هذا المثال أن صورة الفضاء المتصل تحت خريطة مفتوحة أو مغلقة لا يشترط أن تكون متصلة.

كلما كان لدينا ناتج فضاءات طوبولوجيةX=∏Xأنا،{\textstyle X=\prod X_{i},}النتوءات الطبيعيةصأنا:X→Xأنا{\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}}مفتوحة [ 12 ] [ 13 ] (وكذلك متصلة). وبما أن إسقاطات حزم الألياف وخرائط التغطية هي إسقاطات طبيعية محلية للمنتجات، فإنها أيضًا خرائط مفتوحة. مع ذلك، لا يشترط أن تكون الإسقاطات مغلقة. لنأخذ على سبيل المثال الإسقاط...ص1:R2→R{\displaystyle p_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }على المكون الأول؛ ثم المجموعةأ={(x،1/x):x≠0}{\displaystyle A=\{(x,1/x):x\neq 0\}}مغلق فيR2،{\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}لكنص1(أ)=R∖{0}{\displaystyle p_{1}(A)=\mathbb {R} \setminus \{0\}}غير مغلق فيR.{\displaystyle \mathbb {R} .} لكن بالنسبة للمساحة الصغيرةY،{\displaystyle Y,}الإسقاطX×Y→X{\displaystyle X\times Y\to X}مغلق. هذه هي أساساً نظرية الأنبوب .

يمكننا ربط كل نقطة على دائرة الوحدة بزاوية موجبةx{\displaystyle x}المحور x مع الشعاع الواصل بين النقطة ونقطة الأصل. هذه الدالة من دائرة الوحدة إلى الفترة نصف المفتوحة [0, 2π ) تقابلية، مفتوحة، ومغلقة، ولكنها غير متصلة. وهذا يدل على أن صورة الفضاء المتراص تحت تطبيق مفتوح أو مغلق لا يشترط أن تكون متراصة. لاحظ أيضًا أنه إذا اعتبرنا هذه الدالة من دائرة الوحدة إلى الأعداد الحقيقية، فإنها ليست مفتوحة ولا مغلقة. تحديد المجال المقابل ضروري.

شروط كافية

كل تماثل شكلي يكون مفتوحًا ومغلقًا ومتصلًا. في الواقع، يكون التقابل المتصل تماثلًا شكليًا إذا وفقط إذا كان مفتوحًا، أو بصورة مكافئة، إذا وفقط إذا كان مغلقًا.

تركيب دالتين مفتوحتين (بقوة) هو دالة مفتوحة ، وتركيب دالتين مغلقتين (بقوة) هو دالة مغلقة. [ 14 ] [ 15 ] مع ذلك، فإن تركيب دالتين مفتوحتين نسبيًا ليس بالضرورة أن يكون مفتوحًا نسبيًا، وتركيب دالتين مغلقتين نسبيًا ليس بالضرورة أن يكون مغلقًا نسبيًا.و:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}مفتوح بشدة (على التوالي، مغلق بشدة) وز:Y→Z{\displaystyle g:Y\to Z}إذا كانت مفتوحة نسبياً (على التوالي، مغلقة نسبياً)، فـز∘و:X→Z{\displaystyle g\circ f:X\to Z}مفتوح نسبياً (على التوالي، مغلق نسبياً).

يتركو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}لتكن خريطة. بالنظر إلى أي مجموعة جزئيةتي⊆Y{\displaystyle T\subseteq Y}، لوو{\displaystyle f}إذا كانت مفتوحة نسبياً (على التوالي، مغلقة نسبياً، مفتوحة بشدة، مغلقة بشدة، متصلة، شاملة )، فإن الأمر نفسه ينطبق على تقييدها. و|و-1(تي) : و-1(تي)→تي{\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T} إلىو{\displaystyle f}مجموعة فرعية مشبعةو-1(تي){\displaystyle f^{-1}(T)}.

