نموذج التأثيرات الثابتة

منذ${\displaystyle \alpha _{i}}$لا يمكن ملاحظته، ولا يمكن التحكم فيه بشكل مباشر. يقوم نموذج العناصر المحدودة بإلغاء${\displaystyle \alpha _{i}}$عن طريق إزالة معنى المتغيرات باستخدام التحويل الداخلي :

${\displaystyle y_{it}-{\overline {y}}_{i}=\left(X_{it}-{\overline {X}}_{i}\right)\beta +\left(\alpha _{i}-{\overline {\alpha }}_{i}\right)+\left(u_{it}-{\overline {u}}_{i}\right)\implies {\ddot {y}}_{it}={\ddot {X}}_{it}\beta +{\ddot {u}}_{it}}$

أين${\displaystyle {\overline {y}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}y_{it}}$،${\displaystyle {\overline {X}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}X_{it}}$، و${\displaystyle {\overline {u}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}u_{it}}$.

منذ${\displaystyle \alpha _{i}}$ثابت،${\displaystyle {\overline {\alpha _{i}}}=\alpha _{i}}$وبالتالي يتم التخلص من التأثير. مقدر التأثيرات الثابتة${\displaystyle {\hat {\beta }}_{FE}}$ثم يتم الحصول عليها من خلال انحدار المربعات الصغرى العادية لـ${\displaystyle {\ddot {y}}}$على${\displaystyle {\ddot {X}}}$.

توجد ثلاثة بدائل على الأقل للتحويل الداخلي مع اختلافات:

• أحدها هو إضافة متغير وهمي لكل فرد${\displaystyle i>1}$(مع استبعاد الفرد الأول بسبب الارتباط الخطي المتعدد ). هذا مكافئ عدديًا، وليس حسابيًا، لنموذج التأثيرات الثابتة، ولا ينجح إلا إذا كان مجموع عدد السلاسل وعدد المعلمات العامة أقل من عدد المشاهدات. ^{[ 10 ]} يُعدّ أسلوب المتغيرات الوهمية مُستهلكًا كبيرًا لذاكرة الحاسوب، ولا يُنصح به للمسائل الأكبر من سعة ذاكرة الوصول العشوائي المتاحة، وقدرة برنامج التجميع المُستخدم.

• الخيار الثاني هو استخدام أسلوب التكرارات المتتالية للتقديرات المحلية والعالمية. ^{[ 11 ]} هذا الأسلوب مناسب جدًا للأنظمة ذات الذاكرة المنخفضة، حيث يكون أكثر كفاءة حسابية من أسلوب المتغيرات الوهمية.

• أما النهج الثالث فهو التقدير المتداخل، حيث يُبرمج التقدير المحلي لكل سلسلة على حدة كجزء من تعريف النموذج. ^{[ 12 ]} يُعد هذا النهج الأكثر كفاءة من حيث الحساب والذاكرة، ولكنه يتطلب مهارات برمجة متقدمة وإمكانية الوصول إلى كود برمجة النموذج؛ مع ذلك، يمكن برمجته باستخدام برنامج SAS. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

وأخيرًا، يمكن تحسين كل بديل من البدائل المذكورة أعلاه إذا كان التقدير الخاص بالسلسلة خطيًا (ضمن نموذج غير خطي)، وفي هذه الحالة يمكن برمجة الحل الخطي المباشر للسلاسل الفردية كجزء من تعريف النموذج غير الخطي. ^{[ 15 ]}

يُعد تحويل الفرق الأول بديلاً عن التحويل الداخلي ، وهو ينتج عنه مُقدِّر مختلف.${\displaystyle t=2,\dots ,T}$:

${\displaystyle y_{it}-y_{i,t-1}=\left(X_{it}-X_{i,t-1}\right)\beta +\left(\alpha _{i}-\alpha _{i}\right)+\left(u_{it}-u_{i,t-1}\right)\implies \Delta y_{it}=\Delta X_{it}\beta +\Delta u_{it}.}$

مقدر FD${\displaystyle {\hat {\beta }}_{FD}}$ثم يتم الحصول عليها من خلال انحدار المربعات الصغرى العادية لـ${\displaystyle \Delta y_{it}}$على${\displaystyle \Delta X_{it}}$.

