معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الأولى

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 90 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، المعادلة التفاضلية الجزئية من الرتبة الأولى هي معادلة تفاضلية جزئية تتضمن المشتقات الأولى لدالة مجهولة.u{\displaystyle u}لن≥2{\displaystyle n\geq 2}المتغيرات. تأخذ المعادلة الشكل [ 1 ]F(x1،...،xن،u،ux1،...uxن)=0،{\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0,} استخدام الترميز السفلي للدلالة على المشتقات الجزئية لـu{\displaystyle u}.

تظهر هذه المعادلات في بناء الأسطح المميزة للمعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية ، وفي حساب التفاضل والتكامل ، وفي بعض المسائل الهندسية ، وفي نماذج بسيطة لديناميكا الغازات التي يتضمن حلها طريقة الخصائص ، مثل معادلة الحمل . إذا أمكن إيجاد مجموعة من حلول معادلة تفاضلية جزئية واحدة من الرتبة الأولى، فإنه يمكن الحصول على حلول إضافية بتكوين أغلفة للحلول ضمن تلك المجموعة. وفي إجراء مشابه، يمكن الحصول على حلول عامة بتكامل مجموعات من المعادلات التفاضلية العادية.

الحل العام والتكامل الكامل

الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية من الرتبة الأولى هو حل يحتوي على دالة اختيارية. أما حل المعادلات التفاضلية الجزئية من الرتبة الأولى التي تحتوي على عدد من الثوابت الاختيارية يساوي عدد المتغيرات المستقلة، فيُسمى التكامل الكامل . فيما يلي عائلة الحلول ذات n من المعاملات

ϕ(x1،x2،...،xن،u،أ1،أ2،...،أن){\displaystyle \phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},u,a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}

يكون تكاملاً كاملاً إذاالمحقق|ϕxأناأج|≠0{\displaystyle {\text{det}}|\phi _{x_{i}a_{j}}|\neq 0}[ 2 ] تستند المناقشات التالية حول أنواع التكاملات إلى كتاب "رسالة في المعادلات التفاضلية" ( الفصل التاسع، الطبعة السادسة، 1928) للمؤلف أندرو فورسيث . [ 3 ]

التكامل الكامل

تُوصَف الحلول بطريقة بسيطة نسبيًا في بُعدين أو ثلاثة أبعاد، حيث تُعمَّم المفاهيم الأساسية بسهولة إلى أبعاد أعلى. تأخذ معادلة تفاضلية جزئية عامة من الدرجة الأولى في ثلاثة أبعاد الشكل التالي:

F(x،y،z،u،ص،q،ر)=0،{\displaystyle F(x,y,z,u,p,q,r)=0,\,}

أينص=ux،q=uy،ر=uz.{\displaystyle p=u_{x},\,q=u_{y},\,r=u_{z}.}يفترضϕ(x،y،z،u،أ،ب،ج)=0{\displaystyle \phi (x,y,z,u,a,b,c)=0}ليكن التكامل الكامل الذي يحتوي على ثلاثة ثوابت اختيارية(أ،ب،ج){\displaystyle (a,b,c)}ومن هذا يمكننا الحصول على ثلاث علاقات عن طريق التفاضل

ϕx+صϕu=0{\displaystyle \phi _{x}+p\phi _{u}=0}
ϕy+qϕu=0{\displaystyle \phi _{y}+q\phi _{u}=0}
ϕz+رϕu=0{\displaystyle \phi _{z}+r\phi _{u}=0}

إلى جانب التكامل الكاملϕ=0{\displaystyle \phi =0}يمكن استخدام العلاقات الثلاث المذكورة أعلاه لحذف ثلاثة ثوابت والحصول على معادلة (معادلة تفاضلية جزئية أصلية) تربط(x،y،z،u،ص،q،ر){\displaystyle (x,y,z,u,p,q,r)}لاحظ أن حذف الثوابت المؤدي إلى المعادلة التفاضلية الجزئية ليس بالضرورة أن يكون فريدًا، أي أن معادلتين مختلفتين يمكن أن تؤديا إلى نفس التكامل الكامل، على سبيل المثال، حذف الثوابت من العلاقةu=(x-أ)2+(y-ب)2+z-ج{\displaystyle u={\sqrt {(xa)^{2}+(yb)^{2}}}+zc}يؤدي إلىص2+q2=1{\displaystyle p^{2}+q^{2}=1}ور=1{\displaystyle r=1}.