المجموع الفئوي لدالتين مفتوحتين هو دالة مفتوحة، والمجموع الفئوي لدالتين مغلقتين هو دالة مغلقة. [ 15 ] والضرب الفئوي لدالتين مفتوحتين هو أيضًا دالة مفتوحة. مع ذلك، ليس بالضرورة أن يكون الضرب الفئوي لدالتين مغلقتين مغلقًا. [ 14 ] [ 15 ]

تكون الدالة التقابلية مفتوحة إذا وفقط إذا كانت مغلقة. معكوس الدالة التقابلية المستمرة هو دالة تقابلية مفتوحة ومغلقة (والعكس صحيح). ليس بالضرورة أن تكون الدالة الشاملة المفتوحة مغلقة، وليس بالضرورة أن تكون الدالة الشاملة المغلقة مفتوحة. جميع التشاكلات الموضعية ، بما في ذلك جميع مخططات الإحداثيات على المشعبات وجميع دوال التغطية ، هي دوال مفتوحة.

معضلة التطبيق المغلق — كل دالة متصلةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}من مساحة صغيرةX{\displaystyle X}إلى مساحة هاوسدورفY{\displaystyle Y}مغلق ومناسب (بمعنى أن الصور العكسية للمجموعات المدمجة تكون مدمجة).

تنص إحدى صيغ نظرية الخريطة المغلقة على أنه إذا كانت الدالة المستمرة بين فضاءات هاوسدورف المدمجة محليًا دالة مناسبة، فإنها تكون مغلقة أيضًا.

في التحليل المركب ، تنص نظرية التطبيق المفتوح التي تحمل نفس الاسم على أن كل دالة هولومورفية غير ثابتة معرفة على مجموعة فرعية مفتوحة متصلة من المستوى المركب هي تطبيق مفتوح.

تنص نظرية ثبات المجال على أن الدالة المستمرة والمحلية الحقنية بين مجالينن{\displaystyle n}يجب أن تكون المشعبات الطوبولوجية ذات الأبعاد n مفتوحة.

ثبات المجال — إذايو{\displaystyle U}هي مجموعة فرعية مفتوحة منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}وو:يو→Rن{\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}إذا كانت دالة متصلة أحادية ، فإنV:=و(يو){\displaystyle V:=f(U)}مفتوح فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}وو{\displaystyle f}هو تماثل شكلي بينيو{\displaystyle U}وV{\displaystyle V}.

في التحليل الوظيفي ، تنص نظرية التطبيق المفتوح على أن كل تطبيق خطي متصل شامل بين فضاءات باناخ هو تطبيق مفتوح. وقد عُممت هذه النظرية لتشمل فضاءات المتجهات الطوبولوجية، وليس فقط فضاءات باناخ.

خريطة شاملةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}يُطلق عليها اسم خريطة شبه مفتوحةإذا، لكلy∈Y{\displaystyle y\in Y}يوجد بعضx∈و-1(y){\displaystyle x\in f^{-1}(y)}بحيثx{\displaystyle x}هونقطة انفتاح لـو{\displaystyle f}وهذا يعني بحكم التعريف أنه، لكل حي مفتوحيو{\displaystyle U}لx{\displaystyle x}،و(يو){\displaystyle f(U)}هو حي منو(x){\displaystyle f(x)}فيY{\displaystyle Y}(لاحظ أن الحيو(يو){\displaystyle f(U)}ليس من الضروري أن تكون جوارًا مفتوحًا ). كل تطبيق شامل مفتوح هو تطبيق شبه مفتوح، ولكن العكس غير صحيح. إذا كان التطبيق الشاملو:(X،τ)→(Y،σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}إذا كانت الخريطة شبه مفتوحة، فإنها تكون خريطة مفتوحة إذا حققت الشرط التالي (شرط لا يعتمد بأي شكل من الأشكال علىY{\displaystyle Y}طوبولوجياσ{\displaystyle \sigma }): حينمام{\displaystyle m}ون∈X{\displaystyle n\in X}ينتمي إلى نفس نوع الأليافو{\displaystyle f}(إنه،و(م)=و(ن){\displaystyle f(m)=f(n)}ثم، لكل حييو∈τ{\displaystyle U\in \tau }لم{\displaystyle m}يوجد بعض الأحياءV∈τ{\displaystyle V\in \tau }لن{\displaystyle n}بحيثF(V)⊆F(يو){\displaystyle F(V)\subseteq F(U)}إذا كانت الخريطة متصلة، فإن الشرط المذكور أعلاه ضروري أيضًا لكي تكون الخريطة مفتوحة. أي، إذاو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}إذا كان تطبيقًا شاملاً متصلًا، فإنه يكون مفتوحًا إذا وفقط إذا كان مفتوحًا تقريبًا ويحقق الشرط المذكور أعلاه.

