الجمع حسب الأجزاء

في الرياضيات ، يحول الجمع بالأجزاء مجموع حاصل ضرب المتتاليات إلى مجموع آخر، مما يؤدي غالبًا إلى تبسيط الحساب أو (خاصة) تقدير أنواع معينة من المجاميع. يُطلق عليه أيضًا معضلة آبل أو تحويل آبل ، نسبة إلى نيلز هنريك آبل الذي قدمه في عام 1826. ^[1]

افترض أن و هما تسلسلان . إذن، ${\displaystyle \{f_{k}\}}$${\displaystyle \{g_{k}\}}$

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f_{k}(g_{k+1}-g_{k})=\left(f_{n+1}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right)-\sum _{k=m}^{n}g_{k+1}(f_{k+1}-f_{k}).}$

باستخدام عامل الفرق الأمامي ، يمكن التعبير عن ذلك بشكل أكثر إيجازًا على النحو التالي: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f_{k}\Delta g_{k}=\left(f_{n+1}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right)-\sum _{k=m}^{n}g_{k+1}\Delta f_{k},}$

الجمع بالأجزاء هو نظير للتكامل بالأجزاء :

${\displaystyle \int f\,dg=fg-\int g\,df,}$

أو إلى صيغة تلخيص آبل :

${\displaystyle \sum _{k=m+1}^{n}f(k)(g_{k}-g_{k-1})=\left(f(n)g_{n}-f(m)g_{m}\right)-\int _{m}^{n}g_{\lfloor t\rfloor }f'(t)dt.}$

العبارة البديلة هي

${\displaystyle f_{n}g_{n}-f_{m}g_{m}=\sum _{k=m}^{n-1}f_{k}\Delta g_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}g_{k}\Delta f_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}\Delta f_{k}\Delta g_{k}}$

وهو ما يشبه صيغة التكامل بالأجزاء لشبه المارتينجال .

على الرغم من أن التطبيقات تتعامل دائمًا تقريبًا مع تقارب المتتاليات، فإن العبارة جبرية بحتة وستعمل في أي مجال . ستعمل أيضًا عندما يكون أحد المتتاليات في فضاء متجه ، والآخر في المجال ذي الصلة من المتتاليات القياسية.

يتم تقديم الصيغة أحيانًا في أحد هذه الأشكال - المختلفة قليلاً -

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=f_{0}\sum _{k=0}^{n}g_{k}+\sum _{j=0}^{n-1}(f_{j+1}-f_{j})\sum _{k=j+1}^{n}g_{k}\\&=f_{n}\sum _{k=0}^{n}g_{k}-\sum _{j=0}^{n-1}\left(f_{j+1}-f_{j}\right)\sum _{k=0}^{j}g_{k},\end{aligned}}}$

والتي تمثل حالة خاصة ( ) من القاعدة الأكثر عمومية ${\displaystyle M=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=\sum _{i=0}^{M-1}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}+\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}G_{j+M}^{(M)}=\\&=\sum _{i=0}^{M-1}\left(-1\right)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}+\left(-1\right)^{M}\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}{\tilde {G}}_{j}^{(M)};\end{aligned}}}$

كلاهما ينتج عن التطبيق المتكرر للصيغة الأولية. الكميات المساعدة هي سلسلة نيوتن :

${\displaystyle f_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{M}\left(-1\right)^{M-k}{M \choose k}f_{j+k}}$

و

${\displaystyle G_{j}^{(M)}:=\sum _{k=j}^{n}{k-j+M-1 \choose M-1}g_{k},}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{j}{j-k+M-1 \choose M-1}g_{k}.}$

النتيجة ( ) المحددة هي الهوية ${\displaystyle M=n+1}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}=\sum _{i=0}^{n}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}.}$

وهنا معامل ثنائي الحدين . ${\textstyle {n \choose k}}$

بالنسبة لمتسلسلتين معطاتين و ، مع ، نريد دراسة مجموع السلسلة التالية:${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (b_{n})}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$$${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$$

إذا قمنا بتعريف ذلك لكل و ${\textstyle \displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k},}$${\displaystyle n>0,}$ ${\displaystyle b_{n}=B_{n}-B_{n-1}}$$${\displaystyle S_{N}=a_{0}b_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}(B_{n}-B_{n-1}),}$$ $${\displaystyle S_{N}=a_{0}b_{0}-a_{1}B_{0}+a_{N}B_{N}+\sum _{n=1}^{N-1}B_{n}(a_{n}-a_{n+1}).}$$

أخيراً${\textstyle \displaystyle S_{N}=a_{N}B_{N}-\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}).}$

يمكن استخدام هذه العملية، والتي تسمى تحويل آبل، لإثبات العديد من معايير التقارب لـ . ${\displaystyle S_{N}}$

صيغة التكامل بالأجزاء هي . ${\textstyle \displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx}$

بجانب الشروط الحدودية ، نلاحظ أن التكامل الأول يحتوي على دالتين مضروبتين، واحدة متكاملة في التكامل النهائي ( تصبح ) والأخرى مشتقة ( تصبح ). ${\displaystyle g'}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$

عملية تحويل آبل متشابهة، حيث يتم جمع أحد التسلسلين الأوليين ( يصبح ) ويتم فرق التسلسل الآخر ( يصبح ). ${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}}$

• يتم استخدامه لإثبات مبرهنة كرونيكر ، والتي بدورها تستخدم لإثبات نسخة من القانون القوي للأعداد الكبيرة في ظل قيود التباين .
• يمكن استخدامه لإثبات نظرية نيقوماخوس التي تنص على أن مجموع المكعبات الأولى يساوي مربع مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى. ^[2]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• يتم استخدام الجمع بالأجزاء بشكل متكرر لإثبات نظرية آبل واختبار ديريشيليت .
• يمكنك أيضًا استخدام هذه التقنية لإثبات اختبار آبل : إذا كانت سلسلة متقاربة ، ومتتالية رتيبة محدودة ، فإنها تتقارب.${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$${\displaystyle a_{n}}$${\textstyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$

إثبات اختبار آبل. يعطي الجمع بالأجزاء حيث a هو حد . وبما أن متقاربة، فهي محدودة بشكل مستقل عن ، على سبيل المثال بـ . وبما أن الحدين الأولين يتجهان إلى الصفر، فإن الحد الثالث يتجه إلى الصفر وفقًا لمعيار كوشي لـ . ويحد المجموع المتبقي بـ رتابة ، ويتجه أيضًا إلى الصفر حيث . $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{M}-S_{N}&=a_{M}B_{M}-a_{N}B_{N}-\sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n})\\&=(a_{M}-a)B_{M}-(a_{N}-a)B_{N}+a(B_{M}-B_{N})-\sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}),\end{aligned}}}$$${\displaystyle a_{n}}$${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$${\displaystyle B_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a_{n}-a}$${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$$${\displaystyle \sum _{n=N}^{M-1}|B_{n}||a_{n+1}-a_{n}|\leq B\sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|=B|a_{N}-a_{M}|}$$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle N\to \infty }$

باستخدام نفس الدليل المذكور أعلاه، يمكننا أن نثبت أنه إذا

1. تشكل المجاميع الجزئية تسلسلًا محدودًا مستقلاً عن ؛${\displaystyle B_{N}}$${\displaystyle N}$
2. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|<\infty }$(بحيث يصبح المجموع صفرًا كما يصبح إلى ما لا نهاية)${\displaystyle \sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|}$${\displaystyle N}$
3. ${\displaystyle \lim a_{n}=0}$

ثم يتقارب. ${\textstyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$

في كلتا الحالتين، مجموع السلسلة يلبي:$${\displaystyle |S|=\left|\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}\right|\leq B\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|.}$$

يتكون عامل الفرق المحدود للمجموع بالأجزاء (SBP) تقليديًا من مخطط داخلي للفرق المركزي وقوالب حدودية محددة تحاكي سلوكيات صيغة التكامل بالأجزاء المقابلة. ^{[3] [4]} تُفرض الشروط الحدودية عادةً بواسطة تقنية مصطلح التقريب المتزامن (SAT). ^[5] يُعد الجمع بين SBP-SAT إطارًا قويًا لمعالجة الحدود. تُفضل الطريقة للاستقرار المثبت جيدًا للمحاكاة طويلة الأمد، ودرجة عالية من الدقة.

• سلسلة متقاربة
• سلسلة متباينة
• التكامل بالأجزاء
• ملخص سيزارو
• نظرية آبل
• صيغة مجموع آبل

• أبيل، نيلز هنريك (1826). "Unter suchungen über die Reihe usw". جيه رين أنجو. الرياضيات. 1 : 311-339.${\displaystyle 1+{\frac {m}{x}}+{\frac {m\cdot (m-1)}{2\cdot 1}}x^{2}+{\frac {m\cdot (m-1)\cdot (m-2)}{3\cdot 2\cdot 1}}x^{3}+\ldots }$