متى${\displaystyle T=2}$إن تقديرات الفرق الأول وتقديرات التأثيرات الثابتة متكافئة عددياً.${\displaystyle T>2}$ليست كذلك. إذا كانت حدود الخطأ${\displaystyle u_{it}}$إذا كانت البيانات متجانسة التباين ولا يوجد ارتباط تسلسلي ، فإن مقدر التأثيرات الثابتة يكون أكثر كفاءة من مقدر الفرق الأول.${\displaystyle u_{it}}$يتبع مسارًا عشوائيًا ، ومع ذلك، فإن مقدر الفرق الأول أكثر كفاءة. ^{[ 16 ]}

طريقة غاري تشامبرلين ، وهي تعميم للمُقدِّر الداخلي، تحل محل${\displaystyle \alpha _{i}}$مع إسقاطها الخطي على المتغيرات التفسيرية. كتابة الإسقاط الخطي على النحو التالي:

${\displaystyle \alpha _{i}=\lambda _{0}+X_{i1}\lambda _{1}+X_{i2}\lambda _{2}+\dots +X_{iT}\lambda _{T}+e_{i}}$

ينتج عن ذلك المعادلة التالية:

${\displaystyle y_{it}=\lambda _{0}+X_{i1}\lambda _{1}+X_{i2}\lambda _{2}+\dots +X_{it}(\lambda _{t}+\mathbf {\beta } )+\dots +X_{iT}\lambda _{T}+e_{i}+u_{it}}$

والتي يمكن تقديرها عن طريق تقدير المسافة الدنيا . ^{[ 17 ]}

يلزم وجود أكثر من متغير زمني واحد (${\displaystyle X}$) والمتغير المستقل الثابت مع الزمن (${\displaystyle Z}$) وواحد على الأقل${\displaystyle X}$وواحد${\displaystyle Z}$التي لا ترتبط بـ ${\displaystyle \alpha _{i}}$.

قسّم${\displaystyle X}$و${\displaystyle Z}$المتغيرات بحيث${\displaystyle {\begin{array}{c}X=[{\underset {TN\times K1}{X_{1it}}}\vdots {\underset {TN\times K2}{X_{2it}}}]\\Z=[{\underset {TN\times G1}{Z_{1it}}}\vdots {\underset {TN\times G2}{Z_{2it}}}]\end{array}}}$أين${\displaystyle X_{1}}$و${\displaystyle Z_{1}}$لا توجد علاقة بينها وبين${\displaystyle \alpha _{i}}$. يحتاج${\displaystyle K1>G2}$.

التقدير${\displaystyle \gamma }$عبر OLS على${\displaystyle {\widehat {di}}=Z_{i}\gamma +\varphi _{it}}$استخدام${\displaystyle X_{1}}$و${\displaystyle Z_{1}}$حيث أن الأدوات تعطي تقديرًا متسقًا.

عندما يكون هناك عدم يقين في المدخلات لـ${\displaystyle y}$بيانات،${\displaystyle \delta y}$ثم الـ${\displaystyle \chi ^{2}}$ينبغي تقليل قيمة القيمة، بدلاً من مجموع مربعات البواقي. ^{[ 18 ]} ويمكن تحقيق ذلك مباشرة من خلال قواعد الاستبدال:

${\displaystyle {\frac {y_{it}}{\delta y_{it}}}=\mathbf {\beta } {\frac {X_{it}}{\delta y_{it}}}+\alpha _{i}{\frac {1}{\delta y_{it}}}+{\frac {u_{it}}{\delta y_{it}}}}$،

ثم القيم والانحرافات المعيارية لـ${\displaystyle \mathbf {\beta } }$و${\displaystyle \alpha _{i}}$يمكن تحديدها من خلال تحليل المربعات الصغرى العادية الكلاسيكية ومصفوفة التباين والتباين المشترك .