التكامل العام

بمجرد إيجاد التكامل الكامل، يمكن بناء حل عام منه. ويُحصل على التكامل العام بجعل الثوابت دوالًا للإحداثيات، أيأ=أ(x،y،z)،ب=ب(x،y،z)،ج=ج(x،y،z){\displaystyle a=a(x,y,z),\,b=b(x,y,z),\,c=c(x,y,z)}يتم اختيار هذه الدوال بحيث تكون أشكالها(ص،q،ر){\displaystyle (p,q,r)}تبقى دون تغيير بحيث يمكن استخدام عملية الحذف من التكامل الكامل. يوفر تفاضل التكامل الكامل الآن

ϕx+صϕu=-(أxϕأ+بxϕب+جxϕج){\displaystyle \phi _{x}+p\phi _{u}=-(a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})}
ϕy+qϕu=-(أyϕأ+بyϕب+جyϕج){\displaystyle \phi _{y}+q\phi _{u}=-(a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})}
ϕz+رϕu=-(أzϕأ+بzϕب+جzϕج){\displaystyle \phi _{z}+r\phi _{u}=-(a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})}

حيث نشترط أن تتلاشى حدود الطرف الأيمن من المعادلات الثلاث جميعها بشكل متطابق بحيث يؤدي حذف(أ،ب،ج){\displaystyle (a,b,c)}منϕ{\displaystyle \phi }ينتج عن ذلك معادلة تفاضلية جزئية. ويمكن كتابة هذا الشرط بشكل أكثر إيجازًا على النحو التالي:

جϕأ=0،جϕب=0،جϕج=0{\displaystyle J\phi _{a}=0,\quad J\phi _{b}=0,\quad J\phi _{c}=0}

أين

ج=∂(أ،ب،ج)∂(x،y،z)=|أxأyأzبxبyبzجxجyجz|{\displaystyle J={\frac {\partial (a,b,c)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{aligned}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}

هو المحدد اليعقوبي . الشرطج=0{\displaystyle J=0}يؤدي إلى الحل العام. كلماج=0{\displaystyle J=0}إذن، توجد علاقة وظيفية بين(أ،ب،ج){\displaystyle (a,b,c)}لأنه عندما يكون المحدد صفرًا، فإن الأعمدة (أو الصفوف) لا تكون مستقلة خطيًا. لنفترض أن هذه العلاقة الوظيفية هي

ج=ψ(أ،ب).{\displaystyle c=\psi (a,b).}

مرة واحدة(أ،ب){\displaystyle (a,b)}إذا تم العثور على الحل، يتم حل المشكلة. من العلاقة المذكورة أعلاه، لدينادج=ψأدأ+ψبدب{\displaystyle dc=\psi _{a}da+\psi _{b}db}بجمع المعادلات الأصلية(أxϕأ+بxϕب+جxϕج)=0{\displaystyle (a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})=0}،(أyϕأ+بyϕب+جyϕج)=0{\displaystyle (a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})=0}و(أzϕأ+بzϕب+جzϕج)=0{\displaystyle (a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})=0}نجدϕأدأ+ϕبدب+ϕجدج=0{\displaystyle \phi _{a}da+\phi _{b}db+\phi _{c}dc=0}. الآن يتم الاستبعاددج{\displaystyle dc}من المعادلتين المشتقتين، نحصل على

(ϕأ+ϕجψأ)دأ+(ϕب+ϕجψب)دب=0{\displaystyle (\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})da+(\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})db=0}

منذأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}نحن مستقلون، ونحتاج إلى

(ϕأ+ϕجψأ)=0{\displaystyle (\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})=0}
(ϕب+ϕجψب)=0.{\displaystyle (\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})=0.}

يمكن استخدام المعادلتين أعلاه لحلأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}الاستبدال(أ،ب،ج){\displaystyle (a,b,c)}فيϕ=0{\displaystyle \phi =0}وبذلك نحصل على التكامل العام . وبالتالي، يصف التكامل العام علاقة بين(x،y،z،u){\displaystyle (x,y,z,u)}دالتان مستقلتان معروفتان(أ،ب){\displaystyle (a,b)}ودالة اختياريةψ(أ،ب){\displaystyle \psi (a,b)}لاحظ أننا افترضناج=ψ(أ،ب){\displaystyle c=\psi (a,b)}لجعل المحددج{\displaystyle J}صفر، ولكن هذا ليس ضرورياً دائماً. العلاقاتج=ψ(أ){\displaystyle c=\psi (a)}أو،ج=ψ(ب){\displaystyle c=\psi (b)}يكفي لجعل المحدد يساوي صفرًا.

التكامل المفرد

يتم الحصول على التكامل المفرد عندماج≠0{\displaystyle J\neq 0}في هذه الحالة، يتم التخلص من(أ،ب،ج){\displaystyle (a,b,c)}منϕ=0{\displaystyle \phi =0}يعمل إذا

ϕأ=0،ϕب=0،ϕج=0.{\displaystyle \phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0,\quad \phi _{c}=0.}

يمكن استخدام المعادلات الثلاث لحل المجاهيل الثلاثة.(أ،ب،ج){\displaystyle (a,b,c)}الحل الناتج عن حذف(أ،ب،ج){\displaystyle (a,b,c)}هذه الطريقة تؤدي إلى ما يسمى بالتكاملات المفردة .

التكامل الخاص

عادةً، تندرج معظم التكاملات ضمن الفئات الثلاث المحددة أعلاه، ولكن قد يحدث أن لا يندرج حلٌ ما ضمن أيٍّ من أنواع التكاملات الثلاثة المذكورة. تُسمى هذه الحلول بالتكاملات الخاصة .χ(x،y،z،u)=0{\displaystyle \chi (x,y,z,u)=0}يُقال إن التكامل الذي يحقق المعادلة التفاضلية الجزئية هو تكامل خاص إذا لم نتمكن من تحديد(أ،ب،ج){\displaystyle (a,b,c)}من المعادلات التالية

ϕxχu-χxϕu=0{\displaystyle \phi _{x}\chi _{u}-\chi _{x}\phi _{u}=0}
ϕyχu-χyϕu=0{\displaystyle \phi _{y}\chi _{u}-\chi _{y}\phi _{u}=0}
ϕzχu-χzϕu=0.{\displaystyle \phi _{z}\chi _{u}-\chi _{z}\phi _{u}=0.}

إذا استطعنا تحديد(أ،ب،ج){\displaystyle (a,b,c)}من مجموعة المعادلات المذكورة أعلاه، ثمχ=0{\displaystyle \chi =0}سيتبين أنه أحد التكاملات الثلاثة الموصوفة سابقًا.

حالة ثنائية الأبعاد

يمكن كتابة التكامل الكامل في الفضاء ثنائي الأبعاد على النحو التالي:ϕ(x،y،u،أ،ب)=0{\displaystyle \phi (x,y,u,a,b)=0}يتم الحصول على التكامل العام عن طريق حذفأ{\displaystyle a}من المعادلات التالية

ϕ(x،y،z،أ،ψ(أ))=0،ϕأ+ψأϕب=0.{\displaystyle \phi (x,y,z,a,\psi (a))=0,\quad \phi _{a}+\psi _{a}\phi _{b}=0.}

يمكن الحصول على التكامل المفرد، إن وجد، عن طريق الحذف(أ،ب){\displaystyle (a,b)}من المعادلات التالية

ϕ(x،y،z،أ،ب)=0،ϕأ=0،ϕب=0.{\displaystyle \phi (x,y,z,a,b)=0,\quad \phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0.}

إذا لم يتوفر التكامل الكامل، يمكن الحصول على الحلول بحل نظام من المعادلات التفاضلية العادية. وللحصول على هذا النظام، لاحظ أولًا أن المعادلة التفاضلية الجزئية تحدد مخروطًا (مشابهًا لمخروط الضوء ) عند كل نقطة: إذا كانت المعادلة التفاضلية الجزئية خطية في مشتقات u (أي شبه خطية)، فإن المخروط يتحول إلى خط مستقيم. في الحالة العامة، تحدد الأزواج ( p , q ) التي تحقق المعادلة مجموعة من المستويات عند نقطة معينة.

u-u0=ص(x-x0)+q(y-y0)،{\displaystyle u-u_{0}=p(x-x_{0})+q(y-y_{0}),\,}

أين

F(x0،y0،u0،ص،q)=0.{\displaystyle F(x_{0},y_{0},u_{0},p,q)=0.\,}

يكون غلاف هذه المستويات مخروطًا، أو خطًا مستقيمًا إذا كانت المعادلة التفاضلية الجزئية شبه خطية. شرط وجود الغلاف هو

Fصدص+Fqدq=0،{\displaystyle F_{p}\,dp+F_{q}\,dq=0,\,}

حيث يتم تقييم F عند(x0،y0،u0،ص،q){\displaystyle (x_{0},y_{0},u_{0},p,q)}، و dp و dq هما زيادتان لـ p و q تحققان F = 0. وبالتالي، فإن مولد المخروط هو خط ذو اتجاه

دx:دy:دu=Fص:Fq:(صFص+qFq).{\displaystyle dx:dy:du=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}).\,}

يتوافق هذا الاتجاه مع أشعة الضوء في معادلة الموجة. ولتكامل المعادلات التفاضلية على طول هذه الاتجاهات، نحتاج إلى زيادات لـ p و q على طول الشعاع. ويمكن الحصول على ذلك عن طريق اشتقاق المعادلة التفاضلية الجزئية التالية:

Fx+Fuص+Fصصx+Fqصy=0،{\displaystyle F_{x}+F_{u}p+F_{p}p_{x}+F_{q}p_{y}=0,\,}
Fy+Fuq+Fصqx+Fqqy=0،{\displaystyle F_{y}+F_{u}q+F_{p}q_{x}+F_{q}q_{y}=0,\,}

لذلك فإن اتجاه الشعاع في(x،y،u،ص،q){\displaystyle (x,y,u,p,q)}الفضاء هو

دx:دy:دu:دص:دq=Fص:Fq:(صFص+qFq):(-Fx-Fuص):(-Fy-Fuq).{\displaystyle dx:dy:du:dp:dq=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}):(-F_{x}-F_{u}p):(-F_{y}-F_{u}q).\,}

يؤدي تكامل هذه المعادلات إلى الحصول على شكل مخروطي شعاعي عند كل نقطة(x0،y0،u0){\displaystyle (x_{0},y_{0},u_{0})}. يمكن بعد ذلك الحصول على الحلول العامة للمعادلة التفاضلية الجزئية من أغلفة هذه المخاريط.

تعريفات الارتباط الخطي للأنظمة التفاضلية

يمكن الرجوع إلى هذا الجزء§1.2.3{\displaystyle \S 1.2.3}من كتاب كوران. [ 4 ]

نفترض أن هذهح{\displaystyle h}المعادلات مستقلة، أي أنه لا يمكن استنتاج أي منها من الأخرى عن طريق التفاضل والحذف.

— كوران، ر. وهيلبرت، د. (1962)، أساليب الفيزياء الرياضية: المعادلات التفاضلية الجزئية، الجزء الثاني، ص 15-18

يُقدَّم وصفٌ مكافئ. ويُقدَّم تعريفان للارتباط الخطي لمعادلات تفاضلية جزئية خطية من الدرجة الأولى.

(*){∑أناجأأناج(1)∂yج∂xأنا+و1=0⋮∑أناجأأناج(ن)∂yج∂xأنا+ون=0{\displaystyle (*)\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(1)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{1}}=0\\\vdots \\\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(n)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{n}}=0\end{array}}\right.}

أينxأنا{\displaystyle x_{i}}هي متغيرات مستقلة؛yج{\displaystyle y_{j}}هي متغيرات مجهولة تابعة؛ أأناج(ك){\displaystyle a_{ij}^{(k)}}هي معاملات خطية؛ و وك{\displaystyle f_{k}}هي عناصر غير متجانسة. Zك≡∑أناجأأناج(ك)∂yج∂xأنا+وك{\textstyle {Z_{k}}\equiv \sum _{ij}^{}{a_{ij}^{(k)}{\frac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{k}}}.

التعريف الأول: بالنظر إلى حقل رقميP{\displaystyle P}، عندما تكون هناك معاملات (جك∈P{\displaystyle c_{k}\in P})، ليس كلها أصفارًا، بحيث∑كجكZك=0{\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}=0}}; المعادلات (*) تعتمد خطيًا.

التعريف الثاني ( الاعتماد الخطي التفاضلي ): بالنظر إلى حقل عدديP{\displaystyle P}، عندما تكون هناك معاملات (جك،دكل∈P{\displaystyle {c_{k}},d_{kl}\in P})، ليس كلها أصفارًا، بحيث∑كجكZك+∑كلدكل∂∂xلZك=0{\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}}+\sum _{kl}{{d_{kl}}{\frac {\partial }{\partial {x_{l}}}}{Z_{k}}=0}}تُعتبر المعادلات (*) معادلات تفاضلية خطية تابعة . إذادكل≡0{\displaystyle {d_{kl}}\equiv 0}، هذا التعريف يتحول إلى التعريف الأول.

أنظمة div-curl ، ومعادلات ماكسويل ، ومعادلات أينشتاين (مع أربعة إحداثيات توافقية) ومعادلات يانغ-ميلز (مع شروط القياس) محددة جيدًا في التعريف الثاني، بينما تكون محددة بشكل زائد في التعريف الأول.

الأسطح المميزة لمعادلة الموجة

الأسطح المميزة لمعادلة الموجة هي أسطح مستوية لحلول المعادلة

uت2=ج2(ux2+uy2+uz2).{\displaystyle u_{t}^{2}=c^{2}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\right).\,}

لا يوجد فقدان كبير للعمومية إذا وضعناuت=1{\displaystyle u_{t}=1}في هذه الحالة، يكون u مُرضيًا

ux2+uy2+uz2=1ج2.{\displaystyle u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}={\frac {1}{c^{2}}}.\,}

في تدوين المتجهات ، ليكن

x→=(x،y،z)وص→=(ux،uy،uz).{\displaystyle {\vec {x}}=(x,y,z)\quad {\hbox{and}}\quad {\vec {p}}=(u_{x},u_{y},u_{z}).\,}

تُعطى عائلة من الحلول التي تكون فيها المستويات عبارة عن أسطح مستوية بالصيغة التالية:

u(x→)=ص→⋅(x→-x0→)،{\displaystyle u({\vec {x}})={\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}),\,}

أين

|ص→|=1ج،وx0→تعسفي.{\displaystyle |{\vec {p}}\,|={\frac {1}{c}},\quad {\text{and}}\quad {\vec {x_{0}}}\quad {\text{is arbitrary}}.\,}

إذا تم تثبيت x و x₀ ، فإن غلاف هذه الحلول يُحصل عليه بإيجاد نقطة على كرة نصف قطرها 1/ c حيث تكون قيمة u ثابتة. هذا صحيح إذاص→{\displaystyle {\vec {p}}}موازٍ لـx→-x0→{\displaystyle {\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}}وبالتالي فإن المعادلة هي معادلة الغلاف

u(x→)=±1ج|x→-x0→|.{\displaystyle u({\vec {x}})=\pm {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|.}

تتوافق هذه الحلول مع كرات يزداد نصف قطرها أو يتقلص مع السرعة c . هذه مخاريط ضوئية في الزمكان.

تتمثل مسألة القيمة الابتدائية لهذه المعادلة في تحديد سطح مستوٍ S حيث u = 0 عند t = 0. ويتم الحصول على الحل بأخذ غلاف جميع الكرات التي تقع مراكزها على S ، والتي تتزايد أنصاف أقطارها بسرعة c . ويتم الحصول على هذا الغلاف باشتراط أن

1ج|x→-x0→|ثابت لـx0→∈S.{\displaystyle {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|\quad {\hbox{is stationary for}}\quad {\vec {x_{0}}}\in S.\,}

يتحقق هذا الشرط إذا|x→-x0→|{\displaystyle |{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|}يكون العمودي على السطح S. وبالتالي، يتوافق الغلاف مع حركة بسرعة c على طول كل عمود على السطح S. هذا هو بناء هيغنز لجبهات الموجة : كل نقطة على السطح S تُصدر موجة كروية عند الزمن t = 0، وجبهة الموجة عند زمن لاحق t هي غلاف هذه الموجات الكروية. أما الأعمدة على السطح S فهي أشعة الضوء.

مراجع

  1. ↑ إيفانز 1998 ، ص. 1.
  2. ↑ غارابيديان، بي آر (1964). المعادلات التفاضلية الجزئية . نيويورك: وايلي. OCLC 527754 . 
  3. ↑ فورسيث، أ.ر. (1928). رسالة في المعادلات التفاضلية.
  4. ↑ كوران، ر. وهيلبرت ، د. (1962). أساليب الفيزياء الرياضية: المعادلات التفاضلية الجزئية . المجلد الثاني. نيويورك: وايلي-إنترساينس. ISBN  9783527617241.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

للمزيد من القراءة

  • إيفانز، إل سي (1998). المعادلات التفاضلية الجزئية . بروفيدنس: الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-8218-0772-2.
  • بوليانين، أ.د.؛ زايتسيف، ف.ف.؛ موسيو، أ. (2002). دليل المعادلات التفاضلية الجزئية من الرتبة الأولى . لندن: تايلور وفرانسيس. ISBN 0-415-27267-X.
  • بوليانين، أ.د. (2002). دليل المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية للمهندسين والعلماء . بوكا راتون: تشابمان آند هول/سي آر سي برس. رقم ISBN 1-58488-299-9.
  • سارة، سكوت (2003). "طريقة الخصائص مع تطبيقات على قوانين الحفظ" . مجلة الرياضيات الإلكترونية وتطبيقاتها .