ملكيات

خرائط مفتوحة أو مغلقة متصلة

لوو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}إذا كانت خريطة متصلة مفتوحة أو مغلقة، فإن:

في الحالتين الأوليين، يُعدّ كون الشيء مفتوحًا أو مغلقًا شرطًا كافيًا فقط للوصول إلى النتيجة التالية. أما في الحالة الثالثة، فهو شرط ضروري أيضًا.

افتح الخرائط المتصلة

لوو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هي خريطة مفتوحة (قوية) متصلة،أ⊆X،{\displaystyle A\subseteq X,}وS⊆Y،{\displaystyle S\subseteq Y,}ثم:

  • و-1(بادY⁡S)=بادX⁡(و-1(S)){\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {Bd} _{Y}S\right)=\operatorname {Bd} _{X}\left(f^{-1}(S)\right)}أينباد{\displaystyle \operatorname {Bd} }يشير إلى حدود مجموعة.
  • و-1(S¯)=و-1(S)¯{\displaystyle f^{-1}\left({\overline {S}}\right)={\overline {f^{-1}(S)}}}أينS¯{\displaystyle {\overline {S}}}يشير إلى إغلاق المجموعة.
  • لوأ¯=عدد صحيحX⁡أ¯،{\displaystyle {\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},}أينعدد صحيح{\displaystyle \operatorname {Int} }يشير إلى الجزء الداخلي من المجموعة، إذن عدد صحيحY⁡و(أ)¯=و(أ)¯=و(عدد صحيحX⁡أ)¯=و(عدد صحيحX⁡أ¯)¯{\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} _{Y}f(A)}}={\overline {f(A)}}={\overline {f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}}={\overline {f\left({\overline {\operatorname {Int} _{X}A}}\right)}}} حيث هذه المجموعةو(أ)¯{\displaystyle {\overline {f(A)}}}وهي بالضرورة مجموعة مغلقة منتظمة (فيY{\displaystyle Y}). [ ملاحظة 1 ] على وجه الخصوص، إذاأ{\displaystyle A}إذا كانت مجموعة مغلقة منتظمة، فإن كذلكو(أ)¯{\displaystyle {\overline {f(A)}}}. لوأ{\displaystyle A}إذا كانت مجموعة مفتوحة منتظمة ، فإن كذلكY∖و(X∖أ)¯.{\displaystyle Y\setminus {\overline {f(X\setminus A)}}.}
  • إذا كانت الخريطة المفتوحة المستمرةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}وهي أيضاً شاملة، إذنعدد صحيحX⁡و-1(S)=و-1(عدد صحيحY⁡S){\displaystyle \operatorname {Int} _{X}f^{-1}(S)=f^{-1}\left(\operatorname {Int} _{Y}S\right)}وعلاوة على ذلك،S{\displaystyle S}هي مجموعة فرعية مفتوحة منتظمة (أو مغلقة منتظمة) [ ملاحظة 1 ] منY{\displaystyle Y}إذا وفقط إذاو-1(S){\displaystyle f^{-1}(S)}هي مجموعة فرعية مفتوحة منتظمة (أو مجموعة فرعية مغلقة منتظمة) منX{\displaystyle X}.
  • إذا كانت الشبكةy∙=(yأنا)أنا∈أنا{\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}}يتقارب فيY{\displaystyle Y}إلى حد ماy∈Y{\displaystyle y\in Y}وإذا كانت الخريطة المفتوحة المستمرةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}إذن، فهي شاملة لأيx∈و-1(y){\displaystyle x\in f^{-1}(y)}توجد شبكةx∙=(xأ)أ∈أ{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}فيX{\displaystyle X}(مفهرسة بواسطة مجموعة موجهة معينة)أ{\displaystyle A}) بحيثx∙→x{\displaystyle x_{\bullet }\to x}فيX{\displaystyle X}وو(x∙):=(و(xأ))أ∈أ{\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}هي شبكة فرعية منy∙{\displaystyle y_{\bullet }}علاوة على ذلك، مجموعة الفهرسةأ{\displaystyle A}قد يُنظر إليه على أنهأ:=أنا×شمالx{\displaystyle A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}}مع طلب المنتج ، حيثشمالx{\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}أي أساس للجوارx{\displaystyle x}إخراج⊇.{\displaystyle \,\supseteq .\,}[ ملاحظة 2 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 مجموعة جزئيةS⊆X{\displaystyle S\subseteq X}يُطلق عليه اسممجموعة مغلقة منتظمة إذاعدد صحيح⁡S¯=S{\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}أو ما يعادل ذلك، إذاباد⁡(عدد صحيح⁡S)=باد⁡S،{\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,}أينباد⁡S{\displaystyle \operatorname {Bd} S}(على التوالي)عدد صحيح⁡S،{\displaystyle \operatorname {Int} S,}S¯{\displaystyle {\overline {S}}}) يشير إلى الحدود الطوبولوجية (على التوالي الداخلية ، الإغلاق ) لـS{\displaystyle S}فيX.{\displaystyle X.}المجموعةS{\displaystyle S}يُطلق عليه اسممجموعة مفتوحة عادية إذاعدد صحيح⁡(S¯)=S{\displaystyle \operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S}أو ما يعادل ذلك، إذاباد⁡(S¯)=باد⁡S.{\displaystyle \operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.}الجزء الداخلي (تم التقاطه فيX{\displaystyle X}) لمجموعة فرعية مغلقة منX{\displaystyle X}هي دائمًا مجموعة فرعية مفتوحة منتظمة منX.{\displaystyle X.}الإغلاق (تم استيعابه فيX{\displaystyle X}) لمجموعة فرعية مفتوحة منX{\displaystyle X}هي دائمًا مجموعة فرعية منتظمة مغلقة منX.{\displaystyle X.}
  2. ↑ بشكل صريح، لأيأ:=(أنا،يو)∈أ:=أنا×شمالx،{\displaystyle a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},}اختر أيًاحأ∈أنا{\displaystyle h_{a}\in I}بحيثأنا≤حأ و yحأ∈و(يو){\displaystyle i\leq h_{a}{\text{ and }}y_{h_{a}}\in f(U)}ثم دعxأ∈يو∩و-1(yحأ){\displaystyle x_{a}\in U\cap f^{-1}\left(y_{h_{a}}\right)}أن يكون الأمر عشوائياً.أ↦حأ{\displaystyle a\mapsto h_{a}}يُعرّف تشاكل الترتيبح:أ→أنا{\displaystyle h:A\to I}بحيثح(أ){\displaystyle h(A)}هي مجموعة فرعية نهائية مشتركة منأنا{\displaystyle I}. هكذا،و(x∙){\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}هي شبكة فرعية من شبكات ويلاردy∙.{\displaystyle y_{\bullet }.}

الاقتباسات

  1. ↑ مونكرز، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا (  الطبعة الثانية). برنتيس هول . ISBN 0-13-181629-2.
  2. 1 2 مندلسون، بيرت (1990) [1975]. مقدمة في الطوبولوجيا ( الطبعة الثالثة). دوفر. ص 89. ISBN   0-486-66352-3من المهم أن نتذكر أن النظرية 5.3 تنص على أن الدالةو{\displaystyle f}تكون الدالة متصلة إذا وفقط إذا كانت الصورة العكسية لكل مجموعة مفتوحة مجموعة مفتوحة. يجب عدم الخلط بين هذه الخاصية للاتصال وخاصية أخرى قد تمتلكها الدالة أو لا تمتلكها، وهي أن صورة كل مجموعة مفتوحة هي مجموعة مفتوحة (وتسمى هذه الدوال بالتطبيقات المفتوحة ).
  3. 1 2 3 لي، جون م. (2003). مقدمة في المشعبات الملساء . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 218. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 550. ISBN   9780387954486خريطة​F:X→Y{\displaystyle F:X\to Y}يُقال إن الدالة (سواء كانت متصلة أم لا) دالة مفتوحة إذا كان لكل مجموعة جزئية مغلقةيو⊆X،{\displaystyle U\subseteq X,}F(يو){\displaystyle F(U)}مفتوح فيY،{\displaystyle Y,}وتكون الخريطة مغلقة إذا كان لكل مجموعة جزئية مغلقةك⊆يو،{\displaystyle K\subseteq U,}F(ك){\displaystyle F(K)}مغلق فيY.{\displaystyle Y.}قد تكون الخرائط المتصلة مفتوحة أو مغلقة أو كليهما أو لا شيء منهما، كما يمكن رؤيته من خلال فحص أمثلة بسيطة تتضمن مجموعات فرعية من المستوى.
  4. 1 2 لودو، أندريه (15 يناير 2012). الموجات غير الخطية والسوليتونات على الخطوط الكنتورية والأسطح المغلقة . سلسلة سبرينغر في علم التآزر. ص 15. ISBN  9783642228940التطبيق المفتوح هو دالة بين فضاءين طوبولوجيين تربط المجموعات المفتوحة ببعضها. وبالمثل، التطبيق المغلق هو دالة تربط المجموعات المغلقة ببعضها. ولا يشترط أن تكون التطبيقات المفتوحة أو المغلقة متصلة.
  5. ↑ سهراب، هوشانغ ح. (2003). التحليل الحقيقي الأساسي . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 203. ISBN  9780817642112والآن ، نحن جاهزون لأمثلتنا التي توضح أن الدالة قد تكون مفتوحة دون أن تكون مغلقة، أو مغلقة دون أن تكون مفتوحة. كما قد تكون الدالة مفتوحة ومغلقة في آنٍ واحد، أو لا تكون مفتوحة ولا مغلقة.(تم تقديم العبارة المقتبسة في سياق الفضاءات المترية، ولكن بما أن الفضاءات الطوبولوجية تنشأ كتعميمات للفضاءات المترية، فإن العبارة تنطبق هناك أيضًا.)
  6. ↑ نابر، غريغوري ل. (2012). الأساليب الطوبولوجية في الفضاءات الإقليدية . كتب دوفر في الرياضيات (طبعة معاد طباعتها). شركة كورير. ص 18. ISBN   9780486153445التمرين 1-19. بيّن أن خريطة الإسقاطπأنا:Xأنا×⋯×Xك→Xأنا{\displaystyle \pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}}π 1 : X 1 × ... × X k → X i هي دالة مفتوحة، ولكنها ليست بالضرورة دالة مغلقة. تلميح: إسقاط R 2 علىR{\displaystyle \mathbb {R} }ليست مغلقة. وبالمثل، لا يشترط أن تكون الخريطة المغلقة مفتوحة، لأن أي خريطة ثابتة تكون مغلقة. أما بالنسبة للخرائط أحادية التقابل والشاملة، فإن مفهومي "الانفتاح" و"الانغلاق" متكافئان.
  7. ↑ مندلسون، بيرت (1990) [1975]. مقدمة في الطوبولوجيا ( الطبعة الثالثة). دوفر. ص 89. ISBN   0-486-66352-3هناك العديد من المواقف التي تكون فيها الدالةو:(X،τ)→(Y،τ′){\displaystyle f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)}تتمتع بالخاصية التالية لكل مجموعة جزئية مفتوحةأ{\displaystyle A}لX،{\displaystyle X,}المجموعةو(أ){\displaystyle f(A)}هي مجموعة فرعية مفتوحة منY،{\displaystyle Y,}ومع ذلكو{\displaystyle f}ليس متصلاً .
  8. ↑ بوس، يوهان (2000). الأساليب الكلاسيكية والحديثة في الجمع . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 332. ISBN  0-19-850165-Xوالآن ، يثور التساؤل عما إذا كانت العبارة الأخيرة صحيحة بشكل عام، أي ما إذا كانت الدوال المغلقة متصلة. وهذا غير صحيح بشكل عام كما يثبت المثال التالي.
  9. ↑ كوبروسلي ، كارلوس س. (2011). عناصر نظرية المؤثرات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 115. ISBN  9780817649982بشكل عام ، الخريطةF:X→Y{\displaystyle F:X\to Y}في فضاء متريX{\displaystyle X}في فضاء متريY{\displaystyle Y}قد يمتلك أي مزيج من السمات "المستمر" و "المفتوح" و "المغلق" (أي أن هذه مفاهيم مستقلة).
  10. ^ هارت، KP. ناجاتا، J.؛ فوغان، جي، محرران. (2004). موسوعة الطوبولوجيا العامة . إلسفير. ص. 86 . رقم ISBN  0-444-50355-2يبدو أن دراسة الخرائط المفتوحة (الداخلية) بدأت بأوراق بحثية [13،14] من تأليف س. ستويلو . ومن الواضح أن انفتاح الخرائط قد تمت دراسته بشكل مكثف لأول مرة من قبل جي تي وايبورن [19،20].
  11. ↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 225-273.
  12. ↑ ويلارد، ستيفن (1970). الطوبولوجيا العامة . أديسون-ويسلي. ISBN 0486131785.
  13. ↑ لي، جون م. (2012). مقدمة في المشعبات الملساء . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 218 ( الطبعة الثانية). ص 606. doi : 10.1007/978-1-4419-9982-5 . ISBN    978-1-4419-9982-5أُرشف من الأصل بتاريخ 13 أكتوبر 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 سبتمبر 2021. التمرين أ.32. افترضX1،...،Xك{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}هي فضاءات طوبولوجية. أثبت أن كل إسقاطπأنا:X1×⋯×Xك→Xأنا{\displaystyle \pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}}هي خريطة مفتوحة.
  14. 1 2 باويس، هانز يواكيم؛ كوينتيرو، أنطونيو (2001). نظرية المثلية اللانهائية . ك -دراسات في الرياضيات. المجلد. 6. ص. 53. ردمك   9780792369820إنّ تركيب الدوال المفتوحة مفتوح، وتركيب الدوال المغلقة مغلق. كذلك، فإنّ حاصل ضرب الدوال المفتوحة مفتوح. في المقابل، فإنّ حاصل ضرب الدوال المغلقة ليس بالضرورة مغلقًا...
  15. 1 2 3 جيمس ، آي إم (1984). الطوبولوجيا العامة ونظرية التماثل . سبرينغر-فيرلاغ. ص 49. ISBN  9781461382836... لنتذكر أن تركيب الدوال المفتوحة مفتوح، وتركيب الدوال المغلقة مغلق. كذلك، فإن مجموع الدوال المفتوحة مفتوح، ومجموع الدوال المغلقة مغلق. مع ذلك، فإن حاصل ضرب الدوال المغلقة ليس بالضرورة مغلقًا، على الرغم من أن حاصل ضرب الدوال المفتوحة مفتوح.

مراجع

  • ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
  • شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
  • تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .