أول مسافة قابلة للعد

في علم الطوبولوجيا ، وهو فرع من فروع الرياضيات ، يُعرف الفضاء القابل للعد من الدرجة الأولى بأنه فضاء طوبولوجي يحقق " البديهية الأولى للعد ". وبالتحديد، هو فضاء${\displaystyle X}$يُقال إن المجموعة قابلة للعد من الدرجة الأولى إذا كان لكل نقطة أساس جوار قابل للعد (أساس محلي). أي، لكل نقطة${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$يوجد تسلسل${\displaystyle N_{1},N_{2},\ldots }$من أحياء​${\displaystyle x}$بحيث يكون ذلك مناسبًا لأي حي${\displaystyle N}$ل${\displaystyle x}$يوجد عدد صحيح${\displaystyle i}$مع${\displaystyle N_{i}}$وارد في${\displaystyle N.}$ بما أن كل جوار لأي نقطة يحتوي على جوار مفتوح لتلك النقطة، يمكن اختيار أساس الجوار دون فقدان العمومية ليتكون من جوارات مفتوحة.

معظم الفضاءات "اليومية" في الرياضيات قابلة للعد من الدرجة الأولى. وعلى وجه الخصوص، كل فضاء متري قابل للعد من الدرجة الأولى. ولتوضيح ذلك، لاحظ أن مجموعة الكرات المفتوحة المتمركزة عند${\displaystyle x}$بنصف قطر${\displaystyle 2^{-n}}$لجميع الأعداد الطبيعية${\displaystyle n}$تشكيل قاعدة محلية قابلة للعد في${\displaystyle x}$.

من الأمثلة على الفضاءات غير القابلة للعد من الدرجة الأولى، التوبولوجيا المنتهية على مجموعة غير قابلة للعد (مثل خط الأعداد الحقيقية ). وبشكل أعم، فإن توبولوجيا زاريسكي على تنوع جبري فوق حقل غير قابل للعد ليست قابلة للعد من الدرجة الأولى.

مثال آخر مضاد هو الفضاء الترتيبي${\displaystyle \omega _{1}+1=\left[0,\omega _{1}\right]}$أين${\displaystyle \omega _{1}}$هو أول عدد ترتيبي غير قابل للعد . العنصر${\displaystyle \omega _{1}}$هي نقطة حدية للمجموعة الجزئية${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right)}$على الرغم من عدم وجود تسلسل للعناصر في${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right)}$يحتوي على العنصر${\displaystyle \omega _{1}}$كحدٍّ لها. وعلى وجه الخصوص، النقطة${\displaystyle \omega _{1}}$في الفضاء${\displaystyle \omega _{1}+1=\left[0,\omega _{1}\right]}$ليس لها قاعدة محلية قابلة للعد. بما أن${\displaystyle \omega _{1}}$إلا أن هذه هي النقطة الوحيدة من نوعها، الفضاء الفرعي${\displaystyle \omega _{1}=\left[0,\omega _{1}\right)}$هو أول اسم معدود.

فضاء القسمة${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {N} }$حيث تُحدد الأعداد الطبيعية على خط الأعداد الحقيقية كنقطة واحدة، لا يمكن عدها أولاً. ^{[ 1 ]} ومع ذلك، فإن هذا الفضاء يتمتع بالخاصية التالية: لأي مجموعة جزئية${\displaystyle A}$وكل عنصر${\displaystyle x}$في إغلاق${\displaystyle A,}$يوجد تسلسل في${\displaystyle A}$يتقارب إلى${\displaystyle x.}$يُطلق على الفضاء الذي يتمتع بخاصية التسلسل هذه أحيانًا اسم فضاء فريشيه-أوريسون .

إن خاصية العد من الدرجة الأولى أضعف من خاصية العد من الدرجة الثانية . فكل فضاء قابل للعد من الدرجة الثانية يكون قابلاً للعد من الدرجة الأولى، ولكن أي فضاء منفصل غير قابل للعد يكون قابلاً للعد من الدرجة الأولى ولكنه ليس قابلاً للعد من الدرجة الثانية.

من أهم خصائص الفضاءات القابلة للعد من الدرجة الأولى أنه بالنظر إلى مجموعة جزئية${\displaystyle A,}$نقطة${\displaystyle x}$يكمن ذلك في إغلاق${\displaystyle A}$إذا وفقط إذا وُجدت متتالية${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$في${\displaystyle A}$ذلك يتقارب إلى${\displaystyle x.}$(بمعنى آخر، كل فضاء قابل للعد من الدرجة الأولى هو فضاء فريشيه-أوريسون، وبالتالي هو فضاء تسلسلي أيضًا .) وهذا له تبعات على النهايات والاستمرارية . على وجه الخصوص ، إذا${\displaystyle f}$إذا كانت دالة على فضاء قابل للعد من الدرجة الأولى، فإن${\displaystyle f}$له حد${\displaystyle L}$عند النقطة${\displaystyle x}$إذا وفقط إذا كان لكل متتالية${\displaystyle x_{n}\to x,}$أين${\displaystyle x_{n}\neq x}$للجميع${\displaystyle n,}$لدينا${\displaystyle f\left(x_{n}\right)\to L.}$أيضًا، إذا${\displaystyle f}$إذا كانت دالة على فضاء قابل للعد من الدرجة الأولى، فإن${\displaystyle f}$تكون متصلة إذا وفقط إذا كان كلما${\displaystyle x_{n}\to x,}$ثم${\displaystyle f\left(x_{n}\right)\to f(x).}$

في الفضاءات القابلة للعد من الدرجة الأولى، تُعتبر خاصيتا التراص التسلسلي والتراص المعدود متكافئتين. مع ذلك، توجد أمثلة على فضاءات متراصة تسلسليًا وقابلة للعد من الدرجة الأولى، ولكنها ليست متراصة (فهي بالضرورة ليست فضاءات قابلة للقياس). أحد هذه الفضاءات هو الفضاء الترتيبي.${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right).}$يتم توليد كل مساحة قابلة للعد من الدرجة الأولى بشكل مضغوط .

كل فضاء جزئي من فضاء قابل للعد من الدرجة الأولى هو فضاء قابل للعد من الدرجة الأولى. أي حاصل ضرب قابل للعد في فضاء قابل للعد من الدرجة الأولى هو فضاء قابل للعد من الدرجة الأولى، مع أن حاصل الضرب غير القابل للعد ليس بالضرورة كذلك.

• فضاء فريشيه-أوريسون – نوع من الفضاءات الطوبولوجية 
• الفضاء القابل للعد الثاني – فضاء طوبولوجي تكون طوبولوجيته ذات قاعدة قابلة للعد 
• الفضاء القابل للفصل – الفضاء الطوبولوجي ذو المجموعة الجزئية المعدودة الكثيفة 
• الفضاء التسلسلي – فضاء طوبولوجي يتميز بالتسلسلات 

• "البديهية الأولى للعد" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• إنجلكينج، ريشارد (1989). الطوبولوجيا العامة . سلسلة سيجما في الرياضيات البحتة، المجلد 6 (  طبعة منقحة ومكتملة). دار نشر هيلدرمان، برلين. ISBN 3885